Explore topic-wise InterviewSolutions in .

This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

निम्नलिखित सदिश निर्देसाक्षों से जो कोण बनता है उसे निकले. `(i) hati-hatj+hatk" "(ii) 4hati+8hatj+hatk`

Answer» माना कि `veca=hati-hatj+hatk,` तो
`.veca.=sqrt(1^(2)+(-1)^(2)+1^(2))=sqrt3`
`veca` के अनुदिश इकाई सदिश होगा,
`hata=(veca)/(.veca.)=(hati-hatj+hatk)/(sqrt3)=(1)/(sqrt3)hati-(1)/(sqrt3)hatj+(1)/(sqrt3)hatk`
`therefore l=cos alpha=(1)/(sqrt3), m =cos beta=-(1)/(sqrt3), n=cos gamma=(1)/(sqrt3)`
`impliesalpha=cos ^(-1)((1)/(sqrt3)), beta=cos ^(-1)((-1)/(sqrt3))=pi-cos ^(-1)((1)/(3)), gamma=cos ^(-1)((1)/(sqrt3))`
(ii) माना कि `veca=4hati+8hatj+hatk`
`therefore veca` के दिक्क-अनुपात है, 4,8,1.
`veca` के दिक्क-कोज्याएँ है :
`cos alpha==(1)/(sqrt((a^(2)+b^(2)+c^(2))))=(4)/(sqrt((4)^(2)+(8)^(2)+(1)^(2)))=(4)/(sqrt((16+64+1)))=4/9`
`cos beta=(b)/(sqrt((a^(2)+b^(2)+c"^(2))))=(1)/(sqrt((4)^(2)+(8)^(2)+(1)^(2)))=(8)/(sqrt((16+64+1)))=8/9`
`cos gamma =(c)/(sqrt((a^(2)+b^(2)+c^(2))))=(1)/(sqrt((4)^(2)+(8)^(2)+(1)^(2)))=(1)/(sqrt((16+64+1)))=1/9`
`alpha =cos ^(-1)((4)/(9))beta=cos ^(-1)((8)/(9))gamma cos ^(-1)((1)/(9))`
Discussion
2.

उन रेखाओ के बिच का कोण क्या है जिनकी दिक्-कोज्याएँ है : `(-(sqrt3)/(4),(1)/(4), - (sqrt3)/(2), )((-sqrt3)/(4),(1)/(4), (sqrt3)/(2))`

Answer» माना कि अभीष्ट कोण `theta ` है, तो
`cos theta=l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2)`
`=(-(sqrt3)/(4))(-(sqrt3)/(4))+((1)/(4))((1)/(4))+(-(sqrt3)/(2)). ((sqrt3)/(2))`
`=3/16+1/16-3/4=-1/2implies theta =120^(@).`
Discussion
3.

a का मान ज्ञात करे ताकि बिन्दुएं `(8,-7,a),(5,2,4)` तथा ` (6,-1,2)` सरीख हो.

Answer» माना कि `A-=(8,-7,a),B-=(5,2,4),C-=(6,-1,2)`
AB के direction ratios है,
`8-5, -7-2, a-4` अर्थात `3,-9,1-4`
BC के direction ratios है: `5,-6,2+1,4-2` अर्थात `-1,3,2`
चूँकि बिन्दुएं A,B,C सरीख है, इसलिए AB और BC एक ही रेखा होंगे .
`therefore(3)/(-1)=(-9)/(3)=(a-4)/(2)`
(i) (ii) (iii)
(i) तथा (iii ) से,
`a-4=-6impliesa=2`
Discussion
4.

`A(1,-1,2)B(6,11,2)` तथा `C(1,2,6)` शीर्ष वाले त्रिभुज के कोण A के कोज्या के मान कि गणना करे.

Answer» `A(1,-1,2)` तथा `B(6,11,2)` को मिलाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात `6-1,11-(-1),2-2` अर्थात `5,12,0` है
तथा AC के दिक्-अनुपात `1-1,-(-1), 6-2` अर्थात 0,3,4 है .
`therefore cosA=(0xx5+3xx12+0xx4)/(sqrt((5^(2)+12^(2)+0^(2)))sqrt((0^(2)+3^(2)+4^(2))))=(36)/(13xx5)=36/65`
Second method: `vec(AB)=(6-1)hati+(11+1)hatj+(2-2)hatk`
`=5hati+12hatj+0hatk=5hati+12 hatj`
तथा `vec(AC)=(1-1)hati+(2+1)hatj+(6-2)hatk`
`=0hati+3hatj+4hatk=3hatj+4hatk`
`|vec(AB)|=sqrt(25+144)=sqrt(169)=13`
`|vec(AC)|=sqrt(0+9+16)=sqrt25=5`
अब `vec(AB)*vec(AC)=(AB)(AC)cos A `
`therefore (5hati+12hatj+0hatk)*(0hati+3hatj+4hatk)=(13)(5)cos A`
`implies(5)(0)+(12)(3)+(0)(4)=65 cos A.`
अतः `cos A =36/65.`
Discussion
5.

यदि `P(2,4,3)` से बिन्दुओ `A(1,2,4)` तथा `B(3,4,5)` को मिलनेवाली रेखा पर खींचे गए लम्ब का पद Q है तो Q के नियामक ज्ञात करे.

Answer» माना कि Q AB को K :1 के अनुपात में अन्त: विभाजित करता है.
तो `Q=((3k+1)/(k+1),(4k+2)/(k+1),"(5k+4)/(k+1))`
`thereforePQ` के direction ratios होंगे,
`(3k+1)/(k+1)-2, (4++2)/(k+2),(2k+1)/(k+1)`
AB के direction ratios `3-14, -2,5-4` `2,2,1` होंगे .
`becausePQ botAB`
`therefore2((k-1)/(k+1))+2((-2)/(k+1))+1((2k+1)/(k+1))=0`
`implies2k-2 -4 +2k +1=0, implies 4k =5 impliesk=5/4.`
`therefore((3.(5)/(4)+1)/((5)/(4)+1),(4.(5)/(4)+2)/((5)/(4)+1),(5.(5)/(4)+4)/((5)/(4)+1))` या `Q-=((19)/(9), (28)/(9),(41)/(9))`
Note यदि k त्रण (negative ) हो तो विभाजन बाह्य होगा .
Discussion
6.

मूल बिन्दु O से जाती हुई एक रेखा OP , OX तथा OY के क्रमशः `60^(@)` तथा `45^(@)` का कोण बनती है. यह OZ से कितना कोण बनाती है .

Answer» यदि कोई रेखा तीनो अक्षो से `alpha,beta, gamma` कोण बनाती है तो
`cos ^(2)alpha+cos ^(2)beta+cos ^(2)gamma=1.`
यहाँ `alpha =60^(@), beta=45^(@), gamma=?`
`therefore cos^(2)60^(@)+cos ^(2)45^(@)+cos ^(2)gamma=1`
या `cos ^(2)gamma=11-1/4-1/2` या `cos gamma=pm 1/2.`
`therefore gamma=60^(@)` या `120^(@).`
Discussion
7.

यदि एक रेखा निर्क अक्षो से `alpha, beta, gamma` कोण बनती है, तो सिद्ध करे किsin^2 alpha+sin^2 beta +sin^2 gamma =2

Answer» चूँकि, रेखा निर्देशांक अक्षो से कोण `alpha, beta, gamma` बनाती है, इसलिए `cos alpha, cos beta, cos gamma` इसके direction cosines है .
`thereforecos ^(2)alpha+cos ^(2)beta+cos ^(2)gamma=1`
`implies(1-sin ^(2)alpha)+1(1-sin ^(2)beta)+(1-sin ^(2)gamma)=1`
`impliessin^(2)alpha +sin ^(2)beta+sin^(2)gamma=2.`
Discussion