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101.

यदि `f : [0, oo) rarr [2, oo), f(x) = x^(2) + 2 AA, x in R` द्वारा परिभाषित है, तो `f^(-1)` निकालें।

Answer» `f^(-1)(x) = sqrt(x-2)`
Discussion
102.

कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम है। प्रतिलोम भी निकाले यदि इसका अस्तित्व है। (i) `g : {5, 6, 7, 8} rarr {1, 2, 3, 4}` जहाँ g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}. (ii) `f : {(1, 2, 3, 4) rarr {10}` जहाँ f = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)} (iii) `h = {2, 3, 4, 5} rarr {7, 9, 11, 13}` जहाँ h = {2, 7}, {3, 9}, {4, 11}, {5, 13}.

Answer» (i) `g^(-1)` का अस्तित्व नहीं है क्योंकि g नहीं है [g(5) = g(7) = 4]
(ii) `f^(-1)` का अस्तित्व नहीं है क्योंकि f एकैकी नहीं है : f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 10
(iii) `h^(-1)` का अस्तित्व है : `h^(-1) = {(7,2), (9, 3), (11, 4), (13, 5)}`.
Discussion
103.

माना कि `f : RR rarr RR` तथा `g : R rarr R`, `f(x) = x^(2)`, तथा `g(x) = x+2, AA x in RR` जहाँ `RR` सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है द्वारा परिभाषित है, तो gof तथा fog निकालें। क्या gof = fog ?

Answer» `(gof)(x) = g[f(x)] = g(x^(2)) = x^(2) + 2`
`(fog)(x) = f[g(x)] = f(x+2) = (x+2)^(2)`
`(gof)(2) = 2^(2) + 2 = 6` अतः तथा `(fog)(2) = (2+2)^(2) = 16`
अतः `gof != fog`
Discussion
104.

माना f (x) = `(1)/(1 - x) ` , तब { fo (fof)} (x) :A. `x AA x in R`B. `x AA x in R - {1}`C. `x AA x in R - {0 , 1} `D. इनमें से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - c
Discussion
105.

माना कि R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि फलन `f : R rarr R` तथा `g : R rarr R`, सभी `x in R` के लिए `f(x) = x^(2) + x + 1` तथा `g(x) = 2x` द्वारा प्रदत्त है। निम्नलिखित निकालें। (i) fog (ii) gof (iii) fof (iv) gog

Answer» (i) `fog : R rarr R, (fog) (x) = 4x^(2) + 2x + 1` द्वारा प्रदत्त है ।
(ii) `gof : R rarr R, (gof) (x) = 2x^(2) + 2x + 2` द्वारा प्रदत्त है ।
(iii) `fof : R rarr R, (fog) (x) = x^(4) + 2x^(3) + 4x^(2) + 3x + 3` द्वारा प्रदत्त है ।
(iv) `gog : R rarr R, (gof) (x) = 4x` द्वारा प्रदत्त है ।
Discussion
106.

मान लीजिए कि N वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है । `f : N to N, f (x) = 2x +1` द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन है । इस परिभाषा का प्रयोग करके नीचे दी गई सारणी को पूरा कीजिए । `{:(x,1,2,3,4,5,6,7),(f(x),f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=,f(5)=,f(6)=,f(7)=):}`

Answer» `{:(x" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7),(f(x)" "f(1)=3" "f(2)=5" "f(3)=7" "f(4)=9" "f(5)=11" "f(6) =13" "f(7) =15):}`
Discussion
107.

माना f : R `to` R और g : R `to` R दो फलन ऐसे हैं कि (fog) (x) = `sinx^(2)` और (gof) (x) = `sin^(2)x` , तब f (x) और g (x) ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ
`(fog)(x) = sinx^(2) and (gof)(x) = sin^(2) x `
`rArr f [ g (x) ] = sin(x^(2)) and g [ f (x) ] = (sin x)^(2)`
`rArr f (x) = sin x and g (x) = x^(2)` .
Discussion
108.

`f(x) = e^(x) AA x in R^(+)`, जहाँ `R^(+)` सभी धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, द्वारा परिभाषित फलन `f : R^(+) rarr R^(+)` पर विचार करें। f का प्रतिलोम फलन निकालें यदि इसका अस्तित्व है।

Answer» `f^(-1)(x) = log x`, जहाँ `f^(-1) : R^(+) rarr R^(+)`
Discussion
109.

माना कि फलन `f : N rarr Y, f(x) = 4x + 3`, द्वारा प्रदत्त है, जहाँ `Y = {y in N: y = 4x + 3}` किसी `x in N` के लिए दिखाएँ कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम निकालें।

Answer» `f^(-1) : Y rarr N` इस प्रकार परिभाषित है: `f^(-1)(y) = (y-3)/(4)` अर्थात `f^(-1)(x) = (x-3)/(4)`
Discussion
110.

यदि `f(x) = (4x+3)/(6x-4), x != (2)/(3)`, दिखाएँ कि सभी `x != (2)/(3)` के लिए fof(x) = x, है| f का प्रतिलोम क्या है ?

Answer» दिया है, `f(x) = (4x + 3)/(6x-4), x != (2)/(3)` ...(1)
चूँकि`x != (2)/(3) :gt f = R - {(2)/(3)}`
First part :
अब fof(x) = f[f(x)] = f(y), जहाँ `y = f(x) = (4x+3)/(6x-4)`
`= (4y + 3)/(6y-4)` [ (1) से ]
`= (4((4x+3)/(6x-4))+3)/(6((4x+3)/(6x-4))-4) = (16 x +12+18 x - 12)/(24x+18 - 24x + 16) = (34x)/(34) = x`
`f^(-1)` निकालना :
1. f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in` domain f ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (4x_(1) + 3)/(6x_(1) - 4) = (4x_(2) + 3)/(6x_(2)- 4)`
`rArr (4x_(1)+3)(6x_(2) - 4) = (6x_(1) - 4) (4x_(2) + 3)`
`rArr 24x_(1)x_(2) + 18x_(2) - 16x_(1) - 12 = 24x_(1)x_(2) - 16x_(2) + 18x_(1) - 12`
`rArr 34x_(1) = 34x_(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)`
2. f आच्छादक है:
माना कि `y = f(x) rArr y = (4x + 3)/(6x - 4)`
`rArr 6yx - 4y = 4x +3`
`rArr (6y - 4)x = 4y +3`
`rArr x = (4y +3)/(6y - 4) in R - {(2)/(3)}` ...(2)
अतः f आच्छादक है।
3. `f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr y =f(x) rArr x = (4y +3)/(6y - 4)` [ (2) से ]
`rArr f^(-1)(y) = (4y+3)/(6y-4)`
अतः `f^(-1)(x) = (4x+3)/(6x-4)`
`f^(-1)` निकालने के लिए दूसरा तरीका :
`y = f(x) rArr y = (4x+3)/(6y-4) rArr x = (4y + 3)/(6y - 4)`
`:.` x के वास्तविक होने के लिए, `6y - 4 != 0 :. y != (2)/(3)`
अतः f का परिसर `R - {(2)/(3)}`
इस प्रकार `f : R rarr - {(2)/(3)} rarr R - {(2)/(3)}`
पहले भाग में हम साबित कर चुके है कि fof(x) : x
अतः `f^(-1) = f :. f^(-1)(x) = f(x) = (4x+3)/(6x-4)`
Discussion
111.

निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम फलन निकालें (यदि उनका अस्तित्व है) (i) `f : RR rarr RR` जो `f(x) = (x^(2))/(x^(2) +1) AA x in RR` द्वारा परिभाषित है, (ii) `f : RR^(+) rarr RR^(+)` जो `f(x) = x^(2) AA x in (RR)^(+)` द्वारा परिभाषित है, जहाँ `RR^(+)` सभी धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

Answer» (i) दिया है, `f : R rarr R` जो `f(x) = (x^(2))/(x^(2) +1)` द्वारा परिभाषित है
स्पष्टतः `f(-1) = f(1) = (1)/(2)`
अतः f एकैकी नहीं है अर्थात यह बहुएकी है।
इसलिए `f^(-1)` का अस्तित्व नहीं है।
(ii) माना कि `R^(+)` के दो स्वेच्छ अवयव x तथा y हैं।
माना कि f(x) = f(y)
`rArr x^(2) = y^(2)`
`rArr x = +- y`
`rArr x=y` (`because x = -y, R^(+)` में संभव नहीं है )
इस प्रकार f एकैक फलन है।
माना कि `y in` सहप्रान्त `R^(+)` तथा `y = f(x)` तो `y = x^(2)`
`:. x = sqrt(y)` तथा `sqrt(y) in` प्रान्त `R^(+)` [ यहाँ `y = x^(2) rArr x = +- sqrt()y` ]
लेकिन `x gt 0 :. x = sqrt()y` (y का धन वर्गमूल)
इस प्रकार y, प्रान्त (domain) के एक अवयव का f के अधीन प्रतिबिम्ब है।
`:.` f आच्छादक है।
चूँकि f एकैकी आच्छादक है अतः यह व्युत्क्रमणीय है।
`f^(-1)` निकालना : माना कि `y = f(x)`
`rArr y = x^(2)`
`rArr x = sqrt()y`
`:. f^(-1)(y) = sqrt()y, AA y in R^(+)` `[because x in R^(+)]`
अतः `f^(-1)(x) = sqrt(x), x in R^(+)`
Discussion
112.

माना कि A = {1, 2, 3, 4}. माना कि f = {(1, 4), (2, 1), (3, 3), (4, 2)} तथा g = {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}. निकालें (i) fog, (ii), gof, (iii) fof

Answer» दिया है, A = {1,2,3,4}
f = {(1,4), (2,1), (3,3), (4,2)}
g = {(1,3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}
f का प्रान्त = {1,2,3,4}
f का परिसर = {4,1,3,2}, g = {1,2,3,4}
g का प्रान्त = {1,2,3,4}, g का परिसर = {3,1,2,4} = {1,2,3,4}
स्पष्टतः f का प्रान्त g = का परिसर
तथा g का प्रान्त = f का परिसर
अतः fog तथा gof परिभाषित हैं।
साथ ही यहाँ fof भी परिभाषित है।
(i) (fog) (1) = f(g(1)) = f(3) = 3
(fog)(2) = f(g(2)) = f(1) = 4
(fog)(4) = f(g(4)) = f(4) = 2
अतः fog = {(1,3), (2, 4), (3,1), (4, 2)}
(ii) (gof)(1) = g(f(1)) = g(4) = 4
(gof)(3) = g(f(3)) = g(3) = 3
(gof)(4) = g(f(4)) = g(2) = 1
अतः gof = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
(iii) (fof)(1) = f(f(1)) = f(4) = 2
(fof) (2) = f(f(2)) = f(1) = 4
(fof)(3) = f(f(3)) = f(3) = 3
(fof)(4) = f(f(4)) = f(2) = 1
अतः fof = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1)}
Discussion
113.

यदि `f : R rarr R, f(x) = 2x + 7` द्वारा परिभाषित है। साबित करें कि f एकैकी आच्छादक है। f का प्रतिलोम भी निकालें ।

Answer» `f^(-1)(x) = (x-7)/(2)`
Discussion
114.

माना कि `f : Z rarr Z, f(x) = x+2` द्वारा परिभाषित है| `f : Z rarr Z` निकालें ताकि `gof = I_(Z)`.

Answer» दिया है, f(x) = x+2
अब `gof = I_(Z)`
`rArr (gof)(x) = I_(Z)(x)` सभी `x in Z`
`rArr g(f(x)) = x`, सभी `x in Z`
`rArr g(x +2) = x`, सभी `x in Z` `[because I_(Z)(x) = x]`
`rArr g(x+2) = x`, सभी `x in Z`
`rArr g(x) = x-2`, सभी `x in Z` [x की जगह x - 2 रखने पर ]
अतः अभीष्ट फलन `g : Z rarr Z` सभी `x in Z` के लिए, `g(x) = x-2`, सभी `x in Z` द्वारा परिभाषित है।
Discussion
115.

माना फलन f : R`to R , f (x) = ax + bAAx in R` से परिभाषित हैं । यदि fof = `I_(R)` , तब a और b ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ f (x) = ax + b .....(i)
अब , `fof = I_(R)`
`rArr (fof) (x) = I_(R) (x) AAx in R` [ `therefore I_(R)(x) = x AA x in R]`
`rArr f (ax + b) = x AA x in R, ` [ समी. (1) से ]
`rArr a (ax +b) + b = x AA in R` , [ समी (1) से ]
`rArr a^(2) x + ab + b = xAA x in R`
`rArr (a^(2) - 1) x + ab + b = 0 AA x in R`.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर ,
`a^(2) - 1 = 0` और ab + b = 0
`rArr a = pm 1` और `b (a + 1) = 0 `
जब a = 1 ,
b (a + 1) = 0 `rArr` 2b = 0 `rArr` b = 0
`therefore a = 1` और b = 0
जब a = -1 ,
b(a + 1) = 0 `AAb in R`.
`therefore` a = -1 और b कोई वास्तविक संख्या हैं ।
अतः a = -1 , b = 0 या a = -1 , b `in` R.
Discussion
116.

माना कि R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। दिखाएँ कि फलन `f : R rarr R`, जो `f(x) = (3x + 1)/(2)` सभी `x in R` के लिए, द्वारा परिभाषित है, एक एकैकी आच्छादक फलन है। f का प्रतिलोम भी निकालें ।

Answer» `f^(-1)(x) = (2x-1)/(3)`
Discussion
117.

दिखाएँ कि `f(x) = (3)/(x)` द्वारा प्रदत्त फलन `f : R - {0} rarr R - {0}` व्युत्क्रमणीय है तह यह स्वयं अपना प्रतिलोम है।

Answer» f को व्युत्क्रमणीय करने के इसे एकैकी आच्छादक (one-one onto) साबित करना पर्याप्त होगा ।
f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in R - {0}` ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब, `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (3)/(x_(1)) = (3)/(x_(2))`
`rArr x_(1) = x_(2)`
इस प्रकार, `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr x_(1) = x_(2)` सभी `x_(1), x_(2) in R - {0}` के लिए इसलिए, f एकैकी है।
f आच्छादक है : माना कि y सहप्रान्त R - {0} का एक स्वेच्छ अवयव है।
अब `f(x) = y rArr (3)/(x) = y rArr x = (3)/(y) in R - {0}`
इस प्रकार प्रत्येक `y in` co-domain `R-{0}` के लिए , `(3)/(y) in` domain `R - {0}` मिलेगा ताकि f(x) = y. इसलिए f एक आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक है इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
Second part : `f^(-1)` निकालना :
माना कि `f(x) = y rArr (3)/(x) = y`
`rArr x = (3)/(y)`
`rArr f^(-1)(y) = (3)/(y)` `[because f^(-1)(y) = x]`
`rArr f^(-1)(x) = (3)/(x)`, सभी `x in R - {0}`
स्पष्टतः, `f(x) = f^(-1)(x)`, सभी `x in R - {0}` [`because f(x) = (3)/(x)` तथा `f^(-1)(x) = (3)/(x)`]
अतः f स्वयं अपना प्रतिलोम है।
Discussion
118.

माना कि A = {1, 2, 3}. A से A में सभी एकैकी निकालें।

Answer» {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} , {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}
{(1, 1), (2, 3), (3, 2)} , {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}, {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}
Discussion
119.

क्या फलन `f : N rarr N` जो f(x) = 2x + 3 से परिभाषित है, (i) एकैकी है? (ii) आच्छादक है?

Answer» (i) जाँच करना कि f एकैकी है या नहीं :
माना कि `x_(1), x_(2) in` domian N.
माना कि `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr 2x_(1) + 3 = 2x_(2) + 3`
`rArr x_(1) = x_(2)`
अतः f एकैकी है।
(ii) जाँच करना कि f आच्छादक है या नहीं:
माना कि `y in` सहप्रान्त `N rArr y` एक प्राकृत संख्या है।
माना कि `y = f(x) rArr y = 2x + 3`
`rArr x = (y-3)/(2) !in` प्रान्त N, जब y = 2
इस प्रकार सहप्रान्त N का अवयव 2, प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। अतः f आच्छादक नहीं ।
Discussion
120.

फलन `f : R_(+) rarr [-5, oo)` जो `f(x) = 9x^(2) + 6x - 5` द्वारा प्रदत्त है, पर विचार करें जहाँ `R_(+)` सभी अऋणात्मक संख्याओं का समुच्चय है। दिखाएँ कि f व्युत्क्रमणीय है तथा `f^(-1)(y) = (sqrt(y+6)-1)/(3)`.

Answer» दिया है, `f : R_(+) rarr [-5, oo)`, जहाँ `f(x) = 9x^(2) + 6x - 5` ...(1)
यह जाँच करना कि f एकैकी है या नहीं :
माना कि `x_(1), x_(2) in R_(+)` ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr 9x_(1)^(2) + 6x_(1) - 5 = 9x_(2)^(2) + 6x_(2) - 5`
`rArr 9(x_(1)^(2) - x_(2)^(2)) +6(x_(1) - x_(2)) = 0`
`rArr 9(x_(1) - x_(2))(x_(1)+x_(2)) + 6 (x_(1)-x_(2)) = 0`
`rArr (x_(1) - x_(2))[9(x_(1) + x_(2))+6] = 0`
`rArr x_(1) - x_(2) = 0`
`[because x_(1).x_(2) in R_(+) :. 9(x_(1) + x_(2)) + 6 != 0]`
`rArr x_(1) - x_(2)`
अतः f एकैकी है।
यह जाँच करना कि f आच्छादक है या नहीं :
माना कि y, सहप्रान्त `[-5 oo)` का एक स्वेच्छ अवयव है।
माना कि f(x) = y
अब `y = f(x) rArr y = 9x^(2) + 6x - 5`
`rArr 9x^(2) + 6x - (5+y) = 0`
`rArr x = (-6 +-sqrt(35+36(5+y)))/(18)`
`rArr x = (-6+-6sqrt(6+y))/(18)`
`rArr x = (-1+- sqrt(6+y))/(3)`
`rArr x = (-1+- sqrt(6+y))/(3) = (sqrt(6+y)-1)/(3) [because y in [-5,oo] :. x ge 0]`
`rArr x in R_(+)`
अतः f आच्छादक है।
`f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr x = (sqrt(6+y)-1)/(3)`
`rArr f^(-1)(y) = (sqrt(6+y)-1)/(3)`
Discussion
121.

यदि A = {1, 2, 3}, B = {0, 1} तो A से B में चार फलन निकालें जो एकैकी नहीं है।

Answer» f = {(1, 0), (2, 0), (3, 0)}
g = {(1, 0), (2, 0), (3, 1)}
h = {(1, 0), (2, 1), (3, 1)}
u = {(1, 0), (2, 1), (3, 0)}
ऊपर दिए गए फलनों में कोई एकैकी नहीं है क्योंकि A के दो भिन्न अवयवों के प्रतिबिम्ब समान है।
Discussion
122.

माना f : { 1,2,3} `to` ( a, b,c} एक एकैकी आच्छादक फलन इस प्रकार हैं कि f (1) = a , f (2) = b और f (3) = c , तो सिद्ध कीजिए कि फलन g : { a , b ,c } `to` { 1,2,3} का अस्तित्व ऐसा हैं ताकि gof = `I_(x) ` तथा fog = ` I_(y)` , जहाँ X = { 1,2,3} तथा Y = { a, b ,c} हो ।

Answer» यहाँ X = { 1,2,3} और Y = { a , b , c} .
चूँकि f : X `to`Y , जहाँ f (1) = a , f (2) = b , f (3) = c
और g : Y `to` X, जहाँ g(a) = 1 , g (b) = 2 , g (c) = 3 दो फलन हैं ।
अब , (gof ) (1) = g [ f (1) ] = g (a) = 1
(gof ) (2) = g [ f (2)] = g (b) = 2
(gof) (3) = g [ f (3) ] = g (c) = 3
अतः goy : X `to` X परिभाषित हैं -
gof = { (1,1) (2,2) (3,3) }
= X पर तत्समक फलन ।
`rArr gof = I_(X)` यही सिद्ध करना था ।
पुनः (fog)(a) = f [ g (a)] = f (1) = a
(fog)(b) = f [ g (b) ] = f (2) = b
(fog)(c) = f [ g(c)]=f(3)=c
अतः fog : `Y to Y` परिभाषित है -
gof = { (a,a),(b,b) ,(c,c)} =Y पर तत्समक फलन
`= gof =Iy` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
123.

यदि A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} तो A से B में सभी संभव एकैकी फलन निकालें ।

Answer» {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} , {(1, 2), (3, 6), (5, 4)}, {(1, 4), (3, 2), (5, 6)}
{(1, 4), (3, 6), (5, 2)}, {(1, 6), (3, 2), (5, 4)}, {(1, 6), (3, 4), (5, 2)}
Discussion
124.

माना कि `f : R rarr R` एक फलन है, जो सभी `x in R` के लिए `f(x) = ax+b` द्वारा परिभाषित है। अचर a और b निकालें ताकि `fof = I_(R)`.

Answer» दिया है, `f(x) = ax + b` ...(1)
अब, `fof = I_(R)`
`rArr (fof)(x) = I_(R)(x)`, सभी `x in R`
`rArr f(f(x)) = x`, सभी `x in R` `[because I_(R)(x) = x` सभी `x in R`]
`rArr f(ax + b) = x`, सभी `x in R`
`rArr a(ax +b) + b = x`, सभी `x in R`
`rArr (a^(2)-1)x+ab+b = 0`, सभी `x in R`
x के समान घात के गुणांकों को बराबर करने पर, हमें मिलता है
`a^(2) - 1 = 0` तथा `ab + b = 0`
[`because (a^(2) -1)x + (ab +b) = 0, x` में तादात्म्य (identity) है ]
`rArra = +- 1` तथा `b(a+1) = 0`
जब `a=1, b(a+1) = 0 rArr 2b-0 rArr b = 0`
`:. a = 1` तथा b = 0
तथा जब `a = -1, b(a+1)= 0`, सभी `b in R`
`:. a = -1` तथा b कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है
अतः, या तो a = 1 तथा b = 0 या a = -1 तथा `b in R`
Discussion
125.

दिखाएँ कि `f : [-1, 1] rarr RR, f(x) = (x)/(x+2), x != -2` द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन `f : [-1, 1] rarr` (f का परिसर ), का प्रतिलोम निकालें।

Answer» दिया है `f : [-1, 1] rarr R` जो निम्न प्रकार परिभाषित है,
`f(x) = (x)/(x+2), x != -2` ...(i)
f एकैकी है : माना कि `x_(1), x_(2) in [-1, 1]` ताकि `f(x_(1)) = f(x_(2))`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr (x_(1))/(x_(1)+2) = (x_(2))/(x_(2) + 2)`
`rArr x_(1)x_(2) + 2x_(1) = x_(1)x_(2) + 2x_(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)`
अतः f एकैकी है।
माना कि B, f का परिसर है।
चूँकि f एकैकी है, इसलिए फलन `f : [-1, 1] rarr B` के प्रतिलोम का अस्तित्व है।
`f^(-1)` निकालना :
माना कि `y = f(x) rArr y = (x)/(x+2)`
`rArr = yx + 2y = x`
`rArr (1-y) x = 2y`
`rArr x = (2y)/(1-y)`
`rArr f^(-1)(y) = (2y)/(1-y)`
`:. f^(-1)(x) = (x)/(1-x)`
Discussion
126.

दिखाएँ कि `f : N rarr N` जो `f(x) = {{:("x+1, यदि x विषम है"),("x-1, यदि x सम है"):}` से परिभाषित है, एक एकैकी आच्छादक है।

Answer» साबित करना है कि f एकैकी है:
माना कि m, `n in` प्रान्त N
Case I. यदि m और n दोनों सम हैं, तो
`f(m) = f(n) rArr m-1 = n-1`
`rArr m=n`
Case II. यदि m और n दोनों विषम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1`
`rArr m = n`
Case III. यदि m विषम तथा n सम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m+1 = n+1`
`:. f(m) !=f(n)` [`because m+1` सम है तथा n-1 विषम है]
Case IV. यदि m सम तथा n विषम है, तो
`f(m) = f(n) rArr m-1 = n+1`
लेकिन m-1 विषम है तथा n+1 सम है।
`:. m-1 != n+1`
`:. f(m) != f(n)`
इस प्रकार सभी स्थितियों मे
`f(m) = f(n) rArr m = n`
अतः f एकैकी है।
साबित करना है कि f आच्छादक है:
माना कि k सहप्रान्त N का एक स्वेच्छ अवयव है।
Case I. यदि k विषम है, तो (k+1) सम होगा ।
अब `f(k+1) = (k+1)-1` [ f की परिभाषा से ]
= k
इस प्रकार `k + 1 in` प्रान्त का N, k प्रतिबिम्ब है।
Case II. यदि k सम , तो (k-1) विषम होगा
`f(k-1) = (k-1) + 1` [f की परिभाषा से ]
इस प्रकार `k in` सहप्रान्त `N, k -1` का प्रतिबिम्ब है।
अतः सहप्रान्त N का प्रत्येक अवयव, प्रान्त के किसी-न-किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
अतः f आच्छादक है।
इस प्रकार f एकैकी आच्छादक है।
Discussion
127.

यदि `f : A rarr B` एकैकी आच्छादक है, तो दिखाएँ कि f एक व्युत्क्रमणीय फलन है।

Answer» दिया है, `f : A rarr B` एक फलन है तथा f एकैकी आच्छादक है।
माना कि `y in B rArr` ऐसा `x in A` मिलेगा `f(x) = y` ताकि [`because f` आच्छादक है]
चूँकि f एकैकी है, इसलिए y, A के केवल एक x का प्रतिबिम्ब होगा ।
इस प्रकार प्रत्येक `y in B`, के लिए अद्वितीय `x in A` मिलेगा ताकि `f (x) = y`.
अब हम एक फलन `g : B rarr A, g(y) = x, y in B` के लिए परिभाषित करते हैं, जहाँ
f(x) = y.
इस प्रकार g, B से A में एक फलन है ताकि
`g(y) = x hArr f(x) = y`
अतः g, f का प्रतिलोम है।
Second method: माना कि `y in B`
अब `y in B rArr` ऐसा `x in A` मिलेगा ताकि f(x) = y [`because f` आच्छादक है ]
लेकिन f एकैकी है, इसलिए `x in A` अद्वितीय होगा
अब हम एक फलन `g : B rarr A, g(y) = x, y in B`, परिभाषित करते है जहाँ f(x) = y.
अब `(fog)(y) = f(g(y)).f(x) = y` सभी `y in B` के लिए
= f(x) `[because g(y) = x]`
=y `[because f(x) = y]`
अतः `fog = I_(B)`
उसी तरह `(gof)(x) = f(f(x)) = g(y) = x`, सभी `x in A` के लिए
अतः `gof = I_(A)`
इस प्रकार `fog = I_(B)` तथा `gof = I_(A)`
अतः g, f का प्रतिलोम है और इसलिए f व्युत्क्रमणीय है।
Discussion
128.

यदि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7} तो फलन बनाएँ जो (i) एकैकी है (ii) बहुएकी है।

Answer» {(2, 2), (3, 5), (4, 7)} एकैकी फलन है।
{(2, 2), (3, 5), (4, 5)} एकैकी फलन नहीं है।
Discussion
129.

माना कि A = {1, 2}. A से A में सभी एकैकी फलन निकालें ।

Answer» माना कि `f : A rarr A` एक एकैकी फलन है।
अब दो समानताएँ है: f(1) या f(1) = 2
Case I. जब f(1) = 1
चूँकि `f : A rarr A` एकैकी है तथा `f(1) = 1 :. f(2) = 2`
इस प्रकार, इस स्थिति में f(1) = 1 तथा f(2) = 2
Case II. जब f(2) = 2
चूँकि `f : A rarr A` एकैकी है तथा `f(1) = 2, :. f(2) = 1`,
इस प्रकार , इस स्थिति में f(1) = 2 तथा f(2) = 1
अतः A से A में केवल दो ही एकैकी फलन f तथा g होंगे ताकि
f(1) = 1, f(2) = 2 अर्थात, f = {(1, 1), (2,2)}
g(1) = 2, g(2) = 1 तथा g = {(1, 2), (2, 1)} अर्थात
Discussion
130.

फलनों के एकैकी तथा आच्छादक होने की जाँच करें: `f : R rarr R`, जो `f(x) = x^(3)` से परिभाषित है। जहाँ [x], x से छोटा या बराबर महत्त्व पूर्णांक है।

Answer» Correct Answer - एकैकी तथा आच्छादक
Discussion
131.

माना कि `f : R rarr R, f(x) = x^(2)` से परिभाषित है। क्या f एकैकी है?

Answer» Correct Answer - नहीं
Discussion
132.

माना कि `f : A rarr B` में एकैकी फपन है ताकि का परिसर f = {b}. A में अवयवों की संख्या बताएँ।

Answer» Correct Answer - एक
Discussion
133.

निम्नलिखित फलन के प्रकार की जाँच करें `f : R rarr R` जो इस प्रकार परिभाषित है (i) `f(x) = x^(3)` (ii) `f(x) = {{:("1, यदि x परिमेय है" ), ("-1, यदि x अपरिमेय है" ):}`

Answer» (i) एकैकी आच्छादक (ii) न एकैकी और न आच्छादक
Discussion
134.

माना कि `f : N rarr N` इस प्रकार परिभाषित है, `f(n) = {{:((n+1)/(2)",यदि n विषम है"),((n)/(2) ",यदि n सम है"):}` जाँच करें कि f एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादक है। अपने उत्तर का औचित्य दें ।

Answer» स्पष्टतः `f(6) = (6)/(2) = 3` तथा `f(5) = (5+1)/(2) = 3`
अतः `5 != 6` लेकिन f(5) = f(6)
इसलिए, f एकैकी नहीं है।
स्पष्टतः प्रत्येक `m in N` के लिए ऐसा `2m - 1 in N` है ताकि
`f(2m-1) = (2m-1+1)/(2) = m`.
अतः सहप्रान्त N का प्रत्येक अवयव m, प्रान्त के किसी-न-किसी अवयव
[यहाँ (2m-1)] का f के अधीन प्रतिबिम्ब है।
अतः f आच्छादक है।
चूँकि f एकैकी नहीं है। अतः f एकैकी आच्छादक नहीं है।
Discussion
135.

फलनों के एकैकी तथा आच्छादक होने की जाँच करें: `f : R rarr R`, जो `f(x) =[x]` से परिभाषित है। जहाँ [x], x से छोटा या बराबर महत्त्व पूर्णांक है।

Answer» न तो एकैकी और न आच्छादक
Discussion
136.

प्रत्येक स्थिति में जाँच करें कि फलन आच्छादक, एकैकी या एकैकी आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य दें : (i) `f: RR rarr RR, f(x) = 1+x^(2)` से परिभाषित (ii) `f : RR rarr RR, f(x) = 3-4x` से परिभाषित

Answer» न एकैकी और न आच्छादक एकैकी आच्छादक
Discussion
137.

माना कि `A = {x : -1 le x le 1} = B` . माना कि `f : A rarr B, f(x) = x^(2)` से परिभाषित है जाँच करें कि f एकैकी, बहुएकी या आच्छादक है।

Answer» जाँच करना कि f एकैकी है या नहीं:
माना कि `x_(1), x-(2) in A`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr x_(1)^(2) = x_(2)^(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)` या `x_(1) = -x_(2)`, जहाँ `x_(1), x_(2) in A`
यहाँ `x_(1) = x_(2)` भी संभव है।
स्पष्टतः `f((1)/(2)) = f(-(1)/(2))`, तथा `(1)/(2) != -(1)/(2)`
अतः f एकैकी नहीं है।
दूसरी विधि : चूँकि `f(x) = x^(2)`
`:. f(-1) =(-1)^(2) = 1` तथा `f(1) = 1^(2) = 1`
अतः A के दो भिन्न अवयवों 1 और -1 का f के अधीन प्रतिबिम्ब एक ही है।
अतः f एकैकी फलन नहीं है।
यह एक बहुएकी फलन है।
(ii) जाँच करना कि f आच्छादक है या नहीं :
माना कि `y in B rArr -1 le y le 1`
लेकिन `f(x) = x^(2) ge 0 :. -1 !in B`
A के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतः f आच्छादक नहीं है।
इस प्रकार f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Discussion
138.

माना कि A और B दो अरिक्त समुच्चय हैं। दिखाएँ कि `A xx B` से `B xx A` में एक एकैकी आच्छादक फलन का अरिक्त है।

Answer» फलन `f : A xx B rarr B xx A` निम्न प्रकार से परिभाषित है `f[(a, b)] = (b, a), AA (a, b) in A xx B]`
Discussion
139.

माना कि A और B दो समुच्चय हैं। दिखाएं कि फलन `f : A xx B rarr B xx A` जो f(a, b) = (b, a) से परिभाषित है एक एकैकी आच्छादक फलन है।

Answer» दिया है `f(a, b) = (b, a), AA (a, b) in A xx B`
f एकैकी है:
माना कि `x_(1) = (a, b)` तथा `x_(2) = (c, d)` समुच्चय `A xx B` के दो स्वच्छ अवयव है।
तो `a in A, b in B, c in A, d in B`
अब `f(x_(1)) = f(x_(2))`
`rArr f((a, b)) = f((c, d))`
`rArr (b, a) = (c, d)`
[f की परिभाषा से ]
`rArr` b=d तथा a = c [क्रमित युग्मो से समानता से ]
`rArr` a = c तथा b = d
`rArr x_(1) = x_(2)`
इस प्रकार `f(x_(1)) = f(x_(2)) rArr x_(1) = x_(2)` (केवल)
अतः f एकैकी है।
f आच्छादक है:
माना कि y = (b, a) सहप्रान्त `B xx A` का कोई अवयव है।
तो `b in B` तथा `a in A`
`rArr a in A` तथा `b in B`
`rArr (a, b) in A xx B`
f की f((a, b)) = (b, a) परिभाषा से
इस प्रकार सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव (b, a) प्रान्त के अवयव (a, b) का प्रतिबिम्ब है।
अतः f एक आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
Discussion
140.

माना कि `f : R rarr R` इस प्रकार परिभाषित है `f(x) = {{:("1, यदि" x gt 0),("0, यदि " x = 0),("-1, यदि " x lt 0):}` फलन f के एकैकी आच्छादक होने की जाँच करें।

Answer» न तो एकैकी और न आच्छादक
Discussion
141.

माना f : R `to` R f(x) = 10 x + 7 व्दारा परिभाषित फलन है । एक ऐसा फलन g : R `to` R ज्ञात कीजिए , जिसके लिए gof = fog = `I_(R)`.

Answer» चूँकि fog = `I_(R)`
`rArr (fog)(x) = I_(R)(x) AA x in R`
`rArr f [ g (x) ] = x AAx in R`
`rArr 10g (x) + 7 = x AA x in R`
`rArr 10g (x) = x - 7 AA x in R`
`rArr g(x) = (x - 7) /(10) AA x in R` .
अतः फलन g : R `to , g(x) = (x - 7 )/(10)` व्दारा परिभाषित हैं ।
Discussion
142.

माना लीजिए कि A = R - {3} तथा B = R - {1} हैं । f (x) = `(x - 2)/( x - 3) ` व्दारा परिभाषित फलन `f : A to B` पर विचार कीजिए । क्या f एकैकी तथा आच्छादक हैं ? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए ।

Answer» यहाँ f (x) = `( x - 2)/(x - 3) , x in A,` जहाँ A = R - { 3 }.
f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in A` , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr (x_(1) - 2)/(x_(1) - 3) = (x_(2) - 2) /(x_(2) - 3) `
`rArr (x _(1) - 2) ( x_(2) - 3) = (x_(1) - 3)( x_(2) - 2)`
`rArr x_(1) x_(2) - 3x_(1) - 2x_(2) + 6 = x_(1)x_(2) - 2x_(1) - 3x_(2) + 6 `
`rArr x_(1) = x_(2)`
अर्थात् `f (x_(1) ) = f (x_(2)) rArr x_(1) = x_(2) AA x_(1) , x_(2) in A`
`therefore f : A to B ` एकैकी हैं ।
f आच्छादक हैं : माना y , B का स्वेच्छ अवयव हैं , तब
f (x) = y
`rArr (x - 2)/(x - 3) = y `
`rArr x - 2 = y ( x - 3) `
`rArr x - 2 = xy - 3y `
`rArr x( l - y ) = 2 - 3y `
`rArr x = (2 - 3y ) /(1 - y ) in A , x ne 3.`
अब , f (x) = `f ((2 - 3y ) / ( 1 - y ) ) = ((2 - 3y)/(1- y) - 2 )/((2 - 3y )/(1 - y) - 3)`
` = (2 - 3y - 2 + 2y )/(2 - 3y - 3 + 3y ) = y`
अतः प्रत्येक `y in B` के लिए `( 2 - 3y ) /( 1 - y) in A` का अस्तित्व ऐसा हैं कि f (x) = y .
`therefore` f आच्छादक हैं ।
अतः `f : A to B` एकैकी आच्छादक फलन हैं ।
यही सिद्ध करना था ।
Discussion
143.

सिद्ध कीजिए कि f (x) = [x] व्दारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R`to` R न तो एकैकी है और न आच्छादक हैं , जहाँ [ x ] , x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरुपित करता हैं ।

Answer» यहाँ f (x) = [ x ] , जहाँ ` x in R` .
f एकैकी हैं : माना `x_(1) = 2*5 "और" x_(2) = 2` दो वास्तविक संख्याएँ हैं , तब
`f (x_(1)) = f ( 2 * 5 ) = [ 2 * 5 ] = 2 `
` f (x_(2)) = f (2) = [ 2 ] = 2 `
`therefore f (x_(1)) = f ( x _(2)) , x_(1) ne x_(2)` के लिए ,
`therefore` f एकैकी फलन नहीं हैं ।
f आच्छादक हैं : माना y = `2*5 in R` ( सहप्रांत) का स्वेच्छ अवयव हैं ।
`therefore f (x) = y `
`rArr [x] = 2*5`
जो कि संभव नहीं है क्योंकि [x] सदैव पूर्णांक संख्या हैं ।
`therefore f ` आच्छादक फलन नहीं हैं ।
अतः f न एकैकी फलन हैं और न आच्छादक फलन हैं । यही सिद्ध करना हैं ।
Discussion
144.

माना f ,g और h , R से R तक दिये गये फलन हैं । सिद्ध कीजिए कि : (fg ) oh = (foh ) (goh ).

Answer» `(f*g)oh(x) =(f*g)[h(x)]`
`=f[h(x)]*g(h(x)]`
`=(fog)(x)*(goh)(x)`
`=(foh)*(goh)(x)`
`=(foh)*(goh)(x)`
`therefore (f*g)oh=(foh)*(goh)` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
145.

फलन `f : {1, 2, 3} rarr {a, b, c}` पर विचार करें जो इस प्रकार दिया जाता है, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c. `f^(-1)` का प्रतिलोम `(f^(-1))^(-1)` निकालें । यह भी साबित करें कि `(f^(-1))^(-1) = f`.

Answer» `(f^(-1))^(-1) : {1,2,3} rarr {a,b,c}` इस प्रकार परिभाषित है: `(f^(-1))^(-1) : {(1,a), (2, b), (3, c)} = f`
Discussion