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51.	क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते है ? यदि नहीं , तो ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है ।
Answer» Correct Answer - नहीं । उदाहरण के लिए `sqrt(4)=2` , एक परिमेय संख्या है ।

52.	`sqrt(4),sqrt(4),4,5` में अपरिमेय संख्या बताओ।
Answer» Correct Answer - `sqrt(.4)`

53.	निम्नलिखित दशमलव भिन्न को परिमेय संख्या `p/q` के रूप में बदलिएः (i) `0.bar(234)` (ii) `.12bar(54)`
Answer» Correct Answer - (i) `234/999` (ii) `69/550`

54.	निचे दिए गए कथन सत्य है या असत्य ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिये । (i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है । (ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु `sqrt(m)` के रूप का होता है , जहाँ m एक प्राकृत संख्या है । प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है ।
Answer» Correct Answer - सत्य है , क्योकि वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से बना होता है । असत्य है , क्योकि कोई भी ऋण संख्या किसी प्राकृत संख्या का वर्गमूल नहीं हो सकती । असत्य , उदाहरणार्थ 2 वास्तविक संख्या है , किन्तु अपरिमेय नहीं ।

55.	निम्नलिखित भिन्नो को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है : (i) `(36)/(100)" "`(ii) `(1)/(11)" "`(iii)` 4(1)/(8)` `
Answer» Correct Answer - (i) 0.36, सांत (ii) `0.0bar(9)` अनवसानी पुनरावर्ती (iii) `4.125` ,सांत (iv) `0.bar(230769)` , अनवसनी पुनरावर्ती (v)` 0.bar(18)` अनवसनी पुनरावर्ती (vi) 0.8225 सांत

56.	एक उदाहरण देकर दिखाइए कि पूर्णांकों में अंतर की संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
Answer» 1 और 6 पूर्णांक है और `1-6=-5` तथा `6-1=5` अतः `1-6!=6-1` अर्थात् पूर्णांक के लिए अंतर क्रमविनिमेय नहीं है।

57.	1 और 2 के बीच की पांच परिमेय संख्याएं ज्ञात कीजिए।
Answer» प्रश्नानुसार, माना `a=1` तथा `b=2` अब 1 तथा 2 के मध्य की संख्या `=(a+b)/2=(1+2)/2=3/2` अब 1 तथा `3/2` के मध्य की संख्या `=(1+3/2)/2=((2+3)/2)/2=5/4` अब `3/2` तथा 2 के मध्य की संख्या `=(3/2+2)/2=((3+4)/2)/2=7/4` `5/4` तथा `3/2` के मध्य की संख्या `=(5/4+3/2)/2=((5+6)/4)/2=11/8` `3/2` तथा `7/4` के मध्य की संख्या `=(3/2+7/4)/2=((6+7)/4)/2=13/8` अतः 1 तथा 2 के मध्य की 5 परिमेय संख्याएं `3/2, 5/4, 7/4, 11/8` तथा `13/8` हैं। वैकल्‍पिक विधि एक अन्य विकल्प है कि एक ही चरण में सभी पांच परिमेय संख्याओं को ज्ञात कर लें। क्योंकि हम पांच संख्याएं ज्ञात करना चाहते हैं, इसलिए हम `5+1` अर्थात 6 को हर लेकर 1 और 2 को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं। अर्थात `1=6/6` और `2=12/6` हैं । तब आप यह देख सकते हैं कि`7/6, 8/6, 9/6, 10/6` और `11/6` सभी 1 और 2 के बीच स्थित परिमेय संख्याएं हैं। अतः 1 और 2 के बीच स्थित संख्याएं हैं `7/6, 4/3, 3/2, 5/3` और `11/6`

58.	यदि `x=(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1),y=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)` तो दिखाइए कि `x^(2)+xy+y^(2)=35`
Answer» यहां `x=(sqrt(2)+1)/(sqrt(2-1))=(sqrt(2+1))/(sqrt(2-1))xx(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)+1)=((sqrt(2)+1)^(2))/((sqrt(2))^(2)-1^(2))` `=(2+1+2sqrt(2))/(2-1)=(3+2sqrt(2))/1=3=2sqrt(2)` इसी प्रकार `y=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)xx(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-1)=((sqrt(2)-1)^(2))/((sqrt(2))^(2)-1^(2))` `=(2+1-2sqrt(2))/(2-1)=3-2sqrt(2)` `:. x^(2)+xy+y^(2)=(3+2sqrt(2))^(2)+(3+2sqrt(2))(3-2sqrt(2))+(3-2sqrt(2))^(2)` ltbgt `=9+8+12sqrt(2)+9-8+9+8-12sqrt(12)=35`

59.	यदि `a` धन पूर्णांक है तो दिखाइए कि संख्या `a(a+1)(a+2)` संख्या 6 से पूर्णतया विभाजित होगी।
Answer» `a,a+1,a+2` तीन क्रमागत धन पूर्णांक है। अतः इनमें से एक 3 से विभाजित होगा। इसी प्रकार दो क्रमागत धन पूर्णाकों में से एक 2 से विभाजित होगा। अतः संख्या `a(a+1)(a+2)` संख्या `3xx2=6` से पूर्णतया विभाजित होगी।

60.	दिखाइए की संख्या रेखा पर `sqrt(5)` को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है ।
Answer» Correct Answer - आकृति 1.8 में दी गई क्रियाविधि को अनेक बार कीजिए । पहले `sqrt(4)` प्राप्त कीजिए और तब `sqrt(5)` प्राप्त कीजिए ।

61.	दिखाइए कि 3.142678 एक परिमेय संख्या है। दूसरे शब्दों में 3.142678 को `p/q` के रूप में व्यक्त कीजिए, जहां `p` और `q` पूर्णांक हैं और `q!=0` है।
Answer» यहां 3.142678`=3142678/1000000` है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।

62.	आप जानते है कि `(1)/(7)=0.bar(142857)` है । वास्तव में , लंबा भाग दिए बिना क्या आप या बता सकते है कि `(2)/(7),(3)/(7),(4)/(7),(5)/(7),(6)/(7)` के दशमलव प्रसार क्या है ? यदि हाँ , तो कैसे ? [ संकेत : `(1)/(7)` का मान ज्ञात करते समय शेषफलो का अध्ययन सावधानी से कीजिए ।
Answer» Correct Answer - `(2)/(7)=2xx(1)/(7)=0.bar(285714)`, `(3)/(7)=3xx(1)/(7)=0.bar(428571)`m `(4)/(7)=4xx(1)/(7)=0.bar(571428)` , `(5)/(7)=5xx(1)/(7)=0.bar(714285)`, `(6)/(7)=6xx(1)/(7)=0.bar(857142)`

63.	गुणा कीजिएः`root(3)(7)`को `sqrt(3)` से।
Answer» 3 और 2 का ल0 स0 `=6` अब `root(3)(7)=root(6)(7^(2))=root(6)(49)` और `sqrt(3)=root(6)(3^(3))=root(6)(27)` `:. root(3)(7)xxsqrt(3)=root(6)(49)xxroot(6)(27)=root(6)(1323)`

64.	सरल कीजिए `sqrt(294)+8sqrt(6)+sqrt(252)-3sqrt(1/6)`
Answer» प्रत्येक पद को सरलतम रूप में रखने पर `sqrt(294)=sqrt(2xx147)=sqrt(2xx3xx7xx7)` `=7sqrt(6)` `sqrt(252)=sqrt(4xx63)=sqrt(4xx9xx6)=6sqrt(7)` `3sqrt(1/6)=(3sqrt(6))/(sqrt(6)sqrt(6))=3/6sqrt(6)=1/2sqrt(6)` `8sqrt(6)=8sqrt(6)` अतः दिये हुए संख्यातमक व्यंजक `=sqrt(294)+8sqrt(6)+sqrt(252)-3sqrt(1/6)` `=7sqrt(6)+8sqrt(6)+6sqrt(7)-1/2sqrt(6)` `=(7+8-1/2)sqrt(6)+6sqrt(7)` `=29/2sqrt(6)+6sqrt(7)`

65.	परिमेय संख्या `2/(3)` का योगात्मक प्रतिलोम क्या होगा ?A. `3/(2)`B. `-2/(3)`C. `0`D. इनमे से कोई नहीं
Answer» Correct Answer - B