1.

For the p(x)=ax2+bx+c if α and β are zeros then find. 1. α3+β3 and 2. 1/α3+1/β3

Answer» It is given that {tex} \\alpha{/tex}\xa0and {tex} \\beta{/tex}\xa0are the zeros of the quadratic polynomial\xa0{tex}f(x)=ax^2+bx+c{/tex}\xa0{tex} \\therefore \\quad \\alpha + \\beta = - \\frac { b } { a } \\text { and } \\alpha \\beta = \\frac { c } { a }{/tex}Now,\t{tex}\\alpha^3 + \\beta ^3{/tex}\t= {tex}(\\alpha + \\beta )(\\alpha^2 -\\alpha\\beta + \\beta ^2){/tex}\t=\xa0{tex}(\\alpha + \\beta)( \\alpha^2+\\beta^2-\\alpha\\beta+2\\alpha\\beta-2\\alpha\\beta){/tex}\t=\xa0{tex} (\\alpha + \\beta)[(\\alpha + \\beta)^2-3\\alpha \\beta]{/tex}\t=\xa0{tex}(\\alpha + \\beta)^3-3\\alpha \\beta(\\alpha + \\beta){/tex}\t=\xa0{tex} \\frac { - b ^ { 3 } +3abc} { a ^ { 3 } }{/tex}\t{tex}=\\frac{-b^3+3abc}{a^3}{/tex}\xa0\t\t{tex} \\frac { 1 } { \\alpha ^ { 3 } } + \\frac { 1 } { \\beta ^ { 3 } } = \\frac { \\alpha ^ { 3 } + \\beta ^ { 3 } } { ( \\alpha \\beta ) ^ { 3 } }{/tex}\t{tex}=\\frac { (\\alpha + \\beta)( \\alpha^2+\\beta^2-\\alpha\\beta) } { ( \\alpha \\beta ) ^ { 3 } }{/tex}\t{tex}=\\frac { (\\alpha + \\beta)( \\alpha^2+\\beta^2-\\alpha\\beta+2\\alpha\\beta-2\\alpha\\beta) } { ( \\alpha \\beta ) ^ { 3 } }{/tex}\t{tex}=\\frac { (\\alpha + \\beta)[(\\alpha + \\beta)^2-3\\alpha \\beta] } { ( \\alpha \\beta ) ^ { 3 } }{/tex}\t{tex}=\\frac { [(\\alpha + \\beta)^3-3\\alpha \\beta(\\alpha + \\beta)] } { ( \\alpha \\beta ) ^ { 3 } }{/tex}\t{tex} = \\frac { \\frac { - b ^ { 3 } +3abc} { a ^ { 3 } } } { \\left( \\frac { c } { a } \\right) ^ { 3 } } {/tex}\t{tex}=\\frac{-b^3+3abc}{a^3}\\;\\times\\;\\frac{a^3}{c^3}{/tex}\t{tex}= \\frac { 3 a b c - b ^ { 3 } } { c ^ { 3 } }{/tex}\t


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