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1.

शेषफल ज्ञात कीजिए यदि `x^(3)-ax^(2)+6x-a` को x - a से भाग किया जाता है।

Answer» यहाँ `p(x)=x^(3)-ax^(2)+6x-a` ,brgt शेषफल प्रमेय से, जब `p(x)` को x - a से भाग किया जाता है तो शेषफल `=p(a)`
`:. p(a)=a^(3)-a.a^(2)+6a-a=a^(3)-a^(2)+6a-a=5a`
`:.` अभीष्ट शेषफल `=5a`
Discussion
2.

गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके जाँचिए की x - 1 निम्न बहुपदों का गुणनखंड है या नहीं। (a) `x^(3)+8x^(2)-7x-2`(b) `x^(2)-27x^(2)+8x+18`(c) `x^(3)+x^(2)-2x+1`(d) `8x^(4)-12 x^(3)+18x+14`

Answer» माना `f(x)=x^(3)+8x^(2)-7x-2`
यदि `(x-1), f(x)` का एक गुणनखंड है, तो `f(1)=0`
अब `f(1)=(1)^(3)+8(1)^(2)-7(1)-2=1+8-7-2=0`
`:. (x-1), x^(3)+8x^(2)-7x-2` का एक गुणनखंड है।
(b) माना `f(x)=x^(3)-27x^(2)+8x+18`
अब `f(1)=1^(3)-27(1)^(2)+8(1)+18=1-27+8+18=0`
अतः `(x-1), f(x)` का एक गुणनखंड है।
(c) माना `f(x)=x^(3)+x^(2)-2x+1`
`implies f(1)=(1)^(3)+(1)^(2)-2(1)+1=1+1-2+1=1 ne 0`
अतः `(x-1), x^(3)+x^(2)-2x+1` का एक गुणनखंड नहीं है।
(d) माना `f(x)=8x^(4)-12x^(3)+18x+14`
`implies f(1)=8(1)^(4)-12(1)^(3)+18(1)+14=8-12+18+14`
`implies 28 ne 0`
अतः `(x-1), 8x^(4)-12x^(3)+18x+14` का एक गुणनखंड नहीं है।
Discussion
3.

निम्न वतंजकों के गुणनखंड कीजिए। `12 x^(2)-7x+1`

Answer» (a) यहाँ `p+q=x` का गुणांक = -7
`pq =x^(2)` का गुणांक `xx` अचर पद `=12 xx 1 =12`
`:. P+q=-7=-4-3`
`pq=12=(-4) (-3)`
`:. 12x^(2)-7x+1=12x^(2)-4x-3x+1=4x(3x-1)-1(3x-1)=(3x-1) (4x-1)`
(b) यहाँ `p+q=x` का गुणांक = 5
`pq =x^(2)` का गुणांक `xx` अचर पद `=6xx-6=-36`
`:. p+q=5=9+(-4)`
`pq=-36=9 xx(-4)`
`:. 6x^(2)+5x-6=6x^(2)+9x-4x-6`
`=3x(2x+3)-2(2x+3)=(3x-2) (2x+3)`
(c) यहाँ `p+q=x` का गुणांक = 7
`pq =x^(2)` का गुणांक `xx` अचर पद `=2 xx3 =6`
`:. p+q=7=1+6`
`pq=6=1xx6`
`:. 2x^(2)+7x+3=2x^(2)+x+6x+3=x(2x+1)+3(2x+1)=(x+3) (2x+1)`
(d) यहाँ `p+q=x` का गुणांक = -1
तथा `pq =x^(2)` का गुणांक `xx` अचर पद `=3xx(-4)=-12`
`:. p+q=-1=3+(-4)`
व `pq=-12=3xx(-4)`
`:. 3x^(2)-x-4=3x^(2)+3x-4x-4`
`=3x(x+1)-4(x+1)=(3x-4) (x+1)`
Discussion
4.

शेषफल ज्ञात कीजिए यदि `5x^(3)-x^(2)+6x-2` को `1-5x` से भाग दिया जाता है।

Answer» माना `p(x)=5x^(3)-x^(2)+6x-2` ...(1)
भाजक, `g(x)=1-5x=5 (1/5-x)=-5 (x-1/5)`,
शेषफल प्रमेय से, हम जानते हैं की जब `p(x)` को `-5 (x -1/5)` से भाग किया जाता है, तो
शेषफल `=p(1/5)`
समी० (1) में `x =1/5` रखने पर,
`p(1/5)=5(1/5)^(3)-(1/5)^(2)+6(1/5)-2`
`=5xx1/125-1/25+6/5 -2=1/25-1/25+6/5-2=-4/5`
अतः अभीष्ट शेषफल `-4/5` है।
Discussion
5.

शेषफल ज्ञात कीजिए जब `4x^(3)-12 x^(2)+14 x-3` को `2x-1` से भाग किया जाता है।

Answer» माना `p(x)=4x^(3)-12x^(2)+14x-3` ...(1)
भाजक `g(x)=2x-1=2(x-1/2)`
शेषफल प्रमेय से, जब `p(x)` की `2 (x-1/2)` से भाग दिया जाता है तो शेषफल `= p(1/2)`
समी० (1) में `x =1/2` पर, `p(1/2)=4(1/2)^(3)-12xx(1/2)^(2)+14(1/2)-3`
`=4xx1/8-12 xx1/4+14xx1/2-3=1/2-3=1/2-3+7-3=3/2`
अतः अभीष्ट शेषफल `3/2` है।
Discussion
6.

गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए की `(a-b), (b-c)` तथा `(c-a)` बहुपद `a(b^(2)-c^(2))+b(c^(2)-a^(2))+c(a^(2)-b^(2))` के गुणनखंड हैं।

Answer» गुणनखंड प्रमेय से, हम जानते हैं की `(a - b)` दिए गए व्यंजक का गुणनखंड होगा यदि a = b रखने पर इसका मान शून्य आता है।
`:.` दिए गए व्यंजक में a = b रखने पर
`a(b^(2)-c^(2))+b(c^(2)-a^(2))+c(a^(2)-b^(2))=b(b^(2)-c^(2))+b(c^(2)-b^(2))+c(b^(2)-b^(2))`
`=b^(3)-bc^(2)+bc^(2)-b^(3)+c(b^(2)-b^(2))=0`
इसलिए `(a -b)` दिए गए व्यंजक का एक गुणनखंड है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं की `(b -c)` व `(स -a)` भी दिए गए व्यंजक के गुणनखंड होंगे।अतः `(a -b),(b -c)` तथा `(c -a)` सभी दिए गए व्यंजक के गुणनखंड हैं।
Discussion
7.

सिद्ध कीजिए की `(x -3)` बहुपद `x^(3)+x^(2)-17x+15` का एक गुणनखंड है।

Answer» माना `f(x)=x^(3)+x^(2)-17x+15` ...(1)
गुणनखंड प्रमेय से, `(x-3), f(x)` का एक गुणनखंड होगा यदि `f(3)=0`
समी० (1) में x = 3 रखने पर
`f(3)=(3)^(3)+(3)^(2)-17(3)+15=27+9-51+15=0`
अतः `(x -3)`, बहुपद `f(x)` का एक गुणनखंड है।
Discussion