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1.

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नियता 2x+y=1 एवं नाभि (1,1) तथा उत्केंद्रता `sqrt(3)` है ।

Answer» माना अतिपरवलय पर कोई बिंदु P(x,y) है तब परिभाषानुसार
बिंदु (x,y) से नाभि की दूरी =e बिंदु (x,y) की नियता से दूरी)
`rArrsqrt((x-1)^(2)+(y-1)^(2))=sqrt(3)*((2x+y-1))/(sqrt(4+1))`
`rArr5[x^(2)-2x+1+y^(2)-2y+1]=3[4x+1]=3[4x^(2)+y^(2)+1+4xy-4x-2y]`
`rArr7x^(2)+12xy-2y^(2)-2x+4y-7=0` यही अतिपरवलय का अभीष्ट समीकरण है ।
Discussion
2.

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नियता x+2y=1, नाभि (2,1) और उत्केंद्रता 2 है ।

Answer» माना अतिपरवलय पर कोई बिंदु P(x,y) है तब परिभाषानुसार
`PS=e*PM`
`rArrsqrt((x-2)^(2)+(y-1)^(2))=2*(x+2y-1)/(sqrt(5))`
`rArr5[(x-2)^(2)+(y-1)^(2)]=4[x+2y-1]^(2)`
`rArr5[x^(2)-4x+4x+y^(2)-2y+1]=4[x^(2)+4y^(2)+1+4xy-2x-4y]`
`rArr5x^(2)+5y^(2)-20x-10y+25=4x^(2)+16y^(2)+4+16xy-8x-16y`
`rArrx^(2)-11y^(2)-16xy-12x+6y+21=0` यही अतिपरवलय का अभीष्ट समीकरण है।
Discussion
3.

वक्र `(x^(2))/(2)-(y^(2))/(3)`=1 की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

Answer» अतिपरवलय का समीकरण `(x^(2))/(2)-(y^(2))/(3)=1`
समीकरण (i) की तुलना `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` से करने पर , `a^(2)=2,b^(2)=3`
हम जानते हैं कि `b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)`
`rArr3=2(e^(2)-1)rArre^(2)-1=(3)/(2)`
`rArre^(2)=1+(3)/(2)=(5)/(2)therefore=sqrt((5)/(2))`
Discussion
4.

अतिपरवलय `3x^(2)-y^(2)=4` की उत्केन्द्रता तथा नाभियों के निर्देशांक तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई व नियता ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया है: `3x^(2)-y^(2)=4`
`rArr(3x^(2))/(4)-(y^(2))/(4)=1rArr(x^(2))/(4//3)-(y^(2))/(4)=1`
इसकी तुलना मानक समीकरण `(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))=1` से करने पर
`a^(2)=(4)/(3)` तथा `b^(2)=4`
`thereforeb^(2)=a^(2)(e^(2)-1)` से
`4=(4)/(3)(e^(2)-1)`
`rArr3=e^(2)-1`
`rArre^(2)=4` अर्थात e=2
अतः नाभियों के निर्देशांक `=(+-ae,0)=(+-(2)/(sqrt(3))xx2,0)`
`=(+-(4)/(sqrt(3)),0)`
नाभिलम्ब `=(2b^(2))/(a)=(2xx4)/(2//sqrt(3))=4sqrt(3)`
तथा नियताएँ `=+-(a)/(e)=+-(2//sqrt(3))/(2)=+-(1)/(sqrt(3))`
Discussion
5.

अतिपरवलय `9x^(2)-16y^(2)=144` की अक्षों की लम्बाइयाँ , शीर्ष के निर्देशांक ,नाभि के निर्देशांक ,उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

Answer» दी गयी समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं -
`(x^(2))/(16)-(y^(2))/(9)=1` …(i)
`(x^(2))/(a^(2))-(y^(2))/(b^(2))` के साथ समीकरण (i) की तुलना करने पर
`a^(2)=16,rArra=4`
`b^(2)=9rArrb=3`
व `c=sqrt(a^(2)+b^(2))=sqrt(16+9)=5`
अब
(i) अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई `=2a=2xx4=8` मात्रक
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई `=2b=2xx3=6` मात्रक
(ii) शीर्ष के निर्देशांक `=(a,0)` , `(-a,0)rArr(4,0)` एवं (-4,0)
(iii) नाभि के निर्देशांक =(-5,0), (5,0)
(iv) उत्केन्द्रता `e=(c)/(a)=(5)/(4)`
(v) नाभिलम्ब की लम्बाई `=(2b^(2))/(a)=(2xx9)/(4)=(9)/(2)` मात्रक
Discussion