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(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 |
| Answer» Given,(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0{tex}\\Rightarrow x ^ { 2 } - a x - b x + a b + x ^ { 2 } - b x - c x + b c + x ^ { 2 } - c x - a x+ a c = 0{/tex}{tex}\\Rightarrow 3 x ^ { 2 } - 2 a x - 2 b x - 2 c x + a b + b c + c a = 0{/tex}For equal roots\xa0{tex}B ^ { 2 } - 4 A C = 0{/tex}or,\xa0{tex}\\{ - 2 ( a + b + c ) \\} ^ { 2 } = 4 \\times 3 ( a b + b c + c a ){/tex}or,\xa0{tex}4 ( a + b + c ) ^ { 2 } - 12 ( a b + b c + c a ) = 0{/tex}or,\xa0{tex}a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 a c - 3 a b - 3 b c - 3 a c = 0{/tex}or,\xa0{tex}\\frac { 1 } { 2 } \\left[ 2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } - 2 a b - 2 a c - 2 b c \\right] = 0{/tex}or,\xa0{tex}\\frac { 1 } { 2 } \\left[ \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \\right) + \\left( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \\right) + \\left( c ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 a c \\right) \\right] = 0{/tex}or,\xa0{tex}\\frac { 1 } { 2 } \\left[ \\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \\right) + \\left( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \\right) + \\left( c ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 a c \\right) \\right] = 0{/tex}or,\xa0{tex}( a - b ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } + ( c - a ) ^ { 2 } = 0 \\text { if } a \\neq b \\neq c{/tex}Since\xa0{tex}( a - b ) ^ { 2 } > 0 , ( b - c ) ^ { 2 } > 0 ( c - a ) ^ { 2 } > 0{/tex}\xa0Hence,\xa0{tex}( a - b ) ^ { 2 } = 0 \\Rightarrow a = b{/tex}{tex}( a - c ) ^ { 2 } = 0 \\Rightarrow b = c{/tex}{tex}( c - a ) ^ { 2 } = 0 \\Rightarrow c = a{/tex}{tex}\\therefore a = b = c{/tex}\xa0Hence Proved. | |