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If sin theta =a^2-b^2/a^2+b^2,find the value of all ratio of theta |
| Answer» Let us draw a right triangle ABC in which\xa0{tex}\\angle B A C = \\theta{/tex}{tex}\\sin \\theta = \\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex}\xa0...... Given{tex}\\Rightarrow \\frac { B C } { A C } = \\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \\Rightarrow \\frac { B C } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = \\frac { A C } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = k ( \\text { say } ){/tex}where k is a positive number.{tex}\\Rightarrow B C = k \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right){/tex}{tex}A C = k \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right){/tex}In\xa0{tex}\\Delta A B C{/tex}{tex}\\because \\angle B = 90 ^ { \\circ }{/tex}{tex}\\therefore A C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } \\ldots \\ldots{/tex}\xa0By Pythagoras theorem{tex}\\Rightarrow \\mathrm { k } ^ { 2 } \\left( \\mathrm { a } ^ { 2 } + \\mathrm { b } ^ { 2 } \\right) ^ { 2 } = \\mathrm { AB } ^ { 2 } + \\mathrm { k } ^ { 2 } \\left( \\mathrm { a } ^ { 2 } - \\mathrm { b } ^ { 2 } \\right) ^ { 2 }{/tex}{tex}\\Rightarrow A B ^ { 2 } = k ^ { 2 } \\left\\{ \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 } - \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 } \\right\\}{/tex}{tex}\\Rightarrow A B ^ { 2 } = k ^ { 2 } \\left( 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \\right) \\Rightarrow A B = 2 a b k{/tex}Therefore,{tex}\\cos \\theta = \\frac { A B } { A C } = \\frac { 2 a b k } { k \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) } = \\frac { 2 a b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex}{tex}\\tan \\theta = \\frac { B C } { A B } = \\frac { k \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) } { 2 a b k } = \\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}{tex}cosec \\theta = \\frac { A C } { B C } = \\frac { k \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) } { k \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) } = \\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }{/tex}{tex}\\sec \\theta = \\frac { A C } { A B } = \\frac { k \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) } { 2 a b k } = \\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}{tex}\\cot \\theta = \\frac { A B } { B C } = \\frac { 2 a b k } { k \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) } = \\frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }{/tex} | |