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1.

हल कीजिए - `sin theta tan - 1 = tan theta - sin theta`

Answer» दिया है - `sin theta tan theta-1= tan theta -sin theta`
`rArr sin theta tan theta-1-tan theta +sin theta = 0`
`rArr tan theta(sin theta -1) + 1 (sin theta -1) = 0`
`rArr (sin theta -1) (tan theta+1) = 0`
`rArr sin theta -1 =0`
या `tan theta +1 = 0`
यदि `sin theta -1 = 0 " या " sin theta =1 = sin. pi/2`
तब `theta = n pi + (-1)^(n) pi/2`
और, यदि `tan theta = -1 = tan((-pi)/4)`
तब `theta = n pi - pi/4 , n in Z`
Discussion
2.

हल कीजिए - (i) `sin 2 theta = 1/2" "(ii) cos 5 theta = 0`

Answer» दिया है -`sin 2 theta = 1/2 = sin . pi/6`
अर्थात `alpha = pi/6`
हम जानते है कि `sin theta = sin alpha` का व्यापक हल `theta = n pi + (-1)^(n) alpha` होता है ।
इसलिए दिये गये समीकरण का व्यापक हल `2 theta = n pi + (-1)^(n) pi/6 " अर्थात " theta = (n pi)/2 + (-1)^(n) pi/12 , n in Z` होगा ।
(ii)दिया है - `cos 5 theta = 0`
`rArr " " 5theta = (2n +1) pi/2, n in Z`
`:. " " theta = (2n +1) pi/10, n in Z`
Discussion
3.

हल कीजिए - `tan^(2) theta + sec 2 theta = 1`

Answer» दिया है - `tan^(2) theta + sec 2 theta = 1`
`rArr tan^(2) theta + 1/(cos 2 theta) = 1`
`rArr tan^(2) theta + (1 +tan^(2) theta)/(1 - tan^(2) theta) = 1`
`rArr tan^(2) theta - tan^(4) theta +1 + tan^(2) theta =1 - tan^(2) theta`
`rArr tan^(4) theta - 3 tan^(2) theta = 0`
`rArr tan^(2) theta(tan^(2) theta-3) = 0`
यदि `tan^(2) theta = 0" तब " tan theta = 0 rArr theta = n pi`
यदि `tan^(2) theta - 3 = 0" तब " tan theta= sqrt3`
`:. theta = n pi + pi/3, n in Z`
Discussion
4.

निम्न समीकरण को हल कीजिए - `cos^(2) theta - sin theta cos theta - 1/2 = 0`

Answer» दिया है - `cos^(2) theta - sin theta cos theta - 1/2 = 0`
`rArr 2 cos^(2) theta - 2 sin theta cos theta - 1 = 0`
`rArr (2 cos^(2) theta-1) - 2 sin theta cos theta = 0`
`rArr cos 2 theta - sin 2 theta = 0`
`rArr tan 2 theta = 1 = tan . pi/4`
`rArr 2 theta = n pi + pi/4`
`rArr theta = (n pi)/2 + pi/8`
Discussion
5.

समीकरण `cos^(2) theta + sin theta + 1 = 0`का हल किस अंतराल में है ?A. `(-pi/4, pi/4)`B. `(pi/4, (3pi)/4)`C. `((3pi)/4, (5pi)/4)`D. `((5pi)/4, (7pi)/4)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
6.

हल कीजिए - (i) ` sin 3 theta = sin 2 theta` (ii) ` sin m theta + sin n theta = 0` (iii) ` tan 3 theta tan theta = 1`

Answer» दिया है - `sin 3 theta = sin 2 theta`
`= sin [n pi + (-1)^(n) * 2 theta]`
`rArr " " 3 theta = n pi + (-1)^(n) * 2 theta `
यदि n सम है अर्थात n = 2m तब
`3 theta = 2 m pi + 2 theta`
`rArr theta = 2 m pi`
और यदि n विषम संख्या है अर्थात `n = 2m +1`, तब
`rArr 3 theta = (2m +1) pi - 2 theta`
`rArr 5 theta = (2m +1) pi`
`rArr theta = (2m +1) * pi/5`
(ii) दिया है - `sin m theta + sin n theta = 0`
`2 sin [((m+n)theta)/2] cos [((m-n)theta)/2]= 0`
यदि `sin((m+n)/2) theta = 0 rArr ((m+n)/2) theta = k pi, " " k in Z`
`rArr theta = (2kpi)/(m+n), " " k in Z`
यदि `cos((m-n)/2) theta = 0 `तब `((m-n)/2) theta = (2k+1) pi/2, " " k in Z`
`rArr theta = ((2k+1)pi)/(m-n) , " " k in Z`
(iii) दिया है - `tan 3 theta tan theta =1`
`rArr tan 3 theta = 1/(tan theta) = cot theta = tan (pi/2 - theta)`
`rArr 3 theta = n pi + (pi/2 - theta) `
`rArr 4 theta = (2 pi +1) pi/2`
` rArr theta = (2n +1) pi/8`
Discussion
7.

निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए - `sec theta - 1 = (sqrt2-1) tan theta`

Answer» दिया है - `sec theta -1 = (sqrt2-1) tan theta`
`rArr" "(sec theta -1)^(2) = (sqrt2 -1)^(2) tan ^(2) theta`
`rArr " "(sec theta -1)^(2) - (3-2sqrt2)(sec^(2)theta-1) = 0`
`rArr (sec theta -1)^(2) - (3-2sqrt2)(sec theta -1)(sec theta+1) = 0`
`rArr (sec theta -1)[(sec theta -1)-(3-2sqrt2)(sec theta +1)] =0`
`rArr (sec theta -1)(sec theta -sqrt2)(2sqrt2-2) = 0`
`rArr (sec theta -1)(sec theta -sqrt2) = 0`
यदि `sec theta=1`
`rArr cos theta =1` तब `theta =0^(@)`
`=cos 2 n pi`
`:. theta = 2 n pi`
और यदि `sec theta -sqrt2 = 0 rArr sec theta = sqrt2`
`rArr cos theta = 1/sqrt2 = cos . pi/4`
`:. theta = 2 n pi pm pi/4`
इसलिए , दी गयी समीकरण के हल `theta = 2n pi` तथा `theta = 2 npi pm pi/4`होंगे ।
Discussion
8.

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए - (i) `cot theta+tan theta = 2 cosec theta" "(ii) 7cos^(2) theta + 3 sin^(2) theta = 4`

Answer» (i) दिया है - ` cot theta+tan theta = 2 cosec theta`
`rArr (cos theta)/(sin theta) +(sin theta)/(cos theta) = 2/(sin theta)`
`rArr cos^(2) theta + sin^(2) theta = 2 cos theta`
`rArr 1 = 2 cos theta`
`cos theta = 1/2 = cos . pi/3`
`:. theta = 2n pi pm pi/3, n in Z`
(ii) दिया है - `7cos^(2) theta + 3 sin^(2) theta = 4`
`rArr 7cos^(2) theta + 3 (1 -cos^(2) theta) = 4`
`rArr 7 cos^(2) theta +3 -3 cos^(2) theta = 4`
`rArr 4 cos^(2) theta = 1`
` cos theta = pm 1/2`
यदि `cos theta = + 12 rArr" " theta = 2 n pi pm pi/3`
और यदि `cos theta = - 1/2 rArr" " theta = 2 n pi pm (2pi)/3 , n in Z`
Discussion
9.

निम्न समीकरणों को हल कीजिए - (i) `sin theta= 1/sqrt2" "(ii) sec theta=2 (UP 2002)" "(iii)cot theta=-sqrt3" "(iv) tan theta= 1/sqrt3`

Answer» (i) दिया है - `sin theta = 1/sqrt2 = sin . Pi/4`
हम जानते है कि `sin theta = sin alpha`का व्यापक मान `theta = npi + (-1)^(n) alpha` होता है । इसलिए दी गयी समीकरण का व्यापक हल निम्न होगा -
`theta = n pi + (-1)^(n), pi/4`
(ii) दिया है - `sec theta = 2`
`rArr cos theta = 1/2 = cos . pi/3 rArr alpha= pi/3`
हम जानते है कि `cos theta = cos alpha` का व्यापक हल `theta = 2n pi pm alpha` होता है । इसलिए दी गयी समीकरण का व्यापक हल `theta = 2 n pi pm pi/3` होगा ।
(iii) दिया है - `cot theta = - sqrt3`
`rArr tan theta = - 1/sqrt3 rArr alpha = - pi/6`
`rArr theta`द्वितीय या चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होगा ।
इसलिए `theta = (5pi)/6" तथा " (11pi)/6`
`= n pi - pi/6 ,n in Z`
(iv) दिया है - `tan theta = 1/sqrt3 = tan . pi/6`
`rArr " " alpha = pi/6`
हम जानते है कि `tan theta = tan alpha`का व्यापक हल `theta = n pi + alpha` होता है ।
`:. ` दिये गये समीकरण का व्यापक हल `theta = n pi + pi/6` होगा ।
Discussion
10.

हल कीजिए - (i) ` sin theta +sin 3 theta + sin 5 theta = 0` (ii) `sin 2 theta + sin 4 theta + sin 6 theta = 0`

Answer» (i) दिया है - `sin theta + sin 3 theta + sin 5 theta = 0`
`rArr (sin theta +sin 5 theta) + sin 3 theta = 0`
` rArr 2 sin 3 theta cos 2 theta + sin 3 theta = 0`
`rArr sin 3 theta (2 cos 2 theta +1) = 0`
` rArr sin 3 theta = 0 "या " 2 cos 2 theta + 1 = 0`
यदि `sin 3 theta = 0 rArr 3 theta = n pi " अर्थात" theta = (n pi)/3`
यदि `2 cos 2 theta + 1 = 0`
`rArr cos 2 theta = - 1/2 = - cos . pi/3 = cos (pi - pi/3)`
`2 theta = 2 n pi pm (2pi)/3, n in Z`
`rArr theta = n pi pm pi/3`
इसलिए `theta = (n pi)/3" या " theta = n pi pm pi/3, n in Z`
(ii) दिया है - `sin 2 theta + sin 4 theta + sin 6 theta = 0`
`rArr sin 2 theta+ (sin 4 theta + sin 6 theta) = 0`
`rArr sin 2 theta + 2 sin 5 theta cos theta = 0`
`rArr 2 sin theta cos theta+ 2 sin 5 theta cos theta = 0`
`rArr 2 cos theta(sin 5 theta + sin theta) = 0`
`rArr 2 cos theta(2 sin 3 theta cos 2 theta) = 0`
`rArr cos theta sin 3 theta cos 2 theta = 0`
यदि `cos theta = 0 rArr theta = (2n +1) pi/2`
यदि `sin 3 theta = 0 rArr 3 theta = n pi rArr theta = (npi)/3`
व यदि `cos 2 theta = 0 rArr 2 theta = (2n +1) pi/2 rArr theta = (2n +1) pi/4 , n in Z`
Discussion
11.

मान लीजिए n धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार से है कि `sin. pi/(2n) + cos. pi/(2n) = sqrtn/2`तो -A. `6 le n le 8`B. `4 lt n le 8`C. `6 lt n le 8`D. `4 lt n lt 8`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
12.

यदि `tan m theta = tan n theta`हो तो `theta`के भिन्न - भिन्न मान होंगे -A. समांतर श्रेणी मेंB. गुणोत्तर श्रेणी मेंC. हरात्मक श्रेणी मेंD. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
13.

x, y, z में समीकरण निकाय निम्न है - `x sin 3 theta - y + z = 0` `x cos 2 theta + 4y + 3z = 0` तथा `2 x + 7 y + 7z = 0` यदि इस निकाय का अतुच्छ हल हो , तो `n in I, theta` का मान होगा -A. `pi[n +((-1)^(n))/3]`B. `pi [n + (-1)^(n)/4]`C. `pi [n + (-1)^(n)/6]`D. `(npi)/2`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
14.

एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 2 है , की दो समांतर जीवाओं के बीच की दूरी `sqrt3 +1`है । यदि जीवाएँ केंद्र पर `pi/K` तथा `(2pi)/K, K gt 0` के कोण अंतरित करती है , तो [K] का मान है -A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer» Correct Answer - C
Discussion