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51.

मनुष्य A के अगले 10 वर्ष और जीवित रहने की प्रायिकता `(1)/(4)` तथा मनुष्य B के अगले 10 वर्ष और जीवित रहने की `(1)/(3)` प्रायिकता है | निम्नलिखित घटनाओ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए- (i) अगले वर्षों में दोनों जीवित रहेंगे | (iii) अगले 10 वर्षों में कम से कम एक अवश्य जीवित रहेगा |

Answer» माना `E_(1):A` के अगले 10 वर्षों तक जीवित रहने की घटना |
`E_(2):B` के अगले वर्षों तक जीवित रहने की घटना |
तब `" "P(E_(1))=(1)/(4),P(E_(2))=(1)/(3)" "(दिया है)"`
सपष्टतः `E_(1)" व "E_(2)` स्वतन्त्र घटनाएँ है |
(i) अगले वर्षों 10 तक दोनों के जीवित रहने की प्रायिकता
`=P(E_(1)capE_(2))`
`=P(E_(1))P(E_(2))(because E_(1)" व "E_(2)" दोनों स्वतन्त्र है |")`
(ii) अगले 10 वर्षों तक कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता
`=P(E_(1)cupE_(2))`
`=P(E_(1))+P(E_(2))-P(E_(1)capE_(2))`
`=(1)/(4)+(1)/(3)-(1)/(12)=(6)/(12)=(1)/(2)`
Discussion
52.

A के लक्ष्य साधने की प्रायिकता `(1)/(3) "तथा "B` के लक्ष्य साधने की प्रायिकता `(2)/(5)` है | यदि A और B दोनों के लक्ष्य को साधने की प्रायिकता क्या होगी ?

Answer» माना `E_(1)=A` के लक्ष्य साधने की घटना
`E_(2)=B` के लक्ष्य साधने की घटना
`P(E_(1))=(1)/(3)" तथा "P(E_(2))=(2)/(5)`
`because E_(1) "तथा "E_(2)` स्वतन्त्र घटनाएँ है |
`P(E_(1)capE_(2))=P(E_(1))cdotP(E_(2))=(1)/(3)xx(2)/(5)=(2)/(15)`
P (लक्ष्य साधने के लिए) =P (A या B)
`=P(E_(1)cupE_(2))`
`=P(E_(1))+P(E_(2))-P(E_(1)capE_(2))`
`=(1)/(3)+(2)/(5)-(2)/(15)=(3)/(5)`
Discussion
53.

एक पाँसे की दो फेंकों में प्राप्त छक्कों की संख्या का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `(1)/(3), (5)/(8), (sqrt(5))/(3sqrt(2))`
Discussion
54.

यदि एक पाँसा 5 बार फेंका जाता है तो 6 के 3 बार प्रकट होने की प्रायिकता है-A. `(125)/(3888)`B. `(125)/(3888)`C. `(625)/(63328)`D. `(250)/(2332)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
55.

एक थैले में 17 टिकट है जिन पर 1 से 17 तक कि संख्याएँ लिखी है | एक टिकट खिंचा जाता है और फिर दूसरा टिकट पहले को पुर्नस्थापित किये बिना ही खिंच लिया जाता है | दोनों टिकटों के सम संख्या प्रदर्शित करने की प्रायिकता ज्ञात करो |

Answer» Correct Answer - `(7)/(34)`
Discussion
56.

पाँसे के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है | यदि 'पाँसों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना' एक सफलता मानी जाती है तो 2 सफलताओ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `(25)/(216)`
Discussion
57.

एक अनभिनत पाँसा दो बार फेंका जाता है, तो पहली बार पाँसे पर 4,5 या 6 तथा दूसरी बार पाँसे पर 1,2,3 या 4 आने की प्रायिकता ज्ञात करों |

Answer» प्रतिदर्श समष्टि `S={1,2,3,4,5,6}`
माना A= पहली बार में, 4,5 या 6 आने की घटना
B= दूसरी बार में 1,2,3 या 4 आने की घटना
`therefore P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)" तथा "P(B)=(4)/(6)=(2)/(3)`
A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ है |
`therefore" प्रायिकता "=P(AcapB)`
`=P(A)cdotP(B)`
`=(1)/(2)xx(2)/(3)=(1)/(3)`
Discussion
58.

एक पाँसा फेंका जाता है | यदि उस पर एक सम संख्या प्रकट होती है तो इसके 2 से बड़ी संख्या होने कि प्रायिकता क्या होगी ?

Answer» Correct Answer - `(2)/(3)`
Discussion
59.

एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन निम्न्वत है- ज्ञात कीजिए- (i) k (ii) `P(Xgt3)` (iii) `P(Xgt6)` (iv) `P(0ltXlt3)`

Answer» Correct Answer - `(i) (1)/(10), (ii) (1)/(2), (iii) (17)/(100), (iv) (13)/(10)`
(i) `overset(7)underset(x=0)Sigmap(k)=1`
`rArr" "k+2k+2k+3k+2k^(2)+k^(2)+7k^(2)+k=1`
`rArr" "10k^(2)+9k-1=0`
`rArr" "(10k-1)(k+1)=0`
`rArr" "k=(1)/(10)" या "k=-1`
`because k` ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए `k=(1)/(10)`
(ii) `P(Xgt3)=P(X=4)+P(X=5)+(X=6)+P(X=7)`
`=3k+k^(2)+2k^(2)+7k^(2)+k`
`=(3)/(10)+(1)/(100)+(7)/(100)+(1)/(10)`
`=(4)/(10)+(1)/(10)=(5)/(10)=(1)/(2)`
Discussion
60.

एक पाँसा एक बार फेंका जाता है | यदि यादृच्छिक चर X इस प्रकार परिभाषित है-`X={{:(1," यदि पाँसे पर सम संख्या प्राप्त होती है"),(0, "यदि पाँसे पर विषम संख्या प्राप्त होती है"):}` X का माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `(1)/(2), (1)/(4)`
Discussion
61.

प्रथम 6 धनपूर्णाकों में से दो संख्याएँ यदृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गयी | मान ले X दोनों संख्याओ में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है | E(X) का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - `(14)/(3)`
Discussion
62.

52 ताशों की हड्डी से एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते है | यदि निकलने के बाद पुनः ताश की हड्डी में नहीं रखा जाता है तो दोनों पत्तों के ईट का होने की प्रायिकता क्या होगी ?

Answer» माना `E_(1):` पहली निकाल में ईट का पत्ता निकालने की घटना
`E_(2):` दूसरी निकाल में पुनः ईट का पत्ता निकालने की घटना
तब `P(E_(1))=(""^(13)C_(1))/(""^(52)C_(1))=(13)/(52)=(1)/(4)`
स्पष्टतः एक पत्ता निकालने के बाद गड्डी में शेष 51 पत्ते बचते है जिनमें से ईट के
पत्तों की संख्या `=12(=13-1)`
प्रतिबन्धी प्रायिकता की परिभाषा से, दूसरी निकाल में ईट का पत्ता निकालने की प्रायिकता जबकि पहली निकाल में ईट का पत्ता निकल चूका है |
`=P(E_(2)//E_(1))=(""^(12)C_(1))/(""^(51)C_(1))=(12)/(51)=(4)/(17)`
इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता `=P(E_(1)capE_(2))`
`=P(E_(1))cdot P(E_(2)//E_(1))`
`=(1)/(4)xx(4)/(17)=(1)/(17)`
Discussion
63.

बारम्बारता बंटन ज्ञात करो | जिसके लिए माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 12 व 3 है |

Answer» द्विपद बंटन के लिए माध्य =np = 12
प्रसरण =npq=3 (दिया है)
`therefore" "q=(1)/(4)`
अतः `" "p=1-(1)/(q)=1-(1)/(4)=(3)/(4)`
अब `" "np=12`
`rArr" "n=(12)/(p)=(12xx(4)/(3))=16`
या `" "p=(3)/(4), q=(1)/(4), n=16`
अतः द्विपद बंटन निम्न प्रकार है-
`P(X=r)=""^(6)C_(r)((3)/(4))^(r)((1)/(4))^(16-r)`
`r=0,1,2,...,15`
Discussion
64.

एक पाँसा 20 बार फेंका जाता है | 4 से बड़ा अंक प्राप्त करना ही सफलता है | अतः माध्य तथा प्रसरण ज्ञात करो |

Answer» पाँसे एक सामान्य फेंक में p=4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता `=(2)/(6)=(1)/(3)`
`rArr" "q=1-p=1-(1)/(3)=(2)/(3)`
`n=20`
अतः`" माध्य "=np=(1)/(3)xx20=(20)/(3)`
प्रसरण `=npq=20xx(1)/(3)xx(2)/(3)=4.44`
Discussion
65.

किसी प्रयोग के 6 प्रेक्षणों के लिए माना X एक द्विपद चर है जो निम्न सम्बन्ध को सन्तुष्ट करता है- `9P(X=4)=P(X=2)` सफल होने कि प्रायिकता ज्ञात करो |

Answer» n=6
यदि p सफल होने कि प्रायिकता है |
तो `" "P(X=r)=""^(6)C_(r)p^(r )q^(6-r)`
दिया है- `" "9 cdot P(X=4)=P(X=2)`
`rArr" "9 cdot ""^(6)C_(4)p^(4)q^(6-4)=""^(6)C_(2)p^(2)q^(6-2)`
`rArr" "9 cdot ""^(6)C_(2)p^(2)=""^(6)C_(2)q^(2)`
`rArr" "9p^(2)=q^(2)=(1-p)^(2)`
`rArr" "8p^(2)+2p-1=0`
`rArr" "p=(-2+sqrt(4+32))/(16)" "` [-चिन्ह छोड़ देने पर]
`rArr" "p=(-2+6)/(16)=(4)/(16)=(1)/(4)`
Discussion
66.

एक सन्दूक में 3 काले तथा 4 सफेद मार्बल रखे हुए है इनमें से दो खींचे जाते है | दोनों मार्बल काले हो, इसकी प्रायिकता ज्ञात करो यदि दूसरा मार्बल निकालने से पहले प्रथम मार्बल को पुर्नस्थापित न किया गया हो |

Answer» Correct Answer - `(1)/(7)`
Discussion
67.

एक मशीन तीन घटकों से होकर संचालित होती है | पहले, दूसरे तथा तीसरे घटकों के विफल होने की प्रायिकताएँ क्रमश: 0.14, 0.10तथा 0.05 है | मशीन के विफल होने की प्रायिकता ज्ञात करो |

Answer» Correct Answer - `0.2647`
Discussion
68.

एक अस्पताल में डॉक्टरों के दो पद रिक्त है | साक्षात्कार हेतु एक डॉक्टर तथा उसकी पत्नी आते है | डॉक्टर के चुने जाने की प्रायिकता `(1)/(10)` तथा उसकी पत्नी के चुने जाने की प्रायिकता `(1)/(8)` है | निम्न की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए | (i) दोनों चुन लिये जाये | (ii) केवल एक चुना जाये | (iii) दोनों में कोई न चुना जाये |

Answer» Correct Answer - `(i) (1)/(80) (ii) (17)/(80) (iii) (63)/(80)`
Discussion