Saved Bookmarks
| 1. |
If m=cosec A-SinA and n=secA-tan A ,prove that (m^2.n)^2/3 + (n^2.m)^2/3=1 |
| Answer» Given,(cot{tex}\\theta{/tex}\xa0+ tan{tex}\\theta{/tex}) = m and (sec{tex}\\theta{/tex}\xa0- cos{tex}\\theta{/tex}) = n{tex}\\Rightarrow \\left( \\frac { 1 } { \\tan \\theta } + \\tan \\theta \\right) = m{/tex}\xa0and\xa0{tex}\\left( \\frac { 1 } { \\cos \\theta } - \\cos \\theta \\right){/tex}\xa0= n{tex}\\Rightarrow \\left( \\frac { 1 + \\tan ^ { 2 } \\theta } { \\tan \\theta } \\right) = m{/tex}\xa0and\xa0{tex}\\frac { \\left( 1 - \\cos ^ { 2 } \\theta \\right) } { \\cos \\theta }{/tex}\xa0= n{tex}\\Rightarrow \\left( \\frac { \\sec ^ { 2 } \\theta } { \\tan \\theta } \\right){/tex}\xa0= m and\xa0{tex}\\frac { \\left( 1 - \\cos ^ { 2 } \\theta \\right) } { \\cos \\theta }{/tex}\xa0= n{tex}\\Rightarrow m = \\frac { 1 } { \\cos ^ { 2 } \\theta \\times \\frac { \\sin \\theta } { \\cos \\theta } }{/tex} and\xa0{tex}\\frac { \\sin ^ { 2 } \\theta } { \\cos \\theta } = n{/tex}\xa0{tex}\\Rightarrow m = \\frac { 1 } { \\cos \\theta \\sin \\theta } {/tex}\xa0and\xa0{tex}n = \\frac { \\sin ^ { 2 } \\theta } { \\cos \\theta } {/tex}.......(1)Now, L.H.S.{tex}= \\left( m ^ { 2 } n \\right) ^ { \\frac { 2 } { 3 } } - \\left( m n ^ { 2 } \\right) ^ { \\frac { 2 } { 3 } } {/tex}{tex}= \\left[ \\frac { 1 } { \\cos ^ { 2 } \\theta \\sin ^ { 2 } \\theta } \\times \\frac { \\sin ^ { 2 } \\theta } { \\cos \\theta } \\right] ^ { \\frac { 2 } { 3 } } - \\left[ \\frac { 1 } { \\cos \\theta \\sin \\theta } \\times \\frac { \\sin ^ { 4 } \\theta } { \\cos ^ { 2 } \\theta } \\right] ^ { \\frac { 2 } { 3 } }{/tex}. [from (1)]{tex}= \\left( \\frac { 1 } { \\cos ^ { 3 } \\theta } \\right) ^ { \\frac { 2 } { 3 } } - \\left( \\frac { \\sin ^ { 3 } \\theta } { \\cos ^ { 3 } \\theta } \\right) ^ { \\frac { 2 } { 3 } } = \\frac { 1 } { \\cos ^ { 2 } \\theta } - \\frac { \\sin ^ { 2 } \\theta } { \\cos ^ { 2 } \\theta }{/tex}= sec2{tex}\\theta{/tex}\xa0- tan2{tex}\\theta{/tex}\xa0= 1 [{tex}\\because{/tex} sec2{tex}\\theta{/tex}\xa0- tan2{tex}\\theta{/tex}\xa0= 1]= R.H.S. Hence, Proved. | |