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1.

आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि `11^(n+2)+12^(2n+1),133` से विभाज्य है।

Answer» माना कि `f(n)=11^(n+2)+12^(2n+1)`
माना कि `P(n):f(n).133` से विभाज्य है।
अब `f(1)=11^(3)+12^(3)=(11+12)(11^(2)-11.12+12^(2))`
`=23.133` जो कि 133 से विभाज्य है।
अतः `f(1)` सत्य है।………..A
माना कि `P(m)` सत्य है तो ltbr `f(m)` अर्थात `11^(m+2)+12^(2m+1),133` से विभाज्य है।
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `f(m+1),133` से विभाज्य है।
अब `f(m+1)=11^(m+1+2)+12^(2(m+1)+1)`
`=11.11^(m+2)+12^(2).12^(2m+1)`
`=11.11^(m+2)+144.12^(2m+1)`
अब हम `f(m+1)` को `f(m)` से विभाजित करते हैं।
`{:(11^(m+2)+12^(2m+1)11.(11)^(m+2)+144.12^(2m+1)(11)),(" "11.(11)^(m+2)+11.12^(2m+1)),(" "-" "-),(" "bar(" "133.12^(2m+1)" ")):}`
`:.f(m+1)=11.f(m)+133.12^(2m+1)`……..1
चूंकि `f(m),133` से विभाज्य है तथा `133.12^(2m+1)` भी 133 से विभाज्य है इसलिए 1 से `f(m+1),133` से विभाज्य है।
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा।………….B
A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।
Discussion
2.

आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि`cos alpha+cos 2 alpha +…..+cos n alpha = "sin"(n alpha)/2 "cosec" (alpha)/2 "cos"((n+1)alpha)/2`

Answer» माना कि `P(n):cos alpha+cos 2 alpha +………..+cos n alpha`
`= "sin"(n alpha)/2 "cosec"( alpha)/2 "cos"((n+1) alpha)/2`
Step I जब `n=1` L.H.S `= cos alpha` तथा R.H.S `= "sin" (alpha)/2, "cosec" (alpha)/2 cos alpha= cos alpha`
`:.` L.H.S `=` R.H.S ………….A
अतः `P(1)` सत्य है
Step II माना कि `P(m)` सत्य है तो
`cos alpha +cos 2 alpha +………..+ cos m alpha`= "sin"(m alpha)/2 "cosec"(alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2`…..1
साबित करना है कि
`cos alpha+cos 2 alpha+………+cos m alpha +cos (m+1) alpha`
`="sin"((m+1)alpha)/2 "cosec"(alpha)/2 "cos"((m+2)alpha)/2`…..2
1 के दोनों तरफ `cos (m+1) alpha` जोड़ने पर
`cos alpha + cos 2 alpha+…..+cos malpha +cos (m+1)alpha`
`= "sin"(m alpha)/2 "cosec" (alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2+cos (m+1)alpha`
`= "cosec" (alpha)/2["sin"(m alpha)/2 "cos"((m+1)alpha)/2+cos (m+1)alpha . "sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2[ 2 cos ((m+1)alpha)/2 "sin"(m alpha)/2 +cos (m+1) alpha. "sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2["sin"((2m+1)alpha)/2 –"sin"(alpha)/2+sin(m+1+1/2)alpha-sin(m+1-1/2)alpha]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2[ "sin"((2m+1)alpha)/2- "sin"(alpha)/2+ "sin"(2m+3)/2 alpha-"sin"((2m+1)alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2["sin"(2m+3)/2 alpha-"sin"(alpha)/2]`
`=1/2 "cosec"(alpha)/2 .2 cos ((2m+3+1)/4)alpha.sin((2m+2)/4)alpha]`
`= "cosec"(alpha)/2 ."cos"((m+2)alpha)/2 "sin"((m+1)alpha)/2`………3
अतः `P(m)` सत्‍य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा………b
A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।
Discussion
3.

गणितीय आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि `1/1.2 + 1/ 2.3 +..+1/(n(n+1))=n/(n+1)`

Answer» माना कि `P(n): 1/1.2+1/2.3+….+1/(n(n+1))=n/(n+1)`
Step I. जब `n=1,L,H,S.=1/1.2=1/2`
तथा `R.H.S=n/(n+1)=1/(1+1)=1/2`
`:.L.H.S.=R.H.S`
अतः `P(1)` सत्य है……A
माना कि `P(m)` सत्य है तो
`1/1.2+1/2.3+………+1/(m(m+1))=m/(m+1)`……1
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात
`1/1.2+1/2.3+….+1/(m(m+1))+1/(m(m+1))+1/((m+1)(m+2))=(m+1)/(m+2)`…2
1 के दोनों तरफ `1/((m+1)(m+2))` जोड़ने पर
`1/1.2+1/2.3+….+1/(m(m+1))+1/((m+1)(m+2))`
`=m/(m+1)+1/((m+1)(m+2))=(m+2)+1)/((m+1)(m+2))`
`=(m^(2)+2x+1)/((m+1)(m+2))=((m+1)^(2))/((m+1)(m+2))=(m+1)/(m+2)`…..3
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा।………….B
अब A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्या `n` के लिए `P(n)` सत्य है।
Discussion
4.

आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि 2 से बड़ी सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `2^(n)ge2n+1`.

Answer» माना कि `P(n):2^(n)ge2n+1` जहां `ngt2`
जब `n=3`, L.H.S. `=2^(n)=2^(3)=8` तथा R.H.S `=2.3+1=7`
स्पष्टतः `8gt7:.P(3)` सत्य है। ……………A
माना कि `P(m)` सत्य है तो `2^(m)gt2m+1` जहां `mge3` …….1
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `2^(m+1)ge2^(m+3)`
अर्थात `2^(m+1)gt alpha` जहां `alpha=2m+3`….2
1 के दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर
`2^(m+1)gt4m+2 :.2^(m+1)gt beta` जहां `beta=4m+2`…..3
अब `beta-alpha=4m+2-2m-3=2m-1gt0`
`:.beta gt alpha`…….4
3 तथा 4 से `2^(m+1)gt alpha` अर्थात `2^(m+1)gt2m+3`
`:.P(m)` सत्य होने पर `P(m-1)` भी सत्य होगा। ………..B
A और B से आगमन सिद्धांत से 2 बड़ी सभी प्राकृत संख्याओं के लिए `P(n)` सत्य है।
Discussion