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301.

प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित आव्यूहों का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए- (i) `A=[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]`(ii) `A=[(3,-1,-2),(2,0,-1),(3,-5,0)]`

Answer» (i)हम जानते हैं कि
`A=IA`
`implies[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(2)` के प्रयोग से
`[(1,2,3),(0,1,2),(3,1,1)]=[(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)]A`
संक्रिया `R_(3)toR_(3)-3R_(1)` के प्रयोग से
`[(1,2,3),(0,1,2),(0,-5,-8)]=[(0,1,0),(1,0,0),(0,-3,1)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(2)-2R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,0,-10,(0,1,2),(0,-5,-8)]=[(-2,1,0),(1,0,0),(0,-3,1)]A`
संक्रिया `R_(3)toR_(3)+5R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,0,-1),(0,1,2),(0,0,2)]=[(-2,1,0),(1,0,0),(5,-3,1)]A`
संक्रिया `R_(3)to1/2R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,-1),(0,1,2),(0,0,1)]=[(-2,1,0),(1,0,0),(5/2,-3/2,1/2)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(1)+R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,0),(0,1,2),(0,0,1)]=[(1/2, -1/2, 1/2),(1,0,0),(5/2,-3/2,1/2)]A`
संक्रिया `R_(2)toR_(2)-2R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[(1/2,-1/2,1/2),(-4,3,-1),(5/2,(-3)/2,1/2)]A`
`:.A^(-1)=[(1/2,(-1)/2,1/2),(-4,3,-1),(5/2,3,-1),(5/2,(-3)/2,1/2)]`
(ii) हम जानते हैं कि
`A=IA`
`implies[(3,-1,-2),(2,0,-1),(3,-5,0)]=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(1)-R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,-1,-1),(2,0,-1),(3,-5,0)]=[(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)]A`
संक्रिया `R_(3)toR_(3)-3R_(1)` के प्रयोग से
`[(1,-1,-1),(2,0,-1),(0,-2,3)]=[(1,-1,0),(0,1,0),(-3,3,1)]A`
संक्रिया `R_(2)toR_(2)-2R_(1)` के प्रयोग से
`[(1,-1,-1),(0,2,1),(0,-2,3)]=[(1,-1,0),(-2,3,0),(-3,3,1)]A`
संक्रिया `R_(2)to1/2R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,-1,1),(0,1,1/2),(0,-2,3)]=[(1,-1,0),(-1,3/2,0),(-3,3,1)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(1)+R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,0,(-1),2),(0,1,1/2),(0,-2,3)]=[(0,1/2,0),(-1,3/2,0),(-3,3,1)]A`
संक्रिया `R_(3)toR_(3)+2R_(2)` के प्रयोग से
`[(1,0,(-1)/2),(0,1,1/2),(0,0,4)]=[(0,1/2,0),(-1,3/2,0),(-5,6,1)]A`
संक्रिया `R_(3)to1/4R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,(-1)/2),(0,1,1/2),(0,0,1)]=[(0,1/2,0),(-1,3/2,0),((-5)/4,3/2,1/4)]A`
संक्रिया `R_(1)toR_(1)+1/2R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,0),(0,1,1/2),(0,0,1)]=[((-5)/8,5/4,1/8),(-1,3/2,0),((-5)/4,3/2,1/4)]A`
संक्रिया `R_(2)toR_(2)-1/2R_(3)` के प्रयोग से
`[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=[((-5)/8,5/4,1/8),((-3)/8,3/4,(-1)/8),((-5)/4,3/2,1/4)]A`
`:.A^(-1)=[((-5)/8,5/4,1/8),((-3)/8,3/4,(-1)/8),(-5/4,3/2,1/4)]`
Discussion
302.

माना `A=[(1,2),(3,4)]` तथा `B=[(a,0),(0,b)], a, b in N` हो तो-A. कोई भी B ऐसी नहीं होगा की `AB = BA`B. एक से अधिक परन्तु सीमित संख्या में B इस प्रकार होंगे की `AB = BA`C. केवल एक ही B इस प्रकार होगा की `AB = BA`D. अनंत B इस प्रकार होंगे की `AB = BA`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
303.

यदि `U, 3xx3` क्रम का आव्यूह है जहाँ `U=[(1,2,2),(-2,-1,-1),(1,-4,-3)]` तो `[(3,2,0)] U[(3),(2),(0)]` बराबर है-A. 4B. 5C. `3//2`D. `5//2`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
304.

निम्नलिखित के उदाहरण दीजिए- (i) एक पंक्‍ति आव्यूह जो कि स्तम्भ आव्यूह भी है। (ii) निम्न त्रिभुजीय आव्यूह को कि ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह भी है। (iii) कोटि 3 का वर्ग आव्यूह जो कि विकर्ण आव्यूह नहीं है। (iv) विकर्ण आव्यूह जो कि अदिश आव्यूह नहीं है।

Answer» (i)`A=[2]_(|x|)` पंक्‍ति और स्तम्भ आव्यूह है।
(ii) `A=[(2,0),(0,-3)]` निम्न त्रिभुजीय और ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह है।
(iii) `A=[(0,0,1),(0,2,0),(4,0,0)] कोटि 3 का वर्ग आव्यूह है जो कि विकर्ण आव्यूह नहीं है क्योंकि अवयव `a_(13)` और `a_(31)` शून्येत्तर है।
(iv) `A=[(2,0),(0,1)]` विकर्ण आव्यूह हैं परंतु अदिश आव्यूह नहीं।
Discussion
305.

प्रारंभिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए|-

Answer» Correct Answer - `therefore " "A^(-1) =[{:( 1,(-10)/(25) ,(-15)/(25) ),(( -10)/(25) ,(4)/(25) ,(11)/(2) ),( (-15)/(25) ,( 1)/(25) ,( 9)/(2)):}]`
Discussion
306.

प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग करके आव्यूह ` [{:( 0,1,2),( 1,2,3),(3,1,1) :}]` का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए|

Answer» Correct Answer - ` therefore " "A^(-1) = [{:( (1)/(2), -( 1)/( 2) ,( 1)/(2) ) ,( -4,3,-1) ,( (5)/(2) ,(-3)/(2) ,( 1)/(2) ) :} ]`
Discussion
307.

यदि A तथा B, `nxxn` कोटि के ऐसे वर्ग आव्यूह हैं, की `A^(2)-B^(2)=(A-B) (A+B)`, तो निम्न में से कौन-सा सदैव सत्य है?A. `A=B`B. `AB=BA`C. A अथवा B में से कोई एक शून्य आव्यूह हैD. A अथवा B में से एक तत्समक आव्यूह है।

Answer» Correct Answer - B
Discussion
308.

यदि `A={:[(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)]" तथा "B=[(x_(1),y_(1),z_(1)),(x_(2),y_(2),z_(2)),(x_(3),y_(3),z_(3))]:}` तो सिद्ध कीजिए कि AB=2B.

Answer» `AB={:[(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)].[(x_(1),y_(1),z_(1)),(x_(2),y_(2),z_(2)),(x_(3),y_(3),z_(3))]:}`
`={:[(2x_(1)+0+0,2y_(1)+0+0,2z_(1)+0+0),(0+2x_(2)+0,0+2y_(2)+0,0+2z_(2)+0),(0+0+2x_(3),0+0+2y_(3),0+0+2z_(3))]:}`
`={:[(2x_(1),2y_(1),2z_(1)),(2x_(2),y_(2),z_(2)),(x_(3),y_(3),z_(3))]:}`
`=2{:[(x_(1),y_(1),z_(1)),(x_(2),y_(2),z_(2)),(x_(3),y_(3),z_(3))]:}`
=2B.
Discussion
309.

`[{:(4,6),(-3,2):}]` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया है `=[{:(4,6),(-3,2):}]`
`=4xx2-6xx(-3)`
`=8+18`
=26.
Discussion
310.

माना `A=[(2,-1),(3,4)],B=[(5,2),(7,4)], C=[(2,5),(3,8)]` है । एक ऐसा आव्यूह D ज्ञात कीजिए कि-`CD-AB=0`

Answer» चूंकि A,B, और C सभी कोटि 2 के वर्ग आव्यूह हैं और `CD-AB` परिभाषित है इसलिए D कोटि 2 का एक वर्ग आव्यूह होगा।
माना `D=[(a,b),(x,y)]` तब
`CD-AB=0`
`impliesCD=AB`
`implies[(2,5),(3,8)][(a,b),(x,y)]=[(2,-1),(3,4)][(5,2),(7,4)]`
`implies[(2a+5x,2b+5y),(3a+8x,3b+8y)]=[(10-7,4-4),(15+28,6+16)]`
`implies[(2a+5x,2b+5y),(3a+8x,3b+8y)]=[(3,0),(43,22)]`
`implies2a+5x=3`………1
`implies3a+8x=43`…….2
`implies2b+5y=0` ……….3
`implies3b+8y=22`…..4
समी 1 और 2 को हल करने पर
`x=77` और `a=-191`
समी 3 और 4 का हल करने पर
`y=44` और `b=-110`
`:.D=[(a,b),(x,y)]=[(-191,-110),(77,44)]`
Discussion
311.

दर्शाइए कि आव्यूह `[(cos alpha, sin alpha, 0),(-sin alpha, cos alpha, 0),(0,0,1)]` का व्युत्क्रम `[(cos alpha, - sin alpha,0),(sin alpha, cos alpha, 0),(0,0,1)]` है।

Answer» माना `A=[(cos alpha, sin alpha, 0),(-sin alpha, cos alpha, 0),(0,0,1)]`
`B=[(cos alpha, -sin alpha,0),(sin alpha, cos alpha, 0),(0,0,1)]`
अब
`AB=[(cos alpha, sinalpha, 0),(-sin alpha, cos alpha,0),(0,0,1)][(cos alpha, -sin alpha, 0),(sin alpha, cos alpha, 0),(0,0,1)]`
`=[(cos^(2) alpha+sin^(2) alpha,cos alpha sin alpha-sin alpha cos alpha,0),(sin alpha cos alpha-cos alpha sin alpha, si^(2) alpha+cos^(2) alpha,0),(0,0,1)]`
`=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]=I`
इसी प्रकार `BA=I`
अतः `AB=I=BA`
इसलिए B आव्यूह A का व्युत्क्रम है।
Discussion
312.

मान लीजिए कि `A=[{:(2,-1),(3,4)],B=[(5,2),(7,4)],C=[(2,5),(3,8):}]` है। एक ऐसा आव्यूह D ज्ञात कीजिए कि CD-AB=0 हो।

Answer» मान लीजिए आव्यूह `D=[{:(p,q),(r,s):}]` हो, तब
CD-AB=0
`[{:(2,5),(3,8)][(p,q),(r,s)]-[(2,-1),(3,4)][(5,2),(7,4)]=[(0,0),(0,0):}]`
`[{:(2p+5r,2q+5s),(3p+8r,3q+8s)]-[(10-7,4-4),(15+28,6+16)]=[(0,0),(0,0):}]`
`[{:(2p+5r,2q+5s),(3p+8r,3q+8s)]-[(3,0),(43,22)]=[(0,0),(0,0):}]`
`[{:(2p+5r-3,2q+5s),(3p+8r-43,3q+8s-22)]=[(0,0),(0,0):}]`
दोनों आव्यूहों कि तुलना करने पर,
`2p+5r-3=0`
`2p+5r=3" "....(i)`
`2q+5s=0" "....(ii)`
`3p+8r-43=0`
`3p+8r=43" "....(iii)`
`3p+8s-22=0`
`3q+8s=22" "....(iv)`
समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर,
p=-191 तथा r=77 समीकरण (ii) तथा (iv) को हल करने पर,
q=-110 तथा s=44
अतः आव्यूह `D=[{:(-191,-110),(77,44):}]`
Discussion
313.

यदि `omega` इकाई का एक घनमूल है तो दर्शाइए कि `([(1,omega, omega^(2)),(omega, omega^(2),1),(omega^(2),1,omega)]+[(omega, omega^(2),1),(omega^(2),1,omega),(omega,omega^(2),1)])[(1),(omega),(omega^(2))]=[(0),(0),(0)]`

Answer» `([(1,omega, omega^(2)),(omega, omega^(2),1),(omega^(2),1,omega)]+[(omega, omega^(2),1),(omega^(2),1,omega),(omega,omega^(2),1)])[(1),(omega),(omega^(2))]`
`=[(1+omega, omega+omega^(2),omega^(2)+1),(omega+omega^(2),1+omega^(2),1+omega),(omega^(2)+omega,1+omega^(2),omega+1)[(1),(omega),(omega^(2))]`
`=[(1+omega+omega^(2)+omega^(3)+omega^(4)+omega^(2)),(omega+omega^(2)+omega^(3)+omega+omega^(2)+omega^(3)),(omega^(2)+omega+omega+omega^(3)+omega^(3)+omega^(2))]`
`=[(2(1+omega+omega^(2))),(2(1+omega+omega^(2))),(2(1+omega+omega^(2)))]=[(0),(0),(0)]`
`:’1+omega+omega^(2)=0]`
Discussion
314.

माना `A=[(2,3),(-1,2)]` और `f(x)=x^(2)-4x+7` दर्शाइए कि `f(A)=O` तथा इसके प्रयोग से `A^(5)` ज्ञात कीजिए।

Answer» `f(x)=x^(2)-4x+7`
`:.f(A)=A^(2)-4A+7I` जहां `I=[(1,0),(0,1)]`
अब `A^(2)=A.A=[(2,3),(-1,2)][(2,3),(-1,2)]`
`=[(4-3,6+6),(-2-2,-3+4)[=[(1,12),(-4,1)]`
`-4A=[(-8,-12),(4,-8)]` और `7I=[(7,0),(0,7)]`
`:.f(A)=A^(2)-4A+7I`
`impliesf(A)=[(1,12),(-4,1)]+[(-8,-12),(4,-8)]+[(7,0),(0,7)]`
`impliesf(A)=[(1-8+7,12-12+0),(-4+4+0,1-8+7)]`
`=[(0,0),(0,0)]=O`
अब `f(a)=O`
`impliesA^(2)-4A+7I=O`
`impliesA^(2)-4A-7I`………..i
`impliesA^(3)=A^(2)A=(4A-7I)A=4A^(2)-7IA`
`impliesA^(3)=4(4A-7I)-7A`[समी 1 से]
`implies A^(3)=9A-28I`
`impliesA^(4)=9A^(2)-28AI`
`=9(4A-7I)-28AI` [समी 1 से]
`impliesA^(5)=36A-63I-28A=8A-63I`
`impliesA^(5)=A^(4)A=(8A-63I)A=8A^(2)-63IA`
`implies A^(5)=8(4A-8I)-63A=-31A-56I`
[समी 1 से]
`impliesA^(5)=-31[(2,3),(-1,2)]-56[(1,0),(0,1)]`
`=[(-62,-93),(31,-62)]+[(-56,0),(0,-56)]=[(-118,-93),(31,-118)]`
Discussion
315.

x तथा y का माना ज्ञात कीजिये जिसके लिए `[(x,y),(3y,x)][(1),(2)]=[(3),(5)]`

Answer» Correct Answer - `x=1, y=1`
Discussion
316.

x के किस मान के लिए `[(1,x,1)][(1,3,2),(2,5,1),(15,3,2)][(1),(2),(x)]=0`

Answer» `implies[(1,x,1)][(1,3,2),(2,5,1),(15,3,2)][(1),(2),(x)]=0`
`implies[(1,x,1)][(7+2x),(12+x),(21+2x)]=0`
`implies7+2x+12x+x^(2)+21+2x=0`
`impliesx^(2)+165x+28=0`
`implies(x+14)(x+2)=0impliesx=-2` या `-14`
Discussion
317.

x के किस मान के लिए `[{:(1,2,1):}][{:(1,2,0),(2,0,1),(1,0,2):}][{:(" "0,),(" "2,),(" "x,):}]=0` है ?

Answer» `[{:(1,2,1):}][{:(1,2,0),(2,0,1),(1,0,2):}][{:(" "0,),(" "2,),(" "x,):}]=0`
`rArr[{:(1,2,1):}][{:(0+4+0,),(0+0+x,),(0+0+2x,):}]=0`
`rArr[{:(1,2,1):}][{:(" "4,),(" "x,),(" "2x,):}]=0`
`rArr[4+2x+2x]=0`
`rArr4+4x=0rArrx=-1`
Discussion
318.

यदि `[{:(x,-5,-1):}][{:(1,0,2),(0,2,1),(2,0,3):}][{:(" "x,),(" "4,),(" "1,):}]=0` है ,तो x का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer» `[{:(x,-5,-1):}][{:(1,0,2),(0,2,1),(2,0,3):}][{:(" "x,),(" "4,),(" "1,):}]=0`
`rArr[{:(x,-5,-1):}][{:(x+0+2,),(0+8+1,),(2x+0+3,):}]=0`
`rArr[{:(x,-5,-1):}][{:(x+2,),(" "9,),(2x+3,):}]=0`
`rArr[x^(2)+2x-45-2x-3]=0`
`rArrx^(2)-48=0`
`rArrx^(2)=48`
`rArrx=+-sqrt(48)=+-4sqrt(3)`
Discussion
319.

यदि `[(x+3,z+4,2y-7),(-6,a-1,0),(b-3,-21,0)]=[(0,6,3y-2),(-6,-3,2c+2),(2b+4,-21,0)]` तब `a,b,c,x,y` और `z` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» `[(x+3,z+4,2y-7),(-6,a-1,0),(b-3,-21,0)]=[(0,6,3y-2),(-6,-3,2c+2),(2b+4,-21,0)]`
`impliesx+3=0impliesx=-3`[ दो आव्यूहों की समानता से]
`z+4=6impliesz=2`
`2y-7=3y-2impliesy=-5`
`a-1=-3impliesa=-2`
`2c+2=0impliesc=-1`
`b-3=2b+4impliesb=-7`
`:.a=-2,b=-7,c=-1,x=-3,y=-5,z=2`
Discussion
320.

यदि `A=[{:(3,1),(-1,2):}]` हो तो सिद्ध कीजिए कि `A^(2)-5A+7I=0` है।

Answer» `A^(2)=A*A=[{:(3,1),(-1,2):}][{:(3,1),(-1,2):}]`
`=[{:(9-1,3+2),(-3-2,-1+4):}]=[{:(8,5),(-5,3):}]`
अब L.H.S.`=A^(2)-5A+7I_(2)`
`=[{:(8,5),(-5,3):}]-5[{:(3,1),(-1,2):}]+7[{:(1,0),(0,1):}]`
`=[{:(8,5),(-5,3):}]-[{:(15,5),(-5,10):}]+[{:(7,0),(0,7):}]`
`=[{:(8-15+7,5-5+0),(-5+5+0,3-10+7):}]`
`=[{:(0,0),(0,0):}]`
= O = R.H.S. यही सिद्ध करना था|
Discussion
321.

यदि `[(x-y,2x+z),(2x-y,3z+w)]=[(-1,5),(0, 13)], x, y, z, w` ज्ञात कीजिए।

Answer» दिया है- `[(x-y,2x+z),(2x-y,3z+w)]=[(-1,5),(0,13)]`
दोनों पक्षों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
`x-y=-1` ...(1)
`2x-y=0` ...(2)
`2x+z=5` ...(3)
`3z+w=13` ...(4)
a, y, z, w के लिए समीकरण (1), (2), (3) व (4) को हल करने पर,
`x=1, y=2, z=3` तथा `w=4`
Discussion
322.

यदि `A=[(-1,0,2),(3,1,4)], B=[(0, -2,5),(1,-3,1)]` तथा `C=[(1,-5,2),(6,0,-4)]` है तो `(2A-3B+4C)` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» Correct Answer - `[(2,-14,-3),(27,11,-11)]`
Discussion
323.

यदि `[(a+4,3b),(8,-6)]=[(2a+2,b+2),(8,a-4b)]` तब `a=2b` का मान ज्ञात कीजिए।

Answer» दोनों पक्षों के संगत अवयवों को बराबर रखने पर,
`a+4=2a+2 implies 3b=b+2`
`a-4b=-6`
हल करने पर, `a=2, b=1`
अतः `a-2b=2-2xx1=2-2=0`
Discussion
324.

निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए- (i) `[(a,b),(-b,a)[+[(a,b),(b,a)]` (ii) `[(a^(2)+b^(2),b^(2)+c^(2)),(a^(2)+c^(2),a^(2)+b^(2))]+[(2ab,2bc),(-2ac,-2ab)]` (iii) `[(cos^(2)x,sin^(2)x),(sin^(2)x,cos^(2)x)]+[(sin^(2)x,cos^(2)x),(cos^(2)x,sin^(2)x)]`

Answer» (i)`[(a,b),(-b,a)]+[(a,b),(b,a)]`
`=[(a+a,b+b),(-b+b,a+a)]=[(2a,2b),(0,2a)]`
(ii) `[(a^(2)+b^(2),b^(2)+c^(2)),(a^(2)+c^(2),a^(2)+b^(2))]+[(2ab,2bc),(-2ac,-2ab)]`
`=[(a^(2)+b^(2)+2ab,b^(2)+c^(2)+2bc),(a^(2)+c^(2)-2ac,a^(2)+b^(2)-2ab)]`
`=[((a+b)^(2)(b+c)^(2)),((a-c)^(2),(a-b)^(2))]`
(iii) `[(cos^(2)x,sin^(2)x),(sin^(2)x,cos^(2)x)]+[(sin^(2)x,cos^(2)x),(cos^(2)x,sin^(2)x)]`
`=[(cos^(2)x+sin^(2)x,sin^(2)x+cos^(2)x),(sin^(2)x+cos^(2)x,cos^(2)x+sin^(2)x)]=[(1,1),(1,1)]`
Discussion