1.

Prove that `|{:(1,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b):}|=(a-b)(b-c)(a+b+c)`

Answer» `|{:(1,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b):}|`
`|{:(1+b+c,a+b+c,a+b+c),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b):}|(R_(1)toR_(1)+R_(3))`
`=(a+b+c)|{:(1,1,1),(a^(2),b^(2),c^(2)),(b+c,c+a,a+b):}|`
`=(a+b+c)|{:(0,0,1),(a^(2)-b^(2),b^(2)-c^(2),c^(2)),(b-c,c-b,a+b):}|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(2))`
`(C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c)|{:(0,0,1),(a+b,b+c,c^(2)),(-1,-1,a+b):}|`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c).1|underset(-1)(a+b)" "underset(-1)(b+c)|`
`(" Expanding with "R_(1))`
`=(a+b+c)(a-b)(b-c){-(a+b)+(b+c)}
=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=R.H.S.`


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