Differentiate \(\sqrt\frac{1-cos\,2\,x}{1+cos\,2\,x}\) with respect

1.	Differentiate \(\sqrt\frac{1-cos\,2\,x}{1+cos\,2\,x}\) with respect of x.
Answer» Let, \(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\) \(=\sqrt\frac{(1-cos\,2x)(1+cos\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\) \(=\sqrt\frac{(1-cos^2\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\) \(=\sqrt\frac{sin^2\,2x}{(1+cos\,2x)^2}\) \(=\sqrt\frac{sin^2\,2x}{(1+cos\,2x)^2}\) \(=\frac{sin\,2x}{1+cos\,2x}\) \(∴ f'(x)=\frac{d}{dx}\{\frac{sin2x}{1+cos2x}\}\) \(=\frac{(1+cos2x)\frac{d}{dx}(sin2x)-sin2x\frac{d}{dx}(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\) \(=\frac{(1+cos2x)(2cos2x)-sin2x(-2sin2x)}{(1+cos2x)^2}\) \(=\frac{2cos2x+2cos^22x+2sin^22x}{(1+cos2x)^2}\) \(=\frac{2(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\) \(=\frac{2}{1+cos2x}\) \(=\frac{2}{2\,cos^2x}\) \(=sec^2x.\) Alternative method. \(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\) \(f(x)=\sqrt\frac{2sin^2x}{2cos^2x}\) \(f(x)=tan\,x\) \(f'(x)=\frac{d}{dx}(tan\,x)\) \(=\sec^2x.\)

Differentiate \(\sqrt\frac{1-cos\,2\,x}{1+cos\,2\,x}\) with respect of x.

Answer»

Let,

\(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\)

\(=\sqrt\frac{(1-cos\,2x)(1+cos\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\)

\(=\sqrt\frac{(1-cos^2\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\)

\(=\sqrt\frac{sin^2\,2x}{(1+cos\,2x)^2}\)

\(=\frac{sin\,2x}{1+cos\,2x}\)

\(∴ f'(x)=\frac{d}{dx}\{\frac{sin2x}{1+cos2x}\}\)

\(=\frac{(1+cos2x)\frac{d}{dx}(sin2x)-sin2x\frac{d}{dx}(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\)

\(=\frac{(1+cos2x)(2cos2x)-sin2x(-2sin2x)}{(1+cos2x)^2}\)

\(=\frac{2cos2x+2cos^22x+2sin^22x}{(1+cos2x)^2}\)

\(=\frac{2(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\)

\(=\frac{2}{1+cos2x}\)

\(=\frac{2}{2\,cos^2x}\)

\(=sec^2x.\)

Alternative method.

\(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\)

\(f(x)=\sqrt\frac{2sin^2x}{2cos^2x}\)

\(f(x)=tan\,x\)

\(f'(x)=\frac{d}{dx}(tan\,x)\)

\(=\sec^2x.\)