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51.

यदि `A=[(cos alpha, sin alpha),(-sin alpha, cos alpha)]` तो `A^(n)` बराबर है-A. `[(cos n alpha,-sin n alpha),(sin n alpha,cos n alpha)]`B. `[(cos n alpha,sin n alpha),(-sin n alpha, cos n alpha)]`C. `[(sin n alpha,cos n alpha),(-cos n alpha,sin n alpha)]`D. `[(1,0),(0,1)]`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
52.

निम्नलिखित समीकरणों से x,y तथा z के मान ज्ञात कीजिए : (i) `[{:(4,3),(x,5):}]=[{:(y,z),(1,5):}]` (ii) `[{:(x+y,2),(5+z,xy):}]=[{:(6,2),(5,8):}]` (iii) `[{:(x+y+z,),(" "x+z,),(" "y+z,):}]=[{:(" "9,),(" "5,),(" "7,):}]`

Answer» (i) `[{:(4,3),(x,5):}]=[{:(y,z),(1,5):}]`
`rArrx=1,y=4,z=3`
(ii) `[{:(x+y,2),(5+x,xy):}]=[{:(6,2),(5,8):}]`
`rArr5+z=5rArrz=0`
`x+y=6` और xy =8
x+y =6 और xy = 8 को हल करने पर ,
x=4 तो y =2 तथा x=2 तो y =4
`thereforex=4,y=2,z=0`
या x=2,y=4,z=0
(iii) `[{:(x+y+z,),(" "x+z,),(" "y+z,):}]=[{:(" "9,),(" "5,),(" "7,):}]`
`rArrx=y+z=9` . . .(1)
x+z =5 . . . (2)
y+z =7 . . .(3)
समीकरण (1) और (3) से
`x+7=9rArrx=2`
z =3 समीकरण (3) में रखने पर,
`y+3=7rArry=4 thereforex=2,y=4,z=3`
Discussion
53.

`[{:(2,0,-1),(5,1,0),(0,1,3):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,0,-1),(5,1,0),(0,1,3):}]`
अब `A*A^(-1)=I`
`rArr[{:(2,0,-1),(5,1,0),(0,1,3):}]A^(-1)=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`rArr[{:(1,0,-(1)/(2)),(5,1," "0),(0,1," "3):}]A^(_1)=[{:((1)/(2),0,0),(0,1,0),(0,0,1):}] " " R_(1)to(1)/(2)R_(1)`
`rArr[{:(1,0,-(1)/(2)),(0,1," "(5)/(2)),(0,1," "3):}]A^(-1)=[{:((1)/(2),0,0),(-(5)/(2),1,0),(0,0,1):}]R_(2)toR_(2)-5R_(1)`
`rArr[{:(1,0,-(1)/(2)),(0,1," "(5)/(2)),(0,0," "(1)/(2)):}]A^(_1)=[{:((1)/(2),0,0),(-(5)/(2),1,0),((5)/(2),-1,1):}]R_(3)toR_(3)-R_(2)`
`rArr[{:(1,0,-(1)/(2)),(0,1," "(5)/(2)),(0,0," "1):}]A^(-1)=[{:((1)/(2),0,0),(-(5)/(2),1,0),(5,-2,2):}]" " R_(3)to2R_(3)`
`rArr[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]A^(_1)=[{:(3,-1," "1),(-15," "6,-5),(5,-2," "2):}]`
`R_(1)toR_(1)+(1)/(2)R_(3)` और `R_(2)toR_(2)-(5)/(2)R_(3)`
`rArrA^(_1)=[{:(3,-1," "1),(-15," "6,-5),(5,-2," "2):}]`
Discussion
54.

निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए : (i) ` [{:(4,,3),(x,, 5):}] = [ {:(y,,z), (1,,5):}]` (ii) `[{:(x + y,,2), (5+z,,xy):}] = [{:(6,,2), (5,,8):}] ` (iii) `[{:(x + y + z), ( x + z ) , ( y + z ):}] = [{:(9), (5), ( 7):}]`

Answer» Correct Answer - (i) x=1 , y = 4 , z = 3
(ii) x = 4 , y =2, z =0 or x = 2 , y = 4 , z = 0
(iii) x=2, y = 4 , z=3
Discussion
55.

समीकरण `[{:(a-b,,2a+c), (2a-b,,3c+d):}] = [{:(-1,,5),(0,,13):}]` से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - a=1,b= 2,c = 3,d= 4
Discussion
56.

यदि `A=diag[(1,-2,3)],B=diag.[(3,4,-6)]` और `C=diag[(0,1,2)]` तब `A-2B+3C` ज्ञात कीजिए।

Answer» `A=diag[(1,-2,3)]=[(1,0,0),(0,-2,0),(0,0,3)]`
`B=diag[(3,4,-6)]=[(3,0,0),(0,4,0),(0,0,-6)]`
`C=diag[(3,4,-6)]=[(3,0,0),(0,4,0),(0,0,-6)]`
`C=diag[(0,1,2)]=[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2)]`
अब `A-2B+34C=A+(-2)B+3C`
`=[(1,0,0),(0,-2,0),(0,0,3)]+(-2)[(3,0,0),(0,4,0),(0,0,-6)]`
`+3[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2)]`
`=[(1,0,0),(0,-2,0),(0,0,3)]+[(-6,0,0),(0,-8,0),(0,0,12)]`
`+[(0,0,0),(0,3,0),(0,0,6)]`
`=[(1+(-6)+0,0+0+0,0+0+0),(0+0+0,(-2)+(-8)+3,0+0+0),(0+0+0,0+0+0,3+12+6)]`
`=[(-5,0,0),(0,-7,0),(0,0,21)]`
`diag[(-5,-7,21)]`
Discussion
57.

समीकरण `[{:(a-b,2a+c),(2a-b,3c+d):}]=[{:(-1,5),(0,13):}]` से a,b,c तथा d के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `[{:(a-b,2a+c),(2a-b,3c+d):}]=[{:(-1,5),(0,13):}]`
`rArra-b=-1` . . . (1)
2a-b=0 . . . (2)
2a+c=5 . . . (3)
3c+d =13 . . . (4)
समीकरण (2) से (1) को घटाने पर
`{:(2a-b=0,),(a-b=-1,):}`
`(-+" "+)/(a=" "1)`
a=1 समीकरण (1) में रखने पर,
`1-b=-1rArrb=2`
a=1 समीकरण (3) में रखने पर,
`2xx1+c=5rArrc=3`
c=3 समीकरण (4) में रखने पर,
`3xx3+d=13rArrd=4`
`thereforea=1,b=2,a=3,d=4
Discussion
58.

यदि A = diag `[{:(2,-3,4):}]` B = diag `[{:(3,1,-2):}]` और C = diag `[{:(-1,2,-2):}]` तो 2A - B + 3C का मान ज्ञात कीजिए|

Answer» `2A-B+3C`
=2 diag `[{:(2,-3,4):}]-` diag `[{:(3,1,-2):}]+3` diag `[{:(-1,2,-2):}]`
= diag `[{:(4,-6,8):}]-`diag `[{:(3,1,-2):}]+`diag `[{:(-3,6,-6):}]`
= diag `[{:(4-3-3,-6-1+6,8+2-6):}]`
= diag `[{:(-2,-1,4):}]`.
Discussion
59.

यदि ` A = [{:( 1,2) ,( 3,4) :}]` हो तो सिद्ध कीजिए की ` A *(Adj A ) = ( Adj A )*)A =|A|I.`

Answer» Correct Answer - समी (1 ) ,(2 )और (3 ) से स्पष्ट है की
` A (Adj A) =(Adj A ) A =|A|I.`यही सिद्ध करना था|
Discussion
60.

`[{:(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5," "0):}]`

Answer» मान `A=[{:(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5," "0):}]`
हम जानते हैं कि : `A =I *A`
`rArr[{:(1,3,-2),(-3," "0,-5),(2,5," "0):}]=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]A`
`rArr[{:(1,3,-2),(0,9,-11),(0,-1," "4):}]=[{:(1,0,0),(3,1,0),(-2,0,1):}]A " " {:(R_(2)toR_(2)+3R_(1),),(R_(3)toR_(3)-2R_(1),):}`
`rArr[{:(1,3,-2),(0,-1," "4),(0," "9,-11):}]=[{:(1,0,0),(-2,0,1),(3,1,0):}]A " " R_(2)harrR_(3)`
`rArr[{:(1,3,-2),(0,1,-4),(0,9,-11):}]=[{:(1,0,0),(2,0,-1),(3,1,0):}]A " " R_(2)toR_(2)*(-1)`
`rArr[{:(1,0,10),(0,1,-4),(0,0,25):}]=[{:(-5,0,3),(2,0,-1),(-15,1,9):}]A {:(R_(1)toR_(1)-3R_(2),),(R_(3)toR_(3)-9R_(2),):}`
`rArr[{:(1,0,10),(0,1,-4),(0,0,1):}]=[{:(-5,0,3),(2,0,-1),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]A " " R_(3)to(1)/(25)R_(3)`
`rArr[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0):}]=[{:(1,-(2)/(5),-(3)/(5)),(-(2)/(5),(4)/(25),(11)/(25)),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]A " " {:(R_(1)=R_(1)-10R_(3),),(R_(2)=R_(2)+4R_(3),):}`
`rArrA^(-1)=[{:(1,-(2)/(5),-(3)/(5)),(-(2)/(5),(4)/(25),(11)/(25)),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]`.
Discussion
61.

यदि ` A = [{:( 1,-1),( 2,3) :}]` हो, तो सिद्ध कीजिए की ` A^(2) -4A+5I =0`

Answer» Correct Answer - ` A^(2) -4A+5I =0` यही सिद्ध करना था|
Discussion
62.

यदि आव्यूह ` A = [{:( 1,4),( 4,5) :}]` हो तो सिद्ध कीजिए की ` A (adj A) =(Adj A ) A =|A|I.`

Answer» Correct Answer - समी (1 ) ,(2 )और (3 ) से स्पष्ट है की
` A (Adj A) =(Adj A ) A =|A|I.`यही सिद्ध करना था|
Discussion
63.

यदि `A, 2xx2` क्रम का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो `adj (adjA)` बराबर है-A. `A^(2)`B. `A`C. `A^(-1)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
64.

यदि ` A = [{:(cos alpha , sin alpha ) ,(-sin alpha ,cos alpha ) :}]` हो तो सिद्ध कीजिए की - ` A *(Adj A ) = |A| I.`

Answer» Correct Answer - ` A *(Adj A ) = |A| I.` यही सिद्ध करना था|
Discussion
65.

आव्यूह ` [{: ( 2,3) ,( -4,-6) :}]` का सेह्खडज ज्ञात कीजिए तथा सत्यापित कीजिए- ` " " A ( adj A )= (adj A) A = |A | I.`

Answer» Correct Answer - समी(1 ), (2 ) और (3 ) से,
` " " A ( adj A )= (adj A) A = |A | I.` यही सिद्ध करना था|
Discussion
66.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(2,1),(4,2):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,1),(4,2):}]`
अब, A=IA
`rArr[{:(2,1),(4,2):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,(1)/(2)),(4,2):}]=[{:((1)/(2),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(2)R_(1)`
`rArr[{:(1,(1)/(2)),(0,0):}]=[{:((1)/(2),0),(-2,1):}]A " " R_(2)toR_(2)-4R_(1)`
यहाँ द्वितीय पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं ।
`thereforeA^(-1)` का अस्तित्व नहीं है।
Discussion
67.

x का मान ज्ञात कीजिये यदि `[(1, x,1)][(1, 3,2),(2,5,1),(15,3,2)][(1),(2),(x)]=0`

Answer» दिया है-
`[(1,x,1)][(1,3,2),(2,5,1),(15,3,2)][(1),(2),(x)]=0`
`implies [(1+2x+15,3+5x+3,2+x+2)][(1),(2),(x)]=0`
`implies [(16x+2x,6+5x,4+x)][(1),(2),(x)]=0`
`implies [(16+2x).1+(6+5x).2+(4+x).x]=0`
`implies 16+2x+12+10x+4x+x^(2)=0`
`implies x^(2)+16x+28=0`
`implies x^(2)+14x+2x+28=0`
`implies x(x+14)+2(x+14)=0`
`implies (x+14)(x+2)=0`
अतः `x=-14` तथा `x=-2`
Discussion
68.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(2,-3),(-1," "2):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,-3),(-1," "2):}]`
अब ,A = IA
`rArr[{:(2,-3),(-1," "2):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,-1),(-1," "2):}]=[{:(1,1),(0,1):}]A " " R_(1)toR_(1)+R_(2)`
`rArr[{:(1,-1),(0,1):}]=[{:(1,1),(1,2):}]A " " R_(2)toR_(2)+R_(1)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(2,3),(1,2):}]A " " R_(1)toR_(1)+R_(2)`
`thereforeA^(-1)=[{:(2,3),(1,2):}]`
Discussion
69.

x तथा y ज्ञात करो यदि `x+y=[(7,0),(2,5)]` तथा `x-y=[(3,0),(0,3)]`

Answer» `x+y+x-y=2x`
`2x=(x+y)+(x-y)=[(7,0),(2,5)]+[(3,0),(0,3)]`
`=[(10,0),(2,8)]`
`x=1/2 [(10,0),(2,8)]=[(5,0),(1,4)]`
पुनः `2y=(x+y)-(x-y)=[(7,0),(2,5)]-[(3,0),(0,3)]`
`=[(4,0),(2,2)]`
`y=1/2 [(4,0),(2,2)]=[(2,0),(1,1)]`
Discussion
70.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(6,-3),(-2," "1):}]`

Answer» मान `A=[{:(6,-3),(-2,1):}]`
अब A = IA
`rArr[{:(6,-3),(2,-1):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,-(1)/(2)),(2,-1):}]=[{:((1)/(6),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(6)R_(1)`
`rArr[{:(1,-(1)/(2)),(0," "0):}]=[{:((1)/(6),0),(-(1)/(3),1):}]A " " R_(2)toR_(2)-2R_(1)` यहाँ द्वितीय पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं ।
`thereforeA^(-1)` का अस्तित्व नहीं है ।
Discussion
71.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(2,-6),(1,-2):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,-6),(1,-2):}]`
अब , A = IA
`rArr[{:(2,-6),(1,-2):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,-2),(2,-6):}]=[{:(0,1),(1,0):}]A " " R_(1)harrR_(2)`
`rArr[{:(1,-2),(0,-2):}]=[{:(0," "1),(1,-2):}]A " " R_(2)toR_(2)-2R_(1)`
`rArr[{:(1,-2),(0,1):}]=[{:(0,1),(-(1)/(2),1):}]A " " R_(2)to-(1)/(2)R_(2)`
`thereforeA^(-1)=[{:(-1,3),(-(1)/(2),1):}]A`
Discussion
72.

निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए `[(1,-2,3),(-4,2,5)]xx[(2,3),(4,5),(2,1)]`

Answer» Correct Answer - `[(0,-4),(10,3)]`
Discussion
73.

यदि `A=[(a,b),(-b,a)], B=[(-a,b),(-b,-a)]` तब `A + B` ज्ञात करो।

Answer» `A+B=[(a,b),(-b,a)]+[(-a,b),(-b,-a)]`
`=[(a-a,b+b),(-b-b,a-a)]=[(0,2b),(-2b,0)]`
Discussion
74.

यदि `A=[(0,0,1),(2,-3,0),(1,1,-1)]` ज्ञात कीजिए `A^(3)+4A^(2)-A`

Answer» Correct Answer - `[(5,0,-3),(-6,14,0),(-3,-3,8)]`
Discussion
75.

यदि `A=[(2,0,-1),(2,3,-2),(0,-2,5)]` तब `A^(2)+2A-7I` का मान ज्ञात करो।

Answer» Correct Answer - `[(1,2,-9),(14,12,-22),(-4,-20,32)]`
Discussion
76.

यदि `A=[(2,5),(1,3)], B=[(1,-1),(-3,2)]` तब AB तथा BA ज्ञात करो। क्या AB = BA ?

Answer» `AB=[(2,5),(1,3)][(1,-1),(-3,2)]`
`=[(2xx1+5xx(-3),2xx(-1)+5xx2),(1xx1+3xx(-3),1xx(-1)+3xx2)]`
`AB=[(-13,8),(-8,5)]` ...(1)
`BA=[(1,-1),(-3,2)][(2,5),(1,3)]`
`=[(1xx2+(-1)xx1,1xx5+(-1)xx3),(-3xx2+2xx1,-3xx5+2xx3)]`
`BA=[(1,2),(-4,-9)]` ...(2)
समी० (1) व (2) से स्पष्ट है की `AB ne BA`
Discussion
77.

(a)ज्ञात कीजिए ‌`3I_(3)-A` यदि `A=[(1,9,5),(0,12,-8),(1,3,5)]`

Answer» हम जानते हैं कि `I_(3)=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`:.3I_(3)-A=3[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]-[(1,9,5),(0,12,-8),(1,3,5)]`
`=[(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)]+[(-1,-9,-5),(0,-12,8),(-1,-3,-5)]`
`=[(3+(-1),0+(-9),0+(-5)),(0+0,3+(-12),0+8),(0+(-1),0+(-3),3+(-5))]`
`=[(2,-9,-5),(0,-9,8),(-1,-3,-2)]`
Discussion
78.

यदि `A=[(1,3,4),(2,0,1),(-3,2,3)],B=[(0,2,-1),(5,7,2),(-1,0,3)]` `C=[(2,-1,3),(6,8,5),(0,1,4)]` तब `4A-2B+3C` ज्ञात कीजिए।

Answer» `4A-3B+3C=4A+(-2)B+3C`
`=4[(1,3,4),(2,0,1),(-3,2,3)]+(-2)[(0,2,-1),(5,7,2),(-1,0,3)]`
`+3[(2,-1,3),(6,8,5),(0,1,4)]`
`=[(4,12,16),(8,0,4),(-12,8,12)]+[(0,-4,2),(-10,-14,-4),(2,0,-6)]`
`+[(6,-3,9),(18,24,15),(0,3,12)]`
`=[(4+0+6,12+(-4)+(-3),16+2+9),(8+(-10)+18,0+(-14)+24,4+(-4)+15),((-12)+2+0,8+0+3,12+(-6)+12)]`
`=[(10,5,27),(16,10,15),(-10,11,18)]`
Discussion
79.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(3,-1),(-4," "2):}]`

Answer» मान `[{:(3,-1),(-4," "2):}]`
अब A = IA
`rArr[{:(3,-1),(-4," "2):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,-(1)/(3)),(-4," "2):}]=[{:((1)/(3),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(3)R_(1)`
`rArr[{:(1,-(1)/(3)),(0,(2)/(3)):}]=[{:((1)/(3),0),((4)/(3),1):}]A " " R_(2)toR_(2)+4R_(1)`
`rArr[{:(1,-(1)/(3)),(0," "1):}]=[{:((1)/(3),0),(2,(3)/(2)):}]A " " R_(2)to(3)/(2)R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(1,(1)/(2)),(2,(3)/(2)):}]A " " R_(1)toR_(1)+(1)/(3)R_(2)`
`thereforeA^(-1)=[{:(1,(1)/(2)),(2,(3)/(2)):}]`
Discussion
80.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(3,10),(2,7):}]`

Answer» मान `A=[{:(3,10),(2,7):}]`
अब , A = IA ltbr `rArr[{:(3,10),(2,7):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,(10)/(3)),(2,7):}]=[{:((1)/(3),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(3)R_(1)`
`rArr[{:(1,(10)/(3)),(0,(1)/(3)):}]=[{:((1)/(3),0),((-2)/(3),1):}]A " " R_(2)toR_(2)-2R_(1)`
`rArr[{:(1,(10)/(3)),(0,1):}]=[{:((1)/(3),0),(-2,3):}]A " " R_(2)to3R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(7,-10),(-2," "3):}]A " " R_(1)toR_(1)-(10)/(3)R_(2)`
`rArrthereforeA^(-1)=[{:(7,-10),(-2," "3):}]`
Discussion
81.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(4,5),(3,4):}]`

Answer» मान `A=[{:(4,5),(3,4):}]`
अब, A = IA
`rArr[{:(4,5),(3,4):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,1),(3,4):}]=[{:(1,-1),(0,1):}]A " " R_(1)toR_(1)-R_(2)`
`rArr[{:(1,1),(0,1):}]=[{:(1,-1),(-3,4):}]A " " R_(2)toR_(2)-3R_(1)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(4,-5),(-3," "4):}]A " " R_(1)toR_(1)-R_(1)`
`thereforeA^(-1)=[{:(4,-5),(-3," "4):}]`
Discussion
82.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(3,1),(5,2):}]`

Answer» मान `A=[{:(3,1),(5,2):}]`
अब A = IA `rArr[{:(3,1),(5,2):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,(1)/(3)),(5,2):}]=[{:((1)/(3),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(3)R_(1)`
`rArr[{:(1,(1)/(3)),(0,(1)/(3)):}]=[{:((1)/(3),0),((-5)/(3),1):}]A " " R_(2)toR_(2)-5R_(1)`
`rArr[{:(1,(1)/(3)),(0,1):}]=[{:((1)/(3),0),(-5,3):}]A " " R_(2)to3R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(2,-1),(-5," "3):}]A " " R_(1)to-(1)/(3)R_(1)`
`thereforeA^(-1)=[{:(2,-1),(-5," "3):}]`
Discussion
83.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो- `A=[(3,-1),(-4,2)]`

Answer» Correct Answer - `A^(-1) =[(1,1/2),(2,3/2)]`
Discussion
84.

`costheta[{:(costheta,-sintheta),(sintheta,costheta):}]+sintheta[{:(sintheta,costheta),(-costheta,sintheta):}]` का मान है -A. `[{:(0,0),(0,0):}]`B. `[{:(1,0),(0,1):}]`C. `[{:(0,1),(1,0):}]`D. इनमें से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - b
Discussion
85.

यदि `{:[(x+3,z+4,2y-7),(-6,a-1,0),(b-3,-21,0)]={:[(0,6,3y-2),(-6,-3,2c+2),(2b+4,-21,0)]:}` हो तो a, b, c, x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए

Answer» `{:[(x+3,z+4,2y-7),(-6,a-1,0),(b-3,-21,0)]={:[(0,6,3y-2),(-6,-3,2c+2),(2b+4,-21,0)]:}`
आव्यूहों के समानता के नियम से
x+3=0 अर्थात x=-3
z+4=6 अर्थात z=2
3y-2=2y-7
`implies3y-2y=-7+2`
`impliesy=-5`
a-1=-3 अर्थात a=-2
b-3=2b+4
b=-7
2c+2=0 या c+1=0 अर्थात c=-1
अतः a=-2,b=-7,c=-1,x=-3,y=-5 तथा z=2.
Discussion
86.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो- `A=[(2,3),(1,4)]`

Answer» Correct Answer - `A^(-1)=[(4//5,-3//5),(-1//5,2//5)]`
Discussion
87.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो- `A[(2,1),(4,2)]`

Answer» Correct Answer - प्रतिलोम का अस्तित्व नहीं
Discussion
88.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(2,5),(1,3):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,5),(1,3):}]`
अब A = IA
`rArr[{:(2,5),(1,3):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,2),(1,3):}]=[{:(1,-1),(0," "1):}]A " " R_(1)toR_(1)-R_(2)`
`rArr[{:(1,2),(0,1):}]=[{:(1,-1),(-1," "2):}]A " " R_(2)toR_(2)-R_(1)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(3,-5),(-1," "2):}]A " " R_(2)toR_(2)-2R_(1)`
`thereforeA^(_1)=[{:(3,-5),(-1," "2):}]`
Discussion
89.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो-`[{:(2,1),(7,4):}]`

Answer» मान `A=[{:(2,1),(7,4):}]`
अब A = IA
`rArr[{:(2,1),(7,4):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr [{:(1,(1)/(2)),(7,4):}]=[{:((1)/(2),0),(0,1):}]A " " R_(1)to(1)/(2)R_(1)`
`rArr[{:(1,(1)/(2)),(0,(1)/(2)):}]=[{:((1)/(2),0),((-7)/(2),1):}]A " " R_(2)toR_(2)-7R_(1)`
`rArr[{:(1,(1)/(2)),(0,1):}]=[{:((1)/(2),0),(-7,2):}]A " " R_(2)to2R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(4,-1),(-7," "2):}]A " " R_(1)toR_(1)-(1)/(2)R_(2)`
`thereforeA^(-1)=[{:(4,-1),(-7," "2):}]`
Discussion
90.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो- `A=[(-1,1,2),(2,4,3),(1,3,2)]`

Answer» Correct Answer - `A^(-1)=1/4[(-1,4,-5),(-1,-4,7),(2,4,-6)]`
Discussion
91.

आव्यूह `[{:(2,3),(5,7):}]` का व्युत्क्रम आव्यूह होगा -

Answer» मान `A=[{:(2,3),(5,7):}]`
हम जानते हैं कि `A A^(-1)=I`
`[{:(2,3),(5,7):}]A^(-1)=[{:(1,0),(0,1):}]`
`rArr[{:(1,(3)/(2)),(5,7):}]A^(-1)=[{:((1)/(2),0),(0,1):}] " " R_(1)to(1)/(2)R_(1)`
`rArr[{:(1,(3)/(2)),(0,(-1)/(2)):}]A^(_1)=[{:((1)/(2),0),((-5)/(2),1):}] " " R_(2)toR_(2)-5R_(1)`
`rArr[{:(1,(3)/(2)),(0,1):}]A^(_1)=[{:((1)/(2),0),(5,-2):}] " " R_(2)to-2R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]A^(-1)=[{:(-7," "3),(5,-2):}] " " R_(1)toR_(1)-(3)/(2)R_(2)`
`rArrA^(-1)=[{:(-7," "3),(5,-2):}]`.
Discussion
92.

किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है जिसे दो भिन्न - भिन्न प्रकार के बांडो में निवेशित करना है | प्रथम बांड पर 5 % वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7 % वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है | आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडो में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटे जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज (a) Rs 1800 हो | (b) Rs 2000 हो |

Answer» Correct Answer - (a) Rs 15000, Rs 15000 (b) Rs 5000, Rs 25000
Discussion
93.

एक निर्माता तीन प्रकार कि वस्तुएँ x , y तथा z का उत्पादन करता है , जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है । वस्तुओं कि वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित ) है : (a) यदि x , y तथा z कि प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs.2.50 Rs. 1.50 तथा 1.00 है ,तो प्रत्येक बाज़ार में कुल आय (revenue) ,आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए । (b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost) क्रमशः Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (gross profit) ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना आव्यूह A बिक्री को प्रदर्शित करता है ।
`thereforeA=[{:(10000,2000,18000),(6000,20000,8000):}]`
(a) माना आव्यूह B विक्रय मूल्य प्रति इकाई को प्रदर्शित करता है।
`thereforeB=[{:(" "2.50,),(" "1.50,),(" "1.00,):}]`
`=[{:(25000+3000+18000,),(15000+30000+8000,):}]=[{:(46000,),(53000,):}]`
`therefore` बाज़ार I की कुल आय =Rs. 46000
बाज़ार II की कुल आय = Rs. 53000
(b) माना आव्यूह C प्रत्येक इकाई की लागत को प्रदर्शित करता है।
`thereforeC=[{:(" "2.00,),(" "1.00,),(" "0.50,):}]`
अब `AC=[{:(10000,2000,18000),(6000,20000,8000):}][{:(2.00,),(1.00,),(0.50,):}]`
`=[{:(20000+2000+9000,),(12000+20000+4000,):}]=[{:(31000,),(36000,):}]`
बाजार I से लाभ =Rs. 46000-Rs.31000=Rs.15000
बाजार II से लाभ =Rs.53000-Rs.36000 =Rs. 17000
कुल लाभ =Rs. 15000+Rs.17000 = Rs.32000
Discussion
94.

एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ A, B, C निर्मित करता है जोकि दिल्ली तथा मुंबई में बेचीं जाती हैं। इन वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे दी गयी है। यदि A, B तथा C बस्तुओं का विक्रय मूल्य क्रमशः 2, 3 व 4 रुपये प्रति इकाई है तो आव्यूह का प्रयोग करके प्रत्येक स्थान के लिए कुल प्राप्ति की गणना कीजिए-

Answer» Correct Answer - दिल्ली : `2,95,000` रुपये, मुंबई 402000 रुपये
Discussion
95.

मान लीजिए कि `A = [(x+y" "y),(2x" " x-y)],B = [(2),(-1)]" और" C = [(3),(2)]` है । यदि AB = C,तो `A^(2)` किसके बराबर है ?A. `[(6" "-10),(4" "26)]`B. `[(-10" "5),(4" " 24)]`C. `[(-5" " -6),(-4" " -20)]`D. `[(-5" " -7),(-5" " 20)]`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
96.

मान लीजिए `A=[(1,0),(0,-1)]` तथा `B=[(1,x),(0,1)]` यदि `AB=BA` तो x बराबर है-A. `-1`B. 0C. 1D. कोई वास्तविक संख्या

Answer» Correct Answer - B
Discussion
97.

यदि `A = [(1" " 0" " -2),(2 " " -3" " 4)]`, तो आव्यूह X, जिसके लिए `2X + 3A = 0` सत्य है क्या है ?A. `[(-3/2" " 0" " -3),(-3" " -9/2" " -6)]`B. `[(3/2" " 0" " -3),(3" " -9/2" " -6)]`C. `[(3/2 " " 0" " 3),(3" " 9/2 " " 6)]`D. `[(-3/2" " 0" " 3),(-3" " 9/2 " " -6)]`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
98.

आव्यूह की प्रारंभिक संक्रियाओं द्वारा निम्न आव्यूह A का व्युत्क्रम (प्रतिलोम) ज्ञात करो- `A=[(-1,2,1),(-1,0,2),(2,1,-3)]`

Answer» Correct Answer - `A^(-1) =1/3 [(-2,7,4),(1,1,1),(-1,5,2)]`
Discussion
99.

मान लीजिए कि `A = [{:(2,,4), (3,,2 ):}], B = [{:(1,,3), (-2,,5):}], C = [{:(-2,,5), (3,,4):}]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए : (i) A + B (ii) A-B (iii) 3A - C (iv) AB (v) BA

Answer» Correct Answer - (i) `A + B = [{:(,3,7),(,1,7):}]` (ii) `A- B = [{:(,1,1),(,5,-3):}]`
(iii) `3A-C = [{:(,8,7),(,6,2):}]` (iv) ` AB = [{:(,-6,26),(,-1,19):}]` (V) `BA = [{:(,11,10),(,11,2):}]`
Discussion
100.

`[{:(1,3),(2,7):}]`

Answer» माना `A=[{:(1,3),(2,7):}]`
अब A = IA
`rArr[{:(1,3),(2,7):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,3),(0,1):}]=[{:(1,0),(-2,1):}]A " " R_(2)toR_(2)-2R_(1)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:(7,-3),(-2," "1):}]A" " R_(1)toR_(1)-3R_(1)`
`thereforeA^(-1)=[{:(7,-3),(-2," "1):}]`
Discussion