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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

किसी `triangleABC` में सिद्ध करे कि `Delta = (b^(2) + c^(2) -a^(2))/(4cotA)`

Answer» बायाँ पक्ष ` = (b^(2) + c^(2) -a^(2))/(4cotA) = (b^(2) + c^(2) - a^(2))/(2bc) xx(2bc)/(4cotA)`
` = cosA xx (bc)/((2cosA)/(sinA)) = cos A xx (bcxxsinA)/(2cosA)`
` = (1)/(2) bc sinA = triangle = ` बायाँ पक्ष
Discussion
2.

किसी `triangleABC` में यदि `A + C = 2B` तो सिद्ध करे कि `2 cos""(A-C)/(2) = (a+c)/(sqrt(a^(2) -ac + c^(2)))`

Answer» `because A + B +C = 180^(@) therefore 2B + B = 180^(@)` या, `B = 60^(@)`
अब, `cosB = (c^(2) + a^(2))/(2ca)` या, `cos 60^(@) = (c^(2) + a^(2) -b^(2))/(2ca)`
या, `(1)/(2) = (c^(2) + a^(2) - b^(2))/(2ca)` या, `a^(2) - ac + c^(2) = b^(2)" "...(1)`
अब दायाँ पक्ष ` = (a+b)/(sqrt(a^(2) -ac +c^(2)) ) = (a+c)/(b)` [(1) से]
अब `a = ksinA, b = ksinB, c = ksinC` रखकर आगे बढ़े |
Discussion
3.

किसी त्रिभुज ABC में `atanA + btanB = (a+b) tan""(A+B)/(2)` तो सिद्ध करें कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा |

Answer» प्रश्न से, `atanA + btanB = (a+b) tan""(A+B)/(2)`
`therefore atanA + btanB = atan""(A+B)/(2) btan ""(A+B)/(2)`
या, `atanA - atan""(A+B)/(2) = btan""(A+B)/(2) = btanB`
या, `a{(sinA)/(cosA)-(sin""(A+B)/(2))/(cos""(A+B)/(2))} = b{(sin""(A+B)/(2))/(cos""(A+B)/(2))-(sin B)/(cosB)}`
या, `a {(sinA.cos""(A+B)/(2)-cosB-cos""(A+B)/(2)sinB)/(cos""(A+B)/(2)cosB)}`
या, `(asin(A-(A+B)/(2)))/(cosA) = (bsin((A+B)/(2)-B))/(cosB)`
`[because A+B ne180^(@) thereforecos""(A+B)/(2)ne0]`
या, `(asin""(A-B)/(2))/(cosA) -(bsin""(A-B)/(2))/(cosB) = 0`
या, `sin""(A-B)/(2) {(a)/(cosA) -(b)/(cosB)} = 0`
`therefore sin""(A-B)/(2) = 0` या, `(a)/(cosA) - (b)/(cosB) = 0`
यदि `sin""(A-B)/(2) = 0` तो `(A-B)/(2) = 0 therefore A = B`
यदि `(a)/(cosA) - (b)/(cosB) = 0` तो `(ksinA)/(cosA) = (ksinB)/(cosB)`
या, `tanA = tanB` या, `A = B`
दोनों स्थितियों में `A =B`, अतः `triangleABC` समद्विबाहु त्रिभुज है |
Discussion
4.

किसी `triangleABC` में सिद्ध करे कि `2[asin^(2)""(C)/(2) +csin^(2)""(A)/(2)] = c+a-b`

Answer» बायाँ पक्ष ` = 2[asin^(2)""(C)/(2)+csin^(2)""(A)/(2)]`
` = 2 [a((s-a)(s-b))/(ab) +c((s-b)(s-c))/(bc)]`
` =2[((s-a)(s-b))/(b) +((s-b)(s-c))/(b)]`
` = 2(s-b)[((s-a)+(s-c))/(b)]`
` = 2(s-b)((2s-a-c))/(b) = (2s-2b) *(b)/(b)`
` = (a+b+c-2b) = a +c - b = ` दायाँ पक्ष
Discussion
5.

यदि `A = 2B` , तो सिद्ध करे कि या तो c = b या `a^(2) = b( c + b)`

Answer» `A = 2B rArr sinA = sin2B`
Discussion
6.

यदि `triangleABC` में `(a^(2)+b^(2))/(a^(2)-b^(2)) = (sin(A+B))/(sin(A-B))` तो त्रिभुज या तो समकोण होगा या समद्विबाहु |

Answer» प्रश्न से, `(a^(2)+b^(2))/(a^(2)-b^(2)) = (sin(A+B))/(sin(A-B))`
`therefore (a^(2)+b^(2)+a^(2)-b^(2))/(c^(2)+b^(2)-a^(2)+b^(2)) =(sin(A+B)+sin(A-B))/(sin(A+B) -sin(A-B))`
[componendo और dividendo से]
या, `(a^(2))/(b^(2)) = (2sinAcosB)/(2cosAsinB) ` या, `(k^(2)sin^(2)A)/(k^(2)sin^(2)A) = (2sinAcosB)/(2cosAsinB) ` या, `(sinA)/(sinB) = (cosB)/(cosA)`
या, `sinAcosA = sinBcosB " "[because sinA ne 0, sinB ne 0]`
या, `sinAcosA = 2sinBcosB` या, `2sinA - sin2B = 0`
या, `2cos(A+B) sin(A-B) = 0`
`therefore cos(A+B) = 0` या, `sin(A-B) = 0`
जब `cos(A+B) = 0` तो `A + B = 90^(@)`
`therefore C = 180^(@) - 90^(@) = 90^(@)" "...(1)`
जब `sin(A-B) = 0`तो `A - B = 0 therefore A = B " "...(2)`
(1) और (2) से या तो त्रिभुज समकोण होगा या समद्विबाहु |
नोट : `sin2A = sin2B rArr 2A = 2B` या, `2A = 180^(@) - 2B`
`rArr A = B` या, `A + B = 90^(@) rArr A = B` या, `C = 90^(@)`
Discussion
7.

यदि `triangleABC` में दो कोणों का अंतर `60^(@)` है एवं शेष कोण `30^(@)` है तो पहले दो कोणों के सम्मुख की भुजाओं का अनुपात ज्ञात करे |

Answer» `sqrt(3) + 1 : 2`
Discussion
8.

यदि `triangleABC` में `a^(4) + b^(4) + c^(4) = 2c^(2)(a^(2) + b^(2))` तो सिद्ध करे कि `C = 45^(@)` या `135^(@)`

Answer» प्रश्न से, `a^(4) + b^(4) + c^(4) - 2c^(2)a^(2) - 2b^(2)c^(2) = 0`
या `a^(4) + b^(4) + c^(4) + 2a^(2)b^(2) -2b^(2)c^(2) - 2c^(2)a^(2) = 2a^(2)b^(2)` [दोनों तरफ `2a^(2)b^(2)` जोड़ने पर ]
या, `(a^(2) + b^(2) - c^(2)) = 2a^(2)b^(2)` या, `a^(2) + b^(2) - c^(2) = pmsqrt(2)ab`
या, `(a^(2) + b^(2) -c^(2))/(2ab) = pm(sqrt(2)ab)/(2ab) = pm(1)/(sqrt(2))` या, `cosC = pm(1)/(sqrt(2))`
यदि `cosC = (1)/(sqrt(2))` तो `C = 45^(@)` तथा यदि `cosC = -(1)/(sqrt(2))` तो `C = 135^(@)` ]
Discussion
9.

यदि `triangleABC` की मध्यिका AD,भुजा AB पर लम्ब हो तो साबित करे कि `tanA + 2tanB = 0.`

Answer» `AD = BD sin B` और `(CD)/(sin(A - 90^(@)) = (AD)/(sinC)`
`therefore sinC + cosA sinB = 0.`
Discussion
10.

`triangleABC` में `tan ((A)/(2)) =`A. `sqrt(((s-c)(s-a))/(s(s-b)))`B. `sqrt(((s-b)(s-c))/(s(s-a)))`C. `sqrt(((s-a)(s-b))/(s(s-c)))`D. `sqrt(((s-c))/(s(s-b)(s-c)))`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
11.

यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3,5 और 7 हो, तो सिद्ध करे कि त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है और अधिककोण ज्ञात करे |

Answer» Correct Answer - `120^(@)`
Discussion
12.

`triangleABC` का क्षेत्रफल ज्ञात करे यदि `a = 18` सेमी, `b = 24` सेमी `C = 30` सेमी `(a = 18cm, b = 24cm, c = 30cm)`

Answer» `s = (a + b +c)/(2) = (18 + 24 + 30)/(2) = (72)/(2) = 36`
अब `triangle = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`
` = sqrt(36(36-18) (36-24) (36-30))`
` = sqrt(36 xx 18 xx 12 xx 6)`
` = sqrt(2 xx 18 xx 18 xx 6 xx 2 xx 6)`
` = 2 xx 18 xx 6 = 216` सेमी`""^(2)`
Discussion
13.

`triangleABC` का क्षेत्रफल ज्ञात करे यदि `a = 6` सेमी, `b = 8` सेमी और `C = 30^(@) (a = 6cm, b = 8cm, c = 30^(@))`

Answer» `triangle= (1)/(2) ab sinC = (1)/(2) xx 6xx8 sin30^(@) = (1)/(2)xx6xx8 xx (1)/(2)`
= 12 सेमी`""^(2)`
Discussion
14.

यदि किसी `triangleABC` में `A = 30^(@)` तथा `B = 60^(@)` हो तो `a : b:c` ज्ञात करें |

Answer» `because A + B + C = 180^(@) therefore 30^(@) + 60^(@) + C = 180^(@)`
`therefore C = 180^(@) - 90^(@) = 90^(@)`
अब सूत्र से, `(a)/(sin A) = (b)/(sin B) = (c)/(sinC)`
`therefore a : b : c = sin A : sin B : sin C`
` = sin 30^(@) : sin60^(@) : sin 90^(@) = (1)/(2) : (sqrt(3))/(2) : 1 = 1 : sqrt(3) : 2`
Discussion
15.

यदि त्रिभुज ABC में भुजाएँ स० श्रे० में हो, तो सिद्ध करे कि `cot""(A)/(2), cot""(B)/(2),cot""(C)/(2)` स० श्रे० में होंगे |

Answer» `cot""(A)/(2), cot""(B)/(2), cot""(C)/(2)` A.P. में होंगे |
`iff (s(s-a))/(Delta), (s(s-b))/(Delta), (s(s-c))/(Delta)`A.P. में होंगे
`iff s-a, s-b, s-c` A.P. में होंगे
`iff -a, -b, -c` A.P. में होंगे
`iff a,b, c ` A.P. में होंगे, जो कि दिया है
अतः `cot""(A)/(2), cot ""(B)/(2), cot""(C)/(2)` A.P. में है |
Discussion
16.

यदि त्रिभुज ABC में भुजाएँ हरात्मक श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध करे कि `cosec^(2)""(A)/(2),cosec^(2)""(B)/(2),cosec^(2)""(C)/(2)` समान्तर श्रेढ़ी में होंगे |

Answer» प्रश्नानुसार `(1)/(a), (1)/(b), (1)/(c)` A.P. में है |
`therefore (s)/(a), (s)/(b), (s)/(c)` भी A.P. में है |
`therefore (s)/(a) - 1, (s)/(b) -1, (s)/(c ) -1` अर्थात `(s-a)/(a), (s-b)/(b), (s-c)/(c)` भी A.P. में है |
या `(bc)/((s-b)(s-c)) ,(ca)/((s-a)(s-c)),(ab)/((s-a)(s-b))` भी A.P. में है,
{ सभी राशियों को `abc//(s-a)(s-b)(s-c)` से गुना करने पर }
या, `cosec^(2) ""(A)/(2), cosec^(2)""(B)/(2), cosec^(2)""(C)/(2)` भी A.P. में है |
Discussion
17.

यदि त्रिभुज ABC में भुजाएँ हरात्मक श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध करे कि `sin^(2)""(A)/(2),sin^(2)""(B)/(2), sin^(2)""(C)/(2)` हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे |

Answer» `cosec^(2)""(A)/(2), cosec""(B)/(2), cosec^(2)""(C)/(2)` A.P. में है |
`therefore sin^(2)""(A)/(2), sin^(2)""(B)/(2), sin^(2)""(C)/(2)` H.P. में होंगे |
Discussion
18.

किसी त्रिभुज की भुजाएँ `7, 4sqrt(3), sqrt(13)` है तो त्रिभुज का सबसे छोटा कोण हैA. `15^(@)`B. `30^(@)`C. `45^(@)`D. `60^(@)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
19.

किसी `triangleABC` में, `a = 1, b = sqrt(3), A = 30^(@)`, तो C का मान है :A. `45^(@)`B. `60^(@)`C. `90^(@)`D. `75^(@)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
20.

यदि किसी `triangleABC` का क्षेत्रफल `triangle`से सूचित किया जाए तो sin C बराबर हैA. `(triangle)/(ab)`B. `(ab)/(triangle)`C. `(2triangle)/(ab)`D. `(ab)/(2triangle)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
21.

`triangleABC` में, `A = 30^(@), b = 8, a = 6` तथा `sinB = x,` तो x =A. `(1)/(3)`B. `(1)/(2)`C. `(2)/(3)`D. 1

Answer» Correct Answer - C
Discussion
22.

यदि किसी `triangleABC` में, `triangleABC` की परित्रिज्या R हो और `triangleABC` का क्षेत्रफल `triangle` है, तोA. `R = (abc)/(4triangle)`B. `R = (abc)/(2triangle)`C. `R = (abc)/(triangle)`D. `R = (4triangle)/(abc)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
23.

किसी `triangleABC` में, A : B : C = 3 : 5 : 4, तो `a + b +csqrt(2) = `A. 2bB. 2cC. 3aD. 3b

Answer» Correct Answer - D
Discussion
24.

यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ `1 : sqrt(3) : 2` के अनुपात में है, तो त्रिभुज के कोण के अनुपात होंगेA. `1 : 2 : 3`B. `2 : 3 : 4`C. `3 : 2 : 1 `D. `1 : 3 : 5`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
25.

किसी `triangleABC` में, यदि a = 3, b = 5 और `sinA = (3)/(5)` तो `angleB`A. `60^(@)`B. `90^(@)`C. `45^(@)`D. `30^(@)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
26.

किसी `triangleABC` में, `(b^(2)+c^(2)-a^(2))/(c^(2)+a^(2)-b^(2))=`A. `cotA tan B`B. `tan A cot B`C. `cosA sec B`D. `sec A cos B`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
27.

`triangleABC` में यदि `a sin A - b sinB=0, ` तो `triangleABC` हैA. समद्विबाहुB. समकोणC. समबाहुD. कोई निष्कर्ष नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
28.

किसी `triangleABC` में ` cot""(B-C)/(2) tan""(B+C)/(2)` बराबर हैA. `(b-c)/(b+ c)`B. `(b+c)/(b-c)`C. `(b)/(c)`D. `(c)/(b)`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
29.

किसी `triangleABC` में, `(cosA)/(a) + (cosB)/(b) +(cosC)/(c)=`A. `(a^(2) + b^(2) - c^(2))/(2abc)`B. `(a^(2)-b^(2)+c^(2))/(2abc)`C. `(a^(2)+b^(2)+c^(2))/(abc)`D. `(a^(2)+b^(2)+c^(2))/(2abc)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
30.

किसी त्रिभुज की भुजाएँ `2, 3, sqrt(19)`, है तो त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण हैA. `120^(@)`B. `60^(@)`C. `90^(@)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
31.

`triangleABC` में , `(tan A+tanB+tanC)/(tanAtanBtanC) =`A. 1B. 2C. 3D. `(1)/(2)`

Answer» Correct Answer - A
Discussion