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x के उन मानों का पता लगाएं जिनके लिए फलन `x^(5) -5x ^(4) +5x^(3) -1` का मान उच्छिष्ट या निम्निष्ट या इनमें से कोई न हो|उच्छिष्ट या निम्निष्ट मानों को भी निकालें| |
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Answer» माना की `y=x ^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1" "...(i)` `therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20x^(3) +15x ^(2) =5x^(2) (x^(2)-4x+3)` ` " "=5x^(2) (x-1) (x-3)" "...(2)` अब `5x^(2) (x-1) (x-3) =0 rArr x=0 ,0,1,3` यहाँ ` 0` दो बार आता है| `(dy)/(dx)` अर्थात `5x^(2) (x-1) (x-3)` का चिन्ह योजना y का मान x =1 पर महत्तम तथा x =3 पर न्यूनतम है| ` x=0` पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है| (1) से ,y का महत्तम मान `= 1 -5+5 -1=0` y का न्यूनतम मान `= 243 -5 xx81 +5 xx27 -1=-28` दूसरी विधि माना की `y =x^(5) -5x^(4) +5x^(3) -1 " "...(1)` ` therefore " "(dy)/(dx) =5x^(4) -20 x ^(3) +15x^(2)" "....(2)` y के महत्तम या न्यूनतम मान के लिए ` (dy)/(dx) =0` ` therefore x^(4) -4x^(3) +3x^(2) =0" "rArr x^(2) (x^(2) -4x +3) =0` ` rArr " "x^(2) (x-1) (x-3)=0 " "therefore x=0 ,1,3` से ` (d^(2)y)/(dx^(2))=20x ^(3) -60x ^(2)+ 30x " "...(3)` (3 ) से, x =1 पर, ` (d^(2)y)/(dx^(2)) =20 -60+ 30=50 -60 =-10 lt 0 ` अतः y का मान x =1 पर महत्तम है| ` (1)` से, y का यह महत्तम मान `y =1^(5) -5xx 1^(4) +5xx1^(3) -1=0` ` (3)` से ` x=3 ` पर ` (d^(2)y)/(dx^(2) )=20xx3^(3) -60xx3^(3)-60xx3^(2) +30xxxx=90gt0` अतः y का मान x =3 पर न्यूनतम है `(1)` से y का यह न्यूनतम मान ` =3^(3) -5 xx 3^(4) +5xx3^(3) -1 =-28` `x=0` पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=20xx0-60 xx0 +30xx0=0` ` (3) ` से ` (d^(3)y)/(dx^(3)) =60x ^(2) -120x +30` ` x=0` पर ` (d^(3)y)/(dx^(3) )= 30 ne 0` अतः x =0 पर y का न तो महत्तम मान है और न न्यूनतम मान है| |
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