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301.

शीर्षो `(-3,5),(3,-6) और (7,-2)` वाले त्रिभुज का छेत्रफल हैA. 46 वर्ग इकाईB. 64 वर्ग इकाईC. 44 वर्ग इकाईD. 66 वर्ग इकाई

Answer» Correct Answer - A
Discussion
302.

सिद्ध कीजिए - `|(y+k,y,y),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|=k^2(3y+k)`

Answer» L.H.S.`=|(y+k,y,y),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`=|(3y+k,3y+k,3y+k),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`=(3y+k)|(1,1,1),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`=(3y+k)|(1,0,0),(y,k,0),(y,0,k)|`
संक्रियाओं `C_2toC_2-C_1,C_3toC_3-C_1` से)
`=(3y+k)xx1xx|(k,0),(0,k)|`
`=(3y+k)k^2`
R.H.S.
Discussion
303.

यदि बिंदु `(lambda,7),(1,-5) और (-4,5)` सरिक है तो `lambda` का मान हैA. -2B. -3C. -5D. 5

Answer» Correct Answer - C
Discussion
304.

यदि `|{:(,1,w,w^(2)),(,w,w^(2),1),(,w^(2),1,w):}|=lambdaw` का `lambda` का मान ज्ञात कीजिएः

Answer» `|{:(1,w,w^(2)),(w,w^(2),1),(W^(2),1,w):}|=0`
`rArr" "lambda w = 0`
`rArr" "lambda = 0" "[because w ne 0]`
Discussion
305.

सिद्ध कीजिए - `|(x+lambda,2x,2x),(2x,x+lambda,2x),(2x,2x,x+lambda)|=(5x+lambda)(lambda-x)^2`.

Answer» L.H.S.`=|(x+lambda,2x,2x),(2x,x+lambda,2x),(2x,2x,x+lambda)|`
`=|(5x+lambda,2x,2x),(5x+lambda,x+lambda,2x),(5x+lambda,2x,x+lambda)|`
(संक्रिया `C_1toC_1+C_2+C_3` से)
`=(5x+lambda)|(1,2x,2x),(1,x+lambda,2x),(1,2x,x+lambda)|`
`=(5x+lambda)|(1,2x,2x),(0,lambda-x,0),(0,0,lambda-x)|`
संक्रियाओं `R_2toR_2-R_1` और `R_3toR_3-R_2` से)
`=(5x+lambda)|(lambda-x,,0),(0,,lambda-x)|`
(`C_1`के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=(5x+lambda)(lambda -x)^2`
=R.H.S.
Discussion
306.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए - ` |(x,y,z),(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3)|=xyz(x-y)(y-z)(z-x)`.

Answer» L.H.S.`=|(x,y,z),(x^2,y^2,z^2),(x^3,y^3,z^3)|`
`=xyz|(1,1,1),(x,y,z),(x^2,y^2,z^2)|`
(`C_1,C_2` और `C_3` से x,y,z उभयनिष्ट लेने पर)
`=xyz|(1,0,0),(x,y-x,z-x),(x^2,y^2-x^2,z^-x^22)|`
संक्रियाओं `C_2toC_2-C_1` और `C_3toC_3-C_1` से)
`=xyz(y-x)(z-x)|(1,0,0),(x,1,1),(x^2,y+x,z+x)|`
[`C_2` से (y-x) और `C_3` से उभयनिष्ट लेने पर]
`=xyz(y-x)(z-x)xx1xx|(1,1),(y+x,z+x)|`
(`R_1` के सापेक्ष प्रसार करने पर)
`=xyz(y-x)(z-x)(z-y)`
`=xyz(x-y)(y-z(z-x)`
=R.H.S.
Discussion
307.

सारणिकों के गुणधर्मों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए - ` |(a,a^2,bc),(b,b,ca),(c,c^2,ab)|=(a-b)(b-c)(c-a)(bc+ca+ab)`.

Answer» L.H.S.`=|(a,a^2,bc),(b,b,ca),(c,c^2,ab)|`
`=|(a-c,a^2-c^2,bc-ab),(b-c,b^2-c^2,ca-ab),(c,c^2,ab)|`
संक्रियाओं `R_1toR_1-R_3` और `R_2toR_2-R_3` से)
`=|(a-c,a^2-c^2,bc-ab),((b-c),(b-c)(b+c),a(c-b)),(c,c^2,ab)|`
`=(a-c)(b-c)|(1,a+c,-b),(1,b+c,-a),(c,c^2,ab)|`
[`R_2` से (a-c) और `R_3` से (b-c) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(a-c)(b-c)|(1,a+c,-b),(0,b-a,b-a),(0,-ac,ab+bc)|`
`=(a-c)(b-c)(b-a)|(1,a+c,-b),(0,1,1),(0,-ac,ab+bc)|`
[`R_2`से (b-a) उभयनिष्ट लेने पर]
`=(a-c)(b-c)(b-a)xx|(1,1),(-ac,ab+bc)|`
(`C_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=(a-c(b-c)(b-a).(ab+bc+ac)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ac)`
=R.H.S.
Discussion
308.

सारणिकों के गुणधर्मों से सिद्ध कीजिए - `(i)Delta=|(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c)|=abc(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))=abc+bc+ca+ab`.

Answer» `L.H.S.=|(1+a,1,1),(1,1+b,1),(1,1,1+c)|`
`=abc|(1+(1)/(a),(1)/(a),(1)/(a)),((1)/(b),1+(1)/(b),(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),1+(1)/(c))|`
(`R_1,R_2` और `R_3` से a,b,c उभयनिष्ट लेने पर)
(संक्रिया `R_1toR_1+R_2+R_3` से )
`=(abc)(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))|(1,1,1),((1)/(b),1+(1)/(b),(1)/(b)),((1)/(c),(1)/(c),1+(1)/(c))|`,
[`R_1` से `(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))` उभयनिष्ट लेने पर]
`=(abc)(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))|(1,0,0),((1)/(b),1,0),((1)/(c),0,1)|`
(संक्रियाओं `C_2toC_2-C_1` और `C_3toC_3-C_1` से )
`=(abc)(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))xx|(1,0),(0,1)|`
(`R_1`के अनुदिश प्रसार करने पर )
`=(abc)(1+(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c))`
`=abc+bc+ac+ab`
`R.H.S`.
Discussion
309.

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए - `=|(x+y,x,x),(5x+4y,4x,2x),(10x+8y,8x,3x)|=x^3`.

Answer» `L.H.S.=|(x+y,x,x),(5x+4y,4x,2x),(10x+8y,8x,3x)|`
`=|(x,x,x),(5x,4x,2x),(10x,8x,3x)|+|(y,x,x),(4x,4x,2x),(8x,8x,3x)|`
`=x^3|(1,1,1),(5,4,2),(10,8,3)|+x^2y|(1,1,1),(4,4,2),(8,8,3)|`
`=x^3|(1,1,1),(5,4,2),(10,8,3)|+x^2yxx0 (because C_1"और" C_2" सर्वसम है" ) `
`=x^3|(0,0,1),(1,2,2),(2,5,3)|`
(संक्रियाओं `C_1toC_1-C_2,C_2toC_2-C_3` से )
`x^3xx1xx|(1,2),(2,5)|`
`=x^3(5-4)`
(`R_1` के अनुदिश प्रसार करने पर)
`=x^3=R.H.S`.
Discussion
310.

सिद्ध कीजिए कि `|{:(x+a,x+2a,x+3a),(x+2a,x+3a,x+4a),(x+4a,x+5a,x+6a):}|=0`

Answer» निम्न संक्रियाओं का प्रयोग करें। `C_(2)toC_(2)-C_(1)` तथा `C_(3)toC_(3)-C_(2)`
Discussion