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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

चार नकद पुरस्कार देने के लिए रू0 280 की राशि रखी गयी है। यदि प्रतयेक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से रू0 20 कम हों तो प्रत्येक पुरस्कारका मान ज्ञात कीजिए।

Answer» प्रश्नानुसार `d=-20,n=4` तथा `S=280`
माना पहला पद `a` है तब
`impliesn/2[2a+(n-1).d]=280`
`implies4/2[2a+(4-1).(-20)]=280implies2(2a-60)=280`
`implies2a=140+60=200impliesa=100`
अतः अभीष्ट चार पुरस्कार रू0 100, रू0 80, रू0 60 तथा रू0 40 के हैं।
Discussion
2.

दो समांतर श्रेणियों के पहले `n` पदों के योग `7n+1:4n+27` के अनुपात में है। तो उनके 11 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer» माना कि दोनों श्रेणियों के पहले पद तथा सार्वअंतर क्रमशः `a_(1),a_(2)` तथा `d_(1),d_(2)` हैं।
तब दिए अनुसार
`(“पहली समांतर श्रेणी का”S_(n))/(“दूसरी समांतर श्रेणी का” S_(n))=(7n+1)/(4n+27)`
`implies(n/2[2a_(1)+(n-1)d_(1)])/(n/2[2a_(2)+(n-1)d_(2)])=(7n+1)/(4n+27)`
`implies (2a_(1)+(n-1)d_(1))/(2a_(2)+(n-1)d_(2))=(7n+1)/(4n+27)`
`implies (a_(1)_((n-1))/2d_(1))/(a_(2)+((n-1))/2d_(2))=(7n+1)/(4n+27)`
यदि `n-1=20impliesn=21`
`:.(a_(1)+10d_(1))/(a-(2)+10d_(2))=(7xx21+1)/(4xx21+27)=148/111=(37xx4)/(37xx3)`
`implies (“पहली समांतर श्रेणी का 11 वां पद”)/(“दूसरी समांतर श्रेणी का 11 वां पद”)=4/3`
Discussion
3.

राव ने 1995 में रू0 5000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया और प्रत्येक वर्ष रू0 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन रू0 7000 हो गया?

Answer» प्रश्नानुसार 1995,1996,1997,.................. में प्राप्त वेतन क्रमशः
5000,5200,5400,………………
स्पष्टतः यह एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद 5000, सार्वअंतर 200 तथा `n` वां पद रू0 7000 है।
`:.a_(n)=7000`
`impliesa(n-1).d=7000`
`implies5000+(n-1).200=7000`
`implies(n=1)200=7000-5000=2000`
`implies n-1=10` अतः `n=11`
अतः राव का 11 वां पद वेतन अर्थात 10 वर्ष बाद (2005) इसका वेतन रू0 7000 होगा।
Discussion
4.

दो समांतर श्रेणिओ का सार्वअंतर सामान है । यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है , तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा ?

Answer» Correct Answer - 100
Discussion
5.

किसी स. श्रे. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है । इस स. श्रे. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `S_(16)=20,76`
Discussion
6.

किसी स. श्रे. के प्रथम सात पदों का योग 49 है तथा प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `n^(2)`
Discussion
7.

एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर है (देखिए आकृति में ) । डंडो की लम्बाई एक सामान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लम्बाई 25 cm है । यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी `2(1)/(2)m` है तो डंडो को बनाने के लिए लकड़ी की लम्बाई की आवश्यकता होगी ?

Answer» Correct Answer - 385 सेमी
Discussion
8.

केंद्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी - बारी से केन्द्रो A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, . . . वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तो को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है तेरह क्रमागत अर्धवृत्तो से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है ? `(pi=(22)/(7)` लीजिए)

Answer» Correct Answer - 143 सेमी
Discussion
9.

एक समांतर श्रेणी का 6 वां पद `-10` है तथा इसका 10 वां पद `-26` है। समांतर श्रेणी का 15 वां पद ज्ञात कीजिए।

Answer» यहां है पहला पद `=a` तथा सार्वअंतर `=d` तब `a_(n)=a+(n-1)d`
`impliesa_(6)=a+(6-1)d` और `a_(10)=a+(10-1)d`
`impliesa_(6)=a+5d` और `a_(10)=a+9d`
दिए गए अनुसार `a+5d=-10`…………….1
`a+9d=-26`……………2
अब समी0 2 में से समी0 1 को घटाने पर
`4d=-16impliesd=-4`
यह मान समीकरण 1 में रखने पर
`a+5(-4)=-10impliesa=10`
इसलिए `a=10` और `d=-4`
अब 15 वां पद `T_(15)=a+(15-1)d`
`=(a+14d)=[10+14xx(-4)]=-46`
अतः समांतर श्रेणी का 15 वां पद `-46` है।
Discussion
10.

स. श्रे. 21, 42, 63, 84, . . . . . का कौन सा पद 210 हैA. 9वाँB. 10वाँC. 11वाँD. 12वाँ

Answer» Correct Answer - B
Discussion
11.

स. श्रे. 10,6,2, . . . के प्रथम 16 पदों का योग हैA. `-320`B. 320C. `-352`D. `-400`.

Answer» Correct Answer - A
Discussion
12.

उस स. श्रे. का सार्व अंतर क्या है, जिसमे `a_(18)-a_(14)=32` है ?A. 8B. -8C. -4D. 4 .

Answer» Correct Answer - A
Discussion
13.

प्रथम 100 प्राकृति संख्याओं के योग को ज्ञात करने से सम्बन्ध प्रसिद्ध गणितज्ञ हैA. पाइथागोरसB. न्यूटनC. गॉसD. यूक्लिड

Answer» Correct Answer - C
Discussion
14.

स. श्रे. -11,-8,-5, . . . . ,49 के अंत से चौथा पद हैA. 37B. 40C. 43D. 58 .

Answer» Correct Answer - B
Discussion
15.

यदि किसी स. श्रे. का सार्व अंतर 5 है तो `a_(18)-a_(13)` है ?A. 5B. 20C. 25D. 30 .

Answer» Correct Answer - C
Discussion
16.

समांतर श्रेणी 17,14,11...............`-40` के अंत से 6 वां पद ज्ञात कीजिए।

Answer» यहां है-अन्‍तिम पद `l=-40` तथा सार्वअंतर `d=-3`
तब अंत से 6 वां पद `l-(6-1).d=-40-5xx-3=-25`
Discussion
17.

यदि किसी स. श्रे. का प्रथम पद -5 और सार्व अंतर 2 है तो उसके प्रथम 6 पदों का योग है

Answer» Correct Answer - A
Discussion
18.

दर्शाइए कि `a_(1),a_(2),a_(3), . . .,a_(n), . . ` से एक स. श्रे. बनती है यदि `a_(n)` नीचे दिए अनुसार परिभाषित है : (i) `a_(n)=3+4n` , (ii) `a_(n)=9-5n` साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - (i) `S_(15)=525` , (ii) `S_(15)=-465`
Discussion
19.

अनुक्रम `lta_(n)gt` के `n` पदों का योग ज्ञात कीजिए जहां `a_(n)=5-6n,n epsilonN`

Answer» दिया है `a_(n)=5-6n`
`n=1,2,3,` रखने पर `a_(1)=5-5=-1`
`a_(2)=5-6xx2=-7`
`a_(3)=5-6xx3=-13`
`a_(4)=5-24=-19`
…………………………………….
`:.` अभीष्ट श्रेणी `=-1,-7,-13,-19`……………
`implies a=a_(1)=-1`
तथा `d=-7-(-1)=-6`
अब `n` पदों का योग `S_(n)=n/2[2a+(n-1)d]=n/1[2(-1)+(n-1)(-6)]`
`=n/2[-2-6n+6]=n/2(4-6n)=n(2-3n)`
Discussion
20.

प्रत्येक अनुक्रम के पॉँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए (a) `a_(1)=3,a_(n)=3a_(n-1)+2` सभी `nge1`के लिए , (b) `a_(1)=-1,a_(n)=(a_(n-1))/(n),"जहाँ" nge2` (c) `a_(1)=a_(2)=2,a_(n)=a_(n-1)-1"जहाँ "ngt2`

Answer» Correct Answer - (a) `3,11,35,107,323;3+11+35+107+323+ . . . `
(b) `-1,-(1)/(2),-(1)/(6),-(1)/(24),-(1)/(120);(-1)+(-(1)/(2))+(-(1)/(6))+(-(1)/(24))+(-(1)/(120))+ . . .`
(c ) `2,2,1,0-1;2+2+1+0+(-1)+ . . .`
Discussion
21.

यदि किसी स. श्रे. के प्रथम n पदों का योग `4n-n^(2)` है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात `S_(1)` ) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है ? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार तीसरे 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए ।

Answer» Correct Answer - `S_(1)=3,S_(2)=4;a_(2)=S_(2)-S_(1)=1;S_(3)=3,a_(3)=S_(3)-S_(2)=-1`
`a_(10)=S_(10)-S_(9)=-15;a_(n)=S_(n)-S_(n-1)=5-2n`
Discussion
22.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम 8,11,14,17,20................ के समांतर श्रेणी है तथा इसका पहला पद व सार्वअंतर ज्ञात कीजिए ।

Answer» दिया गया अनुक्रम 8,11,14,17,12.
स्पष्टतः `(11-8)=(14-11)=(17-14)=(20-17)……………=3`
`implies` यहां प्रत्येक पद तथा पिछले पद का अन्तर 3 है।
अतः दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।
स्पष्टतः इसका पहला पद `=8` तथा सार्वअंतर `=3` है।
Discussion
23.

यदि एक समांतर श्रेणी का `p` वां पद `q` है तथा `q` वां पद `p` है। तब सिद्ध कीजिए कि इसका `n` वां पद `p+q-n` है।

Answer» माना कि समान्तर श्रेणी का पहला पद `=a` तथा सार्वअंतर `=d`
तब प्रश्नानुसार `p` वां पद `=qimpliesa+(p-1)d=q`……………1
तथा `q` वा पद `=pimpliesa+(q-1)d=p`……………2
समी0 1 व समी0 2 से
`(p-1)d=(q-p)impliesd=-1`
`d` का यह मान समीकरण 1 में रखने पर
`a+(p-1)d=q`
`impliesa+(p-1)(-1)=qimpliesa-p+q-1`
अतः `n` वां पद `=a+(n-1)d=(p+q-1)+(n-1)(-1)=p+q-n`
Discussion
24.

सिद्ध कीजिए कि `a_(n)=4n+5` के द्वारा परिभाषित अनुक्रम एक समान्तर श्रेणी है।

Answer» यहां है `a_(n)=4n+5`
`impliesa_(n+1)=4(n+1)+5=4n+4+5=4`द`+9`
अब `a_(n+1)-a_(n)=(4n+9)-(4n+5)`
`=4` जोकि `n` से स्वतंत्र है।
अतः दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।
Discussion
25.

एक समांतर श्रेणी के 5 वें पद तथा 9वें पद का योग 72 है तथा 7 वें और 12 वें पद का योग 97 है। समांतर श्रेणी ज्ञात कीजिए।

Answer» माना कि समांतर श्रेणी का पहला पद `=a` तथा सार्वअंतर `=d`
तब दिए अनुसार `a_(5)+a_(9)=72` और `a_(7)+a_(12)=97`
`implies(a+4d)+(a+8d)=72` और `(a+6d)+(a+11d)=97`
`implies2a+12d=72` और `2a+17d=97`
उपरोक्त दोनों समीकरणों को `a` तथा `d` के लिए हल करने पर
`a=6` और `d=5`
अतः अभीष्ट समांतर श्रेणी है 6,11,16,21......
Discussion