InterviewSolution
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| 1. |
किसी G. P. का पहला और आठवाँ पद क्रमशः `x^(-4)` तथा `x^(52)` है तथा इसका दूसरा पद `x^(t)` है तो t=A. `-13`B. 4C. `(5)/(2)`D. 3 |
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Answer» प्रश्न से `a=x^(-4)=(1)/(x^(4))" ".........(1)` तथा `ar^(7)=x^(52)" ".......(2)` (2) में (1) से भाग देने पर `r^(7)=x^(56)=(x^(8))^(7):.r=x^(8)` दूसरा पद `=ar=(1)/(x^(4))x^(8)=x^(4)` प्रश्न से,`x^(t)=x^(4)impliest=4` |
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| 2. |
यदि किसी G. P. का चौथा पद x ,10 वां पद y तथा 16 वां पद z हो तो x ,y ,z होंगेA. A. P मेंB. G. P. मेंC. H. P. मेंD. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» `x=ar^(3),y=ar^(9),z=ar^(15)` `:.(y)/(x)=r^(6)" तथा "(z)/(y)=r^(6):.(y)/(x)=(z)/(y)impliesx,y,z` G. P. में है। |
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| 3. |
x के किस मान के लिए संख्याएँ x-2.x,x+3 गुणोत्तर श्रेणी में है। |
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Answer» Correct Answer - 6 |
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| 4. |
x के किस मान के लिए संख्याएँ `-(2)/(7),x,-(2)/(7)` गुणोत्तर श्रेढ़ी में है। |
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Answer» Correct Answer - `pm1` |
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| 5. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में अगला पद ज्ञात कीजिए | `(1)/(6),(1)/(3),(1)/(2)`,...... `(1)/(6),(1)/(3).(2)/(3)`,.... |
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Answer» Correct Answer - (i) `(2)/(3)` (ii) `(4)/(3)` (i) `t_(1)=(1)/(6), t_(2)=(1)/(3), t_(3)=(1)/(2) " " rArr a=(1)/(6), d=(1)/(6)` `:. " " t_(4)=(1)/(6)+(4-1)(1)/(6)=(2)/(3)` |
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| 6. |
A. P. के तीन संख्याओ का योग 15 है। यदि उन संख्याओ में क्रमशः 1, 4, 19 जोड़ दिया जाय तो प्राप्त संख्याएँ G.P. में है। उन संख्याओ को ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 2,5,8 या 26, 5,-16 |
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| 7. |
एक व्यक्ति की प्रथम वर्ष में आय 3,00,000 रु है तथा उसके आय 10,000 रु प्रतिवर्ष, उन्नीस वर्षों तक बढ़ती है, तो उसके द्वारा 20 वर्षों में प्राप्त आय ज्ञात कीजिए। |
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Answer» एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है जिसका प्रथम पद a = 3,00,000 सार्वअंतर d = 10,000 तथा पदों की संख्या n = 20 सूत्र, `S_(n)=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` `=(20)/(2)[2xx3,00,000+(20-1)xx10,000]` `=10[6,00,000+19xx10,000]` `=10[6,00,000+1,90,000]` `=10(7,90,000)` `=79,00,000` अतः 20 वर्षों के बाद वह व्यक्ति 79,00,000 रु. प्राप्त करता है। |
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| 8. |
यदि a,b,c,x वास्तविक संख्याएँ हैं तथा `(a^(2)+b^(2))x^(2)-2b(a+c)x+(b^(2)+c^(2))=0` तब सिध्द कीजिए कि a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में होंगे तथा उनका सार्वअनुपात x होगा | |
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Answer» `(a^(2)+b^(2))x^(2)-2b(a+c)x+(b^(2)+c^(2))=0` `rArr " "(a^(2)x^(2)-2bax+b^(2))+(b^(2)x^(2)-2bcx+c^(2))=0` `rArr " "(ax-b)^(2)+(bx-c)^(2)=0` यदि`ax-b=0 rArr x=b//a` `bx-c=0 " "rArr x=(c )/(b)` `rArr " "(b)/(a)=(c )/(b) " "rArr b^(2)=ac rArr a,b,c`गुणोत्तर श्रेणी में हैं | |
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| 9. |
एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी जबकि उसके 2 माता-पिता, 4 दादा-दादी, 8 परदादा, परदादी आदि हैं। |
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Answer» प्रथम पद a = 2 सार्वअनुपात r = 2 तथा पदों की संख्या = 10 योगफल का सूत्र `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1)` मान रखने पर `S_(n)=(2(2^(10)-1))/(2-1)` `=2[1024-1]` `=2xx1023` `=2046` अतः व्यक्ति के पूर्वजों की संख्या 2046 है। |
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| 10. |
श्रेणी 35, 31, 27, …... के कितने पदों का योग 170 होगा ? |
| Answer» Correct Answer - 10 | |
| 11. |
श्रेणी `(2)/(9),(-1)/(3),(1)/(2)`,...के कितने पदों का योग `(55)/(72)` होगा ? |
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Answer» यहाँ `" "a=(2)/(9),r=-(1)/(3)xx(9)/(2)=-(3)/(2)` माना पदों की संख्या n हैं तब `" "S_(n)=(a(l-r^(n)))/((1-r))=(55)/(72)` `rArr " "(2)/(9)([1-((-3)/(2))^(n)])/([1-((-3)/(2))])=(55)/(72)` `rArr " "1-((-3)/(2))^(n)=(55)/(72)xx(9)/(2)xx(5)/(2)=(275)/(32)` `rArr " "1-(275)/(32)=((-3)/(2))^(n)` `rArr " "(-243)/(32)=((-3)/(2))^(n) rArr ((-3)/(2))^(5)=((-3)/(2))^(n)` `rArr " "n=5` |
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| 12. |
यदि धनात्मक संख्याएँ a,b,c हरात्मक श्रेणी में हैं तथा `c gt a`, तब `log(a+c)+log(a-2b+c)` का मान है-A. `2 log(c-a)`B. `2log(a+c)`C. `2 log(c+a)`D. `2log(a-c)` |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 13. |
श्रेणी `x^(3),x^(5),x^(7), ......` के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(x^(3)(1-x^(2n)))/(1-x^(2))` | |
| 14. |
श्रेणी -8, -6, -4, …... के कितने पदों का योग 52 होगा ? |
| Answer» Correct Answer - 13 | |
| 15. |
निम्नलिखित समान्तर श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए | `17,14(1)/(2),12,….,-38` |
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Answer» प्रश्नानुसार प्रथम पर, `" "a=17` `d=14(1)/(2)-17=(-5)/(2)` माना `-38`,श्रेणी का n वां पद है `rArr " "a_(n)=-38` `rArr " "17+(n-1)((-5)/(2))=-38` `rArr " " 17-(5n)/(2)+(5)/(2)=-38` `rArr " "34-5n+5=-76` `rArr " "5n=115` `rArr " "n=23` |
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| 16. |
श्रेणी `1+2+4+8+….` के कितने पदों का योग 1023 है। |
| Answer» Correct Answer - 10 पद | |
| 17. |
यदि हरात्मक श्रेणी का 7 वाँ पद `(1)/(10)`तथा 12 वाँ पद `(1)/(25)`है, तब 20 वाँ पद है-A. `(1)/(41)`B. `(1)/(45)`C. `(1)/(49)`D. `(1)/(37)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 18. |
यदि `1+2+2^(2)+…..+2^(n-1)=255` हो, तो n का मान निकालिये। |
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Answer» श्रेणी `1+2+2^(2)+…..+2^(n-1)=255` गुणोत्तर श्रेणी है। प्रथम पद a = 1 , सार्वअनुपात r = 2 , पदों की संख्या = n , योग = 255 सूत्र `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1),[r gt 1]` या `255=(1(2^(n)-1))/(2-1)` या ` 255=2^(n)-1` या ` 2^(n)=255+1=256` या `2^(n)=2^(8)` घातों की तुलना से, `n=8` |
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| 19. |
गुणोत्तर श्रेणी `3, (3)/(2),(3)/(4), .......` के कितने पद आवश्यक है ताकि उनका योगफल `(3069 )/(512 )` हो जाए। |
| Answer» Correct Answer - 10 पद | |
| 20. |
दी गयी श्रेणी का n वाँ पद ज्ञात कीजिए | `(3n-1)/(n)+(3n-3)/(n)+(3n-5)/(n)`..... |
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Answer» प्रश्नानुसार `a=(3n-1)/(n),d=((3n-3)/(n))-((3n-1)/(n))=-(2)/(n)` `:. ""` n वाँ पद `a_(n)=a+(n-1)d` `=(3n-1)/(n)+(n-1)((-2)/(n))=(n+1)/(n)` यहाँ n, दी गयी समान्तर श्रेणी के प्रत्येक पद में आता है, इसलिए यह एक अचर संख्या है| इसलिए `a_(n)`इस श्रेणी का व्यापक पद नहीं है अर्थात इससे हम श्रेणी का पाँचवाँ पद ज्ञात नहीं कर सकते | |
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| 21. |
गुणोत्तर श्रेणी `3 , 3^(2 ) , 3^(3 ),……..` के कितने पद आवश्यक है ताकि उनका योगफल 120 हो जाए। |
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Answer» दी गयी गुणोत्तर श्रेणी में, प्रथम पद a = 3 , सार्वअंतर r = 3 तथा योगफल `S _(n )=120 , ` तब `S_(n)=(a(r^(n)-1))/(r-1)` `120=(3(3^(n)-1))/(3-1)` `120=(3(3^(n)-1))/(2)` `(120xx2)/(3)=3^(n)-1` या `3^(n)-1=80` `3^(n)=81` `3^(n)=(3)^(4)` घातांकों की तुलना से, `n =4` |
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| 22. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी के m वें पद का m गुणा, उसके n वें पद के गुणे के बराबर हो तो सिध्द कीजिए कि (m+n)वाँ पद शून्य होगा | |
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Answer» माना `a_(m)` तथा `a_(n)` क्रमशः किसी समान्तर श्रेणी के m वें तथा n वें पद है | `rArr " " a_(m)=a+(m-1).d" "`....(i) तथा `" "a_(n)=a+(n-1).d" "`.....(ii) प्रश्नानुसार `" "m.a_(n)=n.a_(n)` `rArr ""mxx[a+(m-1)d]=nxx[a+(n-1)d]` `rArr " " ma+m^(2)d-md=na+n^(2)d-nd` `rArr " "ma-na+m^(2)d-n^(2)d+nd-md=0` `rArr " " a(m-n)+d(m^(2)-n^(2))-d(m-n)=0` `rArr " " a(m-n)+d(m-n)(m+n)-d(m-n)=0` (m-n) से भाग करने पर `a+d(m+n)-d=0` `rArr " "a+(m+n-1)d=0` `rArr " " a_(m+n)=0""` यही सिध्द करना था | |
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| 23. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी का p वां पद q तथा q वाँ पद p हो तो सिध्द कीजिए कि r वाँ पद `p+q-r`होगा | |
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Answer» `q=a+(p-1).d, p=a+(q-1).d` `rArr " "q-p=(p-1)d-(q-1)d` `rArr " "q-p=(p-q)d,d=-1` अब `" "q=a+(p-1)d=a+(p-1)d=a+(p-1)(-1) rArr " "q+(p-1)=a` `:. " "T_(r )=a+(r-1)d=(p+q-1)+(r-1)(-1)=p+q-1+(-r)+1=p=q-r` |
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| 24. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी का (m+1) वाँ पद, उसके (n+1) वें पद का दोगुना हो तो सिध्द कि इसका (3m+1) वाँ पद, उसके (m+n+1) वें पद का दोगुना होगा | |
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Answer» `(m+1)वाँ पद=a+(m+1-1)d=a+md` `(n+1)वाँ पद=a+(n+1-1)d=a+nd` अब, प्रश्नानुसार `T_((m+1))=2T_((n+1)) rArr (m+1) वाँ पद=2xx(n+1)वाँ पद` `rArr a+md=2xx(a+nd) " "rArr a+md=2a+2nd` `rArr " "a=(m-2n)d` `अब (m+n+1)वाँ पद=a+(m+n+1-1)d` `=a+(m+n)d=(m-2n)d+(m+n)d=(2m-n)d` तब `" "(3m+1)वाँ पद=a+(3m+1-1)d=(m-2n)d+3md` `=2(2m-n)d=2xx(m+m+1)वाँ पद` |
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| 25. |
श्रेणियों का योगफल निकालिए `1+4+7+10+……..40` पदों तक |
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Answer» Correct Answer - 2380 |
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| 26. |
गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए `1,(1)/(2),(1)/(4),(1)/(8),.........n` पदों तक |
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Answer» Correct Answer - `(2)[1-(1/2)^(n)]` |
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| 27. |
गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए `1,-a,a^(2),-a^(3),.........n` पदों तक |
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Answer» Correct Answer - `([1-(-a)^(n)])/(1+a)` |
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| 28. |
गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए `x^(3),x^(5),x^(7),.........n` पदों तक |
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Answer» Correct Answer - `(x^(3)(1-x^(2n)))/(1-x^(2))` |
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| 29. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=n(n+2)` |
| Answer» Correct Answer - 3, 8, 15, 24, 35 | |
| 30. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=(n)/(n+1)` |
| Answer» Correct Answer - `(1)/(2),(2)/(3),(3)/(4),(4)/(5),(5)/(6)` | |
| 31. |
यदि `x=Sigma_(n=0)^(oo) a^(n), y=Sigma_(n=0)^(oo) b^(n),z=Sigma_(n=0)^(oo)(ab)^(n),a,b gt 1` तब सिध्द कीजिए कि xz+yz=xy+z |
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Answer» `x=overset(oo)underset(n=0)Sigma a^(n) rArr x=(1)/(1-b)rArra=(x-1)/(x)` `y=overset(oo)underset(n=0)Sigmab^(n)rArr y=(1)/(1-b)rArr b=(y-1)/(y)` तथा `" "z=overset(oo)underset(n=0)Sigma (ab)^(n)` `rArr " "z=(1)/(1-ab) rArr ab=(z-1)/(z)` `:. " "ab=a.b` `rArr " "(z-1)/(z)=((x-1)/(x))((y-1)/(y))` `rArr " " xyz-xy=z(xy-x-y+1)` `rArr " "xz+yz=xy+z" "` यही सिध्द करना था | |
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| 32. |
सिध्द कीजिए कि- `1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+(1)/(1+2+3+4)+…oo=2` |
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Answer» (iv)माना n वाँ पद `T_(n)`है, तब `T_(n)=(1)/(1+2+3+....+4)=(1)/(Sigman)=(1)/((n(n+1))/(2))=(2)/(n(n+1))=2((1)/(n)-(1)/(n+1))` अब `" "S_(n)=T_(1)+T_(2)+....T_(n)` `=2[{1-(1)/(2)}+{(1)/(2)-(1)/(3)}+{(1)/(3)-(1)/(4)}+...+{(1)/(n)-(1)/(n+1)}]` `=2(1-(1)/(n+1))=2)(n)/(n+1))` इसलिये,`" "S_(oo)=underset(n to oo)lim S_(n)=underset(n to oo)lim[2{1-(1)/(n+1)}]=2(1-(1)/(oo))=2=दायाँ पक्ष` |
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| 33. |
गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, 8, …….12 पदों तक |
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Answer» Correct Answer - 4095 |
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| 34. |
गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए 1,-3, 9, -27,………..9 पदों तक |
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Answer» Correct Answer - 4921 |
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| 35. |
जिस श्रेणी का n वां पद `(2n -1)` है, उसका सातवाँ पद ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 13 | |
| 36. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=2^(n)` |
| Answer» Correct Answer - 4, 8, 16 और 32 | |
| 37. |
निम्नलिखित अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वां पद दिया गया है : `a_(n)=(2n-3)/(6)` |
| Answer» Correct Answer - `-(1)/(6),(1)/(6),(1)/(2),(5)/(6)` तथा `(7)/(6)` | |
| 38. |
यदि `x=1+a+a^(2)+.....oo`तक `(|a| lt 1)` तथा `y=1+b+b^(2)+....oo`तक `(|b| lt 1)` तो सिध्द कीजिए कि `1+ab+a^(2)b^(2)+a^(3)b^(3)+....oo` तक `=(xy)/(x+y-1)` |
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Answer» दी गयी अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योग करने पर `x=(1)/(1-a) " "rArr ""a=(x-1)/(x)` तथा `" "y=(1)/(1-b) " "rArr " "b=(y-1)/(y)` `:. " "1+ab+a^(2)b^(2)+...oo`तक `=(1)/(1-ab)=(1)/(1-((x-1)(y-1))/(xy))` `=(xy)/(x+y-1)" "`यही सिध्द करना था | |
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| 39. |
दो संमान्तर श्रेणियों के n पदों के योगफलों में `(3n +8 ) : (7n +15 ) ` की निष्पत्ति है। 12 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो। |
| Answer» Correct Answer - `7:16` | |
| 40. |
किसी समान्तर श्रेणी का n वां पद (2n-1) है तो उसका सातवाँ पद ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - 13 (i) `T_(n)=(2n-1)` में n=7 रखने पर, `T_(7)=2xx7-1=13` |
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| 41. |
निम्नलिखित अनुक्रमों के सम्मुख दिया हुआ पद ज्ञात करो - (A) 2, 5, 8, 11 …… का 50 वां पद, (B) `(1)/(2),1, (3)/(2), ……` का 100 वां पद, (C ) `sqrt(2), 3sqrt(2),5sqrt(2),……` का 20 वां पद, (D) 4, 7, 10, 13, …….. का n वां पद तथा 25 वां पद, (E ) `(1)/(n), (n+1)/(n), (2n+1)/(n), ...... ` का 100 वां पद, (F) `(1)/(n^(2)),(1+n^(2))/(n^(2)), (1+2n^(2))/(n^(2)), ......` का n वां पद, |
| Answer» Correct Answer - `(A) 149 (B) 50 (C ) 39 sqrt(2 ) (D) 3n+1, 76 (E ) (1+99n)/(n) (F) (1+(n-1)n^(2))/(n^(2))` | |
| 42. |
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग `nP+(1)/(2)n(n-1)Q` है, जहाँ P तथा Q अचर हो तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - Q |
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| 43. |
समान्तर श्रेढ़ी में दो श्रेणियों के n पदों के योगफलों में `(3n-13):(5n+21)` की निष्पति है, तो उनके 24 वे पदों की निष्पति निकालिए। |
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Answer» माना कि A. P. के प्रथम पद क्रमशः `a_(1)" तथा "a_(2)` है तथा `c.d.d_(1)" तथा "d_(2)` है। प्रश्न से, `((n)/(2){2a_(1)+(n-1)d_(1)))/((n)/(2){2a_(2)+(n-1)d_(2)})=(3n-13)/(5n+21)` या `(2a_(1)+(n-1)d_(1))/(2a_(2)+(n-1)d_(2))=(3n-13)/(5n+21)" "......(i)` अब `("प्रथम A.P. का 24 वा पद")/("दूसरे A.P. का 24 वा पद")=(a_(1)+(24-1)d_(1))/(a_(2)+(24-1)d_(2))` `=(a_(1)+23d_(1))/(a_(2)+23d_(2))=(2a_(1)+46d_(1))/(2a_(2)+46d_(2))" ".......(ii)` (i) में n -1 =46 अर्थात n =47 रखने पर, `(2a_(1)+46d_(1))/(a_(2)+46d_(2))=(3.47-13)/(5.47+21)=(128)/(256)=(1)/(2)" ".......(iii)` (ii) से `("प्रथम A.P. का 24 वा पद")/("दूसरे A.P. का 24 वा पद")=(2a_(1)+46d_(1))/(2a_(2)+46d_(2))=(1)/(2)" "[(iii)` से] |
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| 44. |
यदि किसी समांतर श्रेणी का n वां पद `(2n +3 ) ` हो, तो उसका पाचवाँ और पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिये । |
| Answer» Correct Answer - 13, 53 | |
| 45. |
किसी समांतर श्रेणी का 8 वां पद 15 और 25 वां पद 49 है, तो पहला पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअंतर d है। `T_(8)=a+(8-1)d=a+7d=15 " "`...(i) `T_(25)=a+(25-1)d=a+24d=49 " "`...(ii) समीकरण (ii ) में से समीकरण (i ) घटाने पर, `17d=34` या `d=2` `d=2,` समीकरण (i ) में रखने पर, `a+7.2=15` या `a=15-14` या `a=1` अतः श्रेणी का प्रथम पद `= 1.` |
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| 46. |
एक समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल `3n ^(2 ) +2n ` है। इसका r वां पद ज्ञात करो। |
| Answer» Correct Answer - 6r - 1 | |
| 47. |
एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों कि संख्या ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 11 |
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| 48. |
समांतर श्रेणी 6, 10, 14, 18, ……..90 का अंत से 12 वां पद ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 46 | |
| 49. |
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के nवें पद का योगफल `3n^(2)+5n` है तथा इसका mवां पद 164 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 27 `t_(m)=S_(m-1)=3m^(2)+5m-3(m-1)^(2)-5(m-1)` `=3(2m-1)+5=6m+2]` |
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| 50. |
यदि किसी समांतर श्रेणी का m वां पद n तथा n वां पद m है, जहाँ `m ne n ` हो, p वां पद ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `n+m-p` | |