InterviewSolution
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| 51. |
माना कि कक्षा XII के सभी 50 विद्यार्थियों का समुच्चय A हैं । माना `f : A rarr N ` , f (x) = विद्यार्थी x का रोल नंबर , व्दारा परिभाषित एक फलन हैं । सिद्ध कीजिए कि f एकैकी हैं किंतु आच्छादक नहीं हैं । |
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Answer» चूँकि कक्षा XII के दो भिन्न - भिन्न विद्यार्थियों `x , y in A` के लिए , उनके रोल नंबर समान नहीं हो सकते हैं अर्थात् ` x ne y ` के लिए `f (x) ne f (y)` इसलिए f एकैकी हैं । पुनः कक्षा XII के सभी 50 विद्यार्थियों का समुच्चय A एक परिमित समुच्चय हैं । व्यापकता की बिना हानि किए हम मान सकते हैं कि विद्यार्थियों के रोल नंबर 1 से 50 तक हैं , परंतु N के 50 से अधिक अर्थात् 51 , 52 , .... आदि A के किसी भी अवयव का प्रतिबिंब नहीं हैं । अतः f आच्छादक नही हैं । यही सिद्ध करना था । |
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| 52. |
माना कि `f: Z to Z, g : Z to Z` फलन है जो निम्न प्रकार परिभाषित है |
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Answer» प्रश्न से ,f का प्रान्त = Z और g का प्रान्त = Z अतः f का प्रान्त = g का प्रान्त = Z....(1) `f(n) = n^(2)`, साथ ही `n in Z` के लिए `g(n) = |n|^(2) = n^(2) " सभी " n in Z` के लिए अतः `f(n) = g (n)` सभी `n in Z` के लिए .....(2) (1)और (2) से , `f = 8` |
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| 53. |
माना f = { (1,2) , ( 2, 3) , ( 4 , 5) } g = { ( 2,3) , ( 3 ,5 ) , ( 5 , 2) } , यदि संभव हो , तो fog और gof ज्ञात कीजिए । |
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Answer» f = { (1 , 2 ) , (2 ,3 ) , ( 4 , 5) } और g = { ( 2,3 ) , ( 3 , 5) , ( 5 , 2) } यहाँ F(1) = 2 , f (2) = 3 , f (4) = 5 , g (2) = 3 , g (3) = 5 , g (5) = 2 . प्रांत (f) = { 1,2,4 } , परास (g) = { 3,5,2} स्पष्टतः परास (f) = प्रांत (g) , इसलिए gof : { 1,2,4} `to` { 3, 5,2} का अस्तित्व हैं । परंतु परास (g) `ne` प्रांत (f) , इसलिए fog परिभाषित नहीं हैं । अब , (gof ) (1) = g { f (1) } = g (2) = 3 (gof ) (2) = g{ f (2) } = g(3) = 5 ( gof )(4) = g { f (4)}= g (5) = 2 `therefore` gof का पारस = {3 , 5 , 2} और gof = {( 1,3), ( 2,5) , ( 4,2 ) }. |
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| 54. |
माना f (x) = `x^(2)` और g (x) = `sqrt(x)` , तब -A. (gof)(-2) = 2B. (fog)(2) = 4C. (gof)(2) = 4D. (fog)(3) = 6 . |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 55. |
माना कि `A = {a, b, c}" और " B = {1,2}`, तो निम्नलिखित में कौन - सा समुच्चय A से B में फलन है ?A. `{(a,1),(c,2),(b,1),(a,2)}`B. `{(a,2),(b,1),(c,2)}`C. `{(a,1),(b,2)}`D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 56. |
माना f : { 2 , 3, 4 , 5 } `to` { 3 , 4 , 5 , 9 } और g : { 3 , 4 , 5 , 9 } `to` { 7 , 11 , 15} दो फलन इस प्रकार है कि f (2) = 3 , f (3) = 4 , f ( 4) = f ( 5 ) = 5 और g (3) = g(4) = 7 तथा g (5) = g ( 9) = 11 तो gof ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ प्रांत (f) = { 2,3,4,5} , परास (f) = { 3,4,5} प्रांत (g) = { 7 , 11} स्पष्टतः परास (f ) `sube` प्रांत (g) . इसलिए gof : { 2,3,4,5} `to` { 7, 11,15} का अस्तित्व हैं , तब (gof)(2) = g[ f (2) ] = g (3) = 7 (gof)(3) = g [ f (3) ] = g (4) = 7 (gof) (4) = g[ f (4) ] = g(5) = 11 (gof) (5) = g [ f (5) ] = g( 5 ) = 11 अतः gof : { 2,3,4,5} `to` { 7 , 11, 15 } इस प्रकार है कि gof = { (2, 7) , ( 3 , 7) , ( 4 , 11) , ( 5 ,11) } . |
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| 57. |
माना कि `f(x) = x^(2)"और " g (x) = 3x + 1 `दो वास्तविक फलन है , तो `(f*g)(x) = `A. `9x^(2) + 6x+1`B. `3x^(2) +1`C. `3x^(3) + x^(2)`D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 58. |
माना कि `f : {2, 3, 4, 5} rarr {3, 4, 5, 9}` तथा `g : {3, 4, 5, 9} rarr {7, 11, 15}` फलन है जो इस प्रकार परिभाषित है, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 तथा g(3) = g(4) = 7 तथा g(5) = g(9) = 11 निकालें। |
| Answer» gof (2) = 7, gof (3) = 7, gof (4) = 11, gof (5) = 11 अर्थात gof = {(2, 7), (3, 7), (4, 11), (5, 11)} | |
| 59. |
माना f : R `to`R और g : `R to R` क्रमशः f (x) = `3x^(2) - 5` और `g (x) = (x)/(x^(2) + 1)` से परिभाषित हैं , तो gof हैं -A. `(3x^(2) - 5)/(9x^(4) - 30x^(2) + 26)`B. `(3x^(2) - 5)/(9x^(4) - 6x^(2) + 26)`C. `(3x^(2))/(x^(4) - 3x^(2) + 4)`D. `(3x^(2))/(9x^(4) - 30x^(2) - 2)` |
| Answer» Correct Answer - a | |
| 60. |
माना f : R `to` R , f(x) = `x^(2) +1` , से परिभाषित हैं , तो क्रमशः `f^(-1) (17) ` और `f^(-1)(-3)` हैं -A. `phi , {4,4}`B. `{3, -3}, phi`C. `{ 4, -4} , phi`D. `{4 , 4}, { 2, - 2}` |
| Answer» Correct Answer - c | |
| 61. |
माना `f : R - { - (4)/(3)}` `to` R इस प्रकार परिभाषित हैं कि `f (x) = (4x)/(3x + 4)`, `x ne (4)/(3)` , तब f का प्रतिलोम प्रतिचित्रण g : ( f का परास ) `to` `R - {-(4)/(3)}` हैं -A. g (y) = `(3y)/(3 - 4y)`B. g (y) = `(4y)/(4 - 3y)`C. g (y) = `(4y)/(3 - 4y)`D. g (y) = `(3y)/(4 - 3y)`. |
| Answer» Correct Answer - b | |
| 62. |
फलन `f: R to R` इस प्रकार परिभाषित है `f(x) = 2 - x, x lt 0` `= 2, x = 0` ` = 2 + x , x gt 0 ` तो `f(1) xx f (-1) ` का मान हैA. 2B. 3C. 6D. इनमें से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 63. |
माना कि `A = { 1,2,3,4}, B = {1,5,9,11,15,16 }` तथा `f = {(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)}`. क्या f,A से B में फलन है ? |
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Answer» प्रश्न से , `A = {1,2,3,4}, B = {1,5,9,1115,16}` तथा `f = {(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)}`. f में स्थित सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय `= {1,2,3,4} = A`. f में स्थित क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय `= {5,9,1,11} = {1,5,9,11) sube B`. f में स्थित दो क्रमित युग्मों `(2.9)` और `(2,11)` के प्रथम घटक समान है , अतः f: A से B में फलन नहीं है । |
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| 64. |
यदि `A = {-3,-2,-1,0,1,2,3}" और " f(x) = x^(2) - 1, f: A to R` को परिभाषित करता है ,तो f का range ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Range `f = {-1, 0,3,8}`. | |
| 65. |
माना कि f `f = {(ab,a +b) : a,b in Z}` द्वारा परिभाषित `Z xx Z`का एक उप समुच्चय है । क्या ,`f, Z xx Z` में एक फलन है । अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। |
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Answer» माना कि `ab = 10`. तो ,`a =2, b = 5, a =1, b =10` `a = -2, b = -5, a = -1, b = -10`. अब ,`a =2, b = 5 rArr (ab,a +b) = (10,7)` तथा `a =1, b =10 rArr (ab, a + b) = (10,11)`. f फलन नहीं है क्योंकि f में स्थित में स्थित दो क्रमित युग्मों `(10.7)` तथा `(10.1)` के प्रथम घटक समान है । |
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| 66. |
यदि `f: R to R f (x) = x^(2) + 2x + 1` से परिभाषित है `f(x) = x^(2) + 2x + 1` (i) तो निकालें `f(-1)xx f(1)." क्या " (Is) f(-1) + f(1) = f(0)?` (ii) तो निकालें `f(2) xx f(3)," क्या " (Is) f(2) xx f(3) = f(6)?` |
| Answer» (i) 0, नहीं . (ii) 144, नहीं | |
| 67. |
मान लीजिए कि `A = {1,2,3,4} B = {1,5,9,11,16}` और `f = {(1,5),(2,9),(3,1),(4,5),(2,11)}`. क्या f,A से B में एक फलन है ? |
| Answer» f फलन नहीं है क्योंकि f के दो क्रमित युग्म (2,9) तथा (2,11) के प्रथम घटक समान है । | |
| 68. |
माना कि `X = {1,2,3}, Y = {2,4,6,8}`. निम्नलिखित संबंधों में से कौन X से Y में फलन है : (i) `f = {(3,6), (2,4),(1,2)}`. (ii) `g = {(1,2),(2,4),(2,8),(3,6)}`. (iii) `h = {(2,6),(1,4),(3,8)}`. (iv) `Psi = {(x,y): y = 2: x = 1,2}`. |
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Answer» (i) प्रश्न से , `f = {(3,6),(2,4),(1,2)}`. f में स्थित सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय `={3,2,1} = X` f में स्थित सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय ` = {6,4,2} sube Y` f में स्थित किसी दो क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं है । अतः f,X से Y में एक फलन है । |
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| 69. |
जाँच करें कि निम्नलिखित संबंधों में से कौन फलन है । (i) `f = {(2,1),(2,3),(4,3),(1,2)}` (ii)`g = {(2,1)(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(14,7)}` (iii) `h = {(-4,4),(4,4),(3,2)}` |
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Answer» प्रश्न से , `f = {(2,1),(2,3),(4,3),(1,2)}` चूँकि दो भिन्न क्रमित युग्मों (2,1) तथा (2,3) के प्रथम घटक समान है । अतः f एक फलन नहीं है । (ii) प्रश्न से ,`g = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(12,6),(14,7)}` चूँकि g में स्थित सभी क्रमित युग्मों के प्रश्म घटक भिन्न - भिन्न है , अतः g एक फलन है । (iii) प्रश्न से ,`h = {-4,4),(4,4),(3,2)}` यहाँ h में स्थित सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटक भिन्न - भिन्न है अतः h एक फलन है । |
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| 70. |
मान लीजिए कि `f = {(m/n m): m in Z, n in Z, n ne 0}` से परिभाषित `Q xx Z `का f एक उपसमुच्चय है । क्या Q से Z में f एक फलन है । अपने उत्तर का औचित्य दीजिए । |
| Answer» f फलन नहीं है क्योंकि `f(2/1) = 2, f(4/2) = 4 i . e. f (2) = 2 " और " f(2) = 4.` | |
| 71. |
यदि `S = {9,10,11}` तथा फलन `f : S to N` इस प्रकार परिभाषित है f (n) = n का महत्तम अभाज्य गुणनखंड , तो f का परिसर हैA. `{2,3}`B. `{2,3,5}`C. `{2,3,5,11}`D. `{3,5,11}` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 72. |
माना कि `X = {1,2,3,4}`. जाँच करें कि निम्नलिखित संबंधों में से कौन से X से X में फलन है : (i) `f = {(1,1),(2,3),(3,4),(4,4)}`. (ii) `g = {(2,4),(2,3),(1,3),(3,1),(4,2)}`. (iii) `h = {(1,4),(2,3),(3,4)}` |
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Answer» (i) f, X से X में एक गलन है क्योंकि (a)f स्थित सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय `={1,2,3,4} = X` (b) f में स्थित सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय `={1,2,4} sube X` (c ) f में स्थित किन्हीं दो क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं है । |
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| 73. |
(i) मान लीजिए कि `f= {(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,3)}` कुछ पूर्णांकों a और b के लिए Z से Z में एक फलन `f(x) = ax + b` से परिभाषित है । a और b ज्ञात कीजिए । (ii) मान लीजिए कि (Let) `f = {(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)} Z` से Z में एक रेखिक फलन है तो f(x) ज्ञात कीजिए | |
| Answer» (i) `a = 2, b =- 1 " "(ii) f(x) = 2x -1` | |
| 74. |
मान लीजिए कि `A = {9,10,11,12,13}" तथा " f: A to N, f(n) = n`का महत्तम अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है । का परिसर ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Range `f = {3,5,11,13}`. | |
| 75. |
मान लीजिए कि `A = {a,b,c,d}`. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संबंधों में कौन A पर फलन है । (i)` f= {(a,a)(b,c),(c,d),(d,c)}` (ii) `g = {(a,c),(b,d),(b,c)}`. (iii) ` h = {(b,c),(d,a),(a,a)}`. |
| Answer» केवल f, A से A में फलन है । | |
| 76. |
मान लीजिए कि `A = {1,2,3},B = {3,6,9,10}`. निम्नलिखित संबंधों में A से B में कौन फलन है ? उनके परिसर भी भी ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है । `f = {(1,9),(2,3),(3,10)}`. `g = {(1,6),(2,10),(3,9),(1,3)}`. `h = {(2,6),(3,9)}`. `u = {(x,y) : y = 3x, x in A}`. |
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Answer» f, u फलन है ,g,h फलन नहीं है । Range f = {3,9,10}. Range u = {3,6,9}. |
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| 77. |
निम्नलिखित संबंधों में कौन फलन है ? कारण बताइए । यदि फलन है तो प्रान्त तथा परिसर निर्धारित कीजिए । (i)`f = {(2,1),(3,1),(4,2)}` (ii)` g = {(1,3),(1,5),(2,3)}` (iii)` h = {(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}` (iv) `phi = {(2,1),(5,1),(8,1),(11,1),(14,1),(17,1)}` |
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Answer» (i) f एक फलन है । Domain `f = {2,3,4}` Range `f = {1,2}` (ii) g फलन नहीं है क्योंकि 1 के दो प्रतिबिंब है । (iii) h फलन नहीं है क्योंकि 2 के दो प्रतिबिंब है । (iv) `phi` एक फलन है । Domain on `phi = {2,5,8,11,14,17}` Range of `phi = {1}` |
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| 78. |
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संबंधों में कौन फलन है ? यदि वे फलन है तो उनके प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए । (i)`f={(1,4),(2,3),(3,4),(4,3)}` (ii)`g = {(2,5),(-1,0),(1,6)}`. (iii) `h = {(1,2),(2,2),(3,2)}`. (iv) `phi = {(1,2),(1,3),(2,5)}`. (v) `Psi = {(2,1),(3,1),(5,2)}`. (vi) `u = {(2,1),(5,1),(8,1),(11,1),(14,1),(17,1)}.` (vii) ` v = {(0,0),(1,1),(1,-1),(4,2),(4,-2),(9,3),(9,-3),(16,4),(16,-4)}` |
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Answer» (i) f एक फलन है Dom . `f = {1,2,3,4}, "Range " f = {4,3}`. (ii) g एक फलन है Dom. `g = {2,-1,1)}," Range " g = {5,0,6}`. (iii) h एक फलन है Dom. of `h = {1,2,3)," Range " h = {2}`. (iv) `phi` फलन नहीं है , क्योंकि `phi` के दो क्रमित युग्म `(1,2)` और `(1,3)` के प्रथम घटक समान है । (v) `Psi` फलन है , Dom. of `Psi = {2,3,5}, " Range of " Psi = {1,2}`. (vi) u फलन है , Dom. of `u = {2,5,8,11,14,17}," Range " u = {1}`. (vii) v फलन नहीं है , क्योंकि v के दो क्रमित युग्म (1,1) तथा `(1,-1)` के प्रथम घटक समान है । |
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| 79. |
विधेय f : z → N f(t) = t2 + 1 t ∈ z है, तो f का प्रकार निश्चित करो । |
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Answer» प्रदेश गण Df = Z = {….-2, -1, 0, 1, 2} f(t) = t2 + 1 f(-1) = (-1)2 + 1 f(0) = 0 + 1 f(1) = 1 + 1 f(2) = 22 + 1 दो भिन्न किंमत (-2, 2) और (-1, 1) के प्रतिबिंब समान मिलते है इसलिए f अनेक-एक फलन है । |
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| 80. |
फलन f : N → Nf(t) = t2+ 1 t ∈ N है, तो f का प्रकार निश्चित करो । |
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Answer» प्रदेश गण Df = N = {1, 2, 3….} f(t) = t2 + 1 में t = 1, 2, 3 रखने पर f(2) = 22 + 1 f(3) = 32 + 1 t = 1, 2, 3 के प्रतिबिंब 2, 5, 10 प्राप्त होते है। प्रदेश की दो भिन्न किंमत के लिए सहप्रदेश के भिन्न प्रतिबिंब प्राप्त होते है। इस लिए f एक-एक फलन है । |
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| 81. |
निम्नलिखित फलनों का प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए । (i)` {x,sqrt(9-x^(2))):x in R } " "(ii) {(x,-|x|): x in R}`. |
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Answer» (i) Domain `= {x : x in R "और " -3 le x le 3} = [-3,3]`. Range = `{y : y in R "और " 0 le y le 3 } = [0,3]`. (ii) Domain = R, Range = `{y : y in R" और " y le 0 } = (-infty, 0]` |
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| 82. |
`f= {(4,2),(9,1),(6,1),(10,3)}` से फलन f दिया हुआ है ।f का प्रान्त और परिसर ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Domain `= {4,6,9,10}, " Range " f = {1,2,3}`. | |
| 83. |
f : {1, 2, 3} → N, g : {2, 3, 4} → N, f(x) = 2x + 1 और g(x) = x – 1 f और g समान फलन है ? क्यों ? |
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Answer» f(x) = 2x + 1 f(2) = 2(2) + 1 f(3) = 2(3) + 1 फलन g(x) = x – 1 के प्रतिबिंब g(2) = 2 – 1 g(3) = 3 – 1 g(4) = 4 – 1 यहाँ f(x) ≠ g(x) है इसलिए समान फलन नहि है । क्योंकि दोनों फलन के प्रदेश समूच्य भिन्न है । |
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| 84. |
निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित फलन का परिभाषा , प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए । (i) `f(x) = x^(2)` (ii) `g(x) = |x|` (iii) `h (x) = 1/(3-x^(2))` (iv) `u (x) = sqrt(4-x^(2))` |
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Answer» (i) Dom. F = R , Range `f = [0, infty)`. (ii) Dom. G = R, Rnage `g = [0, infty)`. (iii) Dom. `h = R - {- sqrt3 , sqrt3}, " Range " h = (-infty, 0) cup [1/3, infty)` (iv) Dom. `u = [-2,2], "Range " u = [0,2]`. |
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| 85. |
अचल फलन की सांकेतिक परिभाषा दीजिए। |
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Answer» मानाकि f : A → B है यदि प्रदेश गण A के प्रत्येक घटक के लिए सहप्रदेश गण B में सिर्फ एक ही प्रतिबिंब प्राप्त होता हो तो फलन f को अचल फलन कहते है । |
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| 86. |
फलन की परिभाषा दीजिए । |
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Answer» यदि समूच्य A और B रिक्त न हो ऐसे दो भिन्न समूच्य हो और समुच्य A.का प्रत्येक घटक समूच्य B के किसी एक अनन्य घटक के साथ किसी नियम, संबंध या संगतता से जुड़ा हुआ हो तो ऐसे नियम, संबंध या संगतता को गण A से समूच्य B पर का फलन (Function) कहते है । उसे संकेत में f.g.h.k इत्यादि से दर्शाया जाता है । |
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| 87. |
फलन के प्रदेश और सहप्रदेश की परिभाषा दीजिए। |
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Answer» फलन दो भिन्न अरिक्त समूच्यों के घटकों विचल अनन्य संबंध है । समूच्य A के घटक के लिए समूच्य B में अनन्य घटक के प्रतिबिंब प्राप्त किया जाता है यहाँ समूच्य A को प्रदेश और समूच्य B को सहप्रदेश कहते है । |
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| 88. |
g : N → N प्रदेश गण के प्रत्येक घटक में से 2 घटाया जाय तो यह नियम को फलन कह सकते है ? |
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Answer» प्रदेश गण के प्रत्येक घटक में से 2 घटाया जाय तो g : N → N दिया है इसलिए प्राकृतिक समूच्य बताता नहि है इसलिए फलन नहि है । |
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| 89. |
f : A → B के लिए प्रदेश गण A की कोई दो भिन्न किंमत के लिए विधेयात्मक किंमत समान मिले तो उस संबंध को क्या कहते है ?(A) एक-एक फलन(B) अनेक-एक फलन(C) एक-अनेक फलन(D) अनेक-अनेक फलन |
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Answer» सही विकल्प है (B) अनेक-एक फलन |
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| 90. |
एक-एक विधेय के लिए निम्न में से कौन-सा विधान सत्य है ?(A) प्रदेश की सिर्फ दो किंमत के लिए प्रतिबिंब भिन्न होना चाहिए ।(B) प्रदेश की कोई दो किंमतों के लिए प्रतिबिंब समान होना चाहिए ।(C) प्रदेश की कोई दो भिन्न किंमतों के लिए प्रतिबिंब भिन्न होना चाहिए ।(D) प्रदेश की प्रत्येक किंमतों के लिए प्रतिबिंब समान होना चाहिए । |
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Answer» (C) प्रदेश की कोई दो भिन्न किंमतों के लिए प्रतिबिंब भिन्न होना चाहिए । |
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| 91. |
g : x → y, x = {-1, 0} y = {2, 4}, g (x) = 4 – 2x इस पर से बताइए कि निम्न में से कौन-सा विधान सत्य है ?(A) g को फलन कहा जाता है ।(B) g को फलन नहि कह सकते ।(C) x को फलन नहि कह सकते ।(D) y को फलन कह सकते है । |
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Answer» सही विकल्प है (B) g को फलन नहि कह सकते । |
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| 92. |
विधेय f : A → B के लिए विस्तार के लिए निम्न में से कौन-सा विधान सत्य है ?(A) f(A) = {f(x) / x ∈ A}(B) सहप्रदेश गण का उपगण या सहप्रदेश स्वयं न हो ।(C) प्रदेश उसका विस्तार होता है ।(D) f(A) = {f(x) / x ∈ B} |
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Answer» सही विकल्प है (A) f(A) = {f(x) / x ∈ A |
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| 93. |
निम्न दिये विधान में से कौन-सा विधान सत्य है ?(A) f : {1, 2, 3, 4} → {3, 4, 5}, ‘प्रदेश समूच्य के मूल्य में 2 की वृद्धि करो’ यह नियम फलन नहि है ।(B) f : A → B, A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} के लिए f(x) = x2 फलन नहि है ।(C) g : P → Q; P = {-1, 0, 1} Q = {-13, -1, 3}, g(x) = \(\frac{x+2}{x−2}\) है तो g को फलन कह सकते है ।(D) g : {2, 3, 4, 5} → {-1, 0, 1} के लिए g(x) = 4x – 3 फलन है । |
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Answer» (A) f : {1, 2, 3, 4} → {3, 4, 5}, ‘प्रदेश समूच्य के मूल्य में 2 की वृद्धि करो’ यह नियम फलन नहि है । |
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| 94. |
माना f : N `to R , f (x) = 4x^(2) + 12x + 15` व्दारा परिभाषित एक फलन हैं । सिद्ध कीजिए कि f : N`to`S , जहाँ S , जहाँ S , f का परिसर हैं , व्युत्क्रमणीय हैं । f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ f : N `to R , f (x) = 4x^(2) + 12 x + 15 `. फलन f को व्युत्क्रमणीय सिद्ध करने के लिए यह सिद्ध करना पर्याप्त होगा कि f : N `to` S = f का परास एक एकैकी आच्छादक फलन हैं । f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in N ` तब `f(x_(1)) = f (x _(2))` `rArr 4x_(1) ^(2) + 12x_(1) + 5 = 4x_(2)^(2) + 12x_(2) + 5` `rArr 4 (x_(1)^(2) - x_(2)^(2)) + 12 (x_(1) - x_(2))` = 0 `rArr 4(x_(1) - x_(2)) (x_(1) + x_(2)) + 12(x_(1) - x_(2)) = 0 ` `rArr (x_(1) - x_(2) (4x_(1) + 4x_(2) + 12) = 0 ` `rArr x_(1) - x_(2) = 0 ` `[ therefore 4x_(1) + 4x_(2) + 12 ne 0` क्योंकि `x_(1) , x_(2) in N ` ] `rArr x_(1) = x_(2) ` `therefore f : N to S` एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : चूँकि f का परास = S इसलिए फलन f : N `to` S एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : चूँकि f का परास = S इसलिए फलन f : N `to`S आच्छादक हैं । अतः f एकैकी आच्छादक हैं इसलिए व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था । `f^(-1) ` ज्ञात करना : माना y = f (x) . `rArr y = 4x^(2) + 12x + 15 ` `rArr y = (4x^(2) 12x + 9) + 6` `rArr y = (2x + 3)^(2) + 6 ` `rArr (2x + 3)^(2) = y - 6 ` `rArr 2x + 3 = sqrt (y - 6) , y ge 6 ` `rArr 2x = sqrt(y - 6) - 3` `rArr x + (1)/(2) (sqrt(y - 6) - 3) ` `rArr f^(-1) (y) - =(1)/(2) (sqrt(y - 6 ) - 3)` `therefore f ^(-1) : S to N , f^(-1) (y) = (1)/(2) (sqrt ( y - 6) - 3)`. |
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| 95. |
माना Y = {`n^(2) : n in N } sub N ` हैं । फलन f : `N to Y , ` जहाँ f (n ) = n^(2)` व्दारा परिभाषित हैं । सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय हैं । f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ `f : N to Y ` , जहाँ f (n) = `n^(2) , n in N ` . f एकैकी हैं : माना `n_(1) , n_(2) in N` तब `f (n_(1)) = f (n_(2))` `rArr n_(1)^(2) = n_(2)^(2)` `rArr n_(1)^(2) - n_(2)^(2)` = 0 `rArr (n_(1) - n_(2) ) (n_(1) + n_(2) ) = 0 ` `rArr n_(1) - n_(2) = 0 [ therefore n_(1) + n_(2) ne 0` क्योंकि `n_(1) , n_(2) in N]` `rArr n_(1) = n_(2)` `therefore f : N to Y ` एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : माना y `in` Y , तब n `in` N का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि : ` y = n^(2)` `rArr y = f (n)` अतः प्रत्येक `y in Y` के लिए `n in N ` का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि y = f (n) इसलिए `f : N to Y` आच्छादक हैं । अतः `f : N to Y ` एकैकी आच्छादक फलन हैं इसलिए यह व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था । `f^(-1)` ज्ञात करना : माना f (x) = y `rArr y = x^(2)` `rArr x = sqrt(y), [ therefore x in N[` `therefore f^(-1)(y) = sqrt(y)` अतः `f^(-1) : Y to N , f^(-1) (y) = sqrt(Y)` व्दारा परिभाषित हैं । |
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| 96. |
gof और fog ज्ञात कीजिए , यदि f (x) = `8x^(3)` और `g (x) = x^(1//3)`. |
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Answer» यहाँ f (x) = `8x^(3)` और `g(x) = x^(1//3)` . `(gof) (x) = g [ f (x) ] = g (8x^(3)) = (8x^(3))^(1//3)` = 2x (fog) (x) = f [ g (x) ] = `f (x ^(1//3) = 8 (x^(1//3))^(3)) = 8x .` |
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| 97. |
एक वास्तविक मान फलन `f:R - {0} to R` की परिभाषा `f(x) = 1/x`. द्वारा कीजिए । इस परिभाषा का प्रयोग केके निम्नलिखित तालिका को पूरा कीजिए । इस फलन का प्रान्त तथा परिसर क्या है ? `{:(x" "-2" "-1.5" "-1" "-0.5" "0.25" "0.5" "1" "1.5" "2),(y=f(x) = 1/x):}` f का प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `{:(x" " 2" " -1.5" " -1" " -0.5" " 0.25" " 0.5 " "1 " " 1.5" " 2),(y=f(x)=1/x" "1/2" "-2/3" "-1" "-2" "4" "2" "1" "2/3" "1/2):}` Domain of `f = R - {0}` Rnage of ` f = R - {0}` |
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| 98. |
माना `R^(+)` सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं । माना f : `R^(+) to R^(+) : f (x) = e ^(x) AA x in R^(+)` . दर्शाइये कि f व्युत्क्रमणीय हैं तथा `f ^(-1) ` ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ f : `R^(+) to R^(+) , f(x) = e^(x) AAx in R^(+) `. f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in R^(+)` , तब `f (x_(1)) = f (x_(2))` `rArr e^(x_(1)) = e^(x_(2))` `rArr x_(1) = x_(2)` `therefore f : R^(+) to R^(+)` एकैकी फलन हैं । f आच्छादक हैं : माना `y in R^(+)` ( सहप्रांत) , तब y = f (x) `rArr y = e^(x)` `rArr x = log y ` अब , f(x) = f ( log y ) = ` e ^(log y ) = y ` अब प्रत्येक `y in R^(+)` , को लिए log y `in R^(+)` इस प्रकार हैं कि f (x) = y . `therefore f : R^(+) to R^(+)` आच्छादक फलन हैं । इसलिए f व्युत्क्रमणीय हैं । यही सिद्ध करना था । `f^(-1)` ज्ञात करना : माना f (x) = y `rArr e^(x) = y ` `rArr x = log y ` `rArr f^(-1) (y) = log y ` अतः `f^(-1) : R^(+) to R^(+)` , जहाँ `f^(-1)(y) = log y AA y in R^(+) ` व्दारा परिभाषित हैं । |
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| 99. |
मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और N पर परिभाषित संबंध R इस प्रकार है कि `R = {(x,y): y = 2x, x, y in N} . R` के प्रान्त , सहप्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए । क्या यह संबंध फलन है ? |
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Answer» Domain R = N , codomain of R = N, Range of R = सभी सम संख्याओं का समुच्चय । |
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| 100. |
यदि f : R `to` R , जहाँ f (x) = `x^(2) - 3x + 2` व्दारा परिभाषित हैं , तो f [ f (x) ] ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ f (x) = `x^(2) - 3x + 2 ` ... (i) अब , f [ f (x) ] = f `( x^(2) - 3x + 2)` , [ समी. (1) से ] `rArr f [ f (x) ] = f (y)` जहाँ `y = x^(2) - 3x + 2 ` `rArr f [ f (x) ] = (x^(2) - 3x + 2)^(2) - 3 (x^(2) - 3x + 2) + 2 ` `rArr f [ f (x) ] = x^(4) + 9x^(2) + 4 - 6x^(3) - 12x + 4x^(2) - 3x + 9x - 6 + 2` `rArr f [ f (x) ] = x^(4) - 6x^(3) + 10x^(2) - 3x`. |
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