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1.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(sinx,cosx,sinx+cosx),(siny,cosx,siny+cosx),(sinz,cosx,sinz+cosx)|=0`

Answer» [ संक्रिया `C_3toC_3-C_1-C_2` से ]
Discussion
2.

यदि A एक `3xx3` क्रम का आव्यूह इस प्रकार से है कि `|A|ne 0` तथा `|3*A|=k|A|` तब k का मान लिखिये ।

Answer» Correct Answer - 27
Discussion
3.

यदि `|{:(x+1,x-1),(x-3,x+2):}|=|{:(4,-1),(1,3):}|` तब x का मान ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - 2
Discussion
4.

यदि `|{:(3x,7),(-2,4):}|=|{:(8,7),(6,4):}|`, तब x का मान ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - `-2`
Discussion
5.

यदि `|{:(3x,7),(-2,4):}|=|{:(8,7),(6,4):}|,` तब x का मान ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - `-2`
Discussion
6.

यदि `|{:(2x,x+3),(2(x+1),x+1):}|=|{:(1,5),(3,3):}|` तब x का मान ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - 1
Discussion
7.

`2|{:(7,-2),(-10,5):}|` का मान ज्ञात कीजिये|

Answer» Correct Answer - 30
Discussion
8.

`|{:(a+ib,c+id),(-"c+id",a-ib):}|` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - `(a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2))`
Discussion
9.

एक स्कूल अपने विधार्थियों को ,ईमानदारी , नियमितता व मेहनत के लिए कुल का पुरस्कार देना चाहता है मेहनत के लिए दिये जाने वाले पुरस्कार का तीन गुना तथा ईमानदारी के लिए दिये गये पुरस्कार को जोड़ने पर कुल होते हैं। ईमानदारी तथा मेहनत के लिए दिये जाने वाले पुरस्कारों का योग ,नियमतता के लिए दिये जाने वाले पुरस्कार का दो गुना है उपरोक्त प्रत्येक स्थिति को गणितीय रूप में प्रदर्शित कीजिए तथा आव्यूह का प्रयोग करके प्रत्येक मूल्यों के लिए दिये जाने वाले पुरस्कार की राशि ज्ञात कीजिए ।

Answer» मान ईमानदार के लिये ईनाम कि राशि =x
नियमतता के लिये ईनाम कि राशि = y
कठिन परिश्रम के लिये ईनाम कि राशि =z
तब , हम लिख सकते हैं कि
`x+y+z=6000` ...(1)
`x+0y+3z=110000` ...(2)
तथा `x+z=2yrArrx-2y+z=0` ...(3)
उपरोक्त एकघातीय समीकरणों के निकाय को AX=B के रूप में लिख सकते हैं।
जहाँ `A=[{:(1,1,1),(1,0,3),(1,-2,1):}],X=[{:(x),(y),(z):}]` तथा `B=[{:(6000),(11000),(0):}]`
अब, `|A|=6ne0`
`rArrA` प्रतिलोमीय है।
आव्यूह |A| के अवयवों के सह्गुणनखण्ड निम्नलिखित हैं।
`C_(11)=6 " " C_(12)=2 " " C_(13)=-2`
`C_(21)=-3 " " C_(22)=0 " " C_(23)=3`
`C_(31)=3 " " C_(32)=-2 " " C_(33)=-1`
`thereforeadj(A)=[{:(6,2,-2),(-3,0,3),(3,-2,-1):}]=[{:(6,-3,3),(2,0,-2),(-2,3,-1):}]`
`thereforeA^(-1)=(1)/(|A|)*adj(A)=(1)/(6)[{:(6,-3,3),(2,0,-2),(-2,3,-1):}]`
इसलिए ,`X=A^(-1)B=(1)/(6)[{:(6,-3,3),(2,0,-2),(-2,3,-1):}][{:(6000),(11000),(0):}]`
`=(1)/(6)[{:(36000-33000+0),(12000+0+0),(-12000+33000-0):}]`
`=(1)/(6)[{:(3000),(12000),(21000):}]=[{:(5000),(2000),(35000):}]`
इसलिए `x=500 ,y=2000` तथा z=3500
अतः ईमानदारी ,नियमितता तथा कठिन परिश्रम के लिये ईनाम राशि क्रमशः Rs. 500, Rs. 2000 तथा Rs. 3500 है ।
Discussion
10.

दो स्कूल P व Q अपने विधार्थियों को अनुशासन, विनम्रता तथा समय पालनता के आधार पर पुरुस्कृत करना चाहता है । स्कूल P कुल पुरस्कार राशि Rs . 1000 को प्रत्येक गुण वाले विधार्थियों को Rs. x, Rs. y, Rs. z क्रमशः 3.2 व 1 विधार्थियों में वितरित करता है । इसी प्रकार स्कूल कुल पुरस्कार राशि Rs. 1500, को स्कूल P द्वारा दी गयी पुरस्कार राशि के समान ही क्रमशः 4,1 व 3 विधार्थियों में बाँटता है । यदि प्रत्येक गुण के एक पुरस्कार की राशि Rs. 600 है तो आव्यूह का प्रयोग करके प्रत्येक गुण के लिए कुल पुरस्कार राशि का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना अनुशासन ,विनम्रता तथा समय पालनता के लिए पुरस्कार राशि क्रमशः Rs. X,y तथा z हैं।
तब प्रश्नानुसार, `3x+2y+z=1000`
`4x+y+3z=1500`
`x+y+z=600`
उपरोक्त एकघातीय समीकरणों के निकाय को आव्यूह रूप के रूप AX=B में लिखा जा सकता है।
जहाँ
`A=[{:(3,2,1),(4,1,3),(1,1,1):}],X=[{:(x),(y),(z):}]` तथा `B=[{:(1000),(1500),(600):}]`
अब `|A|=[{:(3,2,1),(4,1,3),(1,1,1):}]`
`=3(1-3)-2(4-3)+1(4-1)=-5ne0`
`rArr` A प्रतिलोमीय आव्यूह है|
अब , `adj(A)=[{:(-2,-1,3),(-1,2,-1),(5,-5,-5):}]=[{:(-2,-1,5),(-1,2,-5),(3,-1,-5):}]`
`thereforeA^(-1)=(1)/(|A|)*adj(A)=(1)/(-5)[{:(-2,-1,5),(-1,2,-5),(3,-1,-5):}]`
`thereforeX=A^(-1)B`
`rArr[{:(x),(y),(z):}]=(-1)/(5)[{:(-2,-1,5),(-1,2,-5),(3,-1,-5):}][{:(1000),(1500),(600):}]`
`=(-1)/(5)[{:(-500),(-1000),(-1500):}]=[{:(100),(200),(300):}]`
`rArrx=Rs.100,y=Rs.200` तथा z= Rs. 300
Discussion
11.

आव्यूह के गुणनफल `[{:(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4):}][{:(-2,0,1),(9,2,-3),(6,1,-2):}]` का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: `{:(x-y+2z=1),(2y-3z=1),(3x-2y+4z=2.):}`

Answer» दोनों दिए गए आव्यूहों का गुणनफल
`=[{:(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4):}][{:(-2,0,1),(9,2,-3),(6,1,-2):}]`
`=[{:(-2-9+12,0-2+2,1+3-4),(0+18-18,0+4-3,0-6-6),(-618+24,0-4+4,3+6-8):}]`
`=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
Discussion
12.

आव्यूह का प्रयोग करते हुए निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए - `x_(1)+2x_(2)=4` `x_(1)-x_(2)=1`

Answer» Correct Answer - `x_(1)=2,x_(2)=1`
Discussion
13.

आव्यूह विधि का प्रयोग करते हुये,निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए। `(2)/(x)+(3)/(y)+(10)/(z)=4` `(4)/(x)-(6)/(y)+(5)/(z)=1` `(6)/(x)+(9)/(y)-(20)/(z)=2 x,y,zne0`

Answer» माना `(1)/(x)=u,(1)/(y)=v` तथा `(1)/(z)=w`
दिए गए समीकरण निकाय को निम्नवत लिखा जा सकता है ।
`2u+3v+10w=4` ...(1)
`4u-6v+5w=1` ...(2)
`6u+9v-20w=2` ...(3)
`rArrAY=B`
जहाँ `A=[{:(2,3,10),(4,-6,5),(6,9,-20):}],Y=[{:(u,),(v,),(w,):}],B=[{:(4,),(1,),(2,):}]`
स्पष्टतः `|A|=1200ne0`
`rArr` A प्रतिलोमीय आव्यूह है।
`rArr` दिये गये समीकरण के निकाय का एक अद्वितीय हल `Y=A^(-1)B` होता है।
अब , आव्यूह |A| के अवयवों के सह्गुणनखण्ड निम्नलिखित हैं।
`A_(11)=75, " "A_(12)=110, " " A_(13)=72`,
`A_(21)=150, " "A_(22)=-100, " " A_(23)=0`
`A_(31)=75, " " A_(32)=30, " " A_(33)=-24`
`thereforeadj(A)=[{:(75,110,72),(150,-100,0),(75,30,-24):}]=[{:(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24):}]`
`rArrA^(-1)=(1)/(|A|)*adj(A)=(1)/(1200)[{:(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24):}]`
इसलिये `Y=A^(-1)B`
`rArr[{:(u,),(v,),(w,):}]=(1)/(1200)[{:(75,150,75),(110,-100,30),(72,0,-24):}][{:(4,),(1,),(2,):}]`
`=(1)/(1200)[{:(300+150+150,,),(440-100+60,,),(288+0-48,,):}]`
`=(1)/(1200)[{:(600,),(400,),(240,):}]`
`=[{:(1//2,),(1//3,),(1//5,):}]`
`rArru=(1)/(2),v=(1)/(3)` तथा `w=(1)/(5)`
अब: `x=(1)/(u)=2,y=(1)/(v)=3` तथा `z=(1)/(w)=5`
Discussion
14.

यदि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई तथा शीर्ष (2,-6),(5,4) एवं `(k,4) हैं तो k का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `-2,12`
Discussion
15.

आव्यूह के गुणनखण्ड `[{:(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4):}][{:(-2,0,1),(9,2,-3),(6,1,-2):}]` का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए `x-y+2z=1` `2y-3z=1` `3x-2y+4z=2`

Answer» Correct Answer - x=0,y=5 तथाz =3
Discussion
16.

तीन संख्याओं का योग 6 है । यदि हम तीसरी सांख्य को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दे तो हमें 11 प्राप्त होता है । पहले और तीसरी को जोड़ने से दूसरी संख्या को दोगुना प्राप्त होता है । संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - 1,2,3
Discussion
17.

तीन संख्याओं का योग 6 है । यदि हम तीसरी सांख्य को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दे तो हमें 11 प्राप्त होता है । पहले और तीसरी को जोड़ने से दूसरी संख्या को दोगुना प्राप्त होता है । संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - 1,2,3
Discussion
18.

`|{:(a+b,a+2b,a+3b),(a+2b,a+3b,a+4b),(a+4b,a+5b,a+6b):}|=`A. `a^(2)+b^(2)+c^(2)-3abc`B. 3abC. `3a+5b`D. 0

Answer» Correct Answer - D
Discussion
19.

मूल्यांकन कीजिए- `|(sin10^(@)" "-cos10^(@)),(sin80^(@)" "a-ib)|`

Answer» दिया गया है- `Delta= |{:(sin10^(@)"",-cos10^@),(sin80^@""," "cos80^@):}|`
`=sin10^@.cos80^@+cos10^(@)sin80^@`
`=sin(10^@+80^@),[because(A+B)=sinAcosB+cosA sinB]`
`=sin90^@=1` .
Discussion
20.

मूल्यांकन कीजिए- `|{:(log_(3)256,log_4 3),(lgo_3 8,log_4 9):}|`

Answer» दिया गया है- `Delta= |{:(log_3 256"",log_4 3),(log_3 8"","log_4 9):}|`
`=log_3 256log_4 9 - log_3 8 log_4 3`
`=log_(3)2^(8)log_4 3^(2)-log_3 2^(3)log_4 3`
`=(8log_3 2)(log_4 3)-3(log_3 2)(log_4 3)`
`=16(log_3 2)(log_2 3)-(3log_3 2)((1)/(2)lgo_2 3)" "[because log_a n m=(1)/(n)log_a m]`
`=(16)/(2)(log_3 .2. log_2 3)-(3)/(2)(log_3 2. log_2 3)`
`=(16)/(2)xx1-(3)/(2)xx1," "[because log_3 2.log_2 3=1]`
`=8-(3)/(2)=(13)/(2)`.
Discussion
21.

मूल्यांकन कीजिए- `|{:(3,-4,5),(1,1,-2),(2,3,1):}|`

Answer» दिया गया है- `Delta=|{:(3,-4,5),(1,1,-2),(2,3,1):}|`
`Delta=|{:(1,-2),(3,1):}|-(-4)|{:(1,-2),(2,1):}|+5|{:(1,1),(2,3):}|`,
(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=3[(1-(-6)]+4[1-(-4)]+5(3-2)`
`=21+20+5=46`.
Discussion
22.

सारणिकों का प्रयोग करते हुए A(1,3) तथा B(0,0) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए k का मान ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु C(k,0) इस प्रकार हैं कि `DeltaABC` का क्षेत्रफल 3वर्ग इकाई है ।

Answer» Correct Answer - `3x-y=0,k=+-2`
Discussion
23.

सारणिक `|{:(1,a,a^(2)-bc),(1,b,b^(2)-ac),(1,c,c^(2)-ab):}|` का मान है -

Answer» Correct Answer - A
Discussion
24.

K का मान कोटि में ज्ञात कीजिये जिससे बिन्दु (5,5) , (K ,1) तथा `(10,7)` संरेखीय हैं ।

Answer» Correct Answer - `-5`
Discussion
25.

`|{:(1,1+p,1+p+q),(2,2+p,1+3p+2q),(3,3+p,1+6p+3q):}|` का मान ज्ञात कीजिये ।

Answer» Correct Answer - 1
Discussion
26.

मूल्यांकन कीजिए- `|{:(0,sinalpha,-cosalpha),(-sinalpha,0,sinbeta),(cosalpha,-sinbeta,0):}|`

Answer» दिया गया है- `Delta=|{:(0,sinalpha,-cosalpha),(-sinalpha,0,sinbeta),(cosalpha,-sinbeta,0):}|`
`=0|{:(0,sinbeta),(-sinbeta,0):}|-sinalpha|{:(-sinalpha,sinbeta),(cosalpha,0):}|-cosalpha|{:(-sinalpha,0),(cosalpha,-sinbeta):}|`, (`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=0-sinalpha(0-cosalphasinbeta)-cosalpha(sinalphasinbeta-0)`
`=sinalphasinbetacosalpha-sinalphacosalphasinbeta=0`.
Discussion
27.

यदि `|{:(2x,5),(8,x):}|=|{:(6,-2),(7,3):}|` तो x का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» दिया गया है- `|{:(2x,5),(8,x):}|=|{:(6,-2),(7,3):}|`
`rArr 2x^2-40=18-(-14)`
`rArr 2x^2-40=32`
`2x^2=72`
`rArr x^2=36`
`rArrx= +-6`.
Discussion
28.

मूल्यांकन कीजिए- `|{:(cosalphacoabeta,cosalphasinbeta,-sinalpha),(sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosbeta,-sinalphasinbeta,cosalpha):}|`

Answer» दिया गया है- `|{:(cosalphacoabeta,cosalphasinbeta,-sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha):}|`
`=cosalphacosbeta |{:(cosbeta,0),(sinalphacosbeta,cosalpha):}|`
`-cosalphacosbeta |{:(-sinbeta,0),(sinalphacosbeta,cosalpha):}|`
`-sinalpha|{:(-sinbeta,cosbeta),(sinalphacosbeta,sinalphasinbeta):}|`
(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=cos alphacosbeta(cosalphacosbeta-0)-cosalphasinbeta(-sinbetacosalpha-0)`
`=cos^2alphacos^2beta+cos^2alphasin^2beta +sin^2alpha(sin^2beta+cos^2beta)`
`=cos^2alpha(cos^2beta+sin^2beta)+sin^2alpha(sin^2beta+cos^2beta)`
`=cos^2alpha(1)+sin^2alpha(10`
`=cos^2alpha+sin^2alpha`
`=1`.
Discussion
29.

सिद्ध कीजिए - `|(cosalphacosbeta,cosalphasinbeta,sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha)|=1`.

Answer» L.H.S.`=|(cosalphacosbeta,cosalphasinbeta,sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha)|`
`=((1)/(sinalphacosalpha))|(sinalphacosalphacosbeta,sinalphacosalphasinbeta,-sin^2alpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosalphacosbeta,sinalphacosalphasinbeta,cos^2alpha)|`
(`R_1` को `sin alpha` से और `R_3` को `cosalpha` से गुणा करने पर और `sin alphacosalpha` से भाग देने पर)
`=((1)/(sinalphacosalpha))|(0,0,-1),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosalphacosbeta,sinalphacosalphasinbeta,cos^2alpha)|`
(`R_1toR_1-R_3` से)
`=(1)/(sinalphacosalpha)xx(-1)xx|(-sinbeta,,cosbeta),(sinalphacosalphacosbeta,,sinalphacosalphasinbeta)|`
(`R_1` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=(-1)/(sinalphacosalpha)xx(-sinalphacosalphasin^2beta-sinalphacosalphacos^2beta)`
`=(1)/(sinalphacosalpha)xxsinalphacosalpha(sin^2beta+cos^2beta)`
`=(1)/(sinalphacosalpha)xxsinalphacosalpha`
`=1=R.H.S`.
Discussion
30.

साबित करे कि`{:[(cosalphacosbeta,cosalphasinbeta,-sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalphacosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha)]:}=1`

Answer» `R_(3)tosinalphaR_(3)+cosalphaR_(1)` का प्रयोग करे ।
Discussion
31.

सिद्ध कीजिए कि `Delta=|{:(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10+6b+3c):}|=a^(3).`

Answer» `Delta=|{:(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10+6b+3c):}|=a^(3).`
`=|{:(a,a+b,a+b+c),(0,a,2a+b),(3a,6a+3b,10a+6b+3c):}|,R_(2)toR_(2)-2R_(1)`के प्रयोग से
`|{:(a,a+b,a+b+c),(0,a,2a+b),( 0, 3a,7a+3b):}|,R_(3)to R_(3)-3R_(1)`के प्रयोग से
`C_(1)` के अनुदिश प्रयास करने पर,
`Delta=a[a(7a+3b)-3a(2a+b)]`
`=a(7a^(2)+3ab-6a^(2)-3ab)]`
`=a(a^(2))=a^(3).`
Discussion
32.

सिद्ध कीजिए-`|(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10a+6b+3c)|=a^3`

Answer» यहाँ `|(a,a+b,a+b+c),(2a,3a+2b,4a+3b+2c),(3a,6a+3b,10a+6b+3c)|`
`|(a,a+b,a+b+c),(0,a,2a+b),(0,3a,7a+3b)|`
संक्रियांओं `R_2toR_2-2R_1` और `R_3toR_3- 3R_1` से )
`=|(a,a+b,a+b+c),(0,a,2a+b),(0,0,a)|`,
संक्रिया `R_3toR_3-3R_2` से )
`=a|(a,2a+b),(0,a)|`
(`C_1` के अनुदिश प्रसार करने पर )
`=axx(a^2-0)`
`=a^3=R.H.S`.
Discussion
33.

निम्नलिखित प्रश्न दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए-`x+y+z=1,2x+3y+2z=2,ax+ay+2az=4`

Answer» दिया समीकरण निकाय
`x+y+z=1`
`2x+3y+2z=1`
`ax+ay+2az=4`
`implies[(1,1,1),(2,3,2),(a,a,2a)][(x),(y),(z)]=[(1),(1),(4)]impliesAX=B`
`:.A=[(1,1,1),(2,3,2),((a,a,2a)]`
`|A|=|(1,1,1),(2,3,2),(a,a,2a)|`
`=1(6a-2a)-1(4a-2a)+1(2a-3a)`
`=4a-2a-a=a!=0`
`:.A` व्‍युत्‍क्रमणीय है।
`implies`दिया समीकरण निकाय संगत है।
Discussion
34.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए। `|(3a,-a+b,-a+c),(-b+a,3b,-b+c),(-c+a,-c+b,3c)|` `=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`

Answer» `L.H.S =|(3a,-a+b,-a+c),(-b+a,3b,-b+c),(-c+a,-c+b,3c)|`
`=|(a+b+c,-a+b,-a+c),(a+b+c,3b,-b+c),(a+b+c,-c+b,3c)|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`=(a+b+c)|(1,-a+b,-a+c),(1,3b,-b+c),(1,-c+b,3c)|`
`implies(a+b+c)|(1,-a+b,-a+c),(0,a+2b,a-b),(0,a-c,a+2c)|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(3)-R_(1))`
`=(a+b+c).1|(a+2b,a-b),(a-c,a+2c)|`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=(a+b+c)[(a+2b)(a+2c)-(a-b)(a-c)]`
`=(a+b+c)(a^(2)+2ac+2ab+4bc-a^(2)+ac+ab-bc)`
`=(a+b+c)(3ab+3bc+3ac)`
`=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`
`=R.H.S`
Discussion
35.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए। `|(1,1+p,1+p+q),(2,3+2p,4+3p+2q),(3,6+3p,10+6p+3q)|=1`

Answer» L.H.S`=|(1,1+p,1+p+q),(2,3+2p,4+3p+2q),(3,6+3p,10+6p+3q)|`
`=|(1,1+p,1+p+q),(0,1,2+p),(0,3,7+3p)|`
`(R_(2)toR_(2)-3R_(1),R_(3)toR_(3)-3R_(1))`
`=1|(1,2+p),(3,7+3p)|=(7+3p)-3(2+p)`
`=7+3-6-3p`
`=1=R.H.S`
Discussion
36.

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए- `|(b+c,q+r,y+z),(c+a,r+p,z+x),(a+b,p+q,x+y)|=2|(a,p,x),(b,q,y),(c,r,z)|`

Answer» L.H.S `=|(b+c,q+r,y+z),(c+a,r+p,z+x),(a+b,p+q,x+y)|`
`=|(2(a+b+c),2(p+q+r),2(x+y+z)),(c+a,r+p,z+x),(a+b,p+q,x+y)|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3))`
`=2|(a+b+c,p+q+r,x+y+z),(c+a,r+p,z+x),(a+b,p+q,x+y)|`
`=2|(a+b+c,p+q+r,x+y+z),(-b,-q,-y),(-c,-r,-z)|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=2|(a,p,x),(-b,-q,-y),(-c,-r,-z)|(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3))`
`=2(-1)(-1)|(a,p,x),(b,q,y),(c,r,z)|=2|(a,p,x),(b,q,y),(c,r,z)|`
`=R.H.S`
Discussion
37.

बिना प्रसार किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(a-b,b-c,c-a),(b-c,c-a,a-b),(c-a,a-b,b-c)|=0`

Answer» `L.H.S.=|(a-b,b-c,c-a),(b-c,c-a,a-b),(c-a,a-b,b-c)|`
`|(0,b-c,c-a),(0,c-a,a-b),(0,a-b,b-c)|`
(संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`=0=R.H.S`.
Discussion
38.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `|(41,1,5),(79,7,9),(29,5,3)|=0`

Answer» [ संक्रिया `C_1toC_1-8C_2` से ]
Discussion
39.

मान ज्ञात कीजिए - `|(1,omega),(omega,-omega)|`

Answer» Correct Answer - 1
`1+omega+omega^2=0`
Discussion
40.

सारणिकों के प्रयोग से दर्शाइये कि बिन्दु `(2,3),(-1,-2)` और `(5,8)` संरेख है ।

Answer» यहाँ `(x_1,y_1)=(2,3),(x_2,y_2)=(-1,-2),(x_3,y_3)=(5,8)`
अब `|(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|=|(2,3,1),(-1,-2,1),(5,8,1)|=2[(-2-8)]-3[(-1-5)]+1[(-8+10)]`
`=-20+18+2`
`=0`
`rArr |(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|=0`
अतः दिए गए बिन्दु संरेख है ।
Discussion
41.

दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके `Delta=|(5,3,8),(2,0,1),(1,2,3)|` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `Delta=|(5,3,8),(2,0,1),(1,2,3)|`
द्वितीय पंक्‍ति के अवयवों के सहखण्ड
`A_(21)=(-1)^(2+1)|(3,8),(2,3)|=-(9-16)=7`
`A_(22)=(-1)^(2+2)|(5,8),(1,3)|=(15-8)=7`
`A_(23)=(-1)^(2+3)|(5,3),(1,2)|=-(10-3)=-7`
`:.Delta=a_(21)A_(21)+a_(22)A_(22)+a_(23)A_(23)`
`=2xx7+0xx7+1xx(-7)=14+0-7=7`
Discussion
42.

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए। (i) `|(2,-4),(0,3)|` (ii) `|(a,c),(b,d)|`

Answer» (i) माना `A=|(2,-4),(0,3)|`
उपसार‌णिक `M_(11)=3,M_(12)=0,M_(21)=-4,M_(22)=2`
सहखण्‍ड `A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=3`
`A_(12)=(-1)^(1+2)M_(12)=0`
`A_(21)=(-1)^(2+1)M_(21)=4`
`A_(22)=(-1)^(2+2)M_(22)=2`
(ii) माना `A=|(a,c),(b,d)|`
उपसार‌णिक `M_(11)=d,M_(12)=b`
`M_(21)=c,M_(22)=a`
सहखण्‍ड `A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=d`
`A_(21)=(-1)^(1+2)M_(12)=-b`
`A_(21)=(-1)^(2+1)M_(21)=-c`
`A_(22)=(-1)^(2+2)M_(22)=a`
Discussion
43.

यदि समीकरण `|(1,4,20),(1,-2,5),(1,2x,5x^2)|=0` के मूल `alpha` और `beta` है तबA. `-1,-2`B. `-1,2`C. `1,-2`D. 1,2

Answer» Correct Answer - B
Discussion
44.

निम्नलिखित सारणिक के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए। `|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)|`

Answer» (i) माना `A=|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)|`
उपसारणिक `M_(11)=|(1,0),(0,1)|=-1-0=1`
`M_(12)=|(0,0),(0,1)|=0-0=0,M_(13)=|(0,1),(0,0)|=0-0=0`
`M_(21)=|(0,0),(0,1)|=0-0=0,M_(22)=|(1,0),(0,1)|=1-0=1`
`M_(23)=|(1,0),(0,0)|=0-0=0`
`M_(31)=|(0,0),(1,0)|=0-0=0,M_(32)=|(1,0),(0,0)|=0-0=0`
`M_(33)=|(1,0),(0,1)|=1-0=1`
सहखण्‍ड
`A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=1,A_(12)=(-1)^(1+2)M_(12)=0`
`A_(13)=(-1)^(1+3)M_(13)=0`
`A_(21)=(-1)^(2+1)M_(21)=0,A_(22)=(-1)^(2+2)M_(22)=1`
`A_(23)=(-1)^(2+3)M_(23)=0`
`A_(31)=(-1)^(3+1)M_(31)=0,A_(32)=(-1)^(3+2)M_(32)=0`
`A_(33)=(-1)^(3+3)M_(33)=1`
(ii) माना `A=|(1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2)|`
उपसारणिक `M_(11)=|(5,-1),(1,2)|=10+1=11`
`M_(12)=|(3,-1),(0,2)|=6-0=6,M_(13)=|(3,5),(0,1)|=3-0=3`
`M_(21)=|(0,4),(1,2)|-0-4=-4,M_(22)=|(1,4),(0,2)|=2-0=2`
`M_(23)=|(1,0),(0,1)|=1-0=1`
`M_(31)=|(0,4),(5,-1)|=0-20=-20`
`M_(32)=|(1,4),(3,-1)|=-1-12=-13`
`M_(33)=|(1,0),(3,5)|=5-0=5`
सहखण्‍ड `A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=11`
`A_(12)=(-1)^(1+2)M_(12)=-6,A_(13)=(-1)^(1+3)M_(13)=3`
`A_(21)=(-1)^(2+1)M_(21)=4,A_(22)=(-1)^(2+2)M_(22)=2`
`A_(23)=(-1)^(2+3)M_(23)=-1`
`A_(31)=(-1)^(3+1)M_(31)=-20,A_(32)=(-1)^(3+2)M_(32)=13`,
`A_(33)=(-1)^(3+3)M_(33)=5`
Discussion
45.

यदि `A=[{:(alpha,beta),(gamma,delta):}]` हो तो adj A ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `[{:(delta,-beta),(-gamma,alpha):}]`
Discussion
46.

तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके `Delta=|(1,x,yz),(1,y,zx),(1,z,xy)|` का मान ज्ञात कीजिए .

Answer» तृतीय स्तम्भ के अवयवों का उपसारणिक है - `M_(13)=|(1,y),(1,z)|=x-y`
`M_(23)=|(1,y),(1,z)|=z-x`
`M_(33)=|(1,x),(1,y)|=y-x`
तृतीय स्तम्भ के अवयवों के सहखण्ड है -
`A_(13)=(-1)^(1+3)M_(13)=M_(13)=z-y`
`A_(23)=(-1)^(2+3)M_(23)=-M_(23)=-(z-x)=x-z`
`A_(23)=(-1)^(3+3)M_(33)=M_(33)=y-x`
`therefore Delta=a_13+a_23A_23+a_33A_33`
`=yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-x)" "(because a_13=yz,a_23=zx,a_33=xy)`
`=yz^2-y^2z+zx^2-z^2x+xy^2-x^2y`
`=(x^2z-x^2y)+xy^2-xz^2+yz^2+yz^2-y^2z`
`=x^2(z-y)+x(y^2-z^2)+yz(x-yz)`
`=x^2(z-y)-x(z+y)(z-y)+yz(x-y)`
`=x^2(z-y)-(z^2-y^2)+yz(z-y)`
`=(z-y)[x^2-x(z+y)+yz]`
`=(z-y)[x^2-xz-xy+yz]`
`=(z-y)[x(x-z)-y(x-z)]`
`=(z-y)(x-y)(x-z)`
`=(x-y)(z-y)(x-z)`
`=(x-y)(y-z)(z-x)` .
Discussion
47.

सारणिक `|{:(2,-3,5),(6,0,4),(1,5,-7):}|` के अवयवो के उपसारणिक और सहखंडन ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि

Answer» दिया गया सरणिक `=|{:(2,-3,5),(6,0,4),(1,5,-7):}|`
`a_(11)`का उपसारणिक `=|{:(0,4),(5,-7):}|=0-20=-20`
`a_(12)` का उपसारणिक `=|{:(6,4),(1,-7):}|=-42-4=-46`
`a_(13)` का उपसारणिक `=|{:(6,0),(1,5):}|=30-0=30`
`a_(21)` का उपसारणिक `=|{:(-3,5),(5,-7):}|=21-25=-4`
`a_(22)` का उपसारणिक `=|{:(2,5),(1,-7):}|=-14-5=-19`
`a_(23)` का उपसारणिक `=|{:(2,-3),(1,5):}|=10+3=13`
`a_(31)` का उपसारणिक `=|{:(-3,5),(0,4):}|=-12-0=-12`
`a_(32)` का उपसारणिक `=|{:(2,5),(6,4):}|=8-30=-22`
`a_(33)` का उपसारणिक `=|{:(2,-3),(6,0):}|=0+18=18`

`A_(11)=(-1)^(1+1)(-20)=-20`
`A_(12)=(-1)^(1+2)(-46)=46`
`A_(13)=(-1)^(1+3)(30)=30`
`A_(21)=(-1)^(2+1)(-4)=4`
`A_(22)=(-1)^(2+2)(-19)=-19`
`A_(23)=(-1)^(3+1)(-12)=-12`
`A_(31)=(-1)^(3+1)(-12)=-12`
`A_(32)=(-1)^(3+2)(-22)=22`
`A_(33)=(-1)^(3+3)(18)=18`
अब सत्यापित करना है :
`a_(11)A_(31)+a_(12)A_(32)+a_(13)A_(33)`
बायाँ पक्ष :
`a_(11)A_(31)+a_(12)A_(32)+a_(13)A_(33)`
`=(-12)+(-3)(22)+5xx18`
`=-24-66+90`
`=-90+90`
`=0=`बायाँ पक्ष
Discussion
48.

सरणिक `|{:(1,-2),(4,3):}|` के सभी अवयवो के उपसारणिक व सहखंड ज्ञात कीजिए।

Answer» हल दिया गया सरणिक `|{:(1,-2),(4,3):}|`
इनमे `a_(11)=1,a_(12)=-2,a_(21)=4` तथा `a_(22)=3` है।
अब `a_(11)` का उपसरणिक = 3
`a_(12)` का उपसरणिक = 3
`a_(21)` का उपसरणिक `=-2`
तथा `a_(22)` का उपसारणिक `=1`
अब इनके सहखंड ज्ञात करते है:
`A_(11)=(-1)^(1+1)xxa_(11)` का उपसारणिक `=(-1)^(2)xx3=3`
`A_(12)=(-1)^(1+2)xx_(12)`का उपसारणिक `1=(-1)^(3)xx4=-4`
`A_(21)=(-1)^(2+1)xxa_(21)` का उपसारणिक `=(-1)^(3)xx-2=2`
`A_(22)=(-1)^(2+2)xxa_(22)` का उपसारणिक `=(-1)^(4)xx1=1`
Discussion
49.

निम्नलिखित सारणिक के दूसरे पंक्ति के अवयव का उपसारणिक तथा सहखण्ड निकालें । `|{:(2,7,65),(3,8,75),(5,9,86):}|`

Answer» `M_(21)=|{:(7,65),(9,86):}|=602-585=17,A_(21)(-1)^(2+1)M_(21)=-17`
`M_(22)=|{:(2,65),(5,86):}|=172-325=-153,A_(22)=-153`
`M_(23)=|{:(2,7)/(5,9):}|=18-35=-17,A_(23)=17`
Discussion
50.

सारणिक `|(1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2)|` के अवयवों का उपसारणिक और सहखण्ड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि `a_(11)A_(31)+a_(12)A_(32)+a_(13)A_(33)=0`.

Answer» प्रथम पंक्ति के अवयवों का उपसारणिक है -
`M_(11)=|(5,-1),(1,2)|=10+1=11`
`M_(12)=|(3,-1),(0,2)|=6-0=6`
`M_(13)= |(3,5),(0,1)|=3-0=3`
द्वितीय पंक्ति के अवयवों का उपसारणिक है -
`M_(21)=|(0,4),(1,2)|=0-4=-4`
`M_(22)=|(1,4),(0,2)|=2-0=2`
`M_(23)=|(1,0),(0,1)|=1-0=1`
तृतीय पंक्ति के अवयवों का उपसारणिक है -
`M_(31)=|(0,4),(5,-1)|=0-20=20`
`M_(32)=|(1,4),(3,-1)|=-1-12=-13`
`M_(33)=|(1,0),(3,5)|=5-0=5`
अतः प्रथम पंक्ति के अवयवों का सहखण्ड है - `A_(11)=(-1)^(1+1)M_(11)=M_(11)=11`
`A_(12)=(-1)^(1+2)M_(12)=-M_(12)=-6`
`A_(13)=(-1)^(1+3)M_(13)=M_(13)=3`
द्वितीय पंक्ति के अवयवों का सहखण्ड है - `A_(21)=(-1)^(2+1)M_(21)=-M_(21)=-(-4)=4`
`A_(22)=(-1)^(3+2)M_(32)=-M_(22)=2`
`A_(23)=(-1)^(2+3)M_(23)=-M_(23)=-1`
तृतीय पंक्ति के अवयवों का सहखण्ड है -
`A_(31)=(-1)^(3+1)M_(31)=M_(31)=-20`
`A_(32)=(-1)^(3+1)M_(32)=M_(32)=-(-13)=13`
`A_(33)=(-1)^(3+3)M_(33)=M_(33)=5`
अब `a_11 A_31+a_12A_32+a_13A_33=1xx(-20)+0xx13+4xx5`
`=-20+20=0`
Discussion