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If son theta =a²-b²/a²+b², find the values of all T-ratio of theta ? |
| Answer» We have,{tex}\\sin \\theta = \\frac { \\text { Perpendicular } } { \\text { Hypotenuse } } = \\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex}So, Let us draw a right triangle ABC in which\xa0{tex}\\angle B{/tex}\xa0is right angle, we havePerpendicular = BC = a2 - b2 Hypotenuse = AC = a2 + b2 and,\xa0{tex}\\angle B A C = \\theta{/tex}By Pythagoras theorem, we haveAC2 = AB2 + BC2{tex}\\Rightarrow \\quad \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad A B ^ { 2 } = \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 } - \\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \\right) ^ { 2 }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad A B ^ { 2 } = \\left( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \\right) - \\left( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } - 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \\right){/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad A B ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } = ( 2 a b ) ^ { 2 }{/tex}{tex}\\Rightarrow \\quad A B = 2 a b{/tex}\xa0Now, Let{tex}\\angle B A C = \\theta{/tex}\xa0We haveBase = AB = 2ab, Perpendicular {tex}= \\mathrm { BC } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }{/tex}, Hypotenuse\xa0= AC = a2 + b2Therefore,\xa0{tex}\\quad \\cos \\theta = \\frac { \\text { Base } } { \\text { Hypotenuse } } = \\frac { 2 a b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{/tex},\xa0{tex}\\tan \\theta = \\frac { \\text { Perpendicular } } { \\text { Base } } = \\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}{tex}\\quad cosec \\;\\theta = \\frac { \\text { Hypotenuse } } { \\text { Perpendicular } } = \\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } , \\quad \\sec \\theta = \\frac { \\text { Hypotenuse } } { \\text { Base } } = \\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 a b }{/tex}and,\xa0{tex}\\cot \\theta = \\frac { \\text { Base } } { \\text { Perpendicular } } = \\frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } }{/tex} | |