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151.

यदि `[(3,-4),(1,2)][(x),(y)]=[(3),(11)]`, तब x तथा y का मान का कीजिये।

Answer» Correct Answer - `x=5, y=3`
Discussion
152.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि, X+Y=`[{:(7,,0), (2,,5):}]`तथा X-Y=`[{:(3,,0), (0,,3):}]`

Answer» Correct Answer - (i) `X = [{:(,5,0),(,1,4):}], Y =[{:(,2,0),(,1,1):}]` (ii) `X = [{:(,(2)/(5),(-12)/(5)),(,(-11)/(5),3):}], Y = [{:(,(2)/(5),(13)/(5)),(,(14)/(5),-2):}]`
Discussion
153.

यदि `A=[(cos theta, -sin theta),(sin theta, cos theta)]` तब समीकरण `A^(T)+A=I_(2)` के लिए `theta` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» यहां
`A=[(cos theta, - sin theta),(sin theta, cos theta)]`
तब `A’=[(cos theta, sin theta),(-sin theta, cos theta)]`
दिया गया है `A^(T)+A=I_(2)`
`implies[(cos theta, sin theta),(- sin theta, cos theta)]+[(cos theta, - sin theta),(sin theta, cos theta)]=[(1,0),(0,1)]`
`implies[(2 cos theta, 0),(0, 2 cos theta)]=[(1,0),(0,1)]`
`implies 2 cos theta=1`
`impliescos theta=1/2= “cos” (pi)/3`
`implies theta=(pi)/3`
Discussion
154.

यदि `A=[(cos alpha, sinalpha),(-sin alpha, cos alpha)]` हो तो दर्शाइए कि `A’A=I`

Answer» यहां `A=[(cos alpha, sinalpha),(-sin alpha, cos alpha)]`
`:.A’=[(cos alpha,- sin alpha),(sin alpha, cos alpha)]`
अब `A’A=[(cos alpha, - sin alpha),(sin alpha, cos alpha)][(cos alpha, sin alpha),(- sin alpha, cos alpha)]`
`=[(cos^(2) alpha+sin^(2) alpha, cos alpha sin alpha-cos alpha sin alpha),(cos alpha sin alpha-cos alpha sin alpha,sin^(2) alpha + cos^(2) alpha)]`
`=[(1,0),(0,1)]=I`
Discussion
155.

यदि `A=[(3,2),(1,1)]`, a व b के मान इस प्रकार ज्ञात कीजिये की `A^(2)+aA+bI=0`

Answer» Correct Answer - `a=-4, b=1`
Discussion
156.

यदि `A=[(3,1),(7,5)]` तब x तथा y के मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए की `A^(2)+xI=yA`

Answer» Correct Answer - `x=8, y=8`
Discussion
157.

यदि `P={:[(10,-2),(-5,1)]:}` है तो `P^(-1)` ज्ञात कीजिए, यदि इसका अस्तित्व है।

Answer» मान लीजिए P=IP
`{:[(10,-2),(-5,1)]=[(1,0),(0,1)]:}P`
`{:[(0,0),(-5,1)]=[(1,2),(0,1)]:}P" "R_(1)toR_(1)+2R_(2)`
यहाँ बाएँ पक्ष के आव्यूह की प्रथम पंक्ति के सभी अवयव शून्य हो जाते है।
अतः `P^(-1)` का अस्तिव्त नहीं है।
Discussion
158.

निम्न आव्यूहों में x,y तथा z का मान ज्ञात कीजिए यदि `{:[(3,x),(4,y)]=2x[(1.5,1),(z,1)]:}` हो।

Answer» `{:[(3,x ),(4,y)]=2x[(1.5,1),(z,1)]:}`
`implies{:[(3,x),(4,y)]=[(3x,2x),(2zx,2x)]:}`
अर्थात `3x =3impliesx=1`
`y=2ximpliesy=2xx1=2`
और `2zx=4implies2zxx1=4`
`implies2z=4impliesz=2`.
अतः x=1,y=2 तथा z=2.
Discussion
159.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि Y = `[{:(3,,2), (1,, 4):}] ` तथा 2X + Y =` [{:(1,,0), (-3,,2):}] `

Answer» Correct Answer - `X = [{:(,-1,-1),(,-2,-1):}]`
Discussion
160.

यदि `{:[(x),(y)]=[(3,4),(2,3)][(4),(2)]`, तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `{:[(x),(y)]={:[(3xx4+4xx2),(2xx4+3xx2)]`
`{:[(x),(y)]={:[(12+8),(8+6)]=[(20),(14)]:}`
अतः x=20 तथा y=14.
Discussion
161.

यदि दो आव्यूहों A और B के लिये , A +B और AB दोनों को ज्ञात किया जा सकता है ,तो -A. A और B के क्रम समान होने आवश्यकता नहीं हैं ।B. A में स्तम्भों की संख्या = B में पंक्तियों की संख्याC. A और B समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं ।D. A में पंक्तियों की संख्या = B में स्तम्भों की संख्या

Answer» Correct Answer - c
Discussion
162.

X और Y ज्ञात कीजिए, यदि `X+Y={:[(5,2),(0,9)]" तथा "X-Y=[(3,6),(0,-1)]:}` है।

Answer» `X+Y={:[(5,2),(0,9)]:}`
तथा `X+Y={:[(3,6),(0,-1)]:}`
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
`2X={:[(5+3,2+6),(0+0,9-1)]=[(8,8),(0,8)]:}`
`X={:[(4,4),(0,4)]:}`
समीकरण (i) तथा (ii) घटाने पर,
`2Y{:[(5-3,2-6),(0-0,9+1)]=[(2,-4),(0,10)]:}`
`Y={:[(1,-2),(0,5)]:}`
Discussion
163.

x तथा y ज्ञात कीजिए यदि `2[{:(1,3),(0,x):}]+[{:(y,0),(1,2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]` `rArr[{:(2,6),(0,2x):}]+[{:(y,0),(1,2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]` `rArr[{:(2+y," "6),(1,2x+2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]`

Answer» `2[{:(1,3),(0,x):}]+[{:(y,0),(1,2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]`
`rArr[{:(2,6),(0,2x):}]+[{:(y,0),(1,2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]`
`rArr[{:(2+y," "6),(1,2x+2):}]=[{:(5,6),(1,8):}]`
तुलना करने पर ,
2+ y = 5 तथा `2x+2=8`
`rArr y = 3 तथा x = 3
Discussion
164.

यदि `x[{:(" "2,),(" "3,):}]+y[{:(" "-1,),(" "1,):}]=[{:(" "10,),(" "5,):}]` है ,तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `x[{:(" "2,),(" "3,):}]+y[{:(" "-1,),(" "1,):}]=[{:(" "10,),(" "5,):}]`
`rArr[{:(" "2x,),(" "3x,):}]+[{:(" "-y,),(" "y,):}]=[{:(" "10,),(" "5,):}]`
`rArr[{:(2x-y,),(3x+y,):}]=[{:(10,),(5,):}]`
`rArr2x-y=10` . . . (1)
`3x+y=5` . . . (2)
जोड़ने पर ,
`5x=15rArr x=3`
x=3 समीकरण (2) में रखने पर ,
`3xx3+y=5rArry=-4`
Discussion
165.

यदि एक वर्ग आव्यूह A के किन्ही दो पंक्तियों को परस्पर बदलने पर प्राप्त आव्यूह B हो तो `|A+B|` बराबर है-A. `2|A|`B. `2|B|`C. 0D. `|A|-|B|`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
166.

प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग द्रारा आव्यूह `A={:[(1,2),(2,-1)]:}` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Answer» सर्वप्रथम हम इसको समीकरण के रूप में लिखते है।
A=IA
`{:[(1,2),(2,-1)]=[(1,0),(0,1)]:}`
`{:[(1,2),(0,5)]=[(1,0),(2,-1)]:}A," "R_(2)to2R_(1)-R_(2)`
`{:[(1,2),(0,1)]=[(1,0),((2)/(5),-(1)/(5))]:}A," "R_(2)to(1)/(5)R_(2)`
`{:[(1,0),(0,1)]=[((1)/(5),(2)/(5)),((2)/(5),-(1)/(5))]:}A," "R_(1)toR_(1)-2R_(2)`
अतः `{:A^(-1)=[((1)/(5),(2)/(5)),((2)/(5),-(1)/(5))]:}`
Discussion
167.

प्रदत्त समीकरण को x,y,z तथा tके लिए हल कीजिए यदि `2[{:(x,z),(y,t):}]+3[{:(1,-1),(0,2):}]=3[{:(3,5),(4,6):}]`.

Answer» `2[{:(x,z),(y,t):}]+3[{:(1,-1),(0,2):}]=3[{:(3,5),(4,6):}]`.
`rArr2[{:(x,z),(y,t):}]+[{:(3,-3),(0,6):}]=[{:(9,15),(12,18):}]`
`rArr2[{:(x,z),(y,t):}]=[{:(9,15),(12,18):}]-[{:(3,-3),(0,6):}]`
`=[{:(6,18),(12,12):}]=2[{:(3,9),(6,6):}]`
`rArr[{:(x,z),(y,t):}]=[{:(3,9),(6,6):}]`
तुलना करने पर
x = 3 , y = 6 , z =9 t = 6
Discussion
168.

x तथा y ज्ञात कीजिए यदि ` 2[{:(1,,3 ), (0,,x):}]+[{:(y ,, 0), (1,,2):}] = [{:(5,,6),(1,,8):}]`

Answer» Correct Answer - x=3,y=3
Discussion
169.

यदि `x[{:(2), (3):}] + y[{:(-1),(1):}]= [{:(10),(5):}]` है तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए |

Answer» Correct Answer - x=3,y= - 4
Discussion
170.

यदि `n = p`, तो आव्यूह 7X - 5Z की कोटि है |A. `p xx 2`B. `2 xx n `C. `n xx 3`D. `p xxn `

Answer» Correct Answer - B
Discussion
171.

प्रारम्भिक संक्रियाओं का उपयोग कर निम्न आव्यूह का व्यत्क्रम ज्ञात कीजिए : `A={:[(2,-3,3),(2,2,3),(3,-2,2)]:}`

Answer» A=IA लेने पर, `{:[(2,-3,3),(2,2,3),(3,-2,2)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}A`
`{:[(3,-2,2),(2,2,3),(2,-3,3)]=[(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)]:}A," "R_(1)harrR_(3)`
`{:[(1,-4,-1),(2,2,3),(2,-3,3)]=[(0,-1,1),(0,1,0),(1,0,0)]:}A," "R_(1)toR_(1)-R_(2)`
`{:[(1,-4,-1),(0,10,5),(0,5,5)]=[(0,-1,1),(1,3,-2),(1,2,-2)]:}A," "R_(2)toR_(2)-2R_(1)" तथा "R_(3)toR_(3)-2R_(1)`
`{:[(1,-4,-1),(0,5,0),(0,5,5)]=[(0,-1,1),(-1,1,0),(1,2,-2)]:}A," "R_(2)toR_(2)-R_(3)`
`{:[(1,-4,-1),(0,1,0),(0,5,5)]=[(0,-1,1),(-1//5,1//5,0),(1,2,-2)]:}A," "R_(2)to(1)/(5)R_(2)`
`{:[(1,-4,-1),(0,1,0),(0,1,1)]=[(0,-1,1),(-1//5,1//5,0),(1//5,2//5,-2//5)]:}A," "R_(3)to(1)/(5)R_(3)`
`{:[(1,0,-1),(0,1,0),(0,1,1)]=[(-4//5,-1//5,1),(-1//5,1//5,0),(1//5,2//5,-2//5)]:}A,=(1)/(5){:[(-4,-1,5),(-1,1,0),(1,2,-2)]:}A" "R_(1)toR_(1)+4R_(2)`
`{:[(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,1)]=(1)/(5)[(-4,-1,5),(-1,1,0),(2,1,-2)]:}A," "R_(3)toR_(3)-R_(2)`
`{:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=(1)/(5)[(-2,0,3),(-1,1,0),(2,1,-2)]:}A={:[(-2//5,0,3//5),(-1//5,1//5,0),(2//5,1//5,-2//5)]:}A`
अतः `A^(-1)={:[(-2//5,0,3//5),(-1//5,1//5,0),(2//5,1//5,-2//5)]:}`
Discussion
172.

आव्यूह `A={:[(1,1,1),(1,-1,1),(2,1,-1)]:}` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Answer» सर्वप्रथम हम इसको समीकरण रूप में निम्न प्रकार लिखते है-
A=IA
`{:[(1,1,1),(1,-1,1),(2,1,-1)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}A`
`{:[(1,0,-2),(1,-1,1),(2,1,-1)]=[(-1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)]:}A," "R_(1)toR_(3)-R_(1)`
`{:[(1,0,-2),(1,-1,3),(0,1,3)]=[(-1,0,1),(1,1,-1),(2,0,-1)]:}A," "R_(2)toR_(2)-R_(1)" तथा "R_(3)toR_(3)-2R_(1)`
`{:[(1,0,-2),(1,-1,3),(0,0,6)]=[(-1,0,1),(1,1,-1),(3,1,-2)]:}A," "R_(3)toR_(2)+R_(3)`
`{:[(1,0,-2),(0,-1,3),(0,0,1)]=[(-1,0,1),(1,1,-1),(1//2,1//6,-1//3)]:}A," "R_(3)to(1)/(6)R_(3)`
`{:[(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)]=[(0,1//3,1//3),(-1//2,1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]:}A," "R_(1)toR_(1)+2R_(3)" तथा "R_(2)toR_(2)-3R_(3)`
`{:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(0,1//3,1//3),(+1//2,-1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]:}A," "R_(2)to-R_(2)`
अतः `A^(-1)={:[(0,1//3,1//3),(1//2,-1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]:}`
Discussion
173.

निम्नलिखित आव्यूह में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए : (i) `[{:(5), ((1)/(2)), (-1):}]` (ii) `[{:( 1,, - 1 ), (2,, 3 ):}]` (iii) ` [ {:( - 1,, 5,, 6), ( sqrt3,, 5 ,, 6), (2,,3,, - 1 ):}]`

Answer» Correct Answer - (i) `[{:(5,(1)/(2),-1):}]` (ii) `[{:(1,2),(-1,3):}]` (iii) `[{:(-1,sqrt(3),2),(5,5,3),(6,6,-1):}]`
Discussion
174.

यदि `A=[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]` तो दर्शाइए कि `A^(3)-23A-40I=O`

Answer» `A^(2)=A.A=[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)][(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]`
`=[(1+6+12,2-4+6,3+2+3),(3-6+4,6+4+2,9-2+1),(4+6+4,8-4+2,12+2+1)]`
`=[(19,4,8),(1,12,8),(14,6,15)]`
`A^(3)=A.A^(2)=[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]=[(19,4,8),(1,12,8),(14,6,15)]`
`=[(19+2+42,4+24+18,8+16+45),(57-2+14,12-24+6,24-16+15),(76+2+14,16+24+6,32+16+15)]`
`=[(63,46,69),(69,-6,23),(92,46,63)]`
`40I=40[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(40,0,0),(0,40,0),(0,0,40)]`
`:.A^(3)-23A-40I`
`=[(63,46,69),(69,-6,23),(92,46,63)]-23[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]-[(40,0,0),(0,40,0),(0,0,40)]`
`[(63,46,69),(69,-6,23),(92,46,63)]+[(-23,-46,-69),(-69,46,-23),(-92,-46,-23)]`
`+[(-40,0,0),(0,-40,0),(0,0,-40)]`
`=[(63-23-40.46-46+0,69-69+0),(69-69+0,-6+46-40,23-23+0),(92-92+0,46-46+0,63-23-40)]`
`=[(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]=O`
अत: `A^(3)-23A-40I=O`
Discussion
175.

प्रारम्भिक पंक्ति रूपान्तरण से `A=[{:(5,-1),(1," "1):}]` का व्यूत्क्रम ज्ञात कीजिए ।

Answer» हम जानते हैं कि A = IA
`rArr[{:(5,-1),(1,1):}]=[{:(1,0),(0,1):}]A`
`rArr[{:(1,(1)/(5)),(1,1):}]=[{:((1)/(5),0),(0,1):}]A" " R_(1)to(1)/(5)R_(1)`
`rArr[{:(1,-(1)/(5)),(0,(6)/(5)):}]=[{:((1)/(5),0),(-(1)/(5),1):}]A" " R_(2)toR_(2)-R_(1)`
`rArr[{:(1,-(1)/(5)),(0,1):}]=[{:((1)/(5),0),(-(1)/(6),(5)/(6)):}]A " " R_(2)to(5)/(6)R_(2)`
`rArr[{:(1,0),(0,1):}]=[{:((1)/(6),(1)/(6)),(-(1)/(6),(5)/(6)):}]A " " R_(1)toR_(1)+(1)/(5)R_(2)`
`rArrA^(-1)=[{:((1)/(6),(1)/(6)),(-(1)/(6),(5)/(6)):}]=(1)/(6)[{:(1,1),(-1,5):}]`
Discussion
176.

प्रारम्भिक पंक्ति रूपान्तरणों के प्रयोग से आव्यूह A `[{:(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0):}]` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए ।

Answer» हम जानते है कि -
`A=I*A`
`rArr[{:(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0):}]=[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]A`
`[{:(1,3,-2),(0,9,-11),(0,-1,4):}]=[{:(1,0,0),(3,1,0),(-2,0,1):}]A " " R_(2)toR_(2)+3R_(1)`
`R_(3)toR_(3)-2R_(1)`
`rArr[{:(1,3,-2),(0,-1,4),(0,9,-11):}]=[{:(1,0,0),(-2,0,1),(3,1,0):}]A " " R_(2)harrR_(3)`
`rArr[{:(1,3,-2),(0,1,-4),(0,9,-11):}]=[{:(1,0,0),(2,0,-1),(3,1,0):}]A" " R_(2)toR_(2)*(-1)`
`rArr[{:(1,0,10),(0,1,-4),(0,0,25):}]=[{:(-5,0,3),(2,0,-1),(-15,1,9):}]A" " R_(1)toR_(1)-3R_(2)`
`R_(3)toR_(3)-9R_(2)`
`rArr[{:(1,0,10),(0,1,-4),(0,0,1):}]=[{:(-5,0,3),(2,0,-1),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]A " " R_(3)to(1)/(25)R_(3)`
`rArr[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]=[{:(1,-(2)/(5),-(3)/(5)),(-(2)/(5),(4)/(25),(11)/(25)),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]A {:(R_(1)=R_(1)-10R_(3),),(R_(2)=R_(2)+4R_(3),):}`
`rArrA^(-1)=[{:(1,-(2)/(5),-(3)/(5)),(-(2)/(5),(4)/(25),(11)/(25)),(-(3)/(5),(1)/(25),(9)/(25)):}]`
Discussion
177.

प्रारंभिक रूपांतरण का प्रयोग करते हुए `A^(-1)` ज्ञात करो यदि इसका अस्तित्व है जहाँ `A=[(6,-3),(-2,1)]`

Answer» माना `A=[(6,-3),(-2,1)]`
`A^(-1)` ज्ञात करने के लिए पँक्ति का प्रारंभिक रूपांतरण करते हैं। इसके लिए हम `A=IA` से प्रारम्भ करते हैं।
तब `[(6,-3),(-2,1)]=[(1,0),(0,1)]A`
`implies [(1,-1//2),(-2,1)]=[(1//6,0),(0,1)]A" "[R_(1) rarr 1/6 R_(1)]`
`[(1,-1//2),(0,0)]=[(1//6,0),(1//3,1)]A" "[R_(2) rarr R_(2)+2R_(1)]`
चूँकि बायें पक्ष के आव्यूह की दूसरी पँक्ति (एक पँक्ति) के सभी अवयव शून्य हैं अतः `A^(-1)` का अस्तित्व नहीं है।
Discussion
178.

आव्यूह `[(1,1,1),(1,-1,1),(2,1,-1)]` का प्रतिलोम ज्ञात कीजिये।

Answer» माना `A=IA`
`implies [(1,1,1),(1,-1,1),(2,1,-1)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]A`
`implies [(1,0,-2),(1,-1,1),(2,1,-1)]=[(-1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)]A [R_(1) rarr R_(3)-R_(1)]`
`implies [(1,0,-2),(0,-1,3),(0,1,3)]=[(-1,0,1),(1,1,-1),(2,0,-1)]A[(R_(2) rarr R_(2)-R_(1)),(R_(3) rarr R_(3)-2R_(1))]`
`implies [(1,0,-2),(0,-1,3),(0,0,6)]=[(-1,0,0),(1,1,-1),(3,1,-2)]A [R_(3) rarr R_(3)+R_(2)]`
`implies [(1,0,-2),(0,-1,3),(0,0,1)]=[(-1,0,1),(1,1,-1),(1//2,1//6,-1//3)]A (R_(3) rarr 1/6 R_(3))`
`implies [(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)]=[(0,1//3,1//3),(-1//2,1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]A (R_(1) rarr R_(1) +2R_(3), R_(2) rarr R_(2)-3R_(3))`
`implies [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(0,1//3,1//3),(1//2,-1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]A (R_(2) rarr -R_(2))`
`:. A^(-1) =[(0,1//3,1//3),(1//2,-1//2,0),(1//2,1//6,-1//3)]`
Discussion
179.

गुणन का परिकलन कीजिए- `[(x,y,z)][(a,h,g),(h,b,f),(g,f,c)][(x),(y),(z)]`

Answer» माना
`A=[(x,y,z)[,B=[(a,h,g),(h,b,f),(g,f,c)],C=[(x),(y),(z)]`
चूंकि आव्यूहों का गुणन साहयर्च होता है इसलिए ABC ज्ञात करने के लिए `(AB)C` या `A(BC)` द्वारा ज्ञात करेंगें।
अब `AB=[(x,y,z)][(a,h,g),(h,b,f),(g,f,c)]`
`=[(ax+hy+gz,hx+by+fz,gx+fy+cz)]`
`:.(AB)C`
`=[(ax+hy+gz,hx+by+fz,gx+fy+cz)][(x),(y),(z)]`
`=[(ax+by+gz)x+(hx+by+fz)y+(fg+fy+cz)z]`
`=[ax^(2)+hxy+gzx+hxy+by^(2)+fyz+gxz+fyz+cz^(2)]`
`[ax^(2)+by^(2)+cz^(2)+2fyz+2gzx+2hxy]`
Discussion
180.

`3A-2B` का मान बताओ जहाँ `A=[(1,6,2),(4,3,-5)], B=[(2,9,-6),(4,-5,3)]`

Answer» Correct Answer - `[(-1,0,18),(4,19,-21)]`
Discussion
181.

मान लीजिए कि `A=[{:(2,4),(3,2):}],B=[{:(1,3),(-2,5):}],C[{:(-2,5),(3,4):}]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए : (i) A+B , (ii) A-B , (iii) 3A-C , (iv) AB , (v) BA

Answer» (i) `A+B=[{:(2,4),(3,2):}]+[{:(1,3),(-2,5):}]=[{:(3,7),(1,7):}]`
(ii) `A-B=[{:(2,4),(3,2):}]-[{:(1,3),(-2,5):}]=[{:(1,1),(5,-3):}]`
(iii) `3A-C=3[{:(2,4),(3,2):}]-[{:(-2,5),(3,4):}]=[{:(6,12),(9,6):}]-[{:(-2,5),(3,4):}]=[{:(8,7),(6,2):}]`
(v) `BA=[{:(1,3),(-2,5):}][{:(2,4),(3,2):}]=[{:(2+9,4+6),(-4+15,-8+10):}]=[{:(11,10),(11,2):}]`
Discussion
182.

यदि `A=[(1" " 1" "-1),(2" "-3" " 4),(3" " -2" " 3)]" और"B=[(-1" " -2" "-1),(6" " 12" " 6),(5" " 10 " " 5)]` हो , तो निम्नलिखित में से कौन -सा /से सही है /है ? I.A और B क्रमविनिमेय करते है । II.AB एक शून्य आव्यूह है । नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए ।A. केवल IB. केवल IIC. I और II दोनोंD. न तो I और न ही II

Answer» Correct Answer - B
Discussion
183.

यदि `A= [(3" "4),(5" "6),(7" "8)]`और `B= [(3" "5" "7),(4" "6" "8)]` है , तब निम्नलिखित में से कौन - सा एक सही है ?A. A का व्युत्क्रम B हैB. A का सहखण्डज B हैC. A का परिवर्त B हैD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
किसी आव्यूह A का परिवर्त पंक्ति को संगत स्तम्भ में बदलने पर प्राप्त होता है । अतः A का परिवर्त B है ।
Discussion
184.

यदि 3 `[{:(x,y),(z,w):}]=[{:(x,6),(-1,2w):}]+[{:(4,x+y),(z+w," "3):}]` है ,तो x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए ।

Answer» `3[{:(x,y),(z,w):}]=[{:(x,6),(-1,2w):}]+[{:(4,x+y),(z+w," "3):}]`
`rArr[{:(3x,3y),(3z,3w):}]=[{:(x+4,6+x+y),(-1z+w," "2w+3):}]`
तुलना करने पर
3x = x + 4 . . . (1)
3y =6 + x+y . . . (2) 3z = - 1 + z + w . . . (3)
तथा 3w = 2w +3 . . . (4) समीकरण (1) से ,
3x = X + 4
`rArr 2x = 4 rArr x=2`
x = 2 समीकरण (2) में रखने पर,
3y = 6 +2 + y
`rArr 2y =8 rArr y =4`
समीकरण (4) से,
`3w=2w+3rArrw=3` w=3 समीकरण (3) में रखने पर,
3z =- 1 +z+3
`rArr2z=2rArrz=1`
Discussion
185.

यदि `A=[{:(1,2,-3),(5,0,2),(1,-1,1):}],B=[{:(3,-1,2),(4,2,5),(2,0,3):}]` तथा `C=[{:(4,1,2),(0,3,2),(1,-2,3):}]` तो (A+B) तथा (B-C) परिकलित कीजिए । साथ ही सत्यापित कीजिए कि `A+(B-C)=(A+B)-C`.

Answer» `A+B=[{:(1,2,-3),(5,0,2),(1,-1,1):}]+[{:(3,-1,2),(4,2,5),(2,0,3):}]+[{:(4,1,-1),(9,2,7),(3,-1,4):}]`
`B-C=[{:(3,-1,2),(4,2,5),(2,0,3):}]-[{:(4,1,2),(0,3,2),(1,-2,3):}]=[{:(-1,-2,0),(4,-1,3),(1,2,0):}]`
अब `L.H.S.=A+(B-C)`
`=[{:(1,2,-3),(5,0,2),(1,-1,1):}]+[{:(-1,-2,0),(4,-1,3),(1,2,0):}]=[{:(0,0,-3),(9,-1,5),(2,1,1):}]`
R.H.S.=(A+B)-C
`=[{:(4,1,-1),(9,2,7),(3,-1,4):}]-[{:(4,1,2),(0,3,2),(1,-2,3):}]=[{:(0,0,-3),(9,-1,5),(2,1,1):}]`
`thereforeA+(B-C)=(A+B)-C` यही सिद्ध करना था ।
Discussion
186.

यदि `[{:((2)/(3),1,(5)/(3)),((1)/(3),(2)/(3),(4)/(3)),((7)/(3),2,(2)/(3)):}]` तथा `B=[{:((2)/(5),(3)/(5),1),((1)/(5),(2)/(5),(4)/(5)),((7)/(5),(6)/(5),(2)/(5)):}]` तो 3A - 5B परिकलित कीजिए ।

Answer» `3A-5B=3[{:((2)/(3),1,(5)/(3)),((1)/(3),(2)/(3),(4)/(3)),((7)/(3),2,(2)/(3)):}]-5[{:((2)/(5),(3)/(5),1),((1)/(5),(2)/(5),(4)/(5)),((7)/(5),(6)/(5),(2)/(5)):}]`
`=[{:(2,3,5),(1,2,4),(7,6,2):}]-[{:(2,3,5),(1,2,4),(7,6,2):}]=[{:(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0):}]`
Discussion
187.

यदि एक आव्यूह में 10 अवयव हैं , तो उस आव्यूह के सभी सम्भव क्रम कीजिए ।

Answer» हम जानते हैं कि
`1xx10=2xx5=5xx2=10xx1=10`
अतः सम्भव क्रम `=1xx10,2xx5,5xx2,10xx1.`
Discussion
188.

(a) यदि एक आव्यूह में पाँच पँक्तियाँ तथा प्रत्येक पँक्ति में 3 अवयव हैं तो उस आव्यूह का क्रम ज्ञात कीजिए। (b) यदि एक आव्यूह में 12 अवयव हैं तो उस आव्यूह के सभी संभव क्रम ज्ञात कीजिए। (c) यदि एक आव्यूह में 5 अवयव हैं तो उस आव्यूह के सभी संभव अवयव क्रम ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - (a) `5xx3` (b) `1xx12, 2xx6, 3xx4, 4xx3, 6xx2, 12xx1` (c) `1xx5,5xx1`
Discussion
189.

सिद्ध कीजिए एक आव्यूह जो सममित व विषय सममित है, शून्य आव्यूह होता है।

Answer» माना `A=[a_(ij)]` एक आव्यूह है, जो सममित तथा विषम दोनों हैं अब A सममित है,
`implies [a_(ij)]=[a_(ji)] AA i,j` ...(1)
व A विषम सममित है,
`implies [a_(ij)]=-[a_(ij)]AA i,j` ...(2)
(1) व (2) प्रयोग करते हुए,
`[a_(ij)]=-[a_(ij)] AA i,j`
`implies 2[a_(ij)]=0 AA i, j`
`implies [a_(ij)]=0 AA i, j`
`implies A=-[a_(ij)]` एक सिक्त या शून्य आव्यूह है।
Discussion
190.

एक आव्यूह `[a_(ij)]_(2xx2)` की रचना कीजिए जहाँ `a_(ij)=i+2j`

Answer» Correct Answer - `[(3,5),(4,6)]`
Discussion
191.

यदि `[(x,3x-y),(2x+z,3y-omega)]=[(3,2),(4,7)]` हो तो `x, y, z, omega` ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - `x=3, y=7, z=-2, omega=14`
दोनों पक्षों के संगत अवयवों को बराबर रखने पर
`x=3, 3x-y=2, 2x+z=4` व `3y-omega=7`
अब इन समीकरणों को हल करें।
Discussion
192.

`(A+B)` का मान ज्ञात कीजिये यदि `A=[(1,4,3),(2,1,8),(1,1,2)]` तथा `B=[(2,1,2),(0,4,8),(6,1,4)]`

Answer» Correct Answer - `[(3,5,5),(2,5,16),(7,2,6)]`
Discussion
193.

यदि `[(2" "3),(4" "1)]xx[(5" "-2),(-3" "1)]=[(1" "-1),(17" "lambda)]` है , तो `lambda` किसके बराबर है ?A. 7B. `-7`C. 9D. `-9`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
194.

यदि `[(x,0),(2,x+y)][(1,0),(0,1)]=[(2,1),(1,3)]-2[(0,1//2),(-1//2,3//2)]` हो तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिये।

Answer» Correct Answer - `x=2, y=-2`
Discussion
195.

यदि `A=[(2,3,4),(-3,0,2)], B=[(3,-4,-5),(1,2,1)], C=[(5,-1,0),(7,0,3)]` हो तो `A+B+C` का मान बताओ।

Answer» Correct Answer - `[(10, -2,-1),(5,2,6)]`
Discussion
196.

यदि आव्यूह `[(x),(x),(y)],[(y),(y),(z)]` एवं `[(10),(5),(5)]` का योग आव्यूह हो , तो का मान क्या है ?A. `-5`B. 0C. 5D. 10

Answer» Correct Answer - B
Discussion
197.

यदि ` A =[{:( 3 , 2),( 7,5):}]` तथा ` B= [{:( 6,7),( 8,9):}]` हो, तो ` (AB)^(-1) ` का मान ज्ञात कीजिए|

Answer» Correct Answer - ` " " = (1)/(-2) [{:( 94,-39),( -82,34) :}]= [{:( -47,(39)/(2) ),( 41,-17) :}]`
Discussion
198.

आव्यूह ` A = [{:( 1,3,3),( 1,4,3) ,( 1,3,4):}]` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए|

Answer» Correct Answer - ` " "A^(-1) =[{:( 7,-3,-3) ,( -1,1,0),( -1,0,1):}]`
Discussion
199.

यदि ` A = [{:( 2,3) ,( -1,0):}]` हो तो सिद्ध कीजिए की ` A^(2) -2A +3I =0.`

Answer» Correct Answer - ` A^(2) -2A +3I =0.` यही सिद्ध करना था|
Discussion
200.

आव्यूह ` A = [{:( 1,2,3 ),( 2,4,5),( 2,5,6) :}]` हो तो ` A^(-1) ` का मान ज्ञात कीजिए|

Answer» Correct Answer - `rArr " "A^(-1) =[{:( 1,-3,2),( -3,3,-1),( 2,-1,0):}]`
Discussion