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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

सिद्ध कीजिये कि ` | sin x | ` एक सतत फलन है |

Answer» माना ` h ( x ) = |sin x | `
तथा ` f ( x ) = sin x ` तथा ` g ( x ) = |x| `
` therefore (gof) (x) = g [f ( x )] = g (sin x ) `
` = | sin x | `
` rArr (gof ) (x) = h( x) `
अब, क्योंकि ` f (x) = sinx ` तथा ` g (x ) = |x| ` एक सतत फलन है, अतः इसका संयोजन gof भी सतत होगा | इसलिए ` h ( x ) = |sinx| ` एक सतत फलन होगा |
Discussion
2.

सिद्ध कीजिये कि फलन ` f ( x ) = x - [x] ` द्वारा परिभाषित है, सभी पूर्णाक बिंदुओं पर असतात है | जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को सूचित करता है |

Answer» दिया है : ` f ( x ) = x - [x] `
माना r कोई पूर्णांक है , तब
` f ( r) = r - [r] `
बायीं सीमा : इस स्थिति में ` x lt r rArr [x] = r -1 `
` therefore ` बायीं सीमा = ` lim _ ( x to r ^-) f ( x ) = lim _ ( x to r^-) ( x - [x]) `
` = r - ( r - 1 ) = 1 `
दायीं सीमा : इस स्थिति में ` x gt r rArr [x] = r `
` therefore lim _ ( x to r ^+) f ( x ) = lim _ ( x to r^+) ( x - [x]) = r - r = 0 `
स्पष्टतः बायीं सीमा `ne ` दायीं सीमा
` rArr r ` के प्रत्येक मान के लिए फलन ` f ( x ) , x = r ` पर सतत नहीं है |
Discussion
3.

फलन ` f(x) = {{:(4x + a"," x lt 1), ( 6" ," x = 1), ( 3x - b"," xgt1 ):}` यदि `x = 1 ` पर सतत है, तो a व b के मान ज्ञात कीजिये |

Answer» Correct Answer - ` a = 2, b = - 3 `
Discussion
4.

दिया है - ` f( x ) = {{:( ( 1 - cos 4 x ) /(x ^(2))",",, "यदि " x lt 0), ( a",",, "यदि " x = 0 ), ( (sqrt x)/(sqrt ( 16 + sqrt x ) - 4 )",",,"यदि " x gt 0 ):}` a का मान ज्ञात कीजिये यदि ` x = ( pi ) /(2) ` पर यह सतत है |

Answer» ` f ( x ) ` की परिभाषानुसार,
` f( 0 ) = a `
और ` f ( 0 + 0 ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) `
` = lim _ ( hto 0 ) { ( sqrth) /( sqrt ( 16 + sqrth ) - 4 ) } `
` = lim _ ( hto 0 ) { ( sqrt h ) /( sqrt ( 16 + sqrth ) - 4 )} xx ( sqrt ( 16 + sqrth ) + 4 ) /( sqrt ( 16 + sqrt h ) + 4) `
`
= lim _ ( hto 0) ( sqrth ( sqrt ( 16 + sqrt h ) + 4 ) ) /( ( 16 + sqrt h ) - 16 ) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( sqrth * { sqrt (16 + sqrth) +4 })/( sqrth ) `
` = lim _ ( hto 0 ) [ sqrt ( 16+sqrt h ) + 4] = 4 + 4 = 8 `
और ` f ( 0 - 0 ) = lim _ ( hto 0 ) f ( 0 - h ) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( [ 1 - cos 4 ( -h ) ] ) /( [ - h ]^(2)) = lim _ ( hto 0 ) ( [ 1 - cos ( - 4h ) ] ) /( h ^(2)) `
` = lim _ ( hto 0) (( 1 - cos 4h ))/(h ^(2))= lim _ ( hto 0 ) ( 2 sin ^2 2h ) /( h ^(2)) `
` = 2 xx 4 *lim _ ( hto 0 ) ( sin ^2 2h ) /( ( 2h )^(2)) = 8 lim _ ( hto 0) (( sin 2h )/(2h))^(2) `
` = 8 xx1 ^(2) = 8 `
` f( 0 + 0 ) = f ( 0 - 0 ) `
` rArr lim _ ( x to 0 ) f ( x) = 8 `
परन्तु, बिंदु ` x = 0 ` पर ` f ( x ) ` की सततता के अनुसार,
` lim _ ( x to 0 ) f ( x) = f ( 0 ) rArr a = 8 `
अतः ` a = 8 `
Discussion
5.

निम्न फलानो की सांतत्यता की जाँच कीजिये - (i) ` f (x) = {{:( (1)/(1 - e^(1//x))"," x ne 0), ( 0" ""," x = 0):} ` पर (ii) ` f ( x) = {{:( e^(1//x)","x ne 0),(0" ""," x = 0):} ` पर (iii) ` f ( x ) = {{:( (1)/(1 + e^(1//x))"," x ne0), ( 0" ""," x =0):} ` पर

Answer» ( i) ` f( 0 - 0) = lim _ ( hto 0) f ( 0 - h) = lim _ ( hto 0) (1) /( 1 - e ^(-1//h))`
` = lim _ ( hto 0) ( 1)/(1 - (1 - ( 1) /(h) + ( 1 ) /(h ^(2)) * ( 1) /(2!) - ...))`
` = lim _ ( hto 0) ( 1 ) /(((1)/(h) - (1)/(h^(2)*2 !) + ...)) = (1) /((1)/(0) - ( 1)/(0*2!)) = ( 1)/(oo) = 0 `
इसी प्रकार ` f ( 0 + 0 ) = 0 `
और ` f ( 0 ) = 0 `
` rArr f ( 0 + 0) = f ( 0 - 0 ) = f (0) `
Discussion
6.

p व q के किस मान के लिए फलन ` f ( x) = {{:( ( 1 - sin ^(3) x ) /( 3 cos ^(2) x )",",, "यदि"x lt pi//2), (p",",, "यदि" x = pi//2), ( (q ( 1 -sin x )) /((pi_ 2x ) ^(2))",",, "यदि" x gt pi//2):}` बिंदु ` x = pi//2 ` पर सतत है ?

Answer» दिया है, ` f ( x) = {{:( ( 1 - sin ^(3) x ) /( 3 cos ^(2) x )",",, "यदि"x lt pi//2), (p",",, "यदि" x = pi//2), ( (q ( 1 -sin x )) /((pi_ 2x ) ^(2))",",, "यदि" x gt pi//2):}`
` x = pi //2 ` पर सतत है |
` therefore ` बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष = ` f ( pi//2)`... (1)
अब, बायाँ पक्ष = ` lim _ ( xto pi//2) f ( x ) = lim _ ( hto 0 ) f ( (pi)/(2) - h ) `
` [ x = (pi)/(2) - h ` रखने पर, यदि ` x to (pi)/(2) ` तब ` h to 0 ] `
` = lim _ ( hto 0) ( 1 - sin ^3 ((pi)/(2) - h))/( 3 cos ^2 ((pi)/(2) - h)) = lim _ ( hto0) ( 1 - cos ^3 h ) /( 3sin ^2 h ) `
`[ because cos ((pi)/(2) - theta ) = sin theta, sin ((pi)/(2) - theta ) = cos theta ] `
` = lim _ ( h to 0 ) (( 1 - cos h ) ( 1 ^2 +cos ^2 h + 1 xx cos h ) )/( 3 ( 1 - cos ^2h)) `
` = lim _ ( hto 0) ((1- cos h ) ( 1 + cos ^2 h + cos h ) )/( 3( 1 - cos h ) ( 1 + cos h)) `
` = ( 1 + cos ^2 0 + cos 0 )/( 3 (1 + cos 0)) = ( 1+ 1 +1)/( 3 ( 1 + 1 )) = (3) /( 3 xx 2) = (1)/(2) `
तथा daayan पक्ष ` = lim _ ( x to pi//2) [ f ( x) ] = lim _ ( hto 0 ) f (( pi ) /(2) + h ) `
` [ x = (pi)/(2) + h`, रखने पर, यदि ` x to (pi)/(2) ` तब ` h to 0 ] `
` = lim _ ( hto 0 ) ( q [ 1 - sin ( ( pi ) /(2) + h)] ) /([ pi - 2 ((pi) /(2) +h)]^2) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( q ( 1 - cos h ) ) /( (pi - pi - 2h )^2) = lim _ ( hto 0 ) ( q ( 1 - cos h ) ) /( 4h^2) `
` = lim_ ( hto 0 ) ( q ( 2 sin ^2 h//2))/(4h ^2)" " [ because cos x = 1 - 2 sin ^2"" (x)/(2)] `
` = lim _ ( hto 0) ( q sin ^2 h//2)/(2) = (q)/(8) lim _ ( hto 0) [ ( sin (h//2))/( h//2)]^2 `
` = (q) /(8) xx 1 = (q)/8" " [ because lim _ ( hto 0) ( sin h ) /(h) = 1] `
समीकरण (1 ) से, ` ( 1 ) /(2) = (q) /(8) = p `
` ( 1 ) /(2) = (q) /(8) ` तथा ` ( 1 ) /(2) = p `
` q = 4 ` तथा ` p = ( 1 ) /(2) `
Discussion
7.

निम्न फलन की सांतत्यता की जाँच कीजिए - ` f ( x ) = {{:(2 x - 1,,", यदि " x lt 0 ), ( 2x +1,,", यदि " x ge 0 ):} `

Answer» स्थिति -I जब `x lt 0` तब `f ( x ) = 2x - 1 ` जोकि एक बहुपदीय फलन है और इसलिए प्रत्येक बिंदु जहाँ ` x lt 0`, पर सतत है |
स्थिति -II जब ` x gt 0 ` तब ` f ( x ) = 2 x + 1, ` जोकि पुनः एक बहुपदीय फलन है इसलिए प्रत्येक बिंदु जहाँ ` x gt 0 ` पर सतत है |
स्थिति -III जब x = 0 तब ` f (0) = 2xx 0 + 1 = 1 `
तथा , फलन की दायीं सीमा = ` f ( 0 + 0 ) `
` = lim _ ( x to 0 ^(+)) f ( x ) `
` = lim _ ( h to 0 ) f( 0 + h ) = lim _ ( h to 0 ) f ( h ) = lim_ ( h to 0 ) ( 2h + 1 ) = 1 `
इसी प्रकार, फलन की बायीं सीमा = ` f ( 0 - 0 ) `
` = lim _ ( x to 0 ^(-)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 - h ) = lim _ ( h to 0 ) f ( - h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ ( 2 ( - h ) - 1 ) ] = - 1 `
स्पष्टतः ` f ( 0 + 0 ) ne f ( 0 - 0 ) `
इसलिए फलन ` f ( x ) ` बिंदु x = 0 पर सतत नहीं है |
Discussion
8.

फलन ` f ( x ) = |x| + |x - 1| ` की सांतत्यता की जाँच `[ - 1, 2] ` अन्तराल में कीजिये |

Answer» दिया गया फलन निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है -
` f ( x) = {{:(1-2x,,, "यदि " - 1 le x le 0 ) , ( 1, ,, "यदि " 0 lt x le 1 ), (2x - 1 , ,, "यदि " 1 lt x le 2):}`
हम जानते है कि बहुपदीय फलन तथा अचर फलन सदैव सतत होते है | इसलिए फलन ` f ( x ), - 1 le x le 0 , 0 lt x le 1 ` तथा ` 1 lt x le 2 ` पर सतत है | अब हम सांतत्यता की जाँच ` x = - 1, 0 , 1 ` व 2 पर करेंगे |
स्थिति I ` x = - 1 ` पर,
फलन की दायीं सीमा = ` f ( - 1 + 0 ) `
` = lim _ ( x to 1 ^+) f ( x ) = lim _ ( x to - 1 ^(+)) (1 - 2 x ) = 1 + 2 = 3 `
तथा ` f ( x ) = 1 - 2x ` जब ` x = - 1 `
इसलिए ` f ( - 1 ) = 1 - 2 ( - 1 ) `
` " " = 1 + 2 = 3 `
` rArr lim _ ( x to - 1^+) f (x) = f ( - 1 ) `
` rArr ` फलन ` f ( x ), x = - 1 ` पर सतत है |
स्थिति -II x = 0 पर,
` lim _ ( x to 0 ^-) f ( x ) = lim _ ( x to 0 ^-) ( 1 - 2x ) = 1 - 2 xx 0 = 1 `
तथा ` lim _ ( x to 0 ^(+) ) f ( x ) = lim _ ( x to 0 ^(+) ) ( 1 ) = 1 `
व ` f ( 0 ) = 1 `
स्पष्टतः ` lim _ ( x to 0 ^(- ) ) f ( x) = lim _ ( x to 0 ^+) f ( x ) = f ( 0 ) = 1 `
` rArr ` फलन ` f ( x ) `, बिंदु ` x = 0 ` पर सतत है |
स्थिति - III ` x = 1 ` पर
` lim _ ( x to 1 ^-) f ( x ) = lim _ ( x to 1 ^-) ( 1) = 1 `
तथा ` lim _ ( x to 1^+) f ( x ) = lim _ ( x to 1^+) ( 2x - 1 ) = 1 `
व ` f ( 1 ) = 1 `
स्पष्टतः ` lim _ ( x to 1^-) f ( x ) = lim _ ( x to 1 ^+) f ( x) = f ( 1 ) = 1 `
अतः फलन ` f ( x) `, बिंदु ` x = 1 ` पर सतत है |
स्थिति -IV ` x = 2 ` पर
` lim _ ( x to 2^-) f ( x ) = lim _ ( x to 2^-) ( 2x - 1 ) = 4 - 1 = 3 `
तथा ` f (2 ) = 2xx2 - 1 = 3`
`rArr ` फलन ` f ( x ) ` बिंदु ` x = 2 ` पर सतत है |
अतः हम कह सकते है कि फलन ` f ( x ) `, अन्तराल `[ - 1, 2 ] ` के प्रत्येक बिंदु पर सतत है |
Discussion
9.

निम्न प्रकार परिभाषित फलन के असांतत्यता बिंदुओं की जाँच कीजिये | ` f ( x ) = {{:( ( x ^(4 ) - 16 ) /(x - 2 ) ",",, "यदि " x ne 2 ), ( 16 ", ",, "यदि " x = 2):}`

Answer» जब ` x ne 2 ` , तब फलन ` f ( x ) = ( x ^(4) - 16 ) /( x - 2 ) ` एक परिमेय फलन है | इसलिए यह सभी ` x in R ( x ne 2 ) ` पर सतत फलन होगा |
जब x =2 तब ` f ( x) = f (2) = 16 `
अब ` lim _ ( x to 2 ^+) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 2 + h ) `
` = lim _ ( hto 0 ) (( 2 + h) ^(4 ) - 16 ) /( ( 2 + h ) - 2 ) `
` = lim _ ( h to 0 ) ( 2 ^(4 ) + 4 xx 2 ^( 3 ) h + 6 xx 2 ^(2 ) h ^(2) + 8 h ^(3) + h ^(4) - 16 ) /(h) `
` = lim _ ( h to 0 ) ( 32 h + 24h ^(2)+ 8 h ^(3) + h ^(4))/( h ) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( 32 + 24h + 8 h ^(2) + h ^(3)) = 32 `
` rArr f ( 2 ) ne lim _ ( x to 2 ^+) f ( x ) ` ltbr gt ` rArr f ( x ) , x = 2 ` पर सतत नहीं है |
`rArr ` बिंदु x =2 , फलन f (x) का असांतत्यता बिंदु है |
Discussion
10.

यदि ` f ( x ) = {{:( (sin (a + 1) x + 2 sin x ) /( x ),",", xlt 0 ), ( 2, ",", x = 0 ), ( (sqrt( 1 +bx)- 1 )/( x ),",", x gt 0 ):}` ` x = 0 ` पर सतत है, तब a व b के मान ज्ञात कीजिये |

Answer» दिया है,
` f ( x ) = {{:( (sin (a + 1) x + 2 sin x ) /( x ),",", xlt 0 ), ( 2, ",", x = 0 ), ( (sqrt( 1 +bx)- 1 )/( x ),",", x gt 0 ):}`
दिया है कि फलन ` f ( x ) , x = 0 ` पर सतत है |
` therefore ` (बायाँ पक्ष ) `""_(x = 0 ) ` = ( दायाँ पक्ष) `""_(x =0) ` = ` f ( 0 ) ` ...(1)
अब, बायाँ पक्ष = ` lim_ ( x to 0^-) f (x) `
` = lim _ ( hto 0) f ( 0 - h ) `
` [ x = 0 - h ` रखने पर, जब ` x to 0 ` , तब ` h to 0 ] `
` = lim _ ( hto 0) ( sin ( a + 1 ) (0 - h ) + 2 sin ( 0-h ) ) /( ( 0 - h)) `
` = lim _ ( hto 0) ( - sin ( a + 1 ) h - 2 sin h )/( - h) `
`" " [ because sin ( -theta) = -sin theta ] `
` = lim _ ( h to 0) ( sin ( a + 1 ) h+ 2 sin h ) /( h) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( sin ( a + 1 ) h ) /( h ) + lim _ ( hto 0) ( 2 sin h ) /( h ) `
` = lim _ ( hto 0 ) ( sin ( a+ 1 ) h ) /( ( a + 1 ) h) xx ( a + 1 ) + 2 lim_ ( hto0 ) ( sin h ) /( h) `
` = 1xx ( a + 1 ) + 2 xx 1 " " [ because lim _ ( x to 0) ( sin x ) /(x) = 1 ] `
` = a + 1 + 2 = a + 3 `
तथा दायाँ पक्ष ` = lim _ ( xto 0^+) f (x) `
` = lim _ ( hto 0) f ( 0 + h) `
` [ x = 0 + h` रखने पर, यदि ` x to 0 ` तब ` h to 0 ] `
` = lim _ ( hto 0) ( sqrt ( 1 + b ( 0 + h) ) - 1 ) /( 0 + h ) = lim_ ( hto 0 ) ( sqrt ( 1 + bh) - 1) /( h ) `
` = lim _ ( hto 0) (sqrt ( 1 + bh ) - 1 ) /( h ) xx ( sqrt ( 1 + bh ) + 1 ) /( sqrt ( 1 + bh ) + 1 ) `
[अंश व हर में ` sqrt ( 1 + bh ) + 1 ` से गुणा करने पर ]
` = lim _ ( hto 0 ) (( 1 + bh ) - 1 ) /( h ( sqrt ( 1 + bh ) + 1 )) = lim _ ( hto 0) ( bh ) /(hsqrt( 1 +bh ) + 1 ) `
` = lim _ (h to 0) ( b) /(( sqrt ( 1 + bh ) + 1 )) = (b) /(sqrt ( 1+ 0 ) + 1 ) = (b) /(2) `
समीकरण (1 ) से,
` a + 3 = ( b) /(2) = 2 `
` rArr a + 3 = 2 ` तथा `(b)/(2) = 2 `
` rArr a = - 1 ` तथा ` b = 4 `
Discussion
11.

निम्न प्रकार परिभाषित फलन की x = 0 पर सांतत्यता की जाँच कीजिये - ` f ( x ) = {{:( x ^(3)- 2,,", यदि " x le 0 ), ( 1,,", यदि " x gt 0 ):} `

Answer» यदि ` x = 0 `, तब ` f ( 0 ) = 0 ^(3) - 2 = - 2 `
दायीं सीमा = ` lim _ ( x to 0 ^(+) ) f ( x) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) = lim _ ( h to 0 ) 1 = 1 `
बायीं सीमा
` = lim _ ( x to 0 ^(-)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 - h ) = lim _ ( h to 0 ) [ ( - h ) ^(3) - 2 ] = - 2 `
` rArr ` दायीं सीमा `ne ` बायीं सीमा
इसलिए फलन ` f ( x ) `, बिंदु ` x = 0 ` पर सतत नहीं है |
Discussion
12.

सिद्ध कीजिये कि फलन ` f ( x) = sin x, x = (pi)/(2) ` पर सतत है |

Answer» ` f ( (pi)/(2)) = sin "" (pi ) /(2) = 1 `
और ` lim _ ( x to pi//2) f ( x ) = lim _ ( xto pi//2) sin x = sin ""(pi)/(2) = 1 `
स्पष्टतः ` f ( (pi)/(2)) = lim _ ( x to pi//2) f ( x ) `
` rArr x = pi//2 ` पर ` f ( x) ` सतत है |
Discussion
13.

फलन ` f ( x ) ` निम्नवत परिभाषित है - ` f ( x ) = 1 ` यदि ` x gt 0 ` ` = - 1 ` यदि ` x lt 0 ` ` = 0 ` यदि ` x = 0 ` सिद्ध कीजिये कि ` lim _ ( x to 0 ) f ( x ) ` अस्तित्व में नहीं है |

Answer» ` f ( 0 - 0 ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 - h ) = lim _ ( h to 0 ) ( - 1 ) = - 1 `
` f(0 + 0 ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) = lim _ ( hto 0 ) 1 = 1 `
Discussion
14.

फलन ` f ( x ) ` की ` x = 1, ` पर सांतत्यता का परीक्षण कीजिये, यदि `f(x ) = {{:( 1 + x ^(2),",","यदि " 0 le x le 1 ), ( 1 - x,",", "यदि " x gt 1):} `

Answer» Correct Answer - असतत
` RHL = f ( 1 + 0 ) = lim_ ( hto 0 ) f ( 1 + h ) = lim _ ( hto 0 ) [ 1 - ( 1 + h ) ] `
` = 0 `
` LHL = f ( 1 - 0 ) = lim _ ( h to 0 ) f( 1 -h) = lim _ ( h to 0 ) [ 1 + ( 1- h ) ^(2) ] `
`lim _ ( h to 0 ) ( 2 + h ^2 - 2 h ) = 2 `
स्पष्टता: RHL `ne ` LHL
Discussion
15.

सिद्ध कीजिये कि फलन ` f(x) = {{:( ( sin x ) /(x)",",, x ne 0) , ( 1",",, x = 0 ):} `, बिंदु x =0 पर सतत है |

Answer» ` f ( 0 - 0 ) = lim _ ( hto 0 ) f ( 0 - h ) = lim _ ( hto 0) ( sin ( -h ) ) /(-h ) = lim _ ( hto 0) (sin h ) /(h) = 1 `
`f ( 0 + 0 ) = lim _ ( hto 0 ) f( 0 + h) = lim _ ( hto 0) (sin h)/(h) = 1 `
और ` f (0) = 1 `
स्पष्टतः ` f (0+ 0 ) = f ( 0 - 0 ) = f (0 ) `
Discussion
16.

सिद्ध कीजिये कि फलन ` f ( x ) ={{:((sin^(-1)x)/( x ) + e ^x",", x ne 0), ( 2,"," x = 0):} ` , बिंदु ` x = 0 ` पर सतत है |

Answer» ` f(0-0) = lim _ ( hto 0) f ( 0 - h) =lim _ (hto 0 ) f ( -h) = lim _ ( hto 0)[ (sin ^(-1)(-h))/( -h) + e^(-h)] `
` = lim _ ( hto 0) [ ( -sin^(h))/( -h) + e ^(-h)] = lim _ (hto 0)((sin^(-1)h)/(h) + e^(-h)) `
` = lim _ ( hto 0) (sin^(-1)h)/(h) + lim _ ( h to 0) e ^(-h) = lim _ ( hto 0) (1)/(sqrt (1 -h^2))+ lim _ ( hto 0) e^(-h) `
` = - ( 1) /(sqrt ( 1 - 0) ) + e^(-0) = 1 + 1 = 2 `
Discussion
17.

सिद्ध कीजिये कि निम्न प्रकार परिभाषित फलन ` x = 0 ` पर सतत नहीं है - ` f ( x ) {{:( ( e ^ (1//x))/( 1 + e ^( 1//x))",",, "यदि " x ne 0 ), ( 0",",, "यदि " x = 0 ):}`

Answer» फलन की बायीं सीमा ` = lim _ ( x to 0 ^(- )) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 - h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) (e ^ ((1)/(( 0 - h))) )/( 1 + e ^((1)/((0-h)))) = lim _( hto 0 ) ( e ^( -1//h))/(1 + e ^( -1//h)) `
` = lim _ ( hto 0 ) (1) /( e ^(1//h) + 1) = 0 `
इसी प्रकार
फलन की दायीं सीमा ` = lim _ ( x to 0 ^(+)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) `
` = lim_ ( hto 0 ) ( e^((1) /((0 +h))))/( 1 + e ^((( 1 ) /( 0 + h)) )) = lim _ ( h to 0 ) ( e ^( 1 //h))/( 1 + e ^(1//h)) `
`= lim _ ( h to 0 ) ( 1 ) /( 1 + e ^(- 1//h)) = (1)/( 1 + 0 ) = 1 `
स्पष्टतः बायीं सीमा ` ne ` दायीं सीमा
अतः फलन ` f ( x )` , दिए गए बिंदु ` x = 0 ` पर सतत नहीं है |
Discussion
18.

यदि ` f ( x ) = {{:((sin 2x ) /(sin 3x)",", x ne0),( 2,"," x =0):} ` सिद्ध कीजिये कि फलन ` f (x) `, बिंदु ` x =0 ` पर सतत नहीं है |

Answer» प्रश्नानुसार, ` f ( 0 ) = 2 `
अब ` lim _ ( x to 0 ) f ( x ) = lim _ ( x to 0 ) ( sin 2x ) /( sin 3x) = lim _ ( x to 0 ) (( sin 2x ) /( 2x ) * ( 3x ) /(sin 3x ) ) * (2)/(3) `
` = (2)/(3)lim _ ( x to 0 ) (( sin 2x)/(2x)) * lim _ ( xto 0 ) ((3x) /(sin 3x)) `
` = ( 2 )/(3) lim _ ( xto 0 ) (( sin 2x) /(2x)) * (1) /(lim _ ( x to 0 ) (( sin 3x)/(3x))) `
` = (2) /(3) xx 1 xx (1)/(1) = (2) /(3) `
स्पष्टतः ` f (0) ne lim _ ( x to 0 ) f(x) `
`rArr ` फलन ` f ( x ) `, बिंदु ` x = 0 ` पर सतत नहीं है |
Discussion
19.

फलन ` f ( x ) = {{:( x ,",", "यदि" x ge 2), (x^(2),",", "यदि" xlt 2):} ` की सांतत्यता की परीक्षण कीजिये |

Answer» Correct Answer - `x =2 ` पर असतत तथा शेष बिंदुओं पर सतत
Discussion
20.

k के किस मान के लिए, फलन ` f ( x ) = {{:(kx^(2),",", "यदि" xle 2 ), (3,",", "यदि" x gt5 ) :}` तब सिद्ध कीजिये कि - ` f ( x ) , x = 5 ` पर सतत है |

Answer» Correct Answer - ` k = ( 3 ) /(4)`,
Discussion
21.

क्या बिंदु ` x = 0 ` पर, फलन ` f ( x ) = ( 3x + 4 tan x ) /( x ) ` सतत है ? यदि नहीं ,तो फलन को किस प्रकार परिभाषित किया जाये कि फलन इस बिंदु पर सतत हो ?

Answer» स्पष्टतः फलन ` f ( x ) ` बिंदु ` x = 0 ` पर परिभाषित नहीं है |
अतः ` x = 0 ` पर यह सतत नहीं हो सकता |
kyonki
` lim _ ( x to 0 ) (3x+4 tan x ) /( x ) = lim _ ( x to 0 ) [ 3 + 4 (sin x ) /( x ) (1)/(cos x ) ] `
` = 3 + 4 lim _ ( x to 0 ){ ( sin x) /(x)} * { lim _ ( xto 0 ) ( 1 ) /(cos x )} = 7 `
अतः ` f ( x ) ` को ` x = 0 ` पर सतत बनाने के लिए `, f ( x) ` को निम्नानुसार परिभाषित करना चाहिए -
` f ( x ) = {{:((3x + 4 tan x ) /(x)",",,"जब " x ne 0 ) , ( 7",",, "जब " x = 0 ):}`
Discussion
22.

यदि ` f ( x ) = {{:( cos ""(1)/(x)"," x ne 0 ), ( k", " x = 0) :}, x = 0 ` पर सतत है, तब k का मान है -A. 1B. -1C. 0D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
Discussion
23.

फलन ` f ( x) = {{:((sin^(2) ax)/(x^(2))",""जब " x ne 0), (1", ""जब " x = 0):}, ` के लिए कौन - सा कथन सत्य होगा ?A. `f(x) , x = 0 ` पर सतत हैB. `f ( x ), x = 0 ` पर असतत है जब ` a ne pm 1 `C. `f ( x ) , x=a ` पर सतत हैD. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
24.

फलन ` f ( x ) ` की ` x= 1 ` तथा ` x = 2 ` पर सततता का परीक्षण कीजिये , यदि ` f ( x ) = {{:( 0,",", "यदि ", 0 lt x lt 1 ), ( x, ",","यदि ", 1le x lt 2 ), ( x^(3)//4, ",", "यदि ", 2 le x lt 3 ):}`

Answer» Correct Answer - ` x = 1 ` पर असतत तथा ` x = 2 ` पर सतत
Discussion
25.

यदि ` f ( x ) = {{:((sqrt2 cos x - 1 ) /(cot x - 1 )"," x ne (pi)/(4)), ( 2alpha", "x = pi//4):}, x = (pi)/(4) ` पर सतत है , तो `alpha ` का मान होगा -A. 2B. ` (1) /(4)`C. ` - (1)/(2)`D. `sqrt2`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
26.

a तथा b के मान ज्ञात कीजिये यदि दिया गया फलन दिए गए अंतराल में सतत हो - `f(x) = {{:(x + 2asinx",", 0 le xle pi//3),(2sqrt3 cotx +b",", pi//3le x le pi//2), (a cos ^(2)x- b sin x",", pi//2 le x le pi):}`A. ` a = - ( pi ) /(3(1 + 2sqrt3)), b = (2pi)/(3(1+2sqrt3)) `B. `a = (pi)/(3 ( 1 + 2sqrt3)), b = (-2pi)/(3(1+2sqrt3))`C. `a = - (pi)/(3 ( 1 + 2sqrt3)), b = (-2pi)/(3(1+2sqrt3))`D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - D
Discussion
27.

यदि `f ( x ) = {{:(1",""जब " 0 lt x le ( 3pi )/(4)), ( 2 sin""(2x)/(9)"," "जब " (3pi)/(4) lt x lt pi):}, ` तो -A. `f ( x ) , x = 0 ` पर सतत हैB. ` f( x) , x = pi ` पर सतत हैC. ` f ( x ) , x = ( 3pi) /(4) ` पर सतत हैD. ` f ( x ), x = ( 3pi ) /(4) ` पर असतत है

Answer» Correct Answer - C
Discussion
28.

`f (0) ` का वह मान जिसके लिए फलन `f ( x ) = ( 2^x - 5^x)/(x), x ne 0 , x = 0 ` पर सतत है , है -

Answer» Correct Answer - C
Discussion
29.

यदि `f ( x ) = {{:(x + lamda","x lt 3), ( 8", "x = 3), ( 3x-5","x gt3):}, x = 3 ` पर सतत हो,तो ` lamda` का मान होगा -A. 4B. 3C. 2D. 5

Answer» Correct Answer - D
Discussion
30.

निम्न फलनों में असतत फलन होगा -A. ` sin x `B. `x ^(2) `C. ` ( 1) /(1 - 2x ) `D. ` ( 1 )/(1+x^(2))`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
31.

फलन ` f( x ) = {{:( ( x^(2) + e^(2x ) ) ^( -1)",", x ne 2 ), ( k",", x = 2 ) :}, x = 2 ` पर दायी ओर से सतत है, तब k का मान है -

Answer» Correct Answer - B
Discussion
32.

फलन ` f:R - {0} to R ` इस प्रकार ज्ञात है कि ` f( x ) = ( 1)/(x) - ( 2)/(e ^(2x) - 1 ) ` इस फलन को ` x = 0 ` पर सतत किया जा सकता है , जब ` f ( 0 ) ` का मान है -A. `-1`B. `0`C. `1`D. `2 `

Answer» Correct Answer - C
Discussion
33.

मान लीजिये ` f ( x ) = (sqrt ( 4 + x ) -2)/( x ) , x ne 0 , x = 0 ` पर ` f ( x ) ` को सतत होने के लिए ` f(0)` का मान होना चाहिए -A. 1B. `1//4`C. 4D. 0

Answer» Correct Answer - B
Discussion
34.

यदि `f (x) = {{:((1 + 2x)^(1//x)"," x ne 0 ) , ( e ^(2)", " x = 0 ) :}`, तो -A. ` lim _ ( xto 0^+)f ( x) = e `B. `lim _ ( xto 0^-) f ( x ) = e^(2)`C. ` f ( x ), x = 0` पर असतत हैD. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
35.

` f ( 0 ) ` का मान जिस पर फलन ` f ( x ) = ( sqrt ( a^(2) - ax + x ^(2)) - sqrt ( a ^(2) +ax + x^(2)))/(sqrt(a + x) -sqrt ( a - x )) ` सतत है, है -A. ` a ^( 3//2) `B. ` a ^(1//2) `C. ` - a ^(1//2) `D. ` - a^(3//2) `

Answer» Correct Answer - C
Discussion
36.

फलन ` f ( x ) ={{:(x - 1","x lt 2), (2x - 3"," xge 2):}`, एक सतत फलन है -A. केवल ` x = 2 ` के लिएB. x के सभी वास्तविक मानो के लिए जबकि ` x ne 2 `C. x के सभी वास्तविक मानो के लिएD. केवल x के सभी पूर्णांकीय मानो के लिए

Answer» Correct Answer - C
Discussion
37.

मान लीजिये ` f ( x ) = {{:(x ^(2) +k"," x ge0), ( -x^(2)-k"," x lt 0):}, ` यदि फलन `f ( x ), x = 0 ` पर सतत हो, तो k का मान होगा -

Answer» Correct Answer - A
Discussion
38.

यदि फलन ` f ( x ) = {{:( 1 + ( sinpix ) /(2) ",",, "जबकि " - oo le x le 1 ), ( ax + b ",",, "जबकि " 1 lt x lt 3 ) , ( 6 tan ""(pi x) /(12)",",, "जबकि " 3 le x le 6 ):}` अंतराल ` ( - oo, 6 ) ` में सतत हो तब ` a ` और b के मान क्रमशः होंगे -A. ` 0, 2 `B. ` 1, 1 `C. `2, 0 `D. ` 2, 1 `

Answer» Correct Answer - C
Discussion
39.

k के मान को ज्ञात कीजिये यदि ` f ( x ) = {{:( ( k cos x ) /(pi- 2x ) ",", "यदि", x ne ( pi ) /(2) ) , ( 3",", "यदि" , x = ( pi ) /(2)):} , x = ( pi ) /(2) ` पर सतत है |

Answer» Correct Answer - ` k = 6 `
Discussion
40.

` f ( x ) = {{:( x ^2 sin ""(1)/(x)",", "यदि", x ne 0 ) , ( 0",", "यदि", x = 0 ):}`, की सततता की जाँच कीजिये |

Answer» Correct Answer - हाँ, प्रत्येक ` x in R ` के लिए f सतत है |
Discussion
41.

यदि ` f ( x ) = lim _ ( x to oo ) (( 1 + cos pi x ) ^(n ) + 1 ) /( ( 1 + cos pi x ) ^(n ) - 1 ) ` हो तो -A. ` f ( x ), x = 1 ` पर सतत हैB. ` f ( x ), x = 1 ` पर असतत हैC. ` lim _ ( x to 1^-) f ( x ) = 0 `D. ` lim _ ( x to 1 ^+) f ( x ) = 1 `

Answer» Correct Answer - A
Discussion
42.

फलन ` y = |sinx| ` प्रत्येक ` x ` के लिए सतत है लेकिन यह अवकलनीय नहीं है -A. केवल ` x = 0 ` परB. केवल ` x = pi ` परC. केवल ` x = k pi ` पर ( k एक पूर्णांक है )D. `x = 0 ` तथा ` x = k pi ` पर (k एक पूर्णांक है )

Answer» Correct Answer - D
Discussion
43.

` f ( x ) = {{:( sinx - cos x ",", "यदि", x ne 0 ) , ( -1",","यदि", x = 0 ) :} ` की सततता की जाँच कीजिये

Answer» Correct Answer - प्रत्येक ` x in R ` के लिए f सतत है |
Discussion
44.

a और b के उन मानो को ज्ञात कीजिये जिनके लिए ` f ( x )={{:( ax + 1",", "यदि", x le 3),( bx + 3",", "यदि", x gt 3 ):} " " x = 3 ` पर सतत है |

Answer» Correct Answer - ` a = b + ( 2) /(3) `
Discussion
45.

यदि ` f(x) = {{:( -2 sin x ",",, x ge -pi//2), ( a sin x + b",",, - pi//2 lt x lt pi//2),( cos x",",, x ge pi//2):}`, एक सतत फलन हो तो -A. ` a = 1, b = 1 `B. ` a = - 1, b = 1 `C. ` a = 1, b = - 1 `D. ` a =b = - 1 `

Answer» Correct Answer - B
Discussion
46.

यदि फलन ` f ( x ) = {{:( 3ax + b",",, "यदि" x gt 1 ), ( 11,",", "यदि" x = 1 ), ( 5ax - 2 b",",, "यदि" x lt 1 ):} ` बिंदु x = 1 पर सतत है, तो a व बी के मान ज्ञात कीजिये |

Answer» प्रश्नानुसार फलन ` f ( x ) , x = 1 ` पर सतत है | ` therefore f (1 + 0) = f ( 1 - 0 ) = f ( 1 ) `
अब ` f ( 1 - 0 ) = lim _ ( x to 1 ^-) f ( x )`
` = lim _ ( x to 1^-) ( 5ax- 2b ) = 5 a - 2b ` ... (1)
`f (1 +0 ) = lim _ ( xto 1^+) f (x) = lim _ ( x to 1^+) ( 3ax + b ) = 3a + b `...(2)
तथा ` f(1) = 11 `
समीकरण ` (1), (2) ` व ` (3)`को हल करने पर
` a = 3, b = 2 `
Discussion