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दिखाएँ की एक दिए हुए नियत वृत के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है| |
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Answer» माना की दिए गए वृत की त्रिज्या a तथा केंद्र O है| मान की ABCD वृत के अंतर्गत एक आयत है| माना की L तथा M क्रमशः AB और CD के मध्य है| माना की ` angle AOL =theta ` अब ` AB= 2AL =2a sin theta ` तथा ` AD= 2OL =2a cos theta ` माना की आयत ABCD का क्षेत्रफल =y, to `y = AB*AD =2a sin theta * 2a cos theta =2a^(2) sin 2theta ...(1)` चूँकि `2a^(2)` अचर है इसलिए (1 ) से स्पष्ट है की y का मान महत्तम ( यहाँ निरपेक्ष महत्तम ) होगा | जब ` sin 2theta =1` या ` 2 theta =(pi)/( 2)` या ` theta =( pi )/(4) ` जब ` theta =(pi)/(4) , AB =AD =sqrt(2a) ` दूसरी विधि (1) से, ` (dy)/(d theta ) =2a^(2) *2cos 2theta =4a^(2) cos theta " "....(2)` y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए `(dy)/(d theta) =0` `therefore " "4a^(2) cos 2theta =0 " " ` या ` cos 2theta =0 =cos ""(pi)/( 2)` ` therefore " " 2theta ""( pi)/(2) " "` या `theta = ( pi)/( 4)" "[because 0lt theta lt (pi)/(2)] ` (2) से, `(d^(2)y)/( dx^(2) )=-4a ^(2) (-2sin 2theta ) =-8a ^(2) sin 2theta " "...(3)` ` theta =(pi)/(4) ` पर, ` (d^(2)y)/(d theta )=-8a ^(2) sin ""(pi)/( 4) * 2a*( 1)/(sqrt(2) ) =sqrt(2a)` तथा ` " "AD =2a cos theta =2a cos ""(pi)/(4) =2a *( 1)/(sqrt(2)) =sqrt(2a)` ` therefore " "AB =AD ` अतः y का मान महत्तम है जब ` theta = (pi)/(4) ` अर्थात जब ` AB= AD ` इसलिए आयत एक वर्ग है| |
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