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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

व्रत का क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या `r` के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जब `r=5` सेमी है।

Answer» माना त्रिज्या `r` वाले व्रत का क्षेत्रफल `A` है। तब
`A=pir^(2)`
`:.(dA)/(dr)=(d)/(dr)(pi r^(2))`
`implies(dA)/(dr)=2pi r`
जब `r=5` सेमी ,तो `(dA)/(dr)=2pixx5=10pi`.
अतः व्रत का क्षेत्रफल `10 "सेमी"^(2)//"सेकण्ड"` की दर से बदल रहा है।
Discussion
2.

किसी आयत की लम्बाई `x`, `5` सेमी/मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई `y`, `4` सेमी/मिनट की दर से बढ़ रही है। जब `x=8` सेमी और `y=6` सेमी है, तब आयत के `(a)` परिमाप `(b)` क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए ।

Answer» चूकि आयत के लम्बाई `x` समय के साथ घट रही है और चौड़ाई `y` बढ़ रही है , तब
`(dx)/(dt)=-5` सेमी /मिनट और `(dy)/(dt)=4` सेमी/मिनट
`(a)` माना किसी क्षण`t` पर आयत की परिमाप`P` है, तब
`P=2(x+y)`
`implies(dP)/(dt)=2((dx)/(dt)+(dy)/(dt))`
`implies(dP)/(dt)=2(-5+4)=-2` सेमी/मिनट
`(b)` माना किसी क्षण `t` पर आयत का क्षेत्रफल `A` है, तब
`A=xy`
`implies(dA)/(dt)=(dx)/(dt)*y+x*(dy)/(dt)`
`implies(dA)/(dt)=[-5xx6+8xx4]` सेमी/मिनट |
`implies(dA)/(dt)=2"सेमी"^(2) // "मिनट"`|
अतः आयत के क्षेत्रफल की वृद्धि दर `2"सेमी"^(2) //"मिनट"` है ।
Discussion
3.

एक घन का आयतन समान दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि पृष्ट में पृष्ट की परिवर्तन की दर कोर की लम्बाई की व्युत्क्रमानुपाती होती है।

Answer» उदाहरण `8` के अनुसार `(dV)/(dt)=k` रखकर हल कीजिए
(`(dS)/(dt)=(4k)/(a)` अर्थात `(dS)/(dt)=(1)/(a)`)
Discussion
4.

एक गोलीय गुब्बारे का आयतन `20` `"सेमी"^(3)//"सेकण्ड"` की दर से बढ़ रहा है । बताइये कि जब त्रिज्या `8` सेमी है, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

Answer» माना `r` त्रिज्या के गोलीय गुब्बारे का आयतन `V` तथा पृष्ठीय (सतहों) क्षेत्रफल `S` है। तब
`S=4pir^(2)` और `V=(4)/(3)pir^(3)`
दिया है: `(dV)/(dt)=20"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"`, `r=8` सेमी
अब, `V=(4)/(3)pir^(3)`
`implies(dV)/(dt)=(4)/(3)pixx3r^(2)(dr)/(dt)`
`implies20=4pir^(2)(dr)/(dt)`
`implies(dr)/(dt=(5)/(pir^(2))`........`(1)`
और `S=4pir^(2)`
`implies(dS)/(dt)=4pixx2r(dr)/(dt)`
`implies(dS)/(dt)=8pirxx(5)/(pir^(2))` [समी. `(1)` से ]
`implies(dS)/(dt)=(40)/(r )`
`r=8` सेमी पर ,
`[(dS)/(dt)]_(r=8)=((40)/(8))"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"`|
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल `5"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"` की दर से बढ़ रहा है।
Discussion
5.

एक गुब्बारा , जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास `(3)/(2)(2x+1)` है। `x` के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना त्रिज्या `r` सहित गुब्बारे का आयतन `V` है, तब
`V=(4)/(3)pir^(3)`…….`(1)`
दिया है: व्यास `(3)/(2)(2x+1)`
`impliesr=("व्यास")/(2)=(3)/(4)(2x+1)`
सेमी. `(1)` से
`V=(4pi)/(3){(3)/(4)(2x+1)}^(3)`
`impliesV=(9pi)/(16)(2x+1)^(3)`
`:.(dV)/(dx)=(9pi)/(16)xx3(2x+1)^(2)*2`
`implies(dV)/(dx)=(27pi)/(8)(2x+1)^(2)`
अतः `x` के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर `(27pi)/(8)(2x+1)^(2)` है।
Discussion
6.

एक घन का आयतन `9` `"सेमी"^(3)//"सेकण्ड"` कि दर से बढ़ रहा है । यदि इसके कोर की लम्बाई `10` सेमी है, तो इसके पृष्ट का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

Answer» माना की घन की एक कोर की लम्बाई `a` सेमी है । घन का आयतन `V` तथा घन के पृष्ट का क्षेत्रफल `S` है। तब
`V=a^(3)` और `S=6a^(2)` , जहाँ `a` समय `t` का फलन है।
दिया है: `(dV)/(dt)=9"सेमी"^(3)//"सेकण्ड"` और `a=10` सेमी
अब `(dV)/(dt)=3a^(2)(da)/(dt)`
`implies9=3a^(2)(da)/(dt)`
`implies(da)/(dt)=(3)/(a^(2))` ........`(1)`
और `(dS)/(dt)=12a(da)/(dt)`
`implies(dS)/(dt)=12axx(3)/(a^(2))=(36)/(a)`
`implies((dS)/(dt))_(a=10)=(36)/(10)=3.6"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"`
Discussion
7.

घनाकार बॉक्स के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात कीजिए, यदि घनाकार बॉक्स के कोर की लम्बाई में `1%` त्रुटि है।

Answer» माना घनाकार बॉक्स का आयतन `V` है जिसकी कोर की लम्बाई `x` है, तब
`V=x^(3)`
`:.(dV)/(dx)=3x^(2)`……..`(1)`
माना`x` में त्रुटि `Deltax` तथा `V` में त्रुटि `DeltaV` है, तब
`x` में प्रतिशत त्रुटि `=(Deltax)/(x)xx100=1`(दिया है) ………`(2)`
अब, `DeltaV=(dV)/(dx)Deltax`
`implies(DeltaV)/(V)xx100=(3x^(2))/(V)Deltax xx100`
`implies(DeltaV)/(V)xx100=(3x^(2))/(x^(3))DeltaX xx100`
`implies(DeltaV)/(V )xx100=3.(Deltax)/(x)xx100` [सेमी. `(2)`से]
`implies(DeltaV)/(V)xx100=3xx1=3`
`implies` आयतन में प्रतिशत त्रुटि `=3%`
Discussion
8.

एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगे व्रतों में `4` सेमी/से. की गति से चलती है। जब वृताकार तरंग की त्रिज्या `10` सेमी है, तो उस क्षण क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है?

Answer» माना की क्षण `t` पर `r` त्रिज्या के वृताकार तरंग का क्षेत्रफल `A` है। तब,
`A=pi r^(2)`
`:.(dA)/(dt)=(d)/(dt)(pir^(2))`
`implies(dA)/(dt)=2pir(dr)/(dt)` ……..`(1)`
दिया है: `(dr)/(dt)=4` सेमी/से.
`:.(dA)/(dt)=2pirxx4=8pir` [समी `(1)` से.]
`r=10` सेमी पर,
`(dA)/(dt)=8pixx10=80pi"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"`
Discussion
9.

यदि `1^(@)=0.01745` हो, तो अवकल का प्रयोग करके `tan 46^(@)` का सनिकट मान ज्ञात कीजिए।

Answer» माना `y=tanx` और `x=45^(@)`, `x+Deltax=46^(@)`
तब `Deltax=x+Deltax-x=46^(@)-45^(@)`
`=1^(@)=0.01745`
अब, `y=tanx`
`implies(dy)/(Dx)=sec^(2)x`
`implies[(dy)/(dx)]_(x=45^(@))=sec^(2)45^(@)`
`implies[(dy)/(dx)]_(x=45^(@))=(sqrt(2))^(2)=2`
हम जानते है कि,
`Deltay=(dy)/(dx)Deltax`
`impliesDeltay=2xx0.01745`
`impliesDeltay=0.03490`
`:.tan46^(@)=y+Deltay=tan45^(@)+0.03490`
`impliestan46^(@)=1+0.03490`
`impliestan46^(@)=1.03490`
Discussion
10.

अवकल का प्रयोग करके `log_(10)10.1` का मान ज्ञात कीजिए जबकि `log_(10)e=0.4343`.

Answer» माना `y=log_(10)x`, `x=10` और `x+Deltax=10.1`
`:.Deltax=x+Deltax-x=10.1-10=0.1`
अब, `y=log_(10)x`…….`(1)`
`implies(dy)/(dx)=(1)/(x)log_(10)e`
`implies[(dy)/(dx)]_(x=10)=(1)/(10)log_(10)e`
`implies[(dy)/(dx)]_(x=10)=(1)/(10)xx0.4343`
`implies[(dy)/(dx)]_(x=10)=0.04343`
हम जानते है कि,
`Deltay=((dy)/(dx))_(x=10)=Deltax`
`impliesDeltay=0.04343xx0.1`
`impliesDeltay=0.004343`.......`(2)`
`:.log_(10)10.1=y+Deltay=log_(10)10+0.004343` [समी. `(1)` और `(2)`से ]
`implieslog_(10)10.1=1+0.004343=1.004343`.
Discussion
11.

किसी वस्तु की इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत `C(x)` रूपये में , `C(x)=0.005x^(3)-0.02x^(2)+30x+5000` से प्रदत है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए, जब `3` इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत से अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादक के सम्पूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर है।

Answer» यहाँ सीमांत लागत , उत्पादन की किसी स्तर पर इकाई के सापेक्ष सम्पूर्ण लागत के परिवर्तन की दर है।
`C(x)=0.005x^(3)-0.02x^(2)+30x+5000`
तब `(dC)/(dx)=0.015x^(2)-0.04x+30`
जब `x=3` इकाई हो, तब
`(dC)/(dx)=0.0015xx(3)^(2)-0.04xx3+30`
`implies(dC)/(dx)=0.135-0.12+30`
`implies(dC)/(dx)=30.015`
अतः अभीष्ट सीमांत लागत प्रति इकाई रु `30.02` है।
Discussion