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1.

सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं `(a + r cos theta, b + r sin theta)` तथा `(a,b)` के बीच की दूरी `theta` से स्वतंत्र है |

Answer» दिये गये बिंदुओं के बीच दूरी `= sqrt((a + r cos theta -a)^(2)+(b + r sin theta-b)^(2)) `
`= sqrt((r cos theta )^(2) + ( r sin theta)^(2)) = r` जो `theta` से स्वतंत्र है |
Discussion
2.

एक आयत के तीन शीर्ष `(0, 0) (2, 0)` तथा `(0 , 3)` है | सिद्ध कीजिए चौथे शीर्ष के निर्देशांक (2,3) होंगे |

Answer» `A = (0,0), B = (2,0) , C = (0, 3), D = (x, y)`
`AB = sqrt(2^(2) -0^(2)) = 2, BC = sqrt(2^(2) +(-3)^(2)) = sqrt(13)`.
`CD = sqrt(x^(2) + (y-3)^(2)), DA = sqrt(x^(2) + y^(2))`
Discussion
3.

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु `(-4, -1), (-2,-4), (4, 0)` तथा `(2,3)` एक आयत के शीर्ष है |

Answer» `A = (-4,-1), B = (-2-4), C =(4,0) , D = (2,3)`
`AB = sqrt((-4+2)^(2) + (-1+4)^(2)) = sqrt(13)," "BC = sqrt((-2-4)^(2) + (-4-0)^(2)) = sqrt(52)`
`CD = sqrt((4-2)^(2) + (0-3)^(2)) = sqrt(13), " "DA = sqrt((2+4)^(2) + (3+1)^(2)) = sqrt(52)`
`AC = sqrt((-4-4)^(2) + (-1-0)^(2)) = sqrt(65), " "BD = sqrt((-2-2)^(2) + (-4 -3)^(2)) = sqrt(65)`
`स्पष्टतः AB = CD व BC = DA एवं विकर्ण AC = बढ़
Discussion
4.

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु `A(1,0), B(5,3), C(2,7)` तथा `D(-2,4)` एक समचतुर्भुज के शीर्ष है |

Answer» निम्नलिखित सिद्ध कीजिए कि `AB = BC = CD = DA` तथा `AC = BC `
Discussion
5.

कार्तीय तल में एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष `(-4,5), (0,7), (5,-5)` और `(-4,-2)` है | इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए |

Answer» `(121)/(2)` वर्ग इकाई
Discussion
6.

2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मुलबिन्दु पर है | त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए |

Answer» `(0,a),. (0,-a)` और `(-sqrt(3)a, 0)` या `(0,a),(0,-a)` और `(sqrt(3)a, 0)`
Discussion
7.

x-अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (7,6) और (3,4) बिंदुओं से समान दूर पर है |

Answer» `((15)/(2),0)`
Discussion
8.

किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु `(1,2), (0,-1)` तथा `(2,-1)` है, उसके शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Answer» माना `triangleABC` के शीर्ष `A(x_(1), y_(1)), B(x_(2), y_(2))` तथा `C(x_(3), y_(3))` है |
प्रश्नानुसार BC,का तथा AB के मध्य बिन्दु `D -= D(1,2), E -=E(0,-1)` व `F -= (2,-1)` है |
क्योकि D,BC का मध्य बिन्दु है इसलिए `(x_(2)+x_(3))/(2) = 1` व `(y_(2) + y_(3))/(2) = 2" "...(i)`
इसी प्रकार E,CA का तथा F,AB का मध्य बिन्दु है, इसलिए
`(x_(1) + x_(3))/(2) = 0` तथा `(y_(1) + y_(3))/(2) = -1`
`rArr x_(1) + x_(3) = 0` `(x_(2)+x_(3))/(2) = 1` व `y_(1) + y_(3) = -2 " "...(ii)`
तथा `x_(1) + x_(2) = 4` व `y_(1) + y_(2) = -2" "...(iii)`
समी० (i)(ii) व (iii) से,
`(x_(1) + x_(2)) + (x_(1) + x_(3)) + (x_(2) + x_(3)) = 4 + 0 + 2`
`(y_(1) + y_(2)) + (y_(1) + y_(3)) + (y_(2) + y_(3)) = -2-2 +4`
हल करने पर,
`x_(1) = 1` तथा `y_(1) = -4 rArr A` के निर्देशांक `A -= A(1,-4)`
इसी प्रकार, B के निर्देशांक, `B -=B(3,2)`
तथा C के निर्देशांक `C -= C(-1,2)`
Discussion
9.

यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः `(1,1), (2-3)` तथा `(3,4)` है तो त्रिभुज का केन्द्रक तथा अन्तःकेंद्र ज्ञात कीजिए |

Answer» माना त्रिभुज ABC में भुजाओं AB,बस तथा CA के मध्य बिन्दु क्रमशः P,Q व R है |
प्रश्नानुसार, ` P -= P(1,1), Q - = Q(2,-3)` तथा `R -=(3,4)`
`A -= A(x_(1), y_(1)) , B-=(x_(2), y_(2)), C -= (x_(3), y_(3))`
`because` P भुजा AB का मध्य बिन्दु है इसलिए `(x_(1) + x_(2))/(2) = 1, (y_(1) + y_(2))/(2) = 1`
`rArr x_(1) + x_(2) = 2, y_(1) + y_(2) = 2" "...(i)`
इसी प्रकार, Q भुजा BC का मध्य बिन्दु है |
`rArr (x_(2) + x_(3))/(2) = 2, (y_(2) + y_(3))/(2) = -3`
`rArr x_(2) + x_(3) = 4` तथा `y_(2) + y_(3) = -6" "...(ii)`
तथा R भुजा AC का मध्य बिन्दु है |
`rArr (x_(1) + x_(3))/(2) = 3` तथा `(y_(1) + y_(3))/(2) = 4`
`rArr x_(1) + x_(3) = 6` तथा `y_(1) + y_(3) = 8 " "...(iii)`
समी० (i),(ii) व (iii) को हल करने पर,
`x_(1) = 2, y_(1) = 8, x_(3) = 4, y_(3) = 0, x_(2), y_(2) = -6`
`therefore` त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक `A -= (2,8), B -=B(0,-6)` तथा `C -= C(4,0)` है |
अब
`a = BC = sqrt((4-0)^(2) + (0+6)^(2)) = 2sqrt(13)`
`b = AC = sqrt((4-2)^(2)+(0-8)^(2)) = 2sqrt(17)`
`c = AB = sqrt((2-0)^(2) + (8+6)^(2)) = 10sqrt(2)`
`therefore` केन्द्रक ` = ((x_(1) + x_(2) + x_(3))/(3), (y_(1)+y_(2)+y_(3))/(3))=((2+0+4)/(3), (8-6+0)/(3)) = (2,(2)/(3))`
तथा `triangle ABC` के अन्तः केंद्र ` ((ax_(1)+bx_(2)+cx_(3))/(a+b+c)),((ay_(1)+by_(2)+cy_(3))/(a+b+c))`
` = (((2)^(2) sqrt(13) + (2sqrt(17)) xx0+10(sqrt(2))xx4)/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)),((2)^(4)sqrt(13) + (2sqrt(17))(-6)+(10sqrt(2))xx)/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)))`
` = ((4sqrt(13) + 40sqrt(2))/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2)),(16sqrt(13) -12sqrt(17))/(2sqrt(13) + 2sqrt(17) + 10sqrt(2))) = ((2sqrt(13) + 20sqrt(2))/(sqrt(13) + sqrt(17) + 5sqrt(2)),(8sqrt(13) - 6sqrt(17))/(sqrt(13)+sqrt(17) + 5sqrt(2)))`
Discussion
10.

k के किस मान के लिए बिन्दु `(k, 2-2k), (-k+1, 2k)` तथा `(-4-k, 6-2k)` संरेख होंगे ?

Answer» माना `A -= (x_(1), y_(1)) = (k, 2-2k)`
`B -= (x_(2), y_(2)) = (-k +1, 2k)`
` C-=(x_(3), y_(3)) = (-4-k, 6-2k)`
तीनो बिंदुओं को संरेख होने के लिए,
`x_(1)(y_(2) - y_(3)) + x_(2)(y_(3) -y_(1)) + x_(3)(y_(1) - y_(2)) = 0`
`rArr k(2k - 6 + 2k) + (-k+1) (6-2k+2k) + (-4-k)(2-2k-2k) = 0`
`rArr k(4k -6) + (-k+1)*4 +(-4-k) (2-4k) = 0`
`rArr 4k^(2) - 6k - 4k + 4 + 4k^(2) + 16k - 2k - 8 = 0`
`rArr 8k^(2) + 4k - 4 = 0`
`rArr 2k^(2) + k -1 = 0 " " rArr (k +1)(2k-1) = 0`
`rArr k = (1)/(2), -1`
Discussion
11.

सिद्ध कीजिए कि बिंदु `(1,5), (2, 4)` तथा `(3,3)` संरेख है |

Answer» माना `A -= (1, 5), B -= (2,4)` तथा `C -= (3,3)`
`therefore AB = sqrt((1-2)^(2) + (5-4)^(2)) = sqrt(2)`
`BC = sqrt((2-3)^(2) + (4-3)^(2)) = sqrt(2)`
तथा `AC = sqrt((1-3)^(2) + (5-3)^(2) = 2sqrt(2))`
स्पष्टतः `AB + BC = sqrt(2) + sqrt(2) = 2sqrt(2) = AC`
इसलिए दिये गये तीनो बिन्दु संरेख है |
Discussion
12.

निम्नलिखित बिंदुओं के चतुर्थाश ज्ञात कीजिए- `(5, -4)`

Answer» `(5, -4) rArr` x-धनात्मक, y-ऋणात्मक `rArr` चतुर्थ चतुर्थाश
Discussion
13.

निम्नलिखित बिंदुओं के चतुर्थाश ज्ञात कीजिए- `(-5, 4)`

Answer» `(-5, 4) rArr` x-ऋणात्मक, y-धनात्मक `rArr` द्वितीय चतुर्थाश
Discussion
14.

निम्नलिखित बिंदुओं के चतुर्थाश ज्ञात कीजिए- `(-5,-4)`

Answer» `(-5, -4)rArr` दोनों ऋणात्मक निर्देशांक है `rArr` तृतीय चतुर्थाश
Discussion
15.

निम्नलिखित बिंदुओं के चतुर्थाश ज्ञात कीजिए- (5, 4)

Answer» `(5, 4) rArr` दोनों निर्देशांक धनात्मक है `rArr` प्रथम चतुर्थाश
Discussion
16.

माना A तथा B दो स्थिर बिन्दु है | ऐसे बिन्दु P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिससे `angleAPB` समकोण बनता है |

Answer» माना AB = 2a तथा `P(x, y)` एक चर बिन्दु है |
तथा `A -= A(-a, 0)` तथा `B -= B(a, 0)`
दिया है: `angleAPB = 90^(@)`
`rArr (AP)^(2) + (PB)^(2) = (AB)^(2)`
`rArr (x+a)^(2) + y^(2) + (x-a)^(2) + y^(2) = (2a)^(2)`
`rArr 2x^(2) + 2y^(2) + 2a^(2) = 4a^(2)`
`rArr x^(2) + y^(2) = a^(2)`
Discussion