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251.

यदि `F(x)=[{:(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1):}]` सिद्ध कीजिए कि `F(x)*F(y)=F(x+y)`.

Answer» `F(x)=[{:(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1):}]`
`rArrF(y)=[{:(cosy,-siny,0),(siny,cosy,0),(0,0,1):}]`
और `F(x+y)=[{:(cos(x+y),-sin(x+y),0),(sin(x+y),cos(x+y),0),(0,0,1):}]`
अब ` L.H.S. =F(x)*F(y)`
`=[{:(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1):}][{:(cosy,-siny,0),(siny,cosy,0),(0,0,1):}]`
`[{:(cosxcosy-sinxsiny,),(sinxcosy+cosxsiny,),(" "0,),(-sinycosx-sinxcosy0,),(-sinxsiny+cosxcosy0,),(" "0" "1,):}]`
`=[{:(cos(x+y),-sin(x+y),0),(sin(x+y),cos(x+y),0),(" "0," "0,1):}]`
=F(x+y)=R.H.S. यही आज सिद्ध करना था ।
Discussion
252.

यदि `A=[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,2)],B=[(1,3),(0,2),(-1,4)]` और `C=[(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]` तब `A(BC)` और `(AB)C` ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए कि `(AB)C=A(BC)`

Answer» चूंकि `A,3xx3` आव्यूह `B,3xx2` आव्यूह है और `C,2xx4` आव्यूह है इसलिए AB और BC दोनों का अस्‍तित्व होगा। साथ ही `(AB)C` और `A(BC)` का भी अस्‍तित्व होगा।
`AB=[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,2)][(1,3),(0,2),(-1,4)]`
`=[(1+0+1,3+2-4),(2+0-3,6+0+12),(3+0-2,9-2+8)]`
`=[(2,1),(-1,18),(1,15)]`
`:.(AB)C=[(2,1),(-1,18),(1,15)][(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]`
`[(2+2,4+0,6-2,-8+1),(-1+36,-2+0,-3-36,4+18),(1+30,2+0,3-30,-4+15)]`
`=[(4,4,4,-7),(35,-2,-39,22),(31,2,-27,11)]`………..1
पुनः `BC=[(1,3),(0,2),(-1,4)][(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]`
`=[(1+6,2+0,3-6,-4+3),(0+4,0+0,0-4,0+2),(-1+8,-2+0,-3-8,4+4)]`
`=[(7,2,-3,-1),(4,0,-4,2),(7,-2,-11,8)]`
`:.A(BC)=[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,2)][(7,2,-3,-1),(4,0,-4,2),(7,-2,-11,8)]`
`=[(7+4-7,2+0+2,-3-4+11,-1+2-8),(14+0+21,4+0-6,-6+0-33,-2+0+24),(21-4+14,6+0-4,-9+4-22,-3-2+16)]`
`=[(4,4,4,-7),(35,-2,-39,22),(31,2,-27,11)]`…….2
समी 1 और 2 से `(AB)C=A(BC)`
Discussion
253.

यदि `F(x)=[(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1)]` है तो सिद्ध कीजिए कि `F(x),F(y)=F(x+y)`.

Answer» यहां
`F(x)=[(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1)]`
`:.F(y)=(cosy,-siny,0),(siny,cosy,0),(0,0,1)]`
अब
`F(x).F(y)=[(cosx,-sinx,0),(sinx,cosx,0),(0,0,1)][(cosy,-siny,0),(siny,cosy,0),(0,0,1)]`
`=[(cosxc0sy-sinxsiny,-sinycosx-sinxcosy,0),(sinxcosy+cosxsiny,-sinxsiny+cosxcosy,0),(0,0,1)]`
`=[(cos(x+y),-sin(x+y),0),(sin(x+y),cos(x+y),0),(0,0,1)]`
`impliesF(x).F(y)=F(x+y)`
Discussion
254.

यदि `A=[(1,0,2),(0,2,3),(1,2,3)]` तथा `B=[(3,1,1),(1,2,3),(0,1,2)]` हो तो `3A+6B` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `3A=3[(1,0,2),(0,2,3),(1,2,3)]=[(3,0,6),(0,6,9),(3,6,9)]`
`6B=6[(3,1,1),(1,2,3),(0,1,2)]=[(18,6,6),(6,12,18),(0,6,12)]`
`3A+6B=[(3,0,6),(0,6,9),(3,6,9)]+[(18,6,6),(6,12,18),(0,6,9)]=[(21,6,12),(6,18,27),(3,12,21)]`
Discussion
255.

यदि `A=[(1),(2),(3)]` तथा `[2,3,4,5]` हो तो AB ज्ञात कीजिए।

Answer» चूंकि `A,3xx1` क्रम का आव्यूह है और `B,1xx4` क्रम का आव्यूह है इसलिए AB का क्रम `3xx4` होगी।
`AB[(1),(2),(3)][(2,3,4,5)]`
`=[(2,3,4,5),(4,5,8,10),(6,9,12,15)]`
Discussion
256.

यदि `A={:[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,1)],B=[(1,3),(0,2),(-1,4)]" तथा "C=[(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]:}`, तो A (BC) तथा (AB) C ज्ञात कीजिए और दिखलाइए कि (AB) C=A (BC) है।

Answer» `BC={:[(1,3),(0,2),(-1,4)][(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]:}`
`={:[(1+6,2+0,3-6,-4+3),(0+4,0+0,0-4,0+2),(-1+8,-2+0,-3-8,4+4)]=[(7,2,-3,-1),(4,0,-4,2),(7,-2,-11,8)]:}`
`A(BC)=[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,2)][(7,-2,-3,-1),(4,0,-4,2),(7,-2,-11,8)]`
`={:[(7+4-7,2+0+2,-3-4+11,-1+2-8),(14+0+21,4+0-6+,-6+0-33,-2+0+24),(21-4+14,6+0-4,-9+4-22,-3-2+16)]`
`={:[(4,4,4,-7),(35,-2,-39,22),(31,2,-27,11)]:}`
अब `AB={:[(1,1,-1),(2,0,3),(3,-1,2)][(1,3),(0,2),(-1,4)]:}`
`={:[(1+0+1,3+2-4),(2+0-3,6+0+12),(3+0-2,9-2+8)]=[(2,1),(-1,18),(1,15)]:}`
`(AB)C={:[(2,1),(-1,18),(1,15)][(1,2,3,-4),(2,0,-2,1)]:}`
`={:[(2+2,4+0,6-2,-8+1),(-1+36,-2+0,-3-36,4+18),(1+31,2+0,3-30,-4+15)]:}`
`={:[(4,4,4,-7),(35,-2,-39,22),(31,2,-27,11)]:}`
अतः
(AB)C=A(BC).
Discussion
257.

यदि `A=[(0,6,7),(-6,0,8),(7,-8,0)],B=[(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)],C=[(2),(-2),(3)]` तो `AC,BC` और `(A+B)C` का परिकलन कीजिए। सत्यापित कीजिए कि `(A+B)C=AC+BC`.

Answer» `A+B=[(0,6,7),(-6,0,8),(7,-8,0)]+[(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)]`
`=[(0,7,8),(-5,0,10),(8,-6,0)]`
`:.(A+B)C=[(0,7,8),(-5,0,10),(8,-6,0)],[(2),(-2),(3)]`
`[(0-14+24),(-10+0+30),(16+12+0)]=[(10),(20),(28)]`……….1
पुन: `AC=[(0,6,7),(-6,0,8),(7,-8,0)][(2),(-2),(3)]`
`[(0-12+21),(-12+0+24),(14+16+0)]=[(9),(12),(30)]`
और `BC=[(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)][(2),(-2),(3)]`
`=[(0-2+3),(2+0+6),(2-4+0)]=[(1),(8),(-2)]`
`:.AC+BC=[(9),(12),(30)]+[(1),(8),(-2)]=[(10),(20),(28)]`……..2
समी 1 और 2 से
`(A+B)C=AC+BC`
Discussion
258.

यदि `A=[(1,-2,3),(-4,2,5)]` और `B=[(2,3),(4,5),(2,1)]` तब AB और BA ज्ञात कीजिए । दर्शाइए कि `AB!=BA`.

Answer» चूंकि `A,2xx3` आव्यूह है तथा `B,3xx2` आव्यूह है इसलिए AB और BA दोनों परिभाषित होंगे।
`AB=[(1,-2,3),(-4,2,5)][(2,3),(4,5),(2,1)]`
`[(1xx2+(-2)xx4+3xx2,1xx3+(-2)xx5+3xx1),((-4)xx2+2xx4+5xx2,(-4)xx3+(2)+5+5xx1)]`
`[(2-8+6,3-10+3),(-8+8+10,-12+10+5)]`
`=[(0,-4),(10,3)]`
`BA=[(2,3),(4,5),(2,1)][(1,-2,3),(-4,2,5)]`
`[(2xx1+3xx(-4),2xx(-2)+3xx2,2xx3+3xx5),(4xx1+5xx(-4),4xx(-2)+5xx2,4xx3+5xx5),(2xx1+1xx(-4),2xx(-2)+2xx1,2xx3+1xx5)]`
`[(2-12,-4+16,6+15),(4-20,-8+10,12+25),(2-4,-4+2,6+5)]`
`=[(-10,2,21),(-16,2,37),(-2,-2,11)]`
समी 1 और 2 से
`AB!=BA`
Discussion
259.

यदि `A=](3,sqrt(3),2),(4,2,0)]` तथा `B=[(2,-1,2),(1,2,4)]` तो निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए- (i) `(A’)’=A`, (ii) `(A+B)’=A’+B’`, (iii) `(KB)]=KB’` जहां `K` कोई अचर है।

Answer» यहां `A=[(3,sqrt(3),2),(4,2,0)]`
और `B=[(2,-1,2),(1,2,4)]`
`:.A’=[(3,4),(sqrt(3),2),(2,0)]` और `B’=[(2,1),(-1,2),(2,4)]`
(i) `(A’)’=[(3,4),(sqrt(3),2),(2,0)]=[(3,sqrt(3),2),(4,2,0)]=A`
(iii) `A+B=[(3,sqrt(3),2),(4,2,0)]+[(2,-1,2),(1,2,4)]`
`=[(5,sqrt(3)-1,4),(5,4,4)]`
`:.(A+B)’=[(5,5),(sqrt(3)-1,4),(4,4)]`……….1
अब `A’+B’=[(3,4),(sqrt(3),2),(2,0)]+[(2,1),(-1,2),(2,4)]`
`=[(5,5),(sqrt(3)-1,4),(4,4)]`……….2
समी 1 और 2 से
`(A+B)’=A’+B’`
(iii) `KB=K[(2,-1,2),(1,2,4)]`
`impliesKB=[(2K,-K,2K),(K,2K,4K)]`
`:.(KB)’=[(2K,K),(-K,2K),(2K,4K)]`
`implies(KB)’=K’(2,1),(-1,2),(2,4)]`
`implies(KB)’=KB’`
Discussion
260.

यदि `A=[(-2),(4),(5)],B=[(1,3,-6)]` सत्यापित कीजिए `(AB)’=B’A’`

Answer» यहां `A=[(-2),(4),(5)]_(3xx1)` और `B=[(1,3-6)]_(1xx3)`
`:.AB=[(-2),(4),(5)][(1,3,-6)]`
`impliesAB=[(-2,-6,12),(4,12,-24),(5,15,-30)]`
`implies(AB)’=[(-2,4,5),(-6,12,15),(12,-24,-30)]`………1
अब `A’=[(-2,4,5)]_(1xx3)` और `B’=[(1),(3),(-6)]_(3xx1)`
`:.B’A’=[(1),(3),(-6)][(-2,4,5)]`
`B’A’=[(-2,4,5),(-6,12,15),(12,-24,-30)]`…….2
समी 1 और 2 से
`(AB)’=B’A’`
Discussion
261.

यदि `A’=[(3,4),(-1,2),(0,1)]` और `B=[(-1,2,1),(1,2,3)]` हो तो `A’-B’` ज्ञात कीजिए।

Answer» यहां `A’=[(3,4),(-1,2),(0,1)]`
और `B=[(-1,2,1),(1,2,3)]`
`:.B’=[(-1,1),(2,2),(1,3)]`
अब `A’-B’=[(3,4),(-1,2),(0,1)]-[(-1,1),(2,2),(1,3)]`
`=[(3-(-1),4-1),(-1-2,2-2),(0-1,1-3)]`
`=[(4,3),(-3,0),(-1,-2)]`
Discussion
262.

AB ज्ञात कीजिए यदि `A=[(6,9),(2,3)]` और `B=[(2,6,0),(7,9,8)]`

Answer» चूंकि `A,2xx2` आव्यूह है और `B,2xx3` आव्यूह है
इसलिए AB परिभाषित है तथा इसकी कोटि `2xx3` है।
`AB=[(6,9),(2,3)][(2,6,0),(7,9,8)]`
`AB=[(6xx2+9xx7,6xx6+9xx9,6xx0+9xx8),(2xx2+3xx7,2xx6+3xx9,2xx0+3xx8)]`
`AB=[(12+63,36+81,0+72),(4+21,12+27,0+24)]`
`=[(75,117,72),(25,39,24)]`
Discussion
263.

यदि `A={:[(0,6,7),(-6,0,8),(7,-8,0)],B=[(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)],C=[(2),(-2),(3)]:}`, तो AC, BC तथा (A+B)C का परिकलन कीजिए । यह भी सत्यापित कीजिए कि (A+B)C=AC+BC.

Answer» `AC={:[(0,6,7),(-6,0,8),(7,-8,0)],[(2),(-2),(3)]=[(0-12+21),(-12+0+24),(14+16+0)]=[(9),(12),(30)]:}`
`BC={:[(0,1,1),(1,0,2),(1,2,3)][(2),(-2),(3)]=[(0-2+3),(2+0+6),(2-4+0)]=[(1),(8),(-2)]:}`
`A+B={:[(0+0,6+1,7+1),(-6+1,0+0,8+2),(7+1,-8+2,0+0)]=[(0,7,8),(-5,0,10),(8,-6,0)]:}`
`(A+B)C={:[(0,7,8),(-5,0,10),(8,-6,0)][(2),(-2),(3)]=[(0,14,+24),(-10,+0,+30),(16,+12,+0)]=[(10),(20),(30)]:}`
अब `AC+BC={:[(9),(12),(30)]+[(1),(8),(-2)]=[(9+1),(12+8),(30-2)]=[(10),(20),(28)]:}`
अतः (A+B)C=AC+BC.
Discussion
264.

प्रारंभिक रूपांतरण का प्रयोग करते हुए निम्न आव्यूह का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। `[(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0)]`

Answer» माना `A=[(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0)]`
`A^(-1)` ज्ञात करने के लिए हम पंक्ति रूपांतरण लगते हैं।
अब `A=I_(3)A`
`[(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]A`
`[(1,3,-2),(0,9,-11),(0,-1,4)]=[(1,0,0),(3,1,0),(-2,0,1)]A`
`(R_(2) rarr R_(2) +3R_(1), R_(3) rarr R_(3)-2R_(1))`
`[(1,3,-2),(0,1,21),(0,-1,4)]=[(1,0,0),(-13,1,8),(-2,0,1)]A`
`(R_(2)rarr R_(2) +8R_(3))`
`[[(1,0,-65),(0,1,21),(0,0,25)]=[(40,-3,-24),(-13,1,8),(-15,1,9)]A (R_(1) rarr R_(1)-3R_(2), R_(3) rarr R_(3)+R_(2))`
`[(1,0,-65),(0,1,21),(0,0,1)]=[(40,-3,-24),(-13,1,8),((-3)/5,1/25,9/25)] A (R_(3) rarr 1/25 R_(3))`
`[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(1,(-2)/5,(-3)/5),((-2)/5,4/25,11/25),((-3)/5,1/25,9/25)] A(R_(1) rarr R_(1) +65 R_(3), R_(2) rarr R_(2) -21 R_(3))`
`I_(3)=BA` जहाँ `B=[(+1,(-2)/5,(-3)/5),((-2)/5,4/25,11/25),((-3)/5,1/25,9/25)]=A^(-1)`
Discussion
265.

निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए (i) `[(5),(1/2),(-1)]` (ii) `[(1,-1),(2,3)]` (iii) `[(-1,5,6),(sqrt(3),5,6),(2,3,-1)]`

Answer» (i)माना `A=[(5),(1/2),(-1)]`
`:.A’=[(5,1/2,-1)]`
(ii) माना `A=[(1,-1),(2,3)]`
`:.A’=[(1,2),(-1,3)]`
(iii) माना `A=[(-1,5,6),(sqrt(3),5,6),(2,3,-1)]`
`:.A’=[(-1,sqrt(3),2),(5,5,3),(6,6,-1)]`
Discussion
266.

दो किसान रामकिशन और गुरूचरण सिंह केवल तीन प्रकार के चावल जैसे बासमती, परमल और नऊरा की खेती करते हैं। दोनों किसानों द्वारा सितंबर तथा अक्टूबर माह में इस प्रकार के चावल की बिक्री (रूपयों में) को निम्नलिखित A और B आव्यूहों में व्यक्त किया गया है। सितम्बर माह की बिक्री (Rs मे) बासमती, परमल, नऊरा `A=[(10000,20000,30000),(50000,30000,10000)]` रामकिशन, गुरूचरण सिंह अक्टूबर माह की बिक्री (Rs. में) बासमती, परमल, नऊरा `B=[5000,10000,6000,(20000,10000,10000)]` रामकिशन, गु्रूचरण सिंह (i) प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितम्बर तथा अक्टूबर की सम्‍मिलित बिक्री ज्ञात कीजिए।(ii) सितम्बर की अपेक्षा अक्टूबर में हुई बिक्री में कमी ज्ञात कीजिए। (iii) यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर `2%` लाभ मिलता है तो अक्टूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर प्रत्येक किसान को मिलने वाला लाभ ज्ञात कीजिए।

Answer» (i) प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितम्बर और अक्टूबर में बिक्री निम्न है-
बासमती, परमल, नऊरा
`A+B=[(10000+5000,20000+10000,30000+6000),(50000+20000,30000+10000,10000+10000)]` रामकिशन, गुरूचरण सिंह

बासमती, परमल, नऊरा
`impliesA+B=[(15000,30000,36000),(70000,40000,20000)]` रामकिशन, गुरूचरण सिंह
(ii) सितंबर की अपेक्षा अक्टूबर में हुई बिक्री में कमी निम्न है
बासममी, परमल, नऊरा
`A-B=[(10000-5000,20,000-10000,30000-6000),(50000-20000,30000-10000,10000-10000)]` रामकिशन, गु्ररूचरण सिंह
बासमती, परमल, नऊरा
`A-B=[(5000,10000,24000),(30000,20000,0)]` राकिशन, गुरूचरण सिंह
(iii) B का `2%=2/100xxB=0.02B`
बासमी, परमल, नऊरा
`=0.02[(5000,10000,6000),(2000-0,10000,10000)]` रामकिशन, गु्ररूचरण सिंह
बासमती, परमल, नऊरा
`[(100,200,120),(400,200,200)]` रामकिशन, गुरूचरण सिंह
Discussion
267.

यदि `A={:[(1, 2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]:}` है, तो दर्शाइए कि `A^(3)-23A-40I=0`.

Answer» `A^(2)=AxxA={:[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)][(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]:}`
`={:[(1+6+12,2-4+6,3+2+30),(3-6+4,6+4+2,9-2+1),(4+6+4,8-4+2,12+2+1)]=[(19,4,8),(1,12,8),(14,6,15)]:}`
`A^(3)=A^(2)xxA=[(19,4,8),(1,12,8),(14,6,15)][(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]:}`
`={:[(19+12+32,38-8+16,57+4+8),(1+36+32,2-24+16,3+12+8),(14+18+60,28-12+30,42+6+15)]=[(63,46,49),(69,-6,23),(92,46,63)]:}`
`A^(3)-23A-40I={:[(63,46,69),(69,-6,23),(92,46,63)]-23[(1,2,3),(3,-2,1),(4,2,1)]-40[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
`={:[(63,46,69),(69,-6,23),(92,46,63)]-[(23,46,69),(69,-46,23),(92,46,23)]-[(40,0,0),(0,40,0),(0,0, 40)]:}`
`={:[(63-23-40,46-46+0,69-69-0),(69-69-0,-6+46-40,23-23-0),(92-92-0,46-46-0,63-23-40)]:}`
`={:[(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0)]=0`.
Discussion
268.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि `Y=[{:(3,2),(1,4):}]` तथा `2X+Y=[{:(1,0),(-3,2):}]`.

Answer» `Y=[{:(3,2),(1,4):}]` तथा `2X+Y=[{:(1,0),(-3,2):}]`
`rArr2X=[{:(1,0),(-3,2):}]-Y`
`=[{:(1,0),(-3,2):}]-[{:(3,2),(1,4):}]=[{:(-2,-2),(-4,-2):}]`
`rArrX=[{:(-1,-1),(-2,-1):}]`
Discussion
269.

आव्यूह `[(2,1),(-3,0)]` का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `A=[(2,1),(-3,0)]`
`:.A` का योगात्मक प्रगतिलोम `=-A`
`=-[(2,1),(-3,0)]=[(-2,-1),(3,0)]`
Discussion
270.

प्रारम्भिक संक्रियाओ के प्रयोग द्रारा आव्यूह `A={:[(2,3),(1,4)]:}` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

Answer» सर्वप्रथम हम इसको समीकरण के रूप में लिखते है
A=IA
`{:[(2,3),(1,4)]=[(1,0),(0,1)]:}`
`{:[(1,-1),(1,4)]=[(1,-1),(0,1)]:}A," "R_(1)toR_(1)-R_(2)` के प्रयोग से
`{:[(1,-1),(1,-5)]=[(1,-1),(1,-2)]:}A," "R_(2)toR_(1)-R_(2)` के प्रयोग से
`{:[(1,-1),(0,1)]=[(1,-1),(-(1)/(5),(2)/(5))]:}A," "R_(2)to-R_(1)/(5)R_(2)` के प्रयोग से `{:[(1,0),(0,1)]=[((4)/(5),-(3)/(5)),(-(1)/(5),(2)/(5))]:}A," "R_(1)toR_(1)+R_(2)` के प्रयोग से
अतः `A^(-1)={:[((4)/(5),-(3)/(5)),(-(1)/(5),(2)/(5))]:}`
Discussion
271.

किसी विधानसभा चुनाव के दौरान एक राजनैतिक दल के अपने उम्मीदवार के प्रचार हेतु एक जनसम्पर्क फर्म को ठेके पर अनुबंधित किया। प्रचार हेतु तीन विधियों द्वारा सम्पर्क स्थापित करना निश्‍चित हुआ। ये हैं- टेलीफोन द्वारा, घर-घर जाकर और पर्चा वितरण द्वारा। प्रत्येक सम्पर्क का शुल्क (पैसों में) नीचे आव्यूह A के व्यक्त्‍ है- प्रति सम्पर्क मूल्य `A=[(40),(100),(50)]` टेलीफोन द्वारा, घर जाकर, पर्चा द्वारा X तथा Y दो शहरों में, प्रत्येक प्रकार के सम्पर्कों की संख्या आव्यूह- टेलीफोन द्वारा , घर जाकर, पर्चा द्वारा `B=[(1000,500,5000),(3000,1000,10000)] {:(X),(Y):}` में व्यक्त है। X तथा Y शहरों में राजनैतिक दल द्वारा व्यय की गई कुल धनराशि ज्ञात कीजिए।

Answer» यहां `A,3xx1` आव्यूह और `B,2xx3` आव्यूह है इसलिए BA परिभाषित होगा।
`:.` व्यय की गई कुल धनराशि
`BA=[(1000,500,5000),(3000,1000,10000)][(40),(100),(50)]`
`=[(40000+50000+250000),(120000+100000+500000)]{:(X),(Y):}`
`=[(340000),(720000)]{: (X),(Y):}`
अतः राजनैतिक दलों द्वारा दोनों शहरों में व्यय की गई कुल धनराशि क्रमश3 340000 पैसे व 720000 पैसे अर्थात रू0 3400 और रू0 7200 है।
Discussion
272.

दो किसान रामकिशन और गुरचरण सिंह केवल तीन प्रकार के चावल जैसे बासमती, परमाल तथा नउरा की खेती करते है। दोनों किसानो द्रारा, सितम्बर तथा अक्टूबर माह में इस प्रकार के चावल की बिक्री (रुपयों में ) को, निम्नलिखित A तथा B आव्यूहों में व्यक्त किया गया है, सितम्बर माह की बिक्री (रुपयों में) `A={:[("बासमती", "परवल", "नउरा "),(10","000,20","000,30","000),(50","000,30","000,10","000):}]{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}` अक्टूबर माह की बिक्री (रुपयों में) `A={:[("बासमती", "परवल", "नउरा "),(5000,10","000,6","000),(20","000,10","000,10","000):}]{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}` (i) प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितम्बर तथा अक्टूबर की सम्मिलित बिक्री ज्ञात कीजिए। (ii) सितम्बर की अपेक्षा अक्टूबर में हुई बिक्री में कमी ज्ञात कीजिए। (iii) यदि दोनों किसानो को कुल बिक्री पर 2% लाभ मिलता है, तो अक्टूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर प्रत्येक किसान को मिलाने वाला लाभ ज्ञात कीजिए।

Answer» (i) सितम्बर तथा अक्टूबर माह में सम्मिलित बिक्री
`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
A+B={:[(10","000+5000,20","000+10","000,30","000+6","000),(50","000+20","000,30","000+10","000,10","000+10","000)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`
`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
={:[(15000,30000,36000),(70000,40000,20000)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`
(ii) सितम्बर की अपेक्षा अक्टूबर में हुई बिक्री में कमी A -B हो तो
`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
A-B={:[(10","000-5000,20","000-10","000,30","000-6","000),(50","000-20","000,30","000-10","000,10","000-10","000)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`
`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
={:[(5000,10000,24000),(30000,20000,0)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`
(iii)अक्टूबर में प्रत्येक प्रकार के चावल की बिक्री पर प्रत्येक किसान को मिलने वाला लाभ
`=B" का "2%=(2)/(100)xxB`
`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
=(2)/(100){:[(5000,10000,6000),(20","000,10","000,10","000)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`{:(" बासमती", "परवल", "नउरा "):}
=(2)/(100){:[(100,200,120),(400,200,200)]:}{:("रामकिशन"),("गरूचरण सिंह"):}`
Discussion
273.

यदि `A=[(ab,b^(2)),(-a^(2),-ab)]`, तो `A^(2)=`

Answer» `A^(2)=A.A=[(ab,b^(2)),(-a^(2),-ab)][(ab,b^(2)),(-a^(2),-ab)]`
`=[(a^(2)b^(2)-a^(2)b^(2),ab^(3)-ab^(3)),(-a^(3)b+a^(3)b,-a^(2)b^(2)+a^(2)b^(2))]=[(0,0),(0,0)]`
Discussion
274.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि (i) `X+Y=[{:(7,0),(2,5):}]` तथा X - Y = `[{:(3,0),(0,3):}]` (ii) `2X+3Y=[{:(2,3),(4,0):}]` तथा 3X + 2Y = `[{:(2,-3),(-1,5):}]`

Answer» (i) `X+Y=[{:(7,0),(2,5):}]` . . . (1)
`X-Y=[{:(3,0),(0,3):}]` . . . (2)
जोड़ने पर , `2X=[{:(10,0),(2,8):}]rArrX=[{:(5,0),(1,4):}]`
X का मान समीकरण (1) में रखने पर , `[{:(5,0),(1,4):}]+Y=[{:(7,0),(2,5):}]` `rArrY=[{:(7,0),(2,5):}]-[{:(5,0),(1,4):}]=[{:(2,0),(1,1):}]`
(ii) `2X+3Y=[{:(2,3),(4,0):}]` . . . (1)
`3X+2Y=[{:(2,-2),(-1,5):}]` . . . (2)
समीकरण (1) को 3 से समीकरण (2) को 2 से गुणा करके घटाने पर ,
`{:(6X+9Y =[{:(6,9),(12,0):}]),(6X+4y=[{:(4,-4),(-2,10) :}]),(ul"- - - "),(" "5Y=[{:(2,13),(14,-10):}]), (" " implies Y=[{:((2)/(5),(13)/(5)),((14)/(5),-2):}]):}`
समीकरण (2) को 3 से और समीकरण (1) को 2 से गुणा करके घटाने पर,
`{:(9Y+6Y=[{:(6,-6),(-3,15):}]),(4X+6Y=[{:(4,6),(8,0):}]),(ul"- - - "),(" "5X=[{:(2,-12),(-11,15):}]),( implies" " X=[{:((2)/(5),-(12)/(5)),(-(11)/(5),3):}]):}`
Discussion
275.

प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि ` 2 [{:( x ,, z ), (y,, t ):}] + 3[{:( 1,,-1 ), (0,,2 ):}]= 3[{:(3,,5), (4,, 6):}]`

Answer» Correct Answer - x=3,y=6,z=9,t=6
Discussion
276.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि `X+Y=[(7,0),(2,5)]` और `X-Y=[(3,0),(0,3)]`

Answer» `X+Y=[(7,0),(2,5)]`….i
`X-Y=[(3,0),(0,3)]`……2
समी 1 और 2 को जोड़ने पर
`(X+Y)+(X-Y)=[(7,0),(2,5)]+[(3,0),(0,3)]`
`2X=[(7+3,0+0),(2+0,5+3)]`
`2X=[(10,0),(2,8)]`
`X=1/2[(10,0),(2,8)]`
`impliesX=[(5,0),(1,4)]`
समी 1 में 2 को घटाने पर
`(X+Y)-(X-Y)=[(7,0),(2,5)]=[(3,0),(0,3)]`
`implies2Y=[(7,0),(2,5)]+[(-3,0),(0,-3)]`
`implies2Y=[(7-3,0),(2,5-3)]=[(4,0),(2,2)]`
`impliesY=1/2[(4,0),(2,2)]`
`impliesY=[(2,0),(1,1)]`
`:.X=[(5,0),(1,4)]` और `Y=[(2,0),(1,1)]`
Discussion
277.

आव्यूह समीकरण को हल कीजिए- `[(x^(2)),(y^(2))]-3[(x),(2y)]=[(-2),(9)]`

Answer» दिया गया आव्यूह समीकरण है
`[(x^(2)),(y^(2))]-3[(x),(2y)]=[((-2),(9)]`
`implies[(x^(2)),(y^(2))]+[(-3x),(-6y)]=[(-2),(9)]`
`implies[(x^(2)-3x),(y^(2)-6y)]=[(-2),(9)]`
`impliesx^(2)-3x=-2` और `y^(2)-6y=9`
`impliesx^(2)-3x+2=0` और `y^(2)-6y-9=0`
`implies(x-1)(x2)=0`और `y=(6+-sqrt(36+36))/2`
`impliesx=1,2` और `y=3+-3sqrt(2)`.
Discussion
278.

प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग द्रारा निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए `A={:[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]:}`

Answer» सर्वप्रथम A=IA लेने पर,
`{:[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}A`
`{:[(1,3,5),(1,2,3),(3,1,1)]=[(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}A,R_(1)toR_(1)+R_(2)" के प्रयोग से " `
`{:[(1,3,5),(0, 1,2),(0,8,14)]=[(1,1,0),(1,0,0),(3,3,-1)]:}A,R_(2)toR_(1)-R_(2)" तथा "R_(3)to3R_(1)-R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,3,5),(0, 1,2),(0,0,2)]=[(1,1,0),(1,0,0),(5,-3,1)]:}A,R_(3)to8R_(2)-R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,3,5),(0, 1,0),(0,0,2)]=[(1,1,0),(-4,3,-1),(5,-3,1)]:}A,R_(2)toR_(2)-R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,3,1),(0, 1,0),(0,0,2)]=[(-9,7,-2),(-4,3,-1),(5,-3,1)]:}A,R_(1)toR_(1)-2R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,0,1),(0, 1,0),(0,0,1)]=[(3,-2,1),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(5),(1)/(2))]:}A,R_(1)toR_(1)-3R_(2)" तथा "R_(3)to(1)/(2)R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,0,1),(0, 1,0),(0,0,1)]=[((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2))]:}A,R_(1)toR_(1)-3R_(2)" तथा "R_(3)to(1)/(2)R_(3)` के प्रयोग से
`{:[(1,0,0),(0, 1,0),(0,0,1)]=[((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2))]:}A,R_(1)toR_(1)-R_(3)` के प्रयोग से
अतः `A^(-1)={:[((1)/(2),-(1)/(2),(1)/(2)),(-4,3,-1),((5)/(2),-(3)/(2),(1)/(2))]:}`
Discussion
279.

किसी विधान सभी चुनाव के दौरान एक राजनैतिक दल ने अपने उम्मीदवार के प्रचार हेतु एक जन संपर्क फर्म को ठेके पर अनुबद्धित किया। प्रचार हेतु तीन विधियों द्रारा संपर्क स्थापित करना निश्चित हुआ। ये है : टेलीफ़ोन द्रारा, घर - घर जाकर तथा पर्चा वितरण द्रारा। प्रत्येक संपर्क का शुल्क (पैसो में ) नीचे आव्यूह A में व्यक्त है, प्रति संपर्क मूल्य `A={:[(40),(100),(50)]:}{:("टेलीफोन द्रारा"),("घर जाकर"),("पर्चा द्रारा"):}` X तथा Y दो शहरो में, प्रत्येक प्रकार के संपर्को की सख्या आव्यूह `{:(" टेलीफोन","घर जाकर","पर्चा द्रारा"):} B={:[(1000,500,5000),(3000,1000,10","000)]:}{:(toX),(toY):}` में व्यक्त है। X तथा Y शहरो में राजनैतिक दल द्रारा व्यय की गई कुल धनराशि ज्ञात कीजिए।

Answer» X तथा Y शहरो प्रचार हेतु व्यय की गयी कुल धनराशि =BA
`{:(" टेलीफोन","घर जाकर","पर्चा द्रारा","प्रति संपर्क मूल्य"):}
={:[(1000,500,5000),(3000,1000,10","000)],{:[(40),(100),(50)]:}{:("टेलीफोन द्रारा"),("घर जाकर"),("पर्चा द्रारा"):}`
`={:[(1000xx40+500xx100+5000xx50),(3000xx40+1000xx100+10000xx50)]:}{:(toX),(toY):}`
`={:[(40","000+50","000+2","50","000),(1","20","000+1","00","000+5","00","000)]:}{:(toX),(toY):}`
`={:[(3","40","000),(7","20","00)]:}{:(toX),(toY):}`
अतः X द्रारा व्यय की गई धनराशि =3,40,000 पैसे अर्थात 3400 रु.।
तथा Y द्रारा व्यय की गई धनराशि =7, 20,000 पैसे अर्थात 7200 रु.।
Discussion
280.

यदि `A=[(1,2,3),(3,4,5)]` तथा `B=[(2,3,1),(5,4,3),(2,1,1)]` AB का मान ज्ञात कीजिये। क्या AB = BA ?

Answer» `AB=[(1,2,3),(3,4,5)]_(2xx3)[(2,3,1),(5,4,3),(2,1,1)]_(3xx3) =[(18,14,10),(36,30,20)]`
`BA=[(2,3,1),(5,4,3),(2,1,1)]_(3xx3) [(1,2,3),(3,4,5)]_(2xx3)` अपरिभाषित है।
अतः `AB ne BA`
Discussion
281.

यदि `A = [{:(0,1),(1,0):}]` तो `A^(2)` है -A. `[{:(1,1),(0,0):}]`B. `[{:(0,1),(0,1):}]`C. `[{:(1,0),(0,1):}]`D. इनमें से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - c
Discussion
282.

यदि `A={:[(1,2,3),(2,3,1)]:}" तथा "B={:[(3,-1,3),(-1,0,2)]:}` तो 2A -B का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया हैः `A={:[(1,2,3),(2,3,1)]:}" तथा "B={:[(3,-1,3),(-1,0,2)]:}`
तब `2A-B=2{:[(1,2,3),(2,3,1)]:}" तथा "B={:[(3,-1,3),(-1,0,2)]:}`
`={:[(2,4,6),(4,6,2)]-[(3,-1,3),(-1,0,2)]=[(2-3,4+1,6+3),(4+1,6-0,2-2)]:}`
`={:[(-1,5,3),(5, 6,0)]:}`
Discussion
283.

प्रदत्त समीकरण को `x,y,z` और `t` के लिए ही कीजिए यदि `2[(x,z),(y,t)]+3[(1,-1),(0,2)]=3[(3,5),(4,6)]`

Answer» दिया गया आव्यूह समीकरण है
`2[(x,z),(y,t)]+3[(1,-1),(0,2)]=[(3,5),(4,6)]`
`implies[(2x,2z),(2y,2t)]+[(3,-3),(0,6)]=[(9,15),(12,18)]`
`implies[(2x+3,2z-3),(2y,2t+6)]=[(9,15),(12,18)]`
`implies2x+3=9,2z-3=15,2y=12,2t+6=18` [आव्यूहों की तुल्यता से]
`impliesx=3,z=9,y=6,t=6`.
Discussion
284.

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि `2X+3Y=[(2,3),(4,0)]` और `3X+2Y=[(2,-2),(-1,5)]`

Answer» यहां
`2X+3Y=[(2,3),(4,0)]`……….i
`3X+2Y=[(2,-2),(-1,5)]`……2
समी 1 को 2 से समी 2 को 3 से गुणा करके घटाने पर
`2(2X+3Y)-3(3X+2Y)=2[(2,3),(4,0)]-3[(2,-2),(-1,5)]`
`implies4X+6-9X-6Y=[(4,6),(8,0)]+[(-6,6),(3,-15)]`
`implies-5Dx=[(4+(-6),6+6),(8+3,0+(-15))]`
`implies-5X=(-2,12),(11,-15)]`
`impliesX=-1/5[(-2,12),(11,-15)]=[(2/5,-12/5),((-11)/5,3)]`
समी 1 से
`3Y=[(2,3),(4,0)]-2X`
`implies3Y=[(2,3),(4,0)]-2[(2/6,(-12)/5),((-11)/5,3)]`
`implies3Y=[(6/5,39/5),(42/5,-6)]`
`impliesY=1/3[(6/5,39/5),(42/5,-6)]=[(2/5,13/5),(14/5,-2)]`
अतः `X=[(2/5,(-12)/5),((-11)/5,3)]` और `=[(2/5,13/5),(14/5,-2)]`
Discussion
285.

यदि `A=[(a,b),(b,-a)]` तथा किसी आव्यूह M के लिए `MA=A^(2n) m in N` हो तो M बराबर है-A. `[(a^(2na),b^(2n)),(b^(2m),-a^(2m))]`B. `(a^(2)+b^(2))^(m)[(1,0),(0,1)]`C. `(a^(m)+b^(n))[(1,0),(0,1)]`D. `(a^(2)+b^(2))^(m-1) [(a,b),(b,-a)]`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
286.

यदि `A={:[(1,2,5),(3,4,6)],B=[(4,0),(2,1),(1,5)]:}` तो AB तथा BA ज्ञात कीजिये।

Answer» यहाँ `A={:[(1,2,5),(3,4,6)],B=[(4,0),(2,1),(1,5)]:}`
`AB=[(1.4+2.2+5.1,1.0+2.1+5.5),(3.4+4.2+6.1,3.0+4.1+6.5)]=[(13,27),(26,34)]:}`
और `BA={:[(4.1+0.3,4.2+0.4,4.5+0.6),(2.1+1.3,2.2+1.4,2.5+1.6),(1.1+5.3,1.2+5.4,1.5+5.6)]:}`
`={:[(4+0,8+0,20+0),(2+3,4+4,10+6),(1+15,2+20,5+30)]:}`
`={:[(4,8,20),(5,8,16),(16,22,35)]:}`
Discussion
287.

`x+y={:[(2,1),(1,2)],2x-y=[(1,2),(2,1)]:}`, तो x को ज्ञात कीजिए ।

Answer» `x+y={:[(2,1),(1,2)],2x-y=[(1,2),(2,1)]:}`
दोनों आव्यूहों को जोड़ने पर
`3x={:[(2,1),(1,2)]+[(1,2),(2,1)]:}`
`={:[(2+1,1+2),(1+2,2+1)]=[(3,3),(3,3)]:}`
या `3x=3{:[(1,1),(1,1)]:}`
या `x={:[(1,1),(1,1)]:}`
Discussion
288.

यदि `A=[(8,0),(4,-2),(3,6)]` और `B=[(2,-2),(4,2),(-5,1)]` तब `2A+3X=5B` दिया हो तो आव्यूह X ज्ञात कीजिए।

Answer» `2A+3X=5B`
`implies-2A-2A+3X=-2A+5B`
[`:’-2A` आव्यूह `2A` का योग प्रतिलोम है]
`implies0+3X=5B-2A`
[ `:.0` योग का तत्समक है]
`implies3X=5B-2A`
`implies3X=5B+(-2)A`
`implies3X=5[(2,-2),(4,2),(-5,1)]+(-2)[(8,0),(4,2),(3,6)]`
implies3X=[(10,10),(20,10),(-25,5)]+[(-16,0),(-8,4),(-6,-12)]`
`implies3X=[(10-16,-10+0),(20-8,10+4),(-25-6,5-12)]`
`implies3X=[(-6,-10),(12,14),(-31,-7)]`
`impliesX=1/3[(-6,-10),(12,14),(-31,-7)]=[(-2,(-10),4),(4,14/3),((-31)/3,(-7),3)]`
Discussion
289.

यदि `A={:[(8,0),(4,-2),(3,6)],B=[(2,-2),(4,2),(-5,1)]:}` तथा 2A+3X=5B दिया हो तो आव्यूह X ज्ञात कीजिए ।

Answer» 2A+3X=5B
3X=5B-2A
`=5{:[(2,-2),(4,2),(-5,1)]-2[(8,0),(4,-2),(3,6)]:}`
`{:[(10,-10),(20,10),(-25,5)]-[(16,0),(8,-4),(6,12)]:}`
`{:[(10-16,-10-0),(20-8,10+4),(-25-6,5-12)]=[(-6,-10),(12,14),(31,-7)]:}`
अतः `X={:[(-2 ,-(10)/(3)),(4,(14)/(3)),((-31)/(3),-(7)/(3))]:}`
Discussion
290.

यदि `A=[(2x,0),(x,x)]` तथा `A^(-1)=[(1,0),(-1,2)]` है, तो x का मान है-A. `2`B. `-1//2`C. `1`D. `1//2`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
291.

यदि `A={:[(1,-1),(-1,1)]" तथा "B=[(1,1),(1,1)]:}` तो आव्यूह AB होगा -

Answer» `AB={:[(1,-1),(-1,1)].[(1,1),(1,1)]:}`
`={:[(1.1+(-1).1,1.1+(-1).1),((-1).1+1.1,(-1).1+1.1)]:}`
`={:[(1-1,1-1),(-1+1,-1+1)]=[(0,0),(0,0)]=0:}`
Discussion
292.

क्या आव्यूह `A={:[(6,2),(12,4)]:}` अव्युत्क्रमणीय है।

Answer» आव्यूह `A={:[(6,2),(12,4)]=6xx4-12xx2=24-24=0:}`
अतः आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है।
Discussion
293.

यदि `A={:[(1,2),(3,0),(4,1)]" तथा "B={:[(0,1,0),(0,2,1),(2,3,0)]:}` तो BA होगा -

Answer» `BA={:[(0,1,0),(0,2,1) ,(2,3,0)][(1,2),(3,0),(4,1)]:}`
`={:[(0.1+1.3+0.4,0.2+1.0+0.1),(0.1+2.3+1.4,0.2+2.0+1.1),(2.1+3.3+0.4,2.2+3.0+0.1)]:}`
`={:[(0+3+0,0+0+0),(0+6+4,0+0+1),(2+9+0,4+0+0)]:}`
`={:[(3,0),(10,1),(11,4)]:}`
Discussion
294.

संवृत अंतराल [-4 ,-1] में x के कितने मानों के लिए आव्यूह `[(3,-1+x,2),(3,-1,x+2),(x+3,-1,2)]` अव्युत्क्रमणीय है?A. 2B. 0C. 3D. 1

Answer» Correct Answer - D
Discussion
295.

यदि `A={:[(3,4),(1,-3)],B=[(5,9),(6,3)]:}`, तो (i) 4A, (ii) 5B, (iii) 2A+3B ज्ञात कीजिये ।

Answer» (i) `4A=4{:[(3,4),(1,-2)]=[(4.3,4.4),(4.1,4.(-2))]=[(12,16),(4,-8)]:}`
(ii) `5B=5{:[(5,9),(6,3)]=[(5.5,5.9),(5.6,5.3)]=[(24,45),(30,15)]:}`
(iii) `2A+3B=2{:[(3,4),(1,-2)]+3[(5,9),(6,3)]:}`
`{:[(6,8),(2,-4)]+[(15,27),(18,9)]=[(6+15,8+27),(2+18,-4+9)]:}`
`{:[(21,35),(20,5)]:}`
Discussion
296.

यदि `A={:[(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)]:}`, तो सिद्ध कीजिए कि `AI_(3)^(2)=I_(3)A`.

Answer» `I_(3),3xx3` क्रम का आव्यूह है ।
`I_(3)={:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
`I_(3)xxI_(3)=I_(3)^(2)={:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)][(1,0,0),(0,1,0),(0, 0, 1)]:}`
`={:[(1.1+0.0+0.0,1.0+0.1+0.0,1.0+0.0+0.1),(0.1+1.0+0.0,0.0+1.1+0.0,0.0+1.0+0.1),(0.1+0.0+1.0,0.0+0.1+1.0,0.0+0.0+1.1)]:}`
`={:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
अब बाया पक्ष `AI_(3)^(2)={:[(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)][(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
`={:[(1.1+2.0+3.0,1.0+2.1+3.0,1.0+2.0+3.1),(3.1+2.0+1.0,3.0+2.1+1.0,3.0+2.0+1.1),(2.1+3.0+1.0,2.0+3.1+1.0,2.0+3.0+1.1)]:}`
`={:[(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)]:}`
दाया पक्ष : `I_(3)A={:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)][(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)]:}`
`={:[(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)]:}`
अतः बाया पक्ष = दाया पक्ष
Discussion
297.

यदि `A=[(1,2),(3,0),(4,1)]` तथा `B=[(0,1,0),(0,2,1),(2,3,0)]` तो `BA` का मान होगा -

Answer» प्रश्नानुसार,
`BA=[(0,1,0),(0,2,1),(2,3,0)][(1,2),(3,0),(4,1)]`
`=[(0xx1+1xx3+0xx4,0xx2+1xx0+0xx1),(0xx1+2xx3+1xx4,0xx2+2xx0+1xx1),(2xx1+3xx3+0xx4,2xx2+3xx0+0xx1)]`
`=[(0+3+0,0+0+0),(0+6+4,0+0+1),(2+9+0,4+0+0)]=[(3,0),(10,1),(11,4)]`
Discussion
298.

यदि `{:[(3,3,5),(2,3,4),(5,2,3)]:}`, तो सिद्ध कीजिए कि `AI_(3)=I_(3)A,` जहाँ `I_(3)` इकाई या तत्समक आव्यूह है ।

Answer» `I_(3),3xx3` क्रम का आव्यूह है,
`I_(3)={:[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
अब `Al_(3)={:[(3,3,5),(2,3,4),(5,2,2)][(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]:}`
`={:[(3.1+3.0+5.0,3.0+3.1+5.0,3.0+3.0+5.1),(2.1+3.0+4.0,2.0+3.1+4.0,2.0+3.0+4.1),(5.1+2.0+3.0,5.0+2.1+3.0,5.0+2.0+3.1)]:}`
`={:[(3,3,5),(2,3,4),(5,2,3)]:}=A`
इसी प्रकार दिखाया जा सकता है कि `I_(3)A=A`
अत: `AI_(3)=I_(3)A`.
Discussion
299.

x,y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए यदि आव्यूह `A=[(0,2y,z),(x,y,-z),(x,-y,z)]` समीकरण `A^(T)=A=I_(3)` को संतुष्ट करता है।

Answer» यहां `A=[(0,2y,z),(x,y,-z),(x,-y,z)]`
तब `A^(T)=[(0,x,x),(2y,y,-y),(z,-z,z)]`
दिया गया है `A^(T)A=I_(3)`
`implies[(0,x,x),(2y,y,-y),(z,-z,z)][(0,2y,z),(x,y,-z),(x,-y,z)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`implies[(2x^(2),0,0),(0,6y^(2),0),(0,0,3z^(2))]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
`implies 2x^(2)=1,6y^(2)=1,3z^(2)=1`
[दो आव्यूहों की समानता से]
`impliesx=+-1/(sqrt(2)),y=+-1/(sqrt(6)),z=+-1/(sqrt(3))`
Discussion
300.

सिद्ध कीजिए की आव्यूह `A=[(a,b),(c,d)]` सम्बन्ध `A^(2)-A(a+d)+(ad-bc)I=0` को संतुष्ट करता है। जहाँ I एक क्रम दो का इकाई आव्यूह है।

Answer» हम जानते हैं की-
`A=[(a,b),(c,d)]`
`:. A^(2)=A.A`
`=[(a,c),(c,d)].[(a,b),(c,d)]=[(a^(2)+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^(2))]`
`A.(a+b)=[(a,c),(c,d)][a+d]=[(a^(2)+ad,ab+bd),(ac+cd,ad+d^(2))]`
`(ad-bc)I=(ad-bc)[(1,0),(0,1)]=[(ad-bc,0),(0,ad-bc)]`
इसलिए, `A^(2)-A(a+d)+(ad-bc)I`
`=[(a^(2)+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^(2))]-[(a^(2)+ad,ab+bd),(ac+cd,ad+d^(2)]+[(ad-bc,0),(0,ad-bc)]`
`=[(a^(2)+bc-a^(2)-ad+ad-bc,ab+bd-ab-bd+0),(ac+cd-ac-cd+0,bc+d^(2)-ad-d^(2)+ad-bc)]`
`=[(0,0),(0,0)]=0`
अतः आव्यूह दिए गए सम्बन्ध को संतुष्ट करता है।
Discussion