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Sin 6 theta + cos 6 theta + 3 sin square theta cos a cos square theta equals to 1 |
| Answer» {tex}\\sin ^ { 6 } \\theta + \\cos ^ { 6 } \\theta = 1 - 3 \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta{/tex}{tex}\\text { L.H.S. } = \\sin ^ { 6 } \\theta + \\cos ^ { 6 } \\theta{/tex}{tex}= \\left( \\sin ^ { 2 } \\theta \\right) ^ { 3 } + \\left( \\cos ^ { 2 } \\theta \\right) ^ { 3 }{/tex}{tex}= \\left( \\sin ^ { 2 } \\theta + \\cos ^ { 2 } \\theta \\right) \\left( \\sin ^ { 4 } \\theta + \\cos ^ { 4 } \\theta - \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta \\right){/tex}{tex}\\left[ \\because a ^ { 3 } + b ^ { 3 } = ( a + b ) \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - a b \\right) \\right]{/tex}{tex}= 1 \\left( \\sin ^ { 4 } \\theta + \\cos ^ { 4 } \\theta + 2 \\sin ^ { 2 } \\theta \\cdot \\cos ^ { 2 } \\theta - 2 \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta - \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta \\right]{/tex}{tex}\\text { since, } \\sin ^ { 2 } A + \\cos ^ { 2 } A = 1{/tex}{tex}= \\left( \\sin ^ { 2 } \\theta + \\cos ^ { 2 } \\theta \\right) ^ { 2 } - 3 \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta{/tex}{tex}= 1 - 3 \\sin ^ { 2 } \\theta \\cos ^ { 2 } \\theta{/tex}= R.H.S. proved. | |