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दिखाएं की `((1)/(x) )^(x)` का महत्तम मान `e^(1//e)` है| |
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Answer» माना की `y= ((1)/(x) )^(x)" "...(1)` स्पष्टतः `((1)/(x))^(x)` के परिभाषित होने के लिए `xgt 0` `(1)` से, ` log y =x log ((1)/(x))=-xlog x ` दोनों तरफ x के सापेक्ष (differentiate ) करने पर हमें मिलता है| ` (1)/(y) (dy)/(dx)=- log x -x *( 1)/(x) =- ( 1+ logx )` ` (dy)/(dx) =-y (1+log x ) =- ((1)/(x))^(x) (1+log x) " "...(2)` चूँकि `xgt 0" "therefore ((1)/(x))^(x) gt0` `therefore " "(dy)/(dx) ` का चिन्ह वही होगा जो `-(1+ log_ex )` का ` " "1+ log _e x =0 rArr log _ex =-1 rArr x=e^(-1) =(1)/(3)` `(dy)/(dx)` अर्थात ` -( 1+log _ex )` का चिन्ह योजना: y का मान ` x = (1)/(e) ` महत्तम है| (1)से, y का महत्तम मान ` e^(1//e)` दूसरी विधि ltBrgt `" "(dy)/(dx) =-((1)/(x))^(x) (1+log x ) " "...(2)` ` therefore " "(d^(2)y)/(dx^(2) )=- [( (1)/(x))^(x)*(1)/(x) (1+ log x )*{-((1)/(x))^(x) (1+log x ) } ]" "...(3)` ` x =(1)/(e) ` पर ` (d^(2) y)/(dx^(2) )=- e^(1//e) *( 1)/(e) lt 0 " "[ because x=(1)/(e) "पर " ,1 +log x=0]` अतः y का मान `x= (1)/(e) ` पर महत्तम है| ltBrgt y का संगत महत्तम मान `= e^(1//e)` |
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