InterviewSolution
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| 101. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(x^(2))/(1+x^(6))dx` |
| Answer» `(1)/(3)tan^(-1)x^(3)+c` | |
| 102. |
`int_(a)^(b)x^(2)dx` का योगफल की सीमा की सहायता से मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» `f(x)=x^(2)` `rArr" "f(a+h)=(a+h)^(2),f(a+2h)=(a+2h)^(2),…f(a+nh)=(a+nh)^(2)` `therefore" "int_(a)^(b)f(x)dx=underset(harr0)(lim)f(x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(a+h)+f(a+2h)+…+f(a+nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h[(a+h)^(2)+(a+2h)^(2)+...+(a+nh)^(2)]` `=underset(hrarr0)(lim)[(a^(2)+2ah+h^(2))+(a^(2)+4ah+2^(2)h^(2))+...+(a^(2)+2anh+n^(2)h^(2))]` `=underset(hrarr0)(lim)h[n.a^(2)+2ah(1+2+3+...+n)+h^(2)(1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+n^(2))]` `=underset(hrarr0)(lim)h[na^(2)+2ah.(n(n+1))/(2)+h^(2)(n(n+1)(2n+1))/(6)]` `=underset(hrarr0)(lim)[a^(2).nh+a.nh.(nh+h)+(nh)/(6)(mh+h)(2nh+h)]` `=underset(hrarr0)(lim)[a^(2)(b-a)+a(b-a)(b-a+h)+(1)/(6)(b-a)(b-a+h)(2b-2a+h)]` `=a^(2)(b-a)+a(b-a)^(2)+(2)/(6)(b-a)^(33)` `=a^(2)(b-a)+a(b-a)^(2)+(2)/(6)(b-a)^(3)` `=(b-a)[a^(2)+a(b-a)+(1)/(3)(b-a)^(2)]` `=(b-a)((3ab+b^(2)+a^(2)-2ab))/(3)` `=(1)/(3)(b-a)(a^(2)+b^(2)+ab)` `=(1)/(3)(b^(3)-a^(3))` |
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| 103. |
`int_(1)^(3)(2x+3)dx` का योगफल की सीमा की सहायता से मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `f(x)=2x+3` यहाँ `a=1, b=3` `therefore nh = b-a = 3-1=2` अब `int_(1)^(3)f(x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(1+h)+f(1+2h)+f(1+3h)+…+f(1+nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h[{2(1+h)+3}+{2(1+2h)+3}+…+{2(1+nh)+3}]` `=underset(hrarr0)(lim)h[(5+2h)+(5+4h)+...+(5+2nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h[5n+2h(1+2+3+...+n)]` `=underset(hrarr0)(lim)[5nh+nh(nh+h)]` `=underset(hrarr0)(lim)[5(2)+2(2+h)]` `=10+4=14` |
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| 104. |
मान ज्ञात कीजिए - `int sin3x sin 5x dx ` |
| Answer» `(1)/(4)sin2x-(1)/(16)sin8x` | |
| 105. |
`int(sin2x)/(sin5x.sin3x)dx` का मान ज्ञात कीजिए । |
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Answer» माना `I=int(sin2x)/(sin5x.sin3x)dx=int(sin(5x-3x))/(sin5x.sin3x)dx` `=int(sin5x.cos3x-cos5x.sin3x)/(sin5x.sin3x)dx` `=int(sin5x.cos3x)/(sin5x.sin3x)dx-int(cos5x.sin3x)/(sin5x.sin3x)dx` `=intcot3x.dx-intcot5x.dx` `=(1)/(3)log|sin3x|-(1)/(5)log|sin5x|+c` |
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| 106. |
`((x+1)(x+logx)^(2))/(x)` |
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Answer» `int((x+1)(x+logx)^(2))/(x)dx" माना "x+logx=t` `=intt^(2)dt=(1)/(3)t^(3)+c" "rArr (1+(1)/(x))dx=dt` `=(1)/(3)(x+logx)^(3)+c" "rArr ((x+1)/(x))dx=dt` |
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| 107. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intcot^(3)x."cosec"^(2)xdx` |
| Answer» `-(1)/(4)cot^(4)x+c` | |
| 108. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(x)/(sqrt(1+x^(2)))dx` |
| Answer» Correct Answer - `sqrt(1+x^(2))+c` | |
| 109. |
`int_(-1)^(2)e^(x)dx` का योगफल की सीमा की सहायता से मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» माना `f(x)=e^(x)` यहाँ `a=-1, b=2" "rArr" "nh=b-a=3` `therefore" "int_(-1)^(2)f(x)dx=underset(hrarr0)(lim)h[f(-1+h)+f(-1+2h)+…+f(-1+nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h[e^(-1+h)+e^(-1+2h)+…+e^(-1+nh)]` `=underset(hrarr0)(lim)h.(e^(-1+h).[(e^(h))^(n)-1])/(e^(h)-1)` `=underset(hrarr0)(lim)(h)/(e^(h)-1).e^(-1+h).(e^(nh)-1)` `=underset(hrarr0)(lim)(h)/(e^(h)-1).e^(-1+h).(e^(3)-1)` `=1.2^(-1)(e^(3)-1)=(e^(2)-e^(-1))` |
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| 110. |
`(x^(3)sin(tan^(-1)x^(4)))/(1+x^(8))` |
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Answer» `int(x^(3)sin(tan^(-1)x^(4)))/(1+x^(8))dx" माना "tan^(-1)x^(4)=t` `" "rArr (4x^(3))/(1+x^(8))dx=dt` `=intsin t (dt)/(4)" "rArr (x^(3))/(1+x^(8))dx=(dt)/(4)` `=-(1)/(4)cos t+c =-(1)/(4)cos(tan^(-1)x^(4))+c` |
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| 111. |
`int(dx)/(e^(x)+e^(-x))` बराबर है :A. `tan^(-1)(e^(x))+C`B. `tan^(-1)(e^(-x))+C`C. `log(e^(x)-e^(-x))+C`D. `log(e^(x)-e^(-x))+C` |
|
Answer» Correct Answer - A `I=int(1)/(e^(x)+e^(-x))dx` `=int(1)/(e^(x)+(1)/(e^(x)))dx=(e^(x))/((e^(x))^(2)+1)dx" "{:("माना "e^(x)=1),(rArr e^(x)dx=dt):}` `therefore" "I=int(1dt)/(t^(2)+1)=tan^(-1)(t)+C` `=tan^(-1)e^(x)+C` |
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| 112. |
`int (dx)/(x(x^(2)+1))` बराबर है:A. `log|x|-(1)/(2)log(x^(2)+1)+C`B. `log|x|+(1)/(2)log(x^(2)+1)+C`C. `-log|x|+(1)/(2)log(x^()+1)+C`D. `(1)/(2)log|x|+log(x(2)+1)+C` |
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Answer» Correct Answer - A माना `(1)/(x(x^(2)+1))=(A)/(x)+(Bx+C)/(x^(2)+1)` `1=A(x^(2)+1)+(Bx+C)x` x = 0 तो `1=A(0+1)+0" "rArr" "A=1` `x^(2)` के गुणांक समान रखने पर, `0=A+B" "rArr" "B=A=-1` `x` के गुणांक समान रखने पर , 0 = C `therefore " "(1)/(x(x^(2)+1))=(1)/(x)+(-x)/(x^(2)+1)` `therefore" "int(1)/(x(x^(2)+1))dx=int((1)/(x)-(x)/(x^(2)+1)dx)` `=log|x|-(1)/(2)log(x^(2)+1)+C` |
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| 113. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- (i) `intsin2x. Cos 5xdx` |
| Answer» (i) `-(1)/(14)cos7x+(1)/(6)cos3x+c` | |
| 114. |
`int sin3x cos 4x dx` |
|
Answer» `intsin3x cos 4x dx=(1)/(2) int 2 cos 4x sin 3x dx` `=(1)/(2)int(sin 7x-sinx)dx` `=(1)/(2)(-(cos7x)/(7)+cosx)+c` `=-(1)/(14)cos 7x+(1)/(2)cosx+c` |
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| 115. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(x^(2))/(1-2x^(3))dx` |
| Answer» `-(1)/(6)log(1-2x^(3))+c` | |
| 116. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(x)/(x^(4)+x^(2)+1)dx` |
| Answer» `(1)/(sqrt3)tan^(-1)((2x^(2)+1)/(sqrt3))+c` | |
| 117. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `intxdx` |
| Answer» Correct Answer - `(x^(2))/(2)+c` | |
| 118. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int"cosec"^(2)x.sqrt(cotx)dx` |
| Answer» `-(2)/(3)(cotx)^(3//2)+c` | |
| 119. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `intcos4x.cos2xdx` |
| Answer» `(1)/(12)sin6x+(1)/(4)sin2x+c` | |
| 120. |
`int(dx)/(sin^(2)cos^(2)x)` बराबर है :A. `tanx+cot x+C`B. `tanx-cotx+C`C. `tanx cot x+C`D. `tanx-cot 2x+C` |
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Answer» Correct Answer - B `int(dx)/(sin^(2)cos^(2)x)` `=int(sin^(2)x+cos^(2)x)/(sin^(2)x cos^(2)x)dx` `=int(sin^(2)x)/(sin^(2)cos^(2)x)dx+int(cos^(2)x)/(sin^(2)xcos^(2)x)dx` `=intsec^(2)x dx + int"cosec"^(2)xdx` `=tanx - cot x+c` |
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| 121. |
`tan^(3)2xsec 2x` |
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Answer» माना `I=int tan^(3)2x.sec2xdx` `=int(tan^(2)2x).(tan2x).sec2x dx` `= int(sec^(2)2x-1).(tan2x.sec2x)dx` माना `sec2x=t` `rArr" "2sec 2x. Tan 2x=(dt)/(dx)` `rArr" "sec 2x. Tan 2x dx=(dt)/(2)` `I=int(t^(2)-1)(dt)/(2)` `=(1)/(2)[(t^(3))/(3)-t]+c` `=(1)/(6)sec^(3)2x-(1)/(2)sec2x+c` |
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| 122. |
`sin^(2)(2x+5)` |
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Answer» `intsin^(2)(2x+5)dx=int(1-cos(2x+5))/(2)dx` `=(1)/(2) int 1 dx -(1)/(2) int cos (4x+10)dx` `=(1)/(2)x-(1)/(2).(1)/(4)sin(4x+10)+c` `=(1)/(2)x-(1)/(8)sin(4x+10)+c` |
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| 123. |
`int(1-cosx)/(1+cosx)dx` |
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Answer» `int(1-cosx)/(1+cosx)dx` `=int(2sin^(2).(x)/(2))/(2cos^(2).(x)/(2))dx=int tan^(2).(x)/(2)dx` `=int(sec^(2).(x)/(2)-1)dx` `=(tan.(x)/(2))/((1)/(2))-x+c=2 tan.(x)/(2)-x+c` |
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| 124. |
`(sin^(2)x)/(1+cosx)` |
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Answer» `int(sin^(2)x)/(1+cosx)dx=int(1-cos^(2)x)/(1+cosx)dx` `=int((1-cosx)(1+cosx))/(1+cosx)dx` `=int(1-cosx)dx` `=x-sinx+c` |
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| 125. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(2x-1)/(2x^(2)+2x+1)dx` |
| Answer» `(1)/(2)log|2x^(2)+2x+1|-2 tan^(-1)(2x+1)+c` | |
| 126. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(x^(5))/((1-x^(3))^(1//3))dx` |
| Answer» `(1)/(5)(1-x^(3))^(5//3)-(1)/(2)(1-x^(3))^(2//3)+c` | |
| 127. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intx^(2).sinx^(3)dx` |
| Answer» `-(1)/(3)cosx^(3)+c` | |
| 128. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `intx^(8)dx` |
| Answer» Correct Answer - `(x^(9))/(9)+c` | |
| 129. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intsin^(5)xdx` |
| Answer» `-cosx-(1)/(5)cos^(5)x+(2)/(3)cos^(3)x+c` | |
| 130. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `intcos^(3)xdx` |
| Answer» `(3)/(4)sinx+(1)/(12)sin3x+c` | |
| 131. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intcos^(4)2xdx` |
| Answer» `(3x)/(8)+(1)/(8)sin4x+(1)/(64)sin8x+c` | |
| 132. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intcos^(3)x.sinxdx` |
| Answer» `-(1)/(4)cos^(4)x+c` | |
| 133. |
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए- `intcos(2x+1)dx` |
| Answer» `(1)/(2)sin(2x+1)+c` | |
| 134. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(e^(x)dx)/(e^(2x)+4e^(x)+3)` |
| Answer» `(1)/(2)log|(1+e^(x))/(3+e^(x))|+c` | |
| 135. |
`intcos^(4)2xdx` |
|
Answer» `intcos^(4)2xdx=int(cos^(2)2x)^(2)dx` `=int((1+cos4x)/(2))^(2)dx` `=(1)/(4)int(1+2 cos 4x+cos^(2)4x)dx` `=(1)/(4)int(1+2 cos 4x+(1 + cos8x)/(2))dx` `=(1)/(8) int(3+4 cos 4x+cos 8x)dx` `=(1)/(8)(3x+(4 sin 4x)/(4)+(sin 8x)/(8))+c` `=(3x)/(8)+(1)/(8)sin 4x+(1)/(64)sin 8x+c` |
|
| 136. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intx^(2).tan^(3)x^(3).sec^(2)x^(3)dx` |
| Answer» `(1)/(12)tan^(4)x^(3)+c` | |
| 137. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(3x+1)/(2x^(2)+x-1)` |
| Answer» `(3)/(4)log|2x^(2)+x-1|+(1)/(12)log|(2x-1)/(2x+2)|+c` | |
| 138. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/(2x^(2)+5x+3)dx` |
| Answer» `log|(x+1)/(2x+3)|+c` | |
| 139. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(x^(2))/((x+1)(x-2)(x+3))dx` |
| Answer» `-(1)/(6)log|x+1|+(4)/(15)log|x-2|+(9)/(10)log|x+3|+c` | |
| 140. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intcos^(2)xdx` |
| Answer» `(1)/(2)x+(1)/(4)sin2x+c` | |
| 141. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `intsin^(2//3)x cos^(3)xdx` |
| Answer» `(3)/(5)(sinx)^(5//3)-(3)/(11)(sinx)^(11//3)+c` | |
| 142. |
`int(cosx)/(1+cosx)dx` |
|
Answer» `int(cosx)/(1+cosx)dx` `=int((1+cosx)-1)/(1+cosx)dx` `=int1dx- int(1)/(1+cosx)dx` `=int1dx -int(1)/(2cos^(2).(x)/(2))dx` `=int 1dx -(1)/(2)intsec^(2).(x)/(2)dx` `=x-(1)/(2)(tan.(x)/(2))/(1//2)+c=x-tan.(x)/(2)+c` |
|
| 143. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(4x-3)/(3x^(2)+2x-5)dx` |
| Answer» `(2)/(3)log|3x^(2)+2x-5|-(13)/(24)log|(3x-3)/(3x+5)|+c` | |
| 144. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(x+1)/(x^(2)+4x+5)dx` |
| Answer» `(1)/(2)log|x^(2)+4x+5|-tan^(-1)(x+2)+c` | |
| 145. |
`int[(1)/(logx)-(1)/((logx)^(2))]dx` का मान ज्ञात कीजिए । |
|
Answer» `int[(1)/(logx)-(1)/((logx)^(2))]dx=int1.(1)/(logx)dx-int(1)/((logx)^(2))dx` `=(1)/(logx).int1dx - int{(d)/(dx).(1)/(logx).int1dx}dx-int(1)/((logx)^(2))dx` `=(x)/(logx)-int(-1)/(x(logx)^(2)).xdx-int(1)/((logx)^(2))dx+c` `=(x)/(logx)+int(1)/((logx)^(2))dx- int(1)/((logx)^(2))dx+c = (x)/(logx)+c` |
|
| 146. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(x)/(sqrt(1-x^(4)))dx` |
| Answer» `(1)/(2)sin^(-1)x^(2)+c` | |
| 147. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/(5+4x+x^(2))dx` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)(x+2)+c` | |
| 148. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/(1+3e^(x)+2e^(2x))dx` |
| Answer» `log|(e^(x)(1+e^(x)))/((1+2e^(x))^(2))|+c` | |
| 149. |
निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए- `int(1)/((x+1)^(2)-4)dx` |
| Answer» `(1)/(4)log|(x-1)/(x+3)|+c` | |
| 150. |
निम्नलिखित समाकलों को हल कीजिए । `int(e^(x)+cosx)/(e^(x)+sinx)dx` |
| Answer» Correct Answer - `log|e^(x)+sinx|+c` | |