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151.

सिद्ध कीजिए की `|{:(,1,x+alpha,y+z-alpha),(,1,y+beta,z+x-beta),(,1,z+y,x+y-gamma):}|=0`

Answer» माना `Delta=|{:(1,x+alpha,y+z-alpha),(1,y+beta,z+x-beta),(1,z+gamma,x+y-gamma):}|`
संक्रिया `C_(2) + C_(3)` से,
`Delta=|{:(1,x+y+z,y+z-alpha),(1,x+y+z,z+x-beta),(1,x+y+z,x+y-gamma):}|`
`=(x+y+z)|{:(1,1,y+z-alpha),(1,1,z+x-beta),(1,1,x+y-gamma):}|`
[`C_(2)` से (x + y + z) उभयनिष्ठ बहार लेने पर]
`=(x+y+z)=0" "[because C_(1) "और" C_(2) "सर्वसम हैं"]`
= 0
Discussion
152.

यदि `A=|{:(,1,0,6),(,3,4,15),(,5,6,21):}|=-18` है तो `|{:(,5,0,6),(,15,8,15),(,25,12,21):}|` सार्धिक का मान बिना गणना किये निकलियेह

Answer» `|{:(1,0,6),(3,4,15),(5,6,21):}|=-18" "...(i)`
अब, `|{:(5,0,6),(15,8,15),(2 5,12,21):}|=5 xx 2|{:(1,0,6),(3,4,15),(5,6,21):}|" "[C_(1) "से" 5 "और" C_(2) "से" 2 "बाहर लेने पर"]`
`=10(-18)" "["समीकरण (i) पर"]`
= -180
Discussion
153.

दर्शाए की बिंदु A(a,b+c),B(b,c+a),C(c,a+b) शरेख हे

Answer» दिये हुए बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
`=(1)/(2)|(a,b+c,1),(b,c+a,1),(c,a+b,1)|`
`=(1)/(2)|(a+b+c,b+c,1),(b+c+a,c+a,1),(c+a+b,a+b,1)|`
[संक्रिया `C_(1)+C_(2)` से]
`=(1)/(2)(a+b+c)|(a,b+c,1),(1,c+a,1),(1,a+b,1)|`
`=(1)/(2)(a+b+c)xx0` ।`because C_(1)` व `C_(3)` सर्वसम है[
=0
अतः दिये हुए बिन्दु संरेख है।
Discussion
154.

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2,7),(1,1) और (10,8) हैं।

Answer» त्रिभुज का क्षेत्रफल `=1/2|(2,7,1),(1,1,1),(10,8,1)|`
`=1/2|(1,6,0),(-9,-7,0),(10,8,1)| R_(1)toR_(1)-R_(2)`
`R_(2)toR_(2)-R_(3)`
`=1/2(-7-54)` ( `C_(3)` से विस्तार करने पर)
`=23.5` वर्ग इकाई
Discussion
155.

सिद्ध कीजिए कि बिंदु (0,3),(4,6),(-8,-3) संरेख हैं।

Answer» `Delta=1/2|(0,3,1),(4,6,1),(-8,-3,1)|`
`=1/2|(0,0,1),(4,3,1),(-8,-6,1)| C_(2)toC_(2)-3C_(3)`
`=1/2.1|(4,3),(-8,-6)|` ( `R_(1)` से विस्तार करने पर)
`=1/2(-24+24)=0`
अतः दिये गये बिंदु संरेख है।
Discussion
156.

बिंदुओं (3,5) और (-2,1) से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer» सरल रेखा जो बिंदुओं (3,5) और (-2,1) से होकर जाती है निम्नलिखित है
`|(x,y,1),(3,5,1),(-2,1,1)|=0`
`impliesx(5-1)-y(3+2)+1(3+10)=0`
( `R_(1)` से विस्तार करने पर)
`implies 4x-5y+13=0`
Discussion
157.

यदि `I_(n)` क्रम n का इकाई अवव्यूह है तो `(I_(n))^(-1)` बराबर हैA. `I_(n)`B. 0C. `nI_(n)`D. अस्तित्व नहीं है

Answer» Correct Answer - A
Discussion
158.

यदि `A=[{:(,3,2),(,1,4):}]` तो `"A (Adj A)"` बराबर हैA. `[{:(,0,10),(,10,0):}]`B. `[{:(,10,0),(,0,10):}]`C. `[{:(,1,10),(,10,1):}]`D. `[{:(,10,1),(,1,10):}]`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
159.

माना `"Adj A"=[{:(,a,0),(,-1,b):}]` और `ab ne 0 ` तो `|A^(-1)|` का मान हेA. 1B. abC. `(1)/(sqrt(ab))`D. `(1)/(ab)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
160.

जांच करे कि बिंदुएँ (-8,3), (2,-2) तथा (-4,1) संरेख है या नहीं ।

Answer» माना कि `Delta=|{:(-8,3,1),(2,-2,1),(-4,1,1):}|` अब `Delta=-8(-2-1)-3(2+4)+1(2-8)" "` [पहले row के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=24-18-6=0`
अतः दिए हुए बिंदु संरेख है ।
Discussion
161.

यदि `A=[(1,2),(4,2)]` तो सिद्ध कीजिए कि `|2A|=4|A|`

Answer» `|A|=|(1,2),(4,2)|=2-8=-6`
`:.` R.H.S `=4|A|=4(-6)=-24`
`2A=2[(1,2),(4,2)=[(2,4),(8,4)]`
`implies|2A|=|(2,4),(8,4)|=8-32=-24`
`:.L.H.S =-24`
अत: `|2A|=4|A|`
Discussion
162.

`|{:(,0,c,b),(,-c,0,a),(,-b,-a,0):}|` का मान ज्ञात कीजिये

Answer» माना `Delta=|{:(0,c,b),(-c,0,a),(-b,-a,0):}|`
तब, `Delta = 0|{:(0,a),(-a,0):}|-c|{:(-c,a),(-b,0):}|+b|{:(-c,0),(-b,-a):}|" "[R_(1)"के अनुदिश प्रसार करने पर"]`
`=0-c(0+ab)+b(ac-0)`
`=-abc+abc=0`
Discussion
163.

यदि `A=[(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)]` हो तो दिखाइए `|3A|=27|A|`

Answer» `A=[(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)]`
`implies|A|=|(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)|=|(1,2),(0,4)|-0-0=4-0=4`
`implies 27|A|=27xx4=108`
अब `3A=[(3,0,3),(0,3,6),(0,0,12)]`
`|3A|=|(3,0,3),(0,3,6),(0,0,12)|=3|(3,6),(0,12)|-0+0`
`=(36-0)=108`
`:.|3A|=27|A|`
Discussion
164.

सिद्ध कीजिएः की `|{:(,13,16,19),(,14,17,20),(,15,18,21):}|=0`

Answer» माना `Delta=|{:(13,16,19),(14,17,20),(15,17,21):}|`
संक्रिया `C_(1) + C_(3) - 2C_(2)` से
`Delta=|{:(0,16,19),(0,17,20),(0,18,21):}|=0" "[because C_(1) "के सभी अवयव शून्य है"]`
Discussion
165.

यदि `A=[(3,-3,4),(2,-3,4),(0,-1,1)]` तो दिखाइए कि `A^(3)=A^(-1)`

Answer» `A^(2)=A.A`
`=[(3,-3,4),(2,-3,4),(0,-1,1)][(3,-3,4),(2,-3,4),(0,-1,1)]`
`=[(9-6+0,-9+9-4,12-12+4),(6-6+0,-6+9-4,8-12+4),(0-2+0,0+3-1,0-4+1)]`
`=[(3,-4,4),(0,-1,0),(-2,2,-3)]`
और `A^(4)=A^(2).A^(2)`
`=[(3,-4,4),(0,-1,0),(-2,2,-3)][(3,-4,4),(0,-1,0),(-2,2,-3)]`
`=[(9+0-8,-12+4+8,12+0-12),(0+-0+0,0+1+0,0+0+0),(-6+0+6,8-2-6,-8+0+9)]`
`=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=I`
`:.A^(4)=I`..............1
अब `|A|=|(3,-3,4),(2,-3,4),(0,-1,1)|`
`=3|(-3,4),(-1,1)|-2|(-3,4),(-1,1)|+0` ( `C_(1)` के विस्तार)
`=3(-3+4)-2(-3+4)`
`=3-2=1!=0`
`:.A` व्‍युत्‍क्रमणीय है
`implies A^(-1)` का अस्तित्व है।
समीकरण 1 से
`A^(4)=I`
`impliesA^(-1)A^(4)=A^(-1)I`
`A^(3)=A^(-1)`
Discussion
166.

`|{:(0,sin alpha,cosalpha),(sinalpha, 0,sinbeta),(cosalpha,-sinbeta,0):}|`का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `Delta=|{:(0,sin alpha,-cosalpha),(-sinalpha, 0,sinbeta),(cosalpha,-sinbeta,0):}|`
`R_(1)` के अनुदिश प्रसार करने पर,
`=0(0+sin^(2)beta)-sinalpha(0-sinbetac os alpha)-cosalpha(sinalpha sinbeta-0)`
`=0+sinbetacosalpha sin alpha-sin beta cos alpha sin alpha=0`
Discussion
167.

आव्यूह `A=[(3,2,1),(0,-1,-2),(-3,4,2)]` से `A^(-1)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `|A|=|(3,2,1),(0,-1,-2),(-3,4,2)|`
`=3|(-1,-2),(4,2)|-2|(0,-2),(-3,2)|+1|(0,-1),(-3,4)|`
`=3(-2+8)-2(0-6)+1(0-3)`
`=18+12-3=27!=0`
`:.A` एक व्‍युत्‍क्रमणीय अव्‍यूह है।
अव्‍यूह A के सहगुणनखण्‍ड
`c_(11)=(-1)^(1+1)|(-1,-2),(4,2)|=(-2+8)=6`
`c_(12)=(-1)^(1+2)|(0,-2),(-3,2)|=-(0-6)=6`
`c_(13)=(-1)^(1+3)|(0,-1),(-3,4)|=0-3=-3`
`=c_(21)=(-1)^(2+1)+|(2,1),(4,2)|=-(4-4)=0`
`c_(22)=(-1)^(2+2)|(3,1),(-3,2)|=6+3=9`
`c_(23)=(-1)^(2+3)|(3,2),(-3,4)|=-(12+6)=-18`
`c_(31)=(-1)^(3+1)|(2,1),(-1,-2)|=-4+1=-3`
`c_(32)=(-1)^(3+2)|(3,1),(0,-2)|=-(-6-0)=6`
`c_(33)=(-1)^(3+3)|(3,2),(0,-1)|=-3-0=-3`
`:.adj.A=[(c_(11),c_(12),c_(13)),(c_(21),c_(22),c_(23)),(c_(31),c_(32),c_(33))]`
`[(6,6,-3),(0,9,-18),(-3,6,-3)]=[(6,0,-3),(6,9,6),(-3,-18,-3)]`
और `A^(-1)=1/(|A|).adj.A`
`=1/27[(6,0,-3),(6,9,6),(-3,18,-3)]=3/27[(2,0,-1),(2,3,2),(-1,-6,-1)]`
`=1/9[(2,0,-1),(2,3,2),(-1,-6,-1)]`
Discussion
168.

यदि `A^(-1)=[(3,-1,1),(-15,6,-15),(5,-2,2)]` और `B=[(1,2,-2),(-1,3,0),(0,-2,1)]` हो तो `(AB)^(-1)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `B=[(1,2,-2),(-1,3,0),(0,-2,1)]`
`:.|B|=|(1,2,-2),(-1,3,0),(0,-2,1)|`
`=1(3-0)-2(-1-0)-2(2-0)`
`=3+2-4=1!=0`
`B_(11)=3,B_(12)=1,B_(13)=2`
`B_(21)=2,B_(22)=1,B_(23)=2`
`=B_(31)=6,B_(32)=2,B_(33)=5`
`impliesadjB=[(3,1,2),(2,1,2),(6,2,5)]=[(3,2,6),(1,1,2),(2,2,5)]`
अब `B^(-1)=1/(|B|)adjB=[(3,2,6),(1,1,2),(2,2,6)]`
दिया है `A^(-1)=[(3,-1,1),(-15,6,-5),(5,-2,2)]`
`(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)`
`=[(3,2,6),(1,1,2),(2,2,5)][(3,-1,1),(-15,6,-5),(5,-2,2)]`
`=[(9-30+30,-3+12-12,3-10+12),(3-15+10,-1+6-4,1-5+4),(6-30+25,-2+12-10,2-10+10)]`
`=[(9,-3,5),(-2,1,0),(1,0,2)]`
Discussion
169.

सारणिक `|{:(,1,5,pi),(,log_(e)e,5,sqrt5),(,log_(10)10,5,e):}|` का मान हैA. `sqrt(pi)`B. eC. 1D. 0

Answer» Correct Answer - D
Discussion
170.

सारणिक `|{:(,a-b,b-c,c-a),(,b-c,c-a,a-b),(,c-a,a-b,b-c):}|` का मान है

Answer» Correct Answer - A
Discussion
171.

`|(1,x,y),(1,x+y,y),(1,x,x+y)|`का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|(1,x,y),(1,x+y,y),(1,x,x+y)|=|(1,x,y),(0,y,0),(0,0,x)|`
`{:((R_(2)toR_(2)-R_(1)),(R_(3)toR_(3)-R_(1))):}`
`=1|(y,0),(0,x)|=xy`
Discussion
172.

`|(x,y,x+y),(y,x+y,x),(x+y,x,y)|`का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|(x,y,x+y),(y,x+y,x),(x+y,x,y)|=|(2(x+y),y,x+y),(2(x+y),x+y,x),(2(x+y),x,y)|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`=2(x+y)|(1,y,x+y),(1,x+y,x),(1,x,y)|`
`=2(x+y)|(1,y,x+y),(0,x,-y),(0,x-y,-x)|{:((R_(2)toR_(2)-R_(1)),(R_(3)toR_(3)-R_(1))):}`
`=2(x+y).1|(x,-y),(x-y,-x)|`
`=2(x+y)(-x^(2)+xy-y^(2))`
`=-2(x+y)(x^(3)-xh+y^(2))`
`=-2(x^(3)+y^(3))`
Discussion
173.

यदि `A=[(3,5),(2,4)]` तो `A^(-1)` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|A|=|(3,5),(2,4)|`
`=12-10`
`implies` A व्‍युत्‍क्रमीय है।
अब `C_(11)+(-1)^(1+1).4=4`
`C_(12)=(-1)^(1+2).2=-2`
`C_(21)=(-1)^(2+1).5=-5`
`C_(22)=(-1)^(2+2).3=3`
`:.` adj `A=[(C_(11),C_(12)),(C_(21),C_(22))]`
`[(4,-2),(-5,3)]=[(4,-5),(-2,3)]`
`A^(-1)=1/(|A|).adj.A=1/2[(4,-5),(-2,3)]`
Discussion
174.

`|{:(5,a),(a,2):}|=|{:(2,1),(3,2):}|`,तो a का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|{:(5,a),(a,2):}|=|{:(2,1),(3,2):}|,`
`therefore10-axxa=4-3`
`10-a^(2)=1`
या `a^(2)=10-1=9`
या `a=+-3.`
Discussion
175.

यदि `|{:(,3,1,-4),(,3,2,5),(,1,-1,3):}|` हो तो `|{:(,6,3,-16),(,6,6,20),(,2,-3,12):}|`का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» `Delta=|{:(6,3,-16),(6,6,20),(2,-3,12):}|`
`=(2)(3)(4)|{:(3,1,-4),(3,2,5),(1,-1,3):}|`
[`C_(1), C_(2)` व `C_(3)` से क्रमश: 2,3, 4 उभयनिष्ठ बहार लेने पर]
`=24|{:(3,1,-4),(3,2,5),(1,-1,3):}|`
`=24 xx 49 = 1176`
Discussion
176.

यदि `|{:(3,x),(x,1):}|=|{:(3,2),(4,1):}|,` तो x के मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `|{:(3,x),(x,1):}|=|{:(3,2),(4,1):}|`
`3xx1x xxx=3xx1-4xx2`
`3-x^(2)=3-8`
`-x^(2)=-8`
`x=2sqrt2.`
Discussion
177.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(x+y,y+z,z+x),(z,x,y),(1,1,1):}|=0.`

Answer» बॉया पक्ष :`|{:(x+y,y+z,z+x),(z,x,y),(1,1,1):}|`
`=|{:(x+y+z,x+y+z,x+y+z),(z,x,y),(1,1,1):}|,R_(1)toR_(1)+R_(2)` के प्रयोग से
`=(x+y+z)|{:(1,1,1),(z,x,y),(1,1,1):}|,R_(1)`से `x+y+z` अभयनिष्ठ लेने पर `=(x+y+z)xx0" "[becauseR_(1)=R_(3)]`
`=0.`
Discussion
178.

`|{:(,1,(3pi)/(10),(2pi)/(10)),(,0,"cos"((3pi)/(10)),sin((2pi)/(10))),(,0,"sin"((3pi)/(10)),cos((2pi)/(10))):}|` का मान ज्ञात कीजिए |

Answer» माना `Delta=|{:(1,(3pi)/(10),(2pi)/(10)),(0,cos((3pi)/(10)),sin((2pi)/(10))),(0,sin((3pi)/(10)),cos((2pi)/(10))):}|`
तब, `Delta=|{:(cos((3pi)/(10)),sin((2pi)/(10))),(sin((3pi)/(10)),cos((2pi)/(10))):}|`
[`C_(1)` के अनुदिश प्रसार करने पर]
`cos((3pi)/(10))cos((2pi)/(10))-sin((3pi)/(10))sin((2pi)/(10))`
`=cos((3pi)/(10)+(2pi)/(10))="cos"(pi)/(2)=0`
Discussion
179.

`Delta=|{:(2,-3,5),(6,0,4),(1,5,-7):}|`के लिए गुणधर्म 2 का सत्यापन कीजिए।

Answer» `Delta=|{:(2,-3,5),(6,0,4),(1,5,-7):}|`
Discussion
180.

सिद्ध करो कि `|{:(1,1,1),(a,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2)):}|=(a-b)(b-c)(c-a).`

Answer» प्रथम विधि : यदि दिए हुआ डिटमिनेण्ट D के बराबर हो, तो द्वितीय स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को प्रथम स्तम्भ के सांगत अवयव से घटने पर,
`D=|{:(0,1,1),(a-b,b,c),(a^(2)-b^(2),b^(2),c^(2)):}|=(a-c)|{:(0,1,1),(1,b,c),(a+b,b^(2),c^(2)):}|`
Discussion
181.

`Delta=|{:(3,2,3),(2,2,3),(3,2,3):}|` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `Delta=0.`
`Delta=|{:(3,2,3),(2,2,3),(3,2,3):}|`
`thereforeR_(1)` तथा `R_(3)` सामान है।
Discussion
182.

सारणिक `|{:(,1,(3pi)/(10),(2pi)/(10)),(,0,"cos"(3pi)/(10),"sin"(2pi)/(10)),(,0,"sin"(3pi)/(10),"cos"(2pi)/(10)):}|` का मान हैA. 1B. 0C. `-1`D. 2

Answer» Correct Answer - B
Discussion
183.

दर्शाइए कि`|{:(a,b,c),(a+2x,b+2y,x+2z),(x,y,z):}|=0.`

Answer» `|{:(a,b,c),(a+2x,b+2y,x+2z),(x,y,z):}|=|{:(a,b,c),(a,b,c),(x,y,z):}|+|{:(a,b,c),(2x,2y,2z),(x,y,z):}|=0+0=0.`
Discussion
184.

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: `Delta=|{:(1,a,bc),(1,b,ca),(1,c,ab):}|`

Answer» `Delta=|{:(1,a,bc),(1,b,ca),(1,c,ab):}|`
`=|{:(1,a,bc),(0,b-a,ca-bc),(0,c-a,ab-bc):}|,R_(2)toR_(2)-R_(1)` तथा `R_(3)toR_(1)` के प्रयोग से
`=|{:(1,a,bc),(0,b-a,(a-b)),(0,c-a,(a-c)):}|`
`=(a-b)(c-a)|{:(1,a,bc),(0,-1,c),(0,1,-b):}|,R_(2)`तथा `R_(3)` से `(a-b)` और `(c-a)` अभयनिष्ठ लेने पर
Discussion
185.

`|{:(1,1,1),(1,1+x,1),(1,1,1+y):}|`=A. 1B. 0C. xD. xy

Answer» Correct Answer - D
Discussion
186.

सरणिक `|{:(102,18,36),(1,3,4),(17,3,6):}|` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `=0.`
`|{:(102,18,36),(1,3,4),(17,3,6):}|=|{:(17xx6,3xx6,6xx6),(1,3,4),(17,3,6):}|`
`=6|{:(17,3,6),(1,3,4),(17,3,6):}|=6xx0" "[becauseR_(1)=R_(3)]`
Discussion
187.

सारणिक ` |{:(0,, 2,,0), (2,,3,,4), (4,,5,,6):}|` का मान है ।A. 2B. 4C. 6D. 8

Answer» Correct Answer - D
Discussion
188.

सारणिक `|{:(,sqrt6,sqrt5),(,sqrt20,sqrt24):}|` का मान हैA. 1B. 2C. 3D. 4

Answer» Correct Answer - B
Discussion
189.

सिद्ध किजिये कि `|{:(2y,y-z-x,2y),(2z,2z,z-x-y),(x-y-z,2x,2x):}|=(x+y+z)^(3)`

Answer» बायाँ पक्ष `=|{:(2y,y-z-x,2y),(2z,2z,z-x-y),(x-y-z,2x,2x):}|`
`=|{:(2y,y-z-x,2y),(2z,2z,z-x-y),(x+y+z,x+y+z,x+y+z):}|(R_(3)toR_(1)+R_(2)+R_(3)" से")`
`=(x+y+z)|{:(2y,y-z-x,2y),(2z,2z,z-x-y),(1,1,1):}|`
`=(x-y+z)|{:(0,-(x+y+z),2y),(x+y+z,x+y+z,z-x-y),(0,0,1):}|(C_(1)toC_(1)-C_(3) "तथा"C_(2)toC_(2)-C_(3)"से")`
`=(x+y+z)*1*|{:(0,-(x+y+z)),(x+y+z,(x+y+z)):}|`
`=(x+y+z)[0+(x+y+z)^(2)]`
`=(x+y+z)^(3)=` दायाँ पक्ष
Discussion
190.

दर्शाइये कि `|{:(x^(3)+1,x^(2),x),(y^(3)+1,y^(2),y),(z^(3)+1,z^(2),z):}|=(xyz+1)(x-y)(y-z)(x-z)`

Answer» बायाँ पक्ष =`|{:(x^(3)+1,x^(2),x),(y^(3)+1,y^(2),y),(z^(3)+1,z^(2),z):}|`
`=|{:(x^(3),x^(2),x),(y^(3),y^(2),y),(z^(3),z^(2),z):}|+|{:(1,x^(2),x),(1,y^(2),y),(1,z^(2),z):}|`
`=xyz|{:(x^(2),x,1),(y^(2),y,1),(z^(2),z,1):}|-|{:(x^(2),1,x),(y^(2),1,y),(z^(2),1,z):}|`
`=xyz|{:(x^(2),x,1),(y^(2),y,1),(z^(2),z,1):}|+|{:(x^(2),x,1),(y^(2),y,1),(z^(2),z,1):}|`
`=(xyz+1)|{:(x^(2),x,1),(y^(2),y,1),(z^(2),z,1):}|`
`=(xyz+1)|{:(x^(2),x,1),(y^(2)-x^(2),y-x,0),(z^(2)-x^(2),z-x,0):}|(R_(2)toR_(2)-R_(1)"तथा"R_(3)toR_(3)-R_(1)"से")`
`=(xyz+1)*1|{:(y^(2)-x^(2),y-x),(z^(2)-x^(2),z-x):}|`
`=(xyz+1)(y-x)(z-x)|{:(y+x,1),(z+x,1):}|`
`=(xyz+1)(y-x)(z-x)(y+x-z-x)`
`=(xyz+1)(y-x)(z-x)(y-z)`
`=(xyz+1)(x-y)(y-z)(x-z)=` दायाँ पक्ष
Discussion
191.

दर्शाइये कि `|{:(1,a,bc),(1,b,ca),(1,c,ab):}|=(a-b)(b-c)(c-a)`

Answer» बायाँ पक्ष `=|{:(1,a,bc),(1,b,ca),(1,c,ab):}|`
`=|{:(1,a,bc),(0,b-a,ca-bc),(0,c-a,ab-bc):}|(R_(2)toR_(2)-R_(1)"तथा"R_(3)toR_(3)-R_(1)"से")`
`=1|{:(b-a,ca-bc),(c-a,ab-bc):}|`
`=(b-a)(ab-bc)-(c-a)(ca-bc)`
`=(b-a)b(a-c)-(c-a)c(a-b)`
`=(b-a)(c-a)(-b+c)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)=` दायाँ पक्ष
Discussion
192.

सारणिकों के गुणधर्म से सिद्ध कीजिए - `|(a^2+1,ab,ac),(ab,b^2+1,bc),(ca,cb,c^2+1)|`

Answer» `L.H.S.=|(a^2+1,ab,ac),(ab,b^2+1,bc),(ca,cb,c^2+1)|`
` =abc|(a+(1)/(a),b,c),(a,b+(1)/(b),c),(a,b,c+(1)/(c))|`
(संक्रियाओं` R_1to(1)/(a)R_1,R_2to(1)/(b)R_2` और `R_3to(1)/(c)R_3` से)
` =(abc)/(abc)|(a^2+1,b^2,c^2),(a^2,b^2+1,c^2),(a^2,b^2,c^2+1)|`
(संक्रियाओं `C_1to a C_1,C_2to b C_2C_3to c C_3` से)
`=|(a^2+1,b^2,c^2),(a^2,b^2+1,c^2),(a^2,b^2,c^2+1)|`
`=|(1+a^2+b^2+c^2,b^2,c^2),(1+a^2+b^2+c^2,b^2+1,c^2),(1+a^2+b^2+c^2,b^2,c^2+1)|`
(संक्रिया ` C_1toC_2+C_3` से)
`=(1+a^2+b^2+c^2)|(1,b^2,c^2),(1,b^2+1,c^2),(1,b^2,c^2+1)|`
(`C_1` से` 1+a^2+b^2+c^2` उभयनिष्ट लेने पर )
`=(1+a^2+b^2+c^2)|(1,b^2,c^2),(0,1,0),(0,0,1)|`
(संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_1` से )
`=(1+a^2+b^2)xx(1,0),(0,1)|`
(`C_1` का सापेक्ष प्रसार करने पर)
`(1+a^2+b^2+c^2)xx1`
`=1+a^2+b^2+c^2`
=R.H.S.
Discussion
193.

सारणिकों के गुणधर्मों से सिद्ध कीजिए - `|(a+b+2c,a,b),(c,b+c+2a,b),(c,a,c+a+2b)|=2(a+c)^3`.

Answer» `L.H.S.=|(a+b+2c,a,b),(c,b+c+2a,b),(c,a,c+a+2b)|`
`=|(2(a+b+c),a,b),(2(a+b+c),b+c+2a,b),(2(a+b+c),a,c+a+2b)|`
( संक्रिया `C_1to C_1+C_2+C_3`से)
`=|(1,a,b),(1,b+c+2a,b),(1,a,c+a+2b)|`
[`C_1` से `2(a+b+c)` उभयनिष्ट लेने पर]
`=2(a+b+c)|(1,a,b),(0,b+c+2a,0),(0,0,c+a+2b)|`
(संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1R_3toR_3-R_1` से)
`=2(a+b+c)^3|(1,a,b),(0,1,0),(0,0,1)|`
[`R_2` और `R_3` से `(a+b+c)` उभयनिष्ट लेने पर)
`=2(a+b+c)^3xx1xx|(1,a),(0,1)|`
(`R_3` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=2(a+b+c)^3xx(1-0)`
`=2(a+b+c)^3`
R.H.S.
Discussion
194.

यदि `|{:(,x,2),(,18,x):}|=|{:(,6,2),(,18,6):}|` तो x का मान है-A. 6B. `pm 6`C. `-6`D. 0

Answer» Correct Answer - B
Discussion
195.

`|{:(b^(2)+c^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),c^(2)+a^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),a^(2)+b^(2)):}|`=A. abcB. 4abcC. `4a^(2)b^(2)c^(2)`D. `a^(2)b^(2)c^(2)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
196.

सिद्ध करो कि `|{:(1,x,y+z),(1,y,z+x),(1,z,x+y):}|=0.`

Answer» बायाँ पक्ष `|{:(b+c,a,a),(b,c+a,b),(c,c,a+b):}|`
`=|{:(2(b+c),2(a+c),2(a+b)),(b,c+a,b),(c,c,a+b):}|,R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)`के प्रयोग से
`=2|{:(b+c,a+c,a+b),(b,c+a,b),(c,c,a+b):}|,R_(1)`से 2 को अभयनिष्ठ लेने पर
`=2|{:(b+c,a+c,a+b),(-c,0,-a),(-b,-a,0):}|,R_(2)toR_(2)-R_(1)तथा R_(3)-R_(1)` के प्रयोग से
`=2|{:(0,c,b),(-c,0,-a),(-b,-a,0):}|,R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3)`के प्रयोग से
`R_(1)` के अनदिश प्रयास करने पर,
`=2[0(0-a^(2))-c(0-ab)+b(ac-0)]`
`=2[0+abc+abc]`
`=2(2 abc)`
`=4abc.`
Discussion
197.

x के लिये हल किजिये `Delta=|{:(x+a,b,c),(c,x+b,a),(a,b,x+c):}|=0`

Answer» मान `Delta=|{:(x+a,b,c),(c,x+b,a),(a,b,x+c):}|`
`=|{:(x+a+b+c,b,c),(c+x+a+b,x+b,a),(a+b+x+c,b,x+c):}|(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3)"से")`
`=(x+a+b+c)|{:(1,b,c),(1,x+b,a),(1,b,x+c):}|`
`=(x+a+b+c)|{:(1,b,c),(0,x,a-c),(0,0,x):}| R_(2)toR_(2)-R_(1)"तथा"R_(3)toR_(3)-R_(1)1s`
`=(x+a+b+c)*1|{:(x,a-c),(0,x):}|`
अब `Delta=0` से
`(x+a+b+c)x^(2)=0`
`rArrx=0 या x=-(a+b+c)`
Discussion
198.

सारणिकों के गुणधर्म से सिद्ध कीजिए - `|(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|=(a+b+c)^3`

Answer» `L.H.S.=|(a-b-c,2a,2a),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|`
`=|(a+b+c,a+b+c,a+b+c),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|`
(संक्रिया `R_1=R_1+R_2+R_3` से )
`=(a+b+c)|(1,1,1),(2b,b-c-a,2b),(2c,2c,c-a-b)|`
(`R_1` से `(a+b+c)` उभयनिष्ट लेने पर )`
`=(a+b+c)|(0,0,1),(b+c+a,-(a+b+c),2b),(0,c+a+b,c-a-b)|`
(संक्रियाओं `C_1toC_1-C_2` और `C_2 to C_2-C_3` से)
`(a+b+c)^3|(0,0,1),(1,-1,2b),(0,1,c-a-b)|`
(`C_1` और `C_2` से (a+b+c) उभयनिष्ट लेने पर) `
`=(a+b+c)^3xx|(1,-1),(0,1)|` ,
(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=(a+b+c)^3`
=R.H.S.
Discussion
199.

`|{:(x_(C_(1)),x_(C_(2)),x_(C_3)),(y_(C_1),y_(C_2),y_(C_3)),(z_(C_1),z_(C_2),z_(C_(3))):}|` का मूल्यांकन किजिये।

Answer» माना `|{:(x_(C_(1)),x_(C_(2)),x_(C_3)),(y_(C_1),y_(C_2),y_(C_3)),(z_(C_1),z_(C_2),z_(C_(3))):}|=|{:(x,(x(x-1))/(2),(x(x-1)(x-2))/(1*2*3)),(y,(y(y-1))/(2),(y(y-1)(y-2))/(1*2*3)),(z,(z(z-1))/(2),(z(z-1)(z-2))/(1*2*3)):}|`
`=(xyz)/(2*6)|{:(1,(x-1),(x-1)(x-2)),(1,(y-1),(y-1)(y-2)),(1,(z-1),(z-1)(z-2)):}|`
`=(xyz)/(12)|{:(1,(x-1),(x-1)(x-2)),(0,(y-x),(y-x)(y+x-3)),(0,(z-x),(z-x)(z+x-3)):}|(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=(xyz)/(12)(y-x)(z-x)|{:(1,(x-1),(x-1)(x-2)),(0,1,(y+x-3)),(0,1,(z+x-3)):}|`
`=(xyz)/(12)(y-x)(z-x)[(z+x-3)-(y+x-3)]`
`=(xyz)/(12)(y-x)(z-x)(z-y)`
`=(1)/(12)xyz(y-z)(z-x)(x-y)`
Discussion
200.

`|{:(a-b,b-c,c-a),(x-y,y-z,z-x),(p-q,q-r,r-p):}|=`A. `a(x+y+z)+b(p+q+r)+c`B. 0C. `abc+xyz+pqr`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion