InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 51. |
क्षैतिज से `30^(@)` कोण पर कार्यरत एक बल का ऊर्ध्व घटक 200 न्यूटन है | आरोपित बल का मान ज्ञात कीजिए | |
| Answer» Correct Answer - 400 न्यूटन | |
| 52. |
निम्नांकित सूची में से एकमात्र सदिश राशि को छाँटिए: बल, कोणीय, संवेग, कार्य धारा, रैखिक संवेग, विघुत क्षेत्र, औसत वेग, चुम्बकीय आघूर्ण, आपेक्षिक वेग | |
| Answer» कार्य व धारा अदिश राशियोँ है | | |
| 53. |
क्रिकेट का कोई खिलाडी किसी गेंद को 100 m की अधिकतम क्षैतिज दूरी तक फेक सकता है | वह खिलाडी उसी गेंद को जमीं से ऊपर कितनी ऊँचाई तक फेक सकता है ? |
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Answer» अधिकतम क्षैतिज दूरी (महत्तम परास ) `R_(max) = (u^(2))/(g)` अधिकतम ऊँचाई, `h_(max) = (u^(2))/(g)` `therefore h_(max) = (1)/(2)((u^(2))/(g))=(1)/(2)xxR_(max)` `= (1)/(2) xx 100 = 50` मीटर | |
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| 54. |
कोई यात्री किसी नए शहर में आया है और वह स्टेशन से किसी सीधी सड़क पर स्थित किसी होटल तक जो 10 कम दूर है, जाना चाहता है | कोई बेईमान टैक्सी चालक 23 km के चककरदार रास्ते से उसे ले जाता है और 28 मिनट में होटल में पहुँचता है | (a) टैक्सी की औसत चाल, और (b) औसत वेग का परिमाण क्या होगा ? क्या वे बराबर है ? |
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Answer» प्रश्नानुशार, स्टेशन तथा होटल के बीच लघुतम दूरी ` = 10` किमी अतः टैक्सी का विस्थापन होना चाहिए= 10 किमी प्रश्नानुशार, टैक्सी द्वारा तय की गई दूरी = 23 किमी तथा टैक्सी लिया गया समय = 28 मिनट ` = (28)/(60)` घण्टा `= (7)/(15)` घण्टे (a) टैक्सी की औसत चाल = `("कुल तय की गई दूरी")/("कुल लगा समय")` `= (23)/(7//15) = (345)/(7) ("किमी")/("घण्टा")` `= 49.3` किमी/घण्टा | (b) औसत वेग = `("कुल विस्थापन")/("समय")` `= (10)/(7//15) = (150)/(7)` किमी/घण्टा ` 21.43` किमी/घण्टा | नहीं, वे बराबर नहीं है | केवल सीधे पथो के लिए ही परिमाण में औसत चाल, औसत वेग के बराबर होती है | |
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| 55. |
तीन लड़कियाँ 200 m त्रिज्या वाली वृत्तीय बर्फीली सतह पर स्केटिंग कर रही है | वे सतह के किनारे के बिंदु p से स्केटिंग शुरू करती है तथा p के व्यासीय विपरीत बिंदु Q पर विभिन्न पथो से होकर पहुँचती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है | प्रत्येक लड़की के विस्थापन सदिश का परिमाण कितना है ? किस लड़की के लिए यह वास्तव में स्केट किए गए पथ की लम्बाई के बराबर है | |
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Answer» विस्थापन प्रारम्भिक व अन्तिम बिंदुओं के बीच दिष्ट दूरी है | यह प्रारम्भिक व अन्तिम बिंदुओं के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करती | प्रत्येक लड़की का प्रारम्भिक बिंदु P व अन्तिम बिंदु Q है, अतः प्रत्येक लड़की का विस्थापन `= vecPQ` प्रत्येक लड़की के विस्थापन का परिमाण `= PQ =` वृत्तीय बर्फीली सतह का व्यास `= 2 xx` त्रिज्या `= 2 xx 200 = 400` मीटर | लड़की B के लिए वास्तविक पथ की लम्बाई PQ है, अतः लड़की B के लिए विस्थापन का परिमाण वास्तविक पथ की लम्बाई के बराबर है | |
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| 56. |
एक साईकिल सवार `27 km/h` की चाल से साइकिल चला रहा है | जैसे ही सड़क पर वह 80 m त्रिज्या के वृत्तीय मोड़ पर पहुँचता है, वह ब्रेक लगाता है और अपनी चाल को `0.5 m//s` की एकसमान दर से कम कर लेता है | वृत्तीय मोड़ पर साइकिल सवार के नेट त्वरण का परिमाण और उसकी दिशा निकालिए | |
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Answer» प्रश्नानुसार, साइकिल सवार की चाल `v = 27km//h` या `" " v= (27 xx 1000)/(3600)m//s = (15)/(2)m//s` दिया है वृत्तीय मोड़ की त्रिज्या `r = 80` मीटर मोड़ पर अभिकेंद्र त्वरण ` = (v^(2))/(r)` अतः `a_(c) = (v^(2))/(r) = ((15//2)^(2))/(80)` ` = (225)/(4xx80) = (45)/(4xx16) = (45)/(64) = 0.70 m//s^(2)` दिशा केंद्र की ओर ब्रेक द्वारा साइकिल की चाल `0.5m//s` की दर से कम हो रही है | अतः स्पर्श रेखीय मंदन जो अभिकेंद्र त्वरण के लंबवत होगा | अर्थात `" "a_(T) = 0.5 m//s^(2)` परिणामी त्वरण `a = sqrt(a_(c)^(2) + a_(T)^(2))` `a = sqrt((0.7)^(2) + (-0.5)^(2))` `= sqrt(0.49 + 0.25)` `= sqrt(0.74) = 0.86 m//s^(2)` परिणामी त्वरण की दिशा ` tan theta = (a_(c))/(a_(T)) = (0.7)/(0.7)` `tan theta = 1.4` या `" "theta = 54.5^(@)`. |
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| 57. |
पेड़ पर बैठे बन्दर के ठीक सामने की ओर एक शिकारी निशाना लगता है | जैसे ही शिकारी गोली छोड़ता है उसी क्षण बंदर पेड़ से नीचे गिर पड़ता है | क्या गोली बंदर को को लगेगी? क्या बंदर को गोली लगना अथवा न लगना गोली के प्रारम्भिक वेग पर निर्भर है ? |
| Answer» यदि गोली छूटते ही बंदर गिर पड़े, तो गोली बंदर को अवश्य लगेगी बशर्ते गोली का वेग बन्दर तक पहुँचने के लिए प्राप्त हो | इसका कारण यह है कि गोली छूटते समय उसकी दिशा ठीक बंदर की ओर थी | छूटने के पश्चात गोली एवं बंदर दोनों पर समान ऊर्ध्वाधर त्वरण g कार्य करता है |अतः गोली की गति सदैव नीचे गिरते हुए बंदर की ओर बनी रहेगी | यदि बंदर पेड़ पर बैठा रहता है, तो गोली उसे नहीं लगेगी | | |
| 58. |
एक तोप से 5 व 10 किग्रा के दो गोले समान वेग से एक ही दिशा में फेंके जाते है | कौन-सा गोला पृथ्वी पर पहले पहुँचेगा ? यदि गोले भिन्न-भिन्न वेगो से एक ही दिशा में फेंके जायें तब ? |
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Answer» एक साथ पहुँचेंगे, क्योकि उड्डयन कल द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता बशर्ते कि वायु का प्रतिरोध नगण्य हो | भिन्न-भिन्न वेगो से फेकने पर जिसका वेग कम होगा वह पहले पृथ्वी पर पहुँचेगा | `T = ( 2 u sin theta_(0)) //g.` |
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| 59. |
लम्बी कूद में क्या इस बात का भी महत्व है कि आप कितनी ऊँचाई लेकर कूदते है ? |
| Answer» हाँ, एक निश्चित कूदने के वेग u के लिए क्षैतिज परास तब अधिकतम होती है जब क्षैतिज से प्रक्षेपण कोण `theta` का मान `45^(@)` हो| इस कोण के लिए ऊर्ध्व ऊँचाई `u^(2)//4g` होगी जो कि निश्चित है | अतः यदि ऊर्ध्व ऊँचाई `u^(2)//4g` से भिन्न है, तो `theta` का मान `45^(@)` से भिन्न होगा तथा क्षैतिज परास भी `theta = 45^(@)` की तुलना में कम होगी | | |
| 60. |
क्या आप निम्नलिखित के साथ कोई सदिश सम्बद्ध कर सकते है : (a) किसी लूप में मोड़ी गई तार की लम्बाई, (b) किसी समतल क्षेत्र, (c ) किसी गोले के साथ ? व्याख्या कीजिए | |
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Answer» (a) नहीं, किसी लूप में मोड़ी गयी तार के लम्बाई के साथ सदिश सम्बन्ध नहीं कर सकते, क्योकि लूप के तार की प्रत्येक स्थान पर दिशा बदलती रहती है | (b) हाँ, एक समतल क्षेत्र के साथ सदिश सम्बन्ध कर सकते है, इसकी दिशा बाहर की ओर खींचे गये लम्ब के अनुदिश होती है | (c ) नहीं, एक गोले के साथ सदिश सम्बन्ध नहीं कर सकते, क्योकि गोले के पृष्ठ पर बाहर की ओर खींचे गये लम्ब की दिशा विभिन्न स्थानों पर भिन्न-भिन्न होती है | |
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| 61. |
यदि वेक्टर `vecA = 3hati + 2hatj + hatk` एवं वेक्टर `vecB =5hati - 5hatj + hatk` हो, तो `vecA * vecB` और `vecA xx vecB` के मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `vecA * vecB = (3hati + 2hatj + hatk) * (5hati - 5hatj + hatk)` `= 15 - 10 + 1 = 6.` `vecA` तथा `vecB` की सदिश गुणा `vecA xx vecB =|{:(,hati,,hatk,,hatk),(,3,,2,,1),(,5,,-5,,1):}|` `= hati (2+5) -hatj(3-5) + hatk(-15 -10)` `=7hati + 2hatj - 25 hatk` . |
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| 62. |
निम्नांकित चित्र (a) में किसी कोण `theta` पर झुके हुए दो वेक्टर `vecA` तथा `vecB` दिये गये हैं | `2vecA - vecB` के मान हेतु आरेख बनाइए | |
| Answer» पहले दिये गये वेक्टर `vecA` से दोगुनी लम्बाई का वेक्टर `2vecA` खीचते हैं ( चित्र b) फिर `2vecA` के बाणाग्र से वेक्टर `-vecB` ( दिये गये वेक्टर `vecB` की लम्बाई का परन्तु विपरीत दिशा में ) खींचते हैं | अंत में, `2vecA` के प्रारम्भिक सिरे से के `-vecB` बाणाग्र तक वेक्टर खींच लेते हैं यही वेक्टर `2vecA - vecB` हैं | | |
| 63. |
दो वेक्टर `vecA = hati + 2hatj + 2hatk` तथा `vecB = 3hati + hatj + 2hatk` दिये गये है एक अन्य वेक्टर `vecC` जिसका परिमाण वेक्टर `vecB` के परिमाण के बराबर है तथा दिशा वह है जो `vecA` की है | तब निम्न में जो `vecC` को व्यक्त करता है, वह वेक्टर है :A. `(7)/(3)(hati + 2hatj + 2hatk)`B. `(3)/(7)(hati - 2hatj + 2hatk)`C. `(7)/(9)(hati - 2hatj + 2hatk)`D. `(9)/(7)(hati + 2hatj + 2hatk)` |
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Answer» Correct Answer - A `vecC` के समांतर एकांक वेक्टर `hatC = (hatC)/(C ) = (vecA)/(A)" "` (दिया है ) `=(hati + 2hat + 2hatk)/(sqrt(1+4+4))` `therefore` वेक्टर `vecC = (vecA)/(A) xx |vecB| = (hati + 2hatj + 2hatk)/(sqrt(1+4+4)) xx sqrt(9+36 + 4)` `= (7)/(3) (hati + 2hatj + 2hatk)` |
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| 64. |
a के किस मान के लिए वेक्टर `vecA = 2hati + ahatj + hatk` वेक्टर `vecB = 4hati - 2hatj - 2hatk` लंबवत है ? |
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Answer» चूँकि `vecA` सदिश `vecB` व परस्पर लंबवत हैं, अतः `vecA * vecB = 0`. `vecA * vecB = (2hati + a hatj + hatk) * (4 hati - 2hatj - 2hatk) =0` `= 8-2a - 2 = 0` अतः ` = 3.` |
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| 65. |
(i) सदिशों `vecA` व `vecB` में, यदि `vecA + vecB + = vecC` तथा `A + B = C` हों, तो सिद्ध कीजिए `vecA` कि व `vecB` परस्पर समांतर हैं | (ii) यदि `vecA + vecB = vecB` तथा `A^(2) + B^(2) = C^(2)` हों, तो `vecA` व `vecB` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» (i) दिया हैं : `vecA + vecB = vecC` दोनों ओर स्वतः अदिश गुणन करने पर `(vecA + vecB) * (vecA + vecB) = vecC * vecC` अथवा `vecA * vecA + vecA * vecB + vecB * vecA + vecB * vecB = vecC * vecC.` परन्तु `vecA * vecB = vecB * vecA = AB cos theta`, जहाँ `theta` सदिशों `vecA` व `vecB` के बीच का कोण हैं `therefore A^(2) + 2AB cos theta + B^(2) = C^(2)` परन्तु `A + B = C` दिया हैं ), जिससे `A^(2) + 2AB + B^(2) = C^(2)`. अंतिम दो समीकरणों की तुलना करने पर `cos theta = 1 = cos 0` `therefore theta = 0`. अतः `vecA` व `vecB` परस्पर समांतर व एक ही ओर की दिष्ट हैं | (ii) दिया हैं `vecA + vecB = vecC` दोनों ओर स्वतः अदिश गुणन करने पर `(vecA + vecB)* (vecA + vecB) = vecC* vecC` `A^(2) + B^(2) + 2vecA * vecB = C^(2)` परन्तु `A^(2) + B^(2) = C^(2)` ( दिया हैं ) `therefore vecA * vecB = 0` `A bot B" [therefore A ne 0, B ne 0]` अतः `vecA` व `vecB` परस्पर लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच कोण `90^(@)` हैं| |
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| 66. |
सिद्ध कीजिए कि सदिश `vecA = 4hati - hatj + 2hatk` तथा `vecB = hati + 2hatj - hatk` परस्पर लंबवत हैं | |
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Answer» दो सदिश `vecA` तथा `vecB` परस्पर लंबवत हैं, यदि `vecA * vecB = 0`. अब, `" " vecA * vecB = (4hati - hatj + 2hatk) * (hati + 2hatj - hatk)` `= (4)(1)+(-1)(2)+(2)(-1)` ` = 4 -2 -2 = 0` अतः `vecA` तथा `vecB` परस्पर लंबवत हैं | |
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| 67. |
तीन सदिश `vecA, vecB` व `vecC` इस प्रकार हैं कि `vecA = vecB + vecC` तथा उनके परिमाण क्रमशः 5, 4 व 2 हैं | `vecA` व `vecC` के बीच कोण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» `vecA = vecB + vecc` अथवा `vecB = vecA - vecC`. दोनों ओर का स्वतः अदिश गुणन लेने पर `vecB * vecB = (vecA -vecC) * (vecA - vecC)` `=vecA * vecA - vecA * vecC - vecC * vecA + vecC * vecC` `= vecA * vecA + vecC * vecC - 2vecA * vecC`. क्यूंकि `vecA * vecC = vecC * vecA` अदिश गुणन की परिभाषा से | `therefore B^(2) = A^(2) + C^(2) -2AC cos theta` जहाँ `theta,` सदिशों `vecA` व `vecC` के बीच कोण हैं | अतः `2 AC cos theta = A^(2) + C^(2) - B^(2)` अथवा `cos theta "" (A^(2) + C^(2) - B^(2))/(2AC)` A, B, C के मान रखने पर `cos theta "" ((5)^(2) + (2)^(2) - (4)^(2))/(2(5)(2)) = (13)/(20) = 0.65.` `therefore theta = cos^(-1) (0.65)`. |
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| 68. |
दिया है `vecA + vecB + vecC + vecD = 0`, निचे दिए गए कथनो में से कौन-सी सही है? (a) `vecA, vecB, vecC` तथा `vecD` में से प्रत्यके शून्य सदिश है, (b) `(vecA + vecC)` का परिमाण `(vecB + vecD)` के परिमाण के बराबर है, (c ) `vecA` का परिमाण `vecB, vecC` तथा `vecD` के परिमाणों के योग से कभी भी अधिक नहीं हो सकता, (d) यदि `vecA` तथा `vecD` संरेखीय नहीं है तो `vecB + vecC` अवश्य ही `vecA` तथा `vecD` के समतल में होगा, और यह `vecA` तथा `vecD` के अनुदिश होगा यदि वे संरेखीय है | |
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Answer» ऐसा सम्भव है पर इसे ही एक अद्वितीय उत्तर नहीं माना जा सकता, कई अन्य परिस्थितियोँ भी है जिनमे उक्त कथन सत्य हो सकता है | जैसे कि यदि `vecA + vecC = -(vecB + vecD)`| (b) चूँकि `vecA + vecB + vecC + vecD = 0,` अतः `vecA + vecB = -(vecC + vecD)` अथवा `|vecA + vecB| = |vecC + vecD|` अतः कथन सत्य है | (c ) चूँकि `vecA + vecB + vecC + vecD = 0` अतः यह कहा जा सकता हे `vecA, vecV, vecC` व `vecD` चक्रीय क्रम में एक बहुभुज की भुजाएँ हे या उक्त चारो सदिश मिलकर एक बंद चतुर्भुज बनाते है | अब किसी भी चतुर्भुज में तीन भुजाओं की लम्बाई का योग शेष बची एक भुजा की लम्बाई से सदैव अधिक होता है अतः कथन सत्य है | (d) चूँकि `vecA + vecB + vecC + vecD =0` या `(vecB + vecC) + vecA + vecD = 0`, अब यदि `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` मिलकर शून्य हो जाते है, तो यह तभी सम्भव हो सकेगा जब `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` एक ही समतल में स्थित हो | अतः `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` के समतल में स्थित है | पुनः यदि `vecA` व `vecD` संरेखीय नही है, तो `vecA + (vecB + vecC) + vecD =0` यह तभी सम्भव है जब `vecA, (vecB + vecC)` व `vecD` मिलकर एक बंद त्रिभुज की रचना करे और इस स्थिति के लिए यह आवश्यक जो जाता है कि `vecA, (vecB + vecC)` तथा `vecD` एक ही समतल में स्थित हो | परन्तु यदि `vecA ` व `vecD` संरेखीय हो, तो सदिश `vecA + vecD` व `vecB + vecC` को एक ही सरल रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं होना चाहिए | अतः कथन सत्य है |
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| 69. |
एक बिंदु पर दो बल प्रत्येक 5 न्यूटन के परस्पर `120^(@)` पर है इन बलों के सदिश योग के परिमाण है :A. शून्यB. 5 न्यूटनC. `5sqrt(3)` न्यूटनD. 10 न्यूटन |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 70. |
क्षैतिज दिशा में 100 मीटर/सेकण्ड के वेग से उड़ते हुए एक वायुयान से 2000 मीटर की ऊँचाई से एक पिण्ड छोड़ा जाता है | ज्ञात कीजिए : (i) पिण्ड को पृथ्वी पर आने में लगा समय तथा (ii) पृथ्वी तक गिरने में पिण्ड द्वारा चली गयी क्षैतिज दूरी | (g = 10 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`) |
| Answer» (i) 20 सेकण्ड, (ii) 2000 मीटर | | |
| 71. |
कारण सहित बताइए की अदिश तथा सदिश राशियों के साथ क्या निम्नलिखित बीजगणितीय संक्रियाएँ अर्थपूर्ण है ? (a) दो अदिशो को जोड़ना, (b) एक ही विमाओं के एक सदिश व एक अदिश को जोड़ना, (c ) एक सदिश को एक अदिश से गुणा करना, (d) दो अदिशो का गुणन, (e ) दो सदिशों को जोड़ना, (f) एक सदिश के घटक को उसी सदिश से जोड़ना | |
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Answer» (a) नहीं, क्योकि उन्ही अदिशो का योग सम्भव है जो एक ही प्रकृति की भौतिक राशियों व्यक्त करे | उदाहरण के लिए, दूरी को दूरी में जोड़ा जा सकता है, दूरी को द्रव्यमान में नहीं जोड़ा जा सकता | (b) नहीं, क्योकि आदिश व सदिश को जोड़ना सम्भव नहीं है | ( c) हाँ, एक आदिश का एक आदिश से गुणन सम्भव है, परिणामी एक नई सदिश राशि होगी | जिसका परिमाण भिन्न किन्तु दिशा वही होती हैं जो गुणा की गयी सदिश राशि की थी | (d) हाँ, दो अदिशो का गुणन सम्भव है | उदाहरण के लिए, दूरी = चाल `xx` समय तथा कार्य = शक्ति `xx` समय | (e ) नहीं, क्योकि उन्ही सदिशों का योग सम्भव है, जो एक ही भौतिक राशि व्यक्त करे | (f) नहीं, किसी सदिश के घटक को उसी सदिश में जोड़ना अर्थहीन है | |
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| 72. |
सदिशों `vecA = 2hati - 6hatj - 3hatk` तथा `vecB = 4hati + 3 hatj - hatk` के परिणामी के समांतर एकांक सदिश ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना `vecA` तथा `vecB` का परिणामी सदिश है | तब ` vecC = vecA + vecB = (2hati - 6hatj - 3hatk) + (4hati + 3hatj - hatk)` `=6hati - 3hatj - 4hatk`. ` therefore C = |vecC| = sqrt(6^(2) + (-3)^(2) + (-4)^(2)) = sqrt(61)`. `vecC` के समांतर एकांक सदिश `hatC=(hatC)/(C)(6hati-3hatj - 4hatk)/(sqrt(61))=(6)/(sqrt(61))hati-(3)/(sqrt(61))hatj-(4)/(sqrt(61))hatk.` |
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| 73. |
एक वेक्टर `vecP = 3hatk` तथा दूसरा वेक्टर `vecQ = 2hatj` है | वेक्टर गुणनफल `vecP xx vecQ` होगा :A. `6 hati`B. `-6hati`C. शून्यD. `6 hatj`. |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 74. |
पृथ्वी तल से 875 मीटर की ऊँचाई पर शत्रु देश का एक विमान 150 मीटर/सेकण्ड के एकसमान वेग से क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है | जब वह विमान एक विमानभेदी तोप से ठीक ऊपर होता है, तो विमानभेदी तोप से एक गोला क्षैतिज दिशा से `theta` कोण ऊपर की ओर u वेग से दागा जाता है | यह गोला छोड़े जाने के 35 सेकण्ड बाद विमान से टकराता है | u तथा `theta` के मान ज्ञात कीजिए | (g = 10 मीटर/सेकण्ड`""^(2)` तथा `tan 53^(@) = 4//3`) |
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Answer» गोला विमान से तभी टकरायेगा जब गोले का क्षैतिज वेग `u cos theta`, विमान के क्षैतिज वेग के बराबर होगा | अतः `u cos theta = 150` मीटर/सेकण्ड | `" " ...(i)` गोले द्वारा तय की गयी ऊर्ध्वाधर दूरी `h = 875` मीटर है, त्वरण `g = -10` मीटर/सेकण्ड`"^(2)` है तथा गोले का प्रारम्भिक ऊर्ध्वाधर वेग `u sin theta` है | गोला विमान से t = 35 सेकण्ड बाद टकराता है | ये मान समीकरण `h = ut + (1)/(2)gt^(2)` में रखने पर, `875 = ( u sin theta) xx 35 + (1)/(2) )-10) xx (35)^(2).` हल करने पर `u sin theta = 200` मीटर/सेकण्ड |`" "...(ii)` समीकरण (i) व (ii) से, `u^(2) = (150)^(2) + (200)^(2)` `= 22500 + 40000 = 62500.` `therefore u = 250` मीटर/सेकण्ड| समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग करने पर, `tan theta = (200)/(150) = (4)/(3)` `therefore theta = tan^(-1) (4//3) = 53^(@).` |
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| 75. |
`hati` व `hatj` क्रमश: x-व y-अक्षो के अनुदिश एकांक सदिश है | सदिशों `hati+hatj` तथा `hati - hatj` का परिमाण तथा दिशा क्या होगा ? सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` के `hati + hatj` व `hati - hatj` के दिशाओं के अनुदिश घटक निकालिए | [आप ग्राफ़ी विधि की उपयोग कर सकते है | ] |
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Answer» सूत्र सदिश `vecA = A_(x) hati + A_(y)hatj` सदिश `vecA` का परिमाण `A = sqrt(A_(x)^(2) + A_(y)^(2))` ltbRgt यदि यह सदिश x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करता है, तब `tan theta = ((A_(y))/(A_(x)))` सदिश `(hati + hatj)` का परिमाण `= sqrt((1)^(2) + (1)^(2)) = sqrt(2)` यदि यह सदिश x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करता है, `tan theta = (A_(y))/(A_(x)) = (1)/(1) = 1 = tan 45^(@)`अतः `theta = 45^(@)` सदिश `(hati + hatj)` का परिमाण ` = sqrt((1)^(2) + (-1)^(2)) = sqrt(2)` यदि यह सदिश `(hati - hatj)`x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करती है | तब `tan theta = ((A_(y))/(A_(x))) = ((-1)))/(1) =-1 = - tan45^(@)` `theta = -45^(@)` अतः`(hati - hatj)` सदिश x-अक्ष से ऋणात्मक दिशा में `45^(@)` कोण अन्तरित करता है | सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` का सदिश `(hati + hatj)` की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए माना `vecB = (hati + hatj)` सूत्र `vecA*vecB = cos theta = (A cos theta)(B)` `A cos theta = (vecA * vecB)/(B) = ((2hati + 3hatj)*(hati + hatj))/(sqrt((1)^(2) + (1)^(2)))` ` A cos theta = (2hati * hati+3hatj *hatj)/(sqrt(2)) = (2+3)/(sqrt(2)) = (5)/(sqrt(2))` [यहाँ `hati *hati = hatj * hatj = hatk * hatk = 1]` सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` का सदिश `(hati + hatj)` की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए माना `vecB = hati - hatj`. अतः सदिश `vecA` का सदिश `(hati - hatj)` के अनुदिश घटक का परिमाण `= ((2hati + 3hatj)*(hati - hatj))/(|hati - hatj|)` ` = (2hati *hati - 3hatj * hatj)/(sqrt((1)^(2) + (-1)^(2))) = (2-3)/(sqrt(2) = (1)/(sqrt(2))` अतः `sqrt(2)x-`अक्ष से अक्ष से `-45^(@)` पर तथा घटक क्रमशः `((5)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))` होंगे | |
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| 76. |
`hati, hatj` तथा `hatk` क्रमशः `X-, Y-`तथा Z-अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश है | निम्नलिखित में कौन-सा कथन सही नहीं है ?A. `hati * hatj =1`B. `hatj xx hati = -hatk`C. `hati * hatj = 0`D. `hatj xx hatk = 0` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 77. |
निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन को ध्यानपूर्वक पढ़िए और कारण सहित बताइए कि यह सत्य है या असत्य : (a) किसी सदिश का परिमाण सदैव एक आदिश होता है, (b) किसी सदिश का प्रत्येक घटक सदैव आदिश होता है, (c ) किसी कण द्वारा चली गई पथ की कुल लम्बाई सदैव विस्थापित सदिश के परिमाण के बराबर होती है, (d) किसी कण की औसत चाल (पथ तय करने में लगे समय द्वारा विभाजित कुल पथ-लम्बाई ) समय के समान-अंतराल में कण के औसत वेग के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है | (e ) उन तीन सदिशों का योग जो एक समतल में नहीं है, कभी भी शून्य सीड्स नहीं होता | |
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Answer» (a) सत्य : क्योकि सदिश = आदिश + दिशा उदाहरण के लिए, वेग (सदिश) का परिमाण चाल (आदिश ) है | (b) असत्य क्योकि सदिश का प्रत्येक घटक सदिश ही होता है | (c ) पथ की कुल लम्बाई = चाल `xx` समय पथ की कुल लम्बाई = | वेग|`xx` समय, तभी सत्य है, जबकि बिना दिशा बदले गति एक सरल रेखा में हो | (d) सत्य : पथ की कुल लम्बाई, विस्थापन सीड्स के परिमाण से या तो बड़ी या बराबर होती है | (e ) सत्य : क्योकि तीन सदिश, जो समतल में नहीं है, बंद त्रिभुज (close triangle ) नहीं बना सकते | |
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| 78. |
कोई वायुयान 900 km `h^(-1)` की एकसमान चाल से उड़ रहा है और `1.00 km` त्रिज्या का कोई क्षैतिज लूप बनाता है | इसके अभिकेंद्र त्वरण की गुरुत्वीय त्वरण के साथ तुलना कीजिए | |
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Answer» प्रश्नानुसार, क्षैतिज लूप की त्रिज्या `= 1.00` किमी `r = 1000` मीटर वायुयान की चाल = 900 किमी/घंटा `= (900xx1000)/(3600)` मीटर/सेकण्ड `v = 250` मी/से वायुमन का अभिकेंद्र त्वरण `(a) = (v^(2))/(r)` `a = ((250)^(2))/(1000) = (250 xx 250)/(1000) = 62.5` मी/से`""^(2)` `because` गुरुत्वीय त्वरण `g = 9.8` मी/से`""^(2)` अतः `" "(a)/(8) = (62.5)/(9.8) = 6.4` या `" " a = 6.4` ग्राम | |
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| 79. |
एक पुल से एक पत्थर क्षैतिज से निचे की ओर `30^(@)` के कोण पर 25 मी/से के वेग से फेका जाता है | यदि पत्थर 2.5 सेकण्ड में जल से टकराता है, तो जल के पृष्ठ से पुल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए | पत्थर का क्षैतिज परास भी ज्ञात कीजिए | (g = 9.8 मी/से`""^(2)`) |
| Answer» 61.9 मीटर, 54.1 मीटर | | |
| 80. |
एक प्रक्षेप्य का प्रारम्भिक वेग `u = (3 hati + 4hatj)` मी/से है |महत्तम ऊँचाई पर इसका वेग होगा :A. 3 मी/सेB. 4 मी/सेC. 5 मी/सेD. शून्य |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 81. |
एक प्रक्षेप्य का प्रारम्भिक वेग `(3hati + 4hatj)` मी/से है | इसकी महत्तम ऊँचाई तथा क्षैतिज परास ज्ञात कीजिए | ( g = 10 मी/से`""^(2)`) |
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Answer» प्रक्षेप्य का प्रारम्भिक वेग, `vecu = (3hati + 4hatj)` मी/से इसकी `vecu = u_(x) hati + u_(y) hatj` से तुलना करने पर `u_(x) =3` मी/से तथा `u_(y) =4` मी/से, प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर महत्तम ऊँचाई, `h = (u^(2) sin^(2) theta)/(2g) = ((u sin theta)^(2))/(2g) = (u_(y)^(2))/(2g) = (16)//(2xx 10) = 0.8` मीटर | क्षैतिज परास, `R = (u^(2) sin theta)/(g) = (2u sin thetaxx u cos theta)/(g) = (2u_(y) xx u_(x))/(g)` ` = (2xx 4 xx 3)/(10) = 2.4` मीटर | |
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| 82. |
एक पत्थर पृथ्वी तल के क्षैतिज से `30^(@)`कोण पर 49 मीटर/सेकण्ड की चाल से फेका जाता है | उसके (i) उड्डयन कल तथा (ii) क्षैतिज परास की गणना कीजिए | (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`) |
| Answer» (i) 5 सेकण्ड, (ii) 212.2 मीटर | | |
| 83. |
एक प्रक्षेप्य का प्रारम्भिक वेग `(30 hati + 40hatj)` मीटर/सेकण्ड है | इसका प्रक्षेपण कोण, उड्डयन कल, महत्तम ऊँचाई तथा क्षैतिज प्रेस ज्ञात कीजिए | ( g= 10 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`) |
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Answer» प्रक्षेप्य का वेग `u = 30 hati + 40 hatj = u_(x) hati + u_(y) hatj` अतः प्रारम्भिक वेग u का क्षैतिज घटक `u_(x) = u cos theta_(0) = 30`, ऊर्ध्वाधर घटक `u(y) = u sin theta_(0) = 40` जहाँ `theta_(0)` प्रक्षेपण कोण है| अतः `tan theta_(0) = (40)/(30) " " therefore " "theta_(0) = tan^(-1) ((4)/(3))`. उड्डयन कल `T = (2 u sin^(2) theta_(0))/(g) = (2xx 40)/(10) =8` सेकण्ड | महत्तम ऊँचाई `h = (u^(2) sin^(2) theta_(0))/(2g) = ((40)^(2))/( 2xx 10) = 80` मीटर | क्षैतिज परास R = क्षैतिज वेग `xx` उड्डयन कल ` = 30 xx 8 = 240` मीटर | |
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| 84. |
"पृथ्वी से चोदे गये एक प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार होता है | प्रक्षेप्य की चाल पथ के उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होंगी |" समझाइए कि यह कथन सत्य है या असत्य ? |
| Answer» सत्य , उच्चतम बिंदु पर वेग का ऊर्ध्व घटक शून्य हों जाता है जबकि क्षैतिज वेग अप्रोवर्तित रहता है | अतः इस बिंदु पर परिणामी वेग का मान (चाल ) न्यूनतम होता है | | |
| 85. |
एक कण क्षैतिज से `theta` कौन पर u चाल से प्रक्षेपित किया जाता है | पथ के उच्चतम बिंदु पर कण की चाल क्या होंगी ? |
| Answer» Correct Answer - ` u cos theta`. | |
| 86. |
प्रक्षेप-पथ के उच्चतम बिंदु पर वेग व त्वरण की दिशाओं के बीच कितना कोण होता है ? |
| Answer» Correct Answer - `90^(@).` | |
| 87. |
एक गोला एक तोप द्वारा u वेग से क्षैतिज से `theta` कोण पर R दूरी पर एक पहाड़ी की ओर देगा जाता है | पहाड़ी की तली से कितनी ऊँचाई पर गोला टकरायेगा ?A. `R sin theta -(1)/(2) (gR^(2))/(u^(2) sin^(2) theta)`B. ` cos theta -(1)/(2) (gR^(2))/(u^(2) cos^(2) theta)`C. `R tan theta -(1)/(2)(gR^(2))/(u^(2) cos^(2) theta)`D. ` R tan theta -(1)/(2) (gR^(2))/(u^(2) sin^(2) theta)`. |
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Answer» Correct Answer - C `t = R//u cos theta` तथा `h = ( u sin theta)t - (1)/(2) gt^(2).` |
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| 88. |
एक प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर तल में प्रक्षेप-पथ है, जहाँ a व b नियतांक x व y प्रक्षेपण-बिंदु से प्रक्षेप्य की क्रमशः क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर दूरियाँ है | प्रक्षेप्य द्वारा अर्जित महत्तम ऊँचाई, महत्तम ऊँचाई पर वेग तथा क्षैतिज से प्रक्षेपण-कोण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिये गए प्रक्षेप-पथ `y = a x - b x^(2)` की, प्रक्षेप्य के पथ की सामान्य समीकरण `y = (tan theta_(0))x - (1)/(2) (g)/( u^(2) cos^(2) theta_(0)) x^(2)` से तुलना करने पर, `a = tan theta_(0) " "…(i)` तथा `" " b = (1)/(2) (g)/(u^(2) cos^(2) theta_(0))`. अथवा `" " (g)/(2u^(2)) = b cos^(2) theta_(0))` अथवा ` (u^(2))/(2 g) = (1)/(4 b cos theta^(2) theta_(0)).` प्रक्षेप्य द्वारा अर्जित महत्तम ऊँचाई `h = (u^(2) sin^(2) theta_(0))/(2g) = ( sin^(2) theta_(0))/(4 b cos theta_(0)) = (tan^(2) theta_(0))/(4b) = (a^(2))/(4b).` महत्तम ऊँचाई पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य केवल क्षैतिज वेग होगा `therefore u_(x) = u cos theta_(0) = sqrt((g)/(2 b)).` समीकरण (i) से, क्षैतिज से प्रक्षेपण कोण `theta_(0) = tan^(-1) a.` |
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| 89. |
एक तोप द्वारा गोला 1000 मीटर/सेकण्ड के वेग से क्षैतिज के साथ का `30^(@)` कोण बनता हुआ दागा जाता है (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`)| (i) गोले को उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में कितना समय लगेगा ? (ii) उसकी गति का कुल समय कितना होगा ? (iii) गोला किस चाल से पृथ्वी से टकरायेगा तथा टकराते समय गोले की दिशा क्या होगी ? (iv) गोला कितनी उच्चतम ऊँचाई तक जायेगा ? (v) गोला तोप से कितनी दूर पृथ्वी से टकरायेगा ? |
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Answer» (i) यदि गोले का प्रारम्भिक वेग u तथा प्रक्षेप्य कोण `theta_(0)` हो, तब गोले का उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय `t = ( u sin theta_(0))/(g) = (1000 xx sin 30^(@))/(9.8) = (1000 xx (1//2))/(9.8)` `= 51` सेकण्ड | (ii) उसकी गति का कुल समय `T = 2t = 102` सेकण्ड | गोला पृथ्वी पर उसी चाल से टकरायेगा जिस चाल से उसे देगा गया हे अर्थात टकराते समय चाल = 1000 मीटर/सेकण्ड | टकराते समय गोला क्षैतिज से `30^(@)` का कोण बनायेगा | (iv) गोले द्वारा प्राप्त उच्चतम ऊँचाई ` h = (u^(2) sin^(2) theta_(0))/(2g) = ((1000)^(2) xx sin^(2) 30^(@))/( 2xx 9.8)` `= ((1000)^(2) xx (1//2)^(2))/(2 xx 9.8) = 1.27 xx10^(4)` मीटर | (v) गोले की पर पृथ्वी पर टकराने की दूरी (क्षैतिज परास ) `R = (u^(2) sin 2theta_(0))/(g) = ((1000)-^(2) xx sin 60^(@))/(9.8)` `= (1000 xx 1000 xx sqrt(3)//2)/(9.8) = 8.83 xx 10^(4)` मीटर | |
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| 90. |
एक पिण्ड एक मीनार की चोटी से ऊपर की ओर क्षैतिज के साथ `30^(@)` का कोण बनाता हुआ 20 मीटर/सेकण्ड के वेग से फेका जाता है | उड़ान के 5 सेकण्ड पश्चात वह पृथ्वी पर टकराता है | पृथ्वी से मीनार की ऊँचाई तथा पिण्ड का क्षैतिज परास ज्ञात कीजिए | (g = 10 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`) |
| Answer» 72.5 मीटर 86.6 मीटर | | |
| 91. |
ह मीटर ऊँची एक मीनार से एक पिण्ड क्षैतिज दिशा में वेग v से फेका जाता है | ज्ञात कीजिए के पिण्ड कितनी देर बाद तथा मीनार के आधार से कितनी दूर जाकर पृथ्वी पर गिरेगा ? |
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Answer» Correct Answer - समय `t = sqrt(2H//g);` क्षैतिज दूरी `x = vt = vsqrt(2H//g).` `H = (1)/(2)gt^(2).` |
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| 92. |
19.6 मीटर ऊँचाई पर स्थित एक बन्दूक से एक गोली 50 मीटर/सेकण्ड के सेकण्ड वेग से और दूसरी बन्दूक से उसी प्रकार की गोली 100 मीटर/सेकण्ड के वेग से छोड़ी जाती है | (i) क्या ये दोनों गोलियाँ पृथ्वी की टकरायेंगी ? (ii) यदि टकरायेंगी तो कितने समय पश्चात? (iii) गोलियों का मार्ग कैसा होगा ? ( g = 9.8 मीटर/सेकण्ड`""^(2)`) |
| Answer» (i), हाँ, (ii) 2.0 सेकण्ड पश्चात दोनों एक साथ, (iii) परवलयाकार | | |
| 93. |
एक बन्दूक की गोली क्षैतिज दिशा में 100 मीटर दूर स्थित लक्ष्य की ओर 1500 मीटर/सेकण्ड की गति से दागी जाती है | गोली लक्ष्य से कितनी नीचे जाकर लगती है ? ( `g = 10` मीटर सेकण्ड`""^(2)` )A. 0.0 सेमीB. 5.0 सेमीC. 10.0 सेमीD. 15.0 सेमी |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 94. |
एक बन्दूक से 5000 मीटर/सेकण्ड के वेग से गोली निकलती है | इससे 500 मीटर पर लक्ष्य को दागने के लिए बन्दूक का निशाना लक्ष्य से कितना ऊपर साधना होगा ? वायु का प्रतिरोध नगण्य है `g = 10` तथा मीटर/सेकण्ड`""^(2 )` | |
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Answer» बन्दूक से लक्ष्य तक 500 मीटर क्षैतिज दुरी तय करने से लगे समय में, गोली गुरुत्व के कारण ऊर्ध्वाधरतः जितनी निचे गिरेगी, उतना ही ऊपर को निशाना साधना होगा | 500 मीटर दुरी चलने का समय, `t = ("दुरी")/("वेग") = ( 500 "मीटर")/(5000 "मीटर/सेकण्ड") =0.1` सेकण्ड | गोली का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग ` u= 0` `therefore 0.1` सेकण्ड में ऊर्ध्वाधर दिशा में गिरी दुरी ` h = 0 (1)/(2) gt^(2) = (1)/(2) xx 10 xx (0.)^(2) = 0.05` मीटर = 5 सेमी | अतः लक्ष्य से 5 सेमी ऊपर निशाना लगाने पर गोली लक्ष्य पर लगेगी | |
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| 95. |
दो सदिशों `vecA` और `vecB` के योग और अंतर का परिमाण बराबर है | सिद्ध कीजिए कि सदिश `vecA` व `vecB` परस्पर लंबवत है | |
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Answer» `|vecA + vecB|= |vecA - vecB|` `therefore |vecA + vecB|^(2) = |vecA - vecB|^(2)` `(vecA + vecB) * (vecA + vecB) = (vecA - vecB) * (vecA - vecB)` `A^(2) + b^(2) + 2 AB cos theta = A^(2) + B^(2) - 2AB cos theta ` ` cos theta = 0` `theta = 90^(@)` `therefore A bot B.` |
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| 96. |
यदि सदिश `0.6hati + 0.8hatj + c hatk` एकांक सदिश है, तो c का मान होगा ? |
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Answer» दिया गया सदिश एकांक सदिश है | अतः इसका परिणाम 1 होगा, अर्थात `sqrt(A_(x)^(2) + A_(y)^(2) + A_(x)^(2)) = 1` अथवा `" " sqrt((0.6)^(2) + (0.8)^(2) + c^(2)) = 1` अथवा `" " 1.0 + c^(2) =1` अथवा `" " c = 0`. |
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| 97. |
`vecA = 6hati - 8hatj` तथा `vecB = 3hati`, जहाँ `hati, X-` अक्ष की दिशा में एकांक सदिश `hatj, Y-` तथा अक्ष की दिशा में एकांक सदिश है | `vecA` तथा `vecB` का अदिश गुणनफल लिखिए | |
| Answer» Correct Answer - 18 | |
| 98. |
एक कण बल `2hati + 3hatj -hatk` के अंतर्गत बिंदु `(3, -4, 5)` से बिंदु `(-2, 6, -4)` तक जाता हैं | बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए | |
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Answer» कण पर कार्यरत बल `vecF = 2hati + 3hatj -hatk`. कण का विस्थापन `vecs` = बिंदु `(-2,6, -4)` का स्थिति सदिश `-` बिंदु `(3, -4, 5)` का स्थिति सदिश `=(-2hati + 6hatj - 4hatk)-(3hati - 4hatj + 5hatk)` `=-5hati + 10hatj - 9hatk`. `therefore` बल द्वारा किया गया कार्य `W = vecF * vecs = (2hati + 3hatj - hatk) * (-5hati + 10hatj -9hatk)` `=(2)(-5) + (3)(10) + (-1)(-9)` `=29` मात्रक | |
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| 99. |
क्या दो सदिशों का सदिश गुणन ऋणात्मक हों सकता है ? |
| Answer» नहीं, क्यूंकि 0 व के `pi` बीच किसी भी कोण की ज्या ऋणात्मक नहीं होती | | |
| 100. |
यदि किसी सदिश का कोई एक घटक शून्य हो जबकि अन्य सभी घटक अशून्य है, तो क्या वह सदिश शून्य हो सकता है ? |
| Answer» Correct Answer - नहीं | |