In any `DeltaABC`, prove that `(b^(2)-c^(2))cotA+(c^(2)+a^(2))cotB+(a^(2)-b^(2))cotC=0`.

In any `DeltaABC`, prove that `(b^(2)-c^(2))cotA+(c^(2)+a^(2))cotB+(a^

1.	In any `DeltaABC`, prove that `(b^(2)-c^(2))cotA+(c^(2)+a^(2))cotB+(a^(2)-b^(2))cotC=0`.
Answer» By the sine rule, we have `a/("sin A")=b/("sin B")=c/("sin C")="k (sky)"` `rArr" "("sin A")/a=("sin B")/b=("sin C")/c="k (sky)"` `rArr" "sinA=ka, sin B=kband sin C=kc.` `:." "(b^(2)-c^(2))cot A=((b^(2)-c^(2))cosA)/("sin A")=((b^(2)-c^(2)))/("ka")((b^(2)+c^(2)-a^(2)))/("2ac")` `=1/("2kabc")(b^(2)-c^(2)-a^(2))=((b^(4)-c^(4)-a^(2)b^(2)+a^(2)c^(2)))/("2kabc")` Similarly, `(c^(2)-a^(2))cosB=((c^(4)-a^(4)-b^(2)c^(2)+a^(2)b^(2)))/("2kabc")` `"And, "(a^(2)-b^(2))cotC=((a^(4)-b^(4)-a^(2)c^(2)+c^(2)c^(2)))/("2kabc")` `:." LHS"=(b^(2)-c^(2))cotA+c^(2)-a^(2)cotB+(a^(2)-b^(2))cotC` `=1/("2kabc")[(b^(4)-c^(4)-a^(2)b^(2)+a^(2)c^(2))+(c^(4)+a^(4)-b^(2)c^(2)+a^(2)b^(2))+(a^(4)-b^(4)-a^(2)c^(2)+b^(2)c^(2))]` `=1/("2kabc")xx0=0="RHS".` Hence, `(b^(2)-c^(2))cotA+(c^(2)-a^(2))cotB(a^(2)-b^(2))cotC=0`.