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51.

वक्र `y=x^(2)-2x+7` की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो (a)रेखा `2x-y+9=0` के समान्तर है. (b)रेखा `5y-15x=13` पर लम्ब है.

Answer» वक्र का समीकरण
`y=x^(2)-2x+7" "...(1)`
`implies (dy)/(dx)=2x-2`
(a)रेखा `2x-y+9=0`
`impliesy=2x+9`
इसकी प्रवणता m =2
समांतर रेखा की प्रवणता =2
`therefore2x-2=2`
`implies2x=4`
`impliesx=2`
`x=2`समीकरण (1 ) रखने पर
`y=2^(2)-2xx2+7=7`
तथा बिन्दु (2,7) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
`y-7=2(x-2)`
`impliesy-7=2x-4`
`implies2x-y+3=0`
(b) रेखा का समीकरण
`5y-15x=13`
`impliesy=3x+13/5`
इसकी प्रवणता =3
लम्बे रेखा की प्रवणता `=-1/3`
`2x-2=-1/3`
`implies2x=-1/3+2=5/3`
`impliesx=5/6`
`x=5/6` समीकरण (1 ) रखने पर
`y=((5)/(6))-2xx5/6+7=(25-60+252)/(30)=217/36`
तथा बिन्दु `((5)/(6),(217)/(36))` पर स्पर्श रेखा का समीकरण
`implies36y-217=-12x+10`
`implies12x+36y-227=0`
Discussion
52.

प्रवणता - 1 वाली सभी रेखाओ का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र `y=(1)/(x-1),x ne-1` को स्पर्श करती है .

Answer» स्पर्श रेखा की प्रवणता `=-1`
वक्र का समीकरण `y=(1)/(x-1)`
`(dy)/(dx)=(-1)/((x-1)^(2))`
बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=(-1)/((x-1)^(2))`
`therefore(-1)/((x-1)^(2))=-1`
`implies(x-1)^(2)=1 `
`implies x-1 = pm 1`
`impliesx=2`या ` x=0`
`x=2`समीकरण (1 ) में रखने पर
`y=(1)/(2-1)=1`
`x=0` समीकरण (1 ) में रखने पर
`y=(1)/(0-1)=-1`
अतः - 1 प्रवणता वाली एक स्पर्श रेखा बिन्दु (2,1) तथा दूसरी स्पर्श रेखा बिन्दु `(0,-1)` से होकर जाती है.
(2,1) से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
`y+1=-1(x-0)`
`impliesx+y+1=0`
Discussion