InterviewSolution
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| 201. |
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिस बिंदु (3,-4,-5) तथा बिंदु (2,-3,1) से जाने वाली रेखा बिंदु (2,2,1) बिंदु (3,0,1) बिंदु (4,-1,0) से जाने वाले समतल को काटती है। |
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Answer» बिंदु `A(x_(1),y_(1),z_(1)).B(x_(2),y_(2),w_(2))` तथा `C(x_(3),y_(3),z_(3))` से जाने वाले समतल का समीकरण `|{:(x-x_(1),y-y_(1),z-z_(1)),(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_(1),z_(2)-z_(1)),(x_(3)-x_(1),y_(3)-y_(1),z_(3)-z_(1)):}|=0` इसलिए बिंदु `(2,2,1),(3,01)` तथा (4,-10) से जाने वाले समतल का समीकरण `rArr |{:(x-2,y-2,z-1),(3-2,0-2,1-1),(4-2,-1-2,0-1):}|=0` `rArr |{:(x-2,y-2,z-1),(1,-2,0),(2,-3,-1):}|=0` `rArr (x-2)(2-0)-(y-2)(-1-0)+(z-1)(-3+4)=0` `rArr 2(x-2)+1(y-2)+1(z-1)=0` `rArr 2x+y+z=7` बिंदु P(3,-4,-5) तथा Q(2,-3,1) से जाने वाली रेखा का समीकरण `(x-3)/(2-3)=(y+4)/(-3+4)=(z+5)/(1+5)` `rArr (x-3)/(-1)=(y+4)/(1)=(z+5)/(6)=lambda` माना `R ,lambda` के किसी मान के लिए समतल पर कोई बिंदु है तब `R-=R(-lambda+3,lambda-4,6lambda-5) " "...(1)` `rArr 2(-lambda+3)+(lambda-4)+(6lambda-5)=7` `5lambda=10` `lambda=(10)/(5)=2` `lambda=2` का मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट प्रतिच्छेद बिंदु `R(1,-2,7)` है। |
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| 202. |
समतल `vecr.(2hati+hatj-hatk)-5=0` द्वारा तीनों अक्षों पर काटे गए अन्तः खण्डों का योग ज्ञात कीजिए। |
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Answer» समतल की समीकरण है `vecr.(2hati+hatj-hatk)-5=0` `vec r=xhati+yhatj+zhatk` में रखने पर- `(xhati+yhatj+zhatk)*(2hati+hatj-hatk)=5` `rArr 2x+y-z=5` `rArr (x)/(5//2)+(y)/(5)+(z)/(-5)=1` अन्तः खण्ड रूप में समतल की मानक समीकरण से तुलना करने पर- `(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=1` `rArr a=(5)/(2),b=5c=-5` समतल द्वारा तीनों पर काटे गए अन्तः खण्डों का अभीष्ट योग `=a+b+c` `=(5)/(2)+5-5=(5)/(2)` |
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| 203. |
निम्नलिखित रेखा - युग्मो के बीच का कोण ज्ञात कीजिए : ` vecr = 2 hati - 5hatj + hatk + lamda ( 3hati + 2hatj + 6hatk ) ` और ` vecr = 7 hati - 6 hatk + mu ( hati + 2hatj + 2 hatk ) ` |
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Answer» (i) माना दी गई रेखाओं के बीच का न्यून कोण ` theta ` है , तब ` cos theta = |( vecb_ 1 * vecb_ 2 ) /(|vecb _ 1 ||vecb_2|)|` दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों ` vecb _ 1 = 3hati + 2hatj + 6hatk ` तथा ` vecb _ 2 = hati + 2hatj + 2hatk ` के समांतर है | ltBrgt `therefore |vecb _ 1 | = sqrt ( 3 ^(2)+ 2 ^(2) + 6 ^(2)) = sqrt ( 9 + 4 + 36) = sqrt(49 ) = 7 ` ` |vecb _ 2 | = sqrt ( 1 ^(2) + 2 ^(2) + 2 ^(2)) = sqrt( 1 + 4 + 4) = sqrt 9 = 3 ` तथा ` vecb _ 1 * vecb _ 2 = ( 3hati + 2hatj + 6hatk ) * ( hat i + 2hatj + 2hatk ) ` ` = 3 xx 1 + 2 xx 2 + 6 xx 2 = 3 +4 + 12 = 19 ` ` therefore cos theta = |(vecb _ 1 * vecb _ 2 )/(|vec b_ 1|| vecb _ 2|)| = ( 19)/(7xx 3 ) = ( 19 ) /(21) ` ` rArr theta = cos ^(-1) (( 19)/(21)) ` (ii ) माना दी गई रेखाओं के बीच न्यून कोण ` theta ` है | ` cos theta = |(vecb _ 1 * vecb _ 2 ) /(|vecb _ 1 ||vecb_ 2|)|` दी गई रेखाओं क्रमशः सदिशों ` vec b _1 = hati - hatj - 2hatk ` तथा ` vecb _ 2 = 3hati - 5hatj - 4hatk ` के समांतर है | ` therefore |vecb _ 1 | = sqrt (( 1) ^(2) + (-1 ) ^(2) + ( - 2 ) ^(2)) = sqrt ( 1 + 1 + 4 ) = sqrt6 ` ` |vecb _ 2 | = sqrt((3) ^(2) + ( - 5) ^(2) + ( - 4 ) ^(2)) ` ` = sqrt ( 9 + 25 + 16 ) = sqrt ( 50 ) = 5 sqrt 2 ` तथा ` vecb _1 * vecb _ 2 = ( hati - hatj - 2hatk ) * ( 3hati - 5hatj - 4hatk ) ` ` = 1 xx 3 - 1 xx ( - 5) - 2 xx ( - 4 ) ` ` = 3+ 5 + 8 = 16` ` cos theta |(vecb_ 1 * vecb _ 2 ) /( |vecb _ 1 | |vecb _ 2 |)| = ( 16 ) /(sqrt6 xx 5 sqrt2) ` ` = ( 16 ) / ( 10 sqrt 3) = ( 8 ) /( 5 sqrt3 ) ` `therefore theta = cos ^(-1) ((8)/(5sqrt3)) ` |
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| 204. |
बिन्दु A(2,-1,4) तथा बिन्दु B(1,1,-2) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकर तथा कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» यहाँ `vecr_(1)=2hati-hatj+4hatk` `vecr_(2)=hati+hatj-2hatk` अब `vecr_(2)-vecr_(1)=(hati-hatj-2hatk)-(2hati-hatj+4hatk)` `=(-hati+2hatj-6hatk)` रेखा AB का सदिश समीकरण `vecr=vecr_(1)+lambda(vecr_(2)-vecr_(1))` `vecr=(2hati-hatj+4hatk)+lambda(-hati+2hatj-6hatk)" "....(1)` हम जानते है `vecr=xhati+yhatj+zhatk" "...(2)` समीकरण (1) व (2) से `(xhati+yhati+zhatk)=(2hati-hatj+4hatk)+lambda(-hati+2hatj-6hatk)` `rArr (xhati+yhati+zhatk)=(2-lambda)hati+(2lambda-1)hatj+(4-6lambda)hatk` `rArr x=2-lambda,y=2lambda-1` तथा `z=3-6lambda` समीकरण का कार्तीय रूप `(x-2)/(-1)=(y+1)/(2)=(z-4)-6=lambda` इसलिए दी गयी रेखा का कार्तीय समीकरण `(x-2)/(-1)=(y+1)/(2)=(z-4)/(-6)` |
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| 205. |
बिन्दुओं (2,1,2) तथा (1,2,-2) से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `2y+z=4` | |
| 206. |
उस रेखा के समीकरण सदिश तथा कार्तीय रूप में ज्ञात कीजिए जो सदिश `2hati-hatj+3hatk` के समान्तर है तथा बिन्दु (5,-2,4) से होकर जाती है। |
| Answer» Correct Answer - `vecr=5hati-2hatj+4hatk+lambda(2hati-hatj+3hatk);(x-5)/(2)=(y+2)/(-1)=(z-4)/(3)` | |
| 207. |
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिस पर बिंदु A(3,4,1) तथा B(5,1,6) से जाने वाली रेखा xy-समतल को कटती है । |
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Answer» बिंदु (3,4,1) तथा (5,1,6) से जाने वाली रेखा का समीकरण `(x-3)/(5-3)=(y-4)/(1-4)=(z-1)/(6-1)` `rArr (x-3)/(2)=(y-4)/(-3)=(z-1)/(5) " "...(1)` हम जानते है की xy-समतल का समीकरण `z=0` दिया है की रेखा (1),xy- समतल को कटती है तब हम पाते है `(x-3)/(2)=(y-4)/(-3)=(0-1)/(5)` `rArr (x-3)/(2)=-(1)/(5)` तथा `(y-4)/(-3)=(-1)/(5)` `rArr x=(3-(2)/(5))=(13)/(5)=,y(4+(3)/(5))=(23)/(5)` तथा `z=0` `:. xy`समतल को काटने वाली रेखा के निर्देशांक `P=((13)/(5),(23)/(5),0)` |
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| 208. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3,-4,-5) तथा (2,-3,1) से होकर जाने वाले रेखा समतल `2x+y+z=7` को कटती है । |
| Answer» Correct Answer - `(1,-2,7)` | |
| 209. |
रेखाओं ` vecr = ( hati + 2hatj + hatk ) + lamda ( hati - hatj + hatk ) ` और ` vec r = 2 hati - hatj - hatk + mu ( 2 hati + hatj + 2hatk ) ` के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» यहाँ ` veca _ 1 = hati + 2 hatj + hatk , vecb_ 1 = hati - hatj + hatk ` ` veca _ 2 = 2hati - hatj - hatk , vecb _ 2 = 2hati + hatj + 2hatk ` ` therefore veca _2- veca _ 1 = hati - 3 hatj - 2 hatk ` ` vecb _ 1 xx vecb _ 2 = |{:(hati,,hatj,,hatk),(1,,-1,,1),(2,,1,,2):}| = - 3hati + 3hatk ` दोनों रेखाओं के बीच न्यूनतम दुरी ` = |(( veca _ 2 - veca _ 1) * ( vecb _ 1 xx vecb _ 2 ))/(| vecb _ 1 xx vecb _ 2 |) |` ` = |((hati - 3hatj - 2 hatk ) * ( - 3 hati + 3hatk ) )/(| - 3hati + 3hatk |)|` ` = |( - 3 - 6 ) /(sqrt ( 9 + 9 ) ) | = ( 9 ) /( 3 sqrt2 ) = ( 3 ) /(sqrt2 ) ` |
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| 210. |
रेखायुगमो ` vecr = (hati + hatj ) + lamda( 3 hati + 2hatj + 6hatk ) ` और ` vecr = (hati - hatk ) + mu (hati + 2hatj + 2hatk ) ` के मध्य का कोण ज्ञात कीजिये | |
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Answer» यहाँ ` vecm = 3hati + 2hatj + 6hatk " और " vecn = hati + 2hatj + 2 hatk ` माना दोनों रेखाओं के बीच का कोण ` theta ` है | ` therefore cos theta = (vecm*vecn )/(|vecm | |vecn|) = ((3hati + 2hatj + 6hatj)*(hati + 2 hatj + 2hatk ))/(| 3hati + 2hatj + 6hatk | | hati + 2hatj + 2hatk|) ` ` = (3 + 4 + 12)/(sqrt (9 + 4 + 36)sqrt( 1 + 4 + 4 )) = (19)/( 7 xx 3) = (19)/(21) ` ` rArr theta = cos ^(-1) ((19)/(21)) ` |
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| 211. |
बिन्दुओं (2,-1,4) तथा (1,1,-2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण कार्तीय तथा सदिश रूप में लिखिये। |
| Answer» Correct Answer - `vecr=(2hati-hatj+4hatk)+lambda(-hati+2hatj-6hatk)` व `(x-2)/(-1)=(y+1)/(2)=(z-4)/(-6)` | |
| 212. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5,1,6) तथा (3,4,1) से होकर जाने वाली रेखा xy-समतल को कटती है । |
| Answer» Correct Answer - `(0,(17)/(2),(-13)/(2))` | |
| 213. |
समतल ` vecr = ( hati - hatj ) + lamda ( - hati + hatj + 2hatk ) + mu ( hati + 2hatj + hatk ) + mu ( hati + 2hatj + hatk ) ` को अदिश गुणन के रूप में परिवर्तित कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( hati - hatj + hatk ) = 2 ` |
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| 214. |
बिन्दु (1,4-2) से होकर जाने वाले तथा समतल `-2x+y-3z=0` के समान्तर का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `2x-y+3z+8=0` | |
| 215. |
बिन्दु (2,4-1) से होकर जाने वाले तथा समतल `vecr.(2hati-3hatj+5hatk)+7=0` के समान्तर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `vecr.(2hati-3hatj+5hatk)+11=0` | |
| 216. |
बिन्दु (a,b,c) से होकर जाने वाले समतल `vecr.(hati+hatj+hatk)=2` के समान्तर समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `x+y+z=a+b+c` | |
| 217. |
बिंदुओं `(3, 4, - 2) , ( 1, -1, 2 ) ` से होकर जाने वाली तथा बिन्दुओं ` ( 3, 5,6 ) , ( 0, 3, 2 ) ` से होकर जाने वाली रेखाओं के मध्य कोण है -A. ` 30 ^(@) `B. ` 60 ^(@) `C. ` 90^(@) `D. ` 180^(@) ` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 218. |
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमे रेखाये `vecr = hati + hatj +lamda ( hati + 2hatj -hatk ) ` और ` vecr = ( hati + hatj ) +mu ( - hati + hatj - 2hatk ) ` स्थित है | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( -hati + hatj + hatk ) = 0 ` |
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| 219. |
समान्तर रेखाओं ` ( x - 3) /(3 ) = ( y + 4) /(2) = ( z - 1) /(1) ` और ` ( x + 1 ) /(3) = ( y - 2 ) /(2) = (z ) /(1) ` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` 8 x + y -26z + 6 = 0 ` |
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| 220. |
दिखाइए कि रेखाये ` vecr = ( 2hati - 3hatk ) + lamda ( hati + 2hatj + 3hatk ) ` और ` vecr = ( 2hati + 6hatj + 3hatk ) + mu ( 2hati + 3hatj + 4hatk ) ` समतलीय है | इनसे होकर जाने वाले समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( hati - 2 hatj + hatk ) + 7 = 0 ` |
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| 221. |
बिन्दु (1,0,0) से रेखा `(x-1)/(2)=(y+1)/(-3)=(z+10)/(2)` पर लम्ब पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `(3,-4-2)` | |
| 222. |
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `(x-2)/(3)=(y+1)/(1)=(z-7)/(9)` के समान्तर है तथा बिन्दु `(3,0,5)` से होकर जाती है । |
| Answer» Correct Answer - `(x-3)/(3)=(y)/(1)=(z-5)/(9)` | |
| 223. |
बिन्दु ` ( 2, 3 ,4 ) ` से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके दिक् अनुपात ` 3, - 1, - 2` है | |
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Answer» Correct Answer - ` ( x - 2 ) /(3) = ( y - 3 ) /(- 1 ) = ( z - 4) /( - 2 ) ` |
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| 224. |
बिन्दु (2,6,3) से रेखा `(x)/(2)=(y-1)/(2)=(z-3)/(3)` पर डाले गये लम्ब पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा इस लम्ब का समीकरण भी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» Correct Answer - (2,3,6) माना AB दी गयी है। इसलिए रेखा AB का समीकरण `(x)/(2)=(y-1)/(2)=(z-3)/(3)" "...(1)` माना रेखा (1) पर कोई बिन्दु P है, तब P के निर्देशांक `(2r,2r+1,3r+2)` तथा `O-=Q(2,6,3)` `:.QP` के दिक् अनुपात `2r-2,2r-5,3r-1` होंगे। प्रशानुसार QP रेखा (1) के लंबवत है इसलिए `(2r-2)2+(2r-5)2+(3r-1)3=0` `rArr r=1` `:. P=(2,3,5)` `:.QP` का अभीष्ट समीकरण `(x-2)/(0)=(y-3)/(-3)=(z-5)/(2)` |
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| 225. |
उन दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनमे से एक रेखा के दिक् अनुपात `2,2,1` है तथा दूसरी रेखा बिन्दु (3,1,4) तथा `7,2,12` से मिलकर बनी है। |
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Answer» माना `L_(1)` व `L_(2)` दो रेखाये है। प्रशानुसार रेखा `L_(1)` के दिक् अनुपात `2,2,1` है। तथा रेखा `L_(1)` के दिक् अनुपात `=(7-3),(2-1),(12-4)` =4,1,8 माना `L_(1)` व `L_(2)` के बीच का कोण `theta` है तब `cos theta =(a_(1)a_(1)+b_(1)b_(2)+c_(1)c_(2))/(sqrt((a)_(1)^(2)+b_(1)^(2)+c_(1)^(2))sqrt(a_(2)^(2)+b_(2)^(2))+c_(2)^(2))` `=(2xx4+2xx1+1xx8)/(sqrt(2^(2)+2^(2)+1^(2))sqrt(4^(2)+1^(2)+8^(2)))` `(18)/(27)=(2)/(3)` `rArr theta =cos^(-1) ((2)/(3))` |
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| 226. |
बिन्दु ` hati + 3hatj + hatk ` से होकर जाने वाली और सदिश ` 3 hati - 2 hatj + hatk ` के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr = ( hati + 3hatj + hatk ) + lamda ( 3hati - 2hatj + hatk ) ` |
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| 227. |
यदि `A(3,4,5), B(4,6,3),C(-1,2,4)` तथा `D(1,0,5)` चार बिन्दु है, तब रेखा AB व CD के मध्य कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `cos^(-1)((-4)/(9))` `cos theta =(a_(1)a_(2)+b_(1)b_(2)+c_(1)c_(2))/(sqrt(a_(1)^(2)+b_(1)^(2)+c_(1)^(2))*sqrt(a_(2)^(2)+b_(2)^(2)+c_(2)^(2)))` |
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| 228. |
रेखा `(x)/(1)=(y-1)/(2)-(z-2)/(3)` में बिन्दु (1,6,3) पर प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - (1,0,7) | |
| 229. |
बिन्दु , जिसका स्थिति सदिश ` ( 2 hati - hatj - hatk ) ` है , से होकर जाने वाली और सदिश ` hati + 5 hatk ` के समान्तर सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr = ( 2hati - hatj - hatk ) + lamda ( hati + 5hatk ) ` |
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| 230. |
यदि `A(8,2,0),B(4,6,-7),C(-3,1,2)` तथा `D(-9,-2,4)` चार बिंदु है तो `vecAB` तथा `vecCD` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `vec(AB)` के दिक् अनुपात `=(4,-8),(6-2),(-7,-0),-4,4-7` `:. |vec(AB)|=sqrt((-4)^(2)+(4)^(2)+(-7)^(2))` `=sqrt(16+16+49)=9` AB की दिक् कोज्यायें `=-(4)/(9),(4)/(9),(7)/(9)` `vec(CD)` के दिक् कोज्यायें `=-6,-3,2` `vec|(CD)|=sqrt((-6)^(2)+(-3)^(2)+(2)^(2))` `=sqrt(36+9+4)=sqrt(49)=7` इसकी दिक् कोज्याये `=-(6)/(7),-(3)/(7),(2)/(7)` यदि `vecAB` तथा `vec(CD)` के बीच `theta` कोण है। `:. cos theta=|(-(4)/(9))xx(-(6)/(7))+((4)/(9))xx(-(3)/(7))+(-(7)/(9))xx((2)/(7))|` `=|(24)/(63)-(12)/(63)-(14)/(63)|=|(2)/(63)|=(2)/(63)` `cos theta =(2)/(63)` ` theta="cos^(-1)((2)/(63))` |
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| 231. |
उस त्रिभुज के कोण ज्ञात कीजिए जिनके शीर्ष ` A(3,2,-1),B(3,5,2)` और ` C(5,-2,3)` है |
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Answer» Correct Answer - ` 90 ^(@), cos ^(-1) ""(1)/(sqrt3), cos ^(-1) sqrt((2)/(3)) ` |
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| 232. |
सदिश `vecr_(1)=(4 hati-2hatj+5hatk)` तथा `vecr_(2)=(3hati+4hatj+5hatk)` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» यदि `vecr_(1)` तथा `vecr_(2)` के बीच का कोण `theta` है। तब `cos theta =(vecr_(1)*vecr_(2))/(|vecr_(1)|vecr_(2)|)` `=((4hati-3hatk+5hatk)*(3hati+4hatj+5hatk))/({sqrt((4)^(2)+(-3)^(2)+(5)^(2))}{sqrt((3)^(2)+(4)^(2)+(5)^(2))})` `=(12-12+25)/({sqrt(16+9+25)}{sqrt(+16+25)})` `=(25)/(sqrt(50)xxsqrt(50))=(25)/(50)=(1)/(2)` `:. cos theta=(1)/(2)` `theta= "cos"^(-)(1)/(2)=(pi)/(3)` |
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| 233. |
उन रेखाओ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात ` 1,1,2` और `(sqrt(3)-1),(-sqrt(3)-1),4` है| |
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Answer» Correct Answer - ` 60 ^(@) ` |
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| 234. |
यदि एक रेखा, एक घन के चार विकर्णों से ` alpha, beta, gamma , delta ` कोण बनाती है , तो ` ( cos ^(2 ) alpha + cos ^(2) beta + cos ^(2) gamma + cos ^(2) delta ) ` का मान है -A. ` ( 1 ) /(3) `B. ` ( 2 ) /(3) `C. ` ( 4) /(3) `D. ` ( 5 ) /(3) ` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 235. |
एक घन के किन्ही दो विकर्णों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` cos ^(-1) ((1)/(3)) ` |
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| 236. |
सदिश `2hati-hatj+3hatk` के समान्तर तथा बिंदु (5,-2,4) होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» माना दिया गया बिंदु P है, तब `P-=P(5-,2,4)` यदि `O-=(0,0,0)` मुलबिन्दु है , तब ltbgt `P=hati-2hatj+4hatk=veca`(माना) तथा माना `vecb=2hati=hatj+3hatk` हम जानते है की `veca` से होकर जाने वाली तथा `vecb` के समान्तर रेखा का समीकरण `vecr=vec=a+lambdavecb` `rArr xhati+yhatj+zhatk=(5hati-2hatj+4hatk)+lambda(2hati-hatj+3hatk)` दोनों ओर के `hatj,hatj,` व `hatk` गुणांकों की तुलना करने पर `x=5+2lambda,y=y=-2-lambda, z=43lambda` `rArr (x-5)/(2)=(y+2)/(-1)=(z-4)/(3)` यही रेखा का अभीष्ट समीकरण है। |
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| 237. |
उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2,-1,1) से होकर जाती है तथा बिंदुओं (-1,4,1) तथा (1,2,2) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है । |
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Answer» माना `A=(2,-1,1)B=(-1,4,1)` तथा `C=(1,2,3)` तब `vec(BC)=vec(OC)-vec(OB)` जहाँ मुलबिन्दु है। `=(hati+2hatj++2hatk)-(-hati+4hatj+hatk)=2hati-2hatj+hatk` `:. A` से होकर जाने वाली रेखा तथा `vec(BC)` के समान्तर रेखा का समीकरण `vecr=(2hati-hatj+hatk)lambda(2hati-2hatj+hatk)` `=(2+2lambda)hati+(-1-2lambda)+hatj+(1+lambda)hatk` यही रेखा का अभीष्ट समीकरण है। |
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| 238. |
निम्नलिखित सदिशों की दिक् कोज्याये ज्ञात कीजिए- (i) `2hati+2hatj-hatk` `(ii) 6hati-2hatj-3hatk` |
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Answer» Correct Answer - (i) `(2)/(3),(2)/(3),(-1)/(3) (ii) (6)/(7),(2)/(7),(3)/(7)` या `(-6)/(7),(-2)/(7),(-3)/(7)` (i) दिक् कोज्यायें `=(a)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2))),(b)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2))),(c)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))` |
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| 239. |
निम्नलिखित सदिशों की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए- (i) `2 hati+hatj-2hatk" "(ii) -hati-hatk` |
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Answer» (i) सादिश `2hat1+hatj-2hatk` के दिक् अनुपात `2,1` व `-1` होंगे इसलिए, इनकी दिक् कोज्यायें `(2)/(sqrt(2^()+1^(2)+(-2)^(1))),(1)/(sqrt(2^()+1^(2)+(-2)^(1))),(-2)/(sqrt(2^()+1^(2)+(-2)^(1)))` अथार्त `(2)/(3),(1)/(3)` व `-(2)/(3)` है। (ii) सादिश `-hati-hatk=-hati+0hatj-hatk` के दिक् अनुपात `-1,0` व `-1` है । `:.` इनकी दिक् कोज्याये `(-1)/(sqrt(-1)^(2)+(-1)^(2)),(0)/(sqrt(-1)^(2)+(-1)^(2)),(-1)/(sqrt(-1)^(2)+(-1)^(2))` अथार्त `(-1)/(sqrt(2)),0` व `-(1)/(sqrt(2))` है। |
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| 240. |
a के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके बिंदु (8,-7,a), (5 ,2 ,4) तथा (6,-1,2) संरेख होंगे| |
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Answer» माना `P-=P(8,-7,a),Q-=Q(5,2,4)` `R-=R(6,-1,12)` तब `PQ` के दिक् अनुपात `8-5,-7-2,a-4` अथार्त `3-9` वा `a-4` इसी PQ प्रकार के दिक् अनुपात `5-,6,2+1,4-2` अथार्त `-1,3,2` प्रशानुसार P,Q बिंदु R व संरेख है, इसलिए PQ व QR एक ही रेखा है । `:.(3)/(-1)=(-9)/(3)=(a-4)/(2)` उपरोक्त को हल करने पर `a=-2` |
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| 241. |
रेखा `(4-x)/(2)=(y)/(6)=(1-z)/(3)` की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(-2)/(7),(6)/(7),(-3)/(7)` | |
| 242. |
सिद्ध कीजिए की बिंदु `P,(2,3,4),Q(-1,-2,1)` व `R(5,8,7)` संरेख (collinear) है । |
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Answer» दिया है- `P-=P(2,3,4)Q-=(-1,-2,1)` व `R-=R(5,8,7)` तब P व Q को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात निम्न होंगे- `-1,-2,-2,-3,1-4` तब व को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात निम्न होंगे अथार्त `-3,-5,-3` इस प्रकार Q व् R को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात `+1,8+2,7-1` अथार्त `6,10,6` होंगे | स्पष्तः `vecQr` के दिक् अनुआपात मिलाने वाली रेखा दिक् अनुपात के `vecPQ` गुना है। `rArr PQ` व QR दिक् कोज्याये समान होंगी । `rArr PQ||QR` `:.` बिंदु दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ बिंदु है इसलिए बिंदु P,Q व R संरेख होंगे । |
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| 243. |
यदि एक रेखा के दिन अनुपात `2,-1,-2` है तब इनकी दिक् कोज्याये ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रशानुसार `a=2,b=-1,c=-2` ये मान `l=(a)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2))),m=(a)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))` `m=(c)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))` में रखने पर `l=(2)/(sqrt(2^(2)+(-1)^(2)+(-2)^(2)))` `m=(-1)/(sqrt(2^(2)+(-1)^(2)+(-2)^(2)))` `n=(-2)/(sqrt(2^(2)+(-1)^(2)+(-2)^(2)))` `rArr l=(2)/(3),m=(-1)/(3),n=(-2)/(3)` |
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| 244. |
रेखा की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए जिसके दिक् अनुपात 2,-6,3 है। |
| Answer» Correct Answer - `(2)/(7),(-6)/(7),(3)/(7)` | |
| 245. |
उस रेखा की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए जिसके दिक् अनुपात `3,4,12` है। |
| Answer» Correct Answer - `+-(3)/(13),+-(4)/(13),+-(12)/(13)` | |
| 246. |
वह कोण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित सदिश प्रत्येक निर्देशांक अक्षों से बनाते है । (i) `hati-hatj+hatk " " (ii) 4hati+hatk` |
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Answer» (i) माना `veca =hati-hatj+hatk` `rArr |veca|=sqrt(1^(2)+(-1)^(2)+1^(2))=sqrt(3)` तब `hata` की दिशा में एकांक सदिश `hat a=(veca)/([veca])=(hati-hatj+hatk)/(sqrt(3))=(1)/(sqrt(3))hat i-(1)/(sqrt(3))hatj+(1)/(sqrt(3))hatk` इसलिए `l = cos alpha=(1)/(sqrt(3)) rArr alpha= "cos"^(-1)((1)/(sqrt(3)))` `m= cos beta=(-1)/(sqrt(3)) rArr beta= "cos^(-1)((-1)/(sqrt(3)))` `n= cos gamma =(1)/(sqrt(3)) rArr gamma ="cos"^(-1)((1)/(sqrt(3)))` (ii) माना `vecb= 4hati+8hatj+hatk` `rArr ` दिक् अनुपात `a=4,b=8,c=1` तब `vecb` की दिक् कोज्यायें निम्न होंगी- `l = cos alpha=(a)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))` `=(4)/(sqrt(4^(2)+8^(2)+1^(2)))=(4)/(sqrt(81))=(4)/(9)` `rArr alpha= "cos"^(-1)((4)/(9))` `m= cos beta=(b)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))=(8)/(sqrt(81))=(8)/(9)` `rArr beta= "cos"^(-)((8)/(9))` तथा `n= cos gamma=(c)/(sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))=(1)/(9)` `rArr gamma="cos"^(-1)((1)/(9))` |
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| 247. |
दो बिन्दुओं (-2,4,-5) और (1,2,3) को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दो बिन्दुओं `P(x_(1),y_(2),z_(1))` व `Q(x_(2),y_(2),z_(2))` को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोज्यायें निम्न होती है- `(x_(2)-x_(1))/(PQ),(y_(2)-y_(1))/(PQ),(z_(2)-z_(1))/(PQ)` जहाँ `PQ=sqrt((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^(2)+(z_(2)-z_(1))^(2))` `=sqrt([1-(-2)]^(2)+(2-4)^(2)+[3-(-5)]^(2))` `=sqrt(77)` `:.` अभीष्ट दिक् कोज्यायें निम्न है `(3)/(sqrt(77)),(-2)/(sqrt(77)),(8)/(sqrt(77))` |
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| 248. |
यदि एक रेखा के दिक् अनुपात `2,-1,-2` है तो दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(2)/(-1),(-1)/(3),(-2)/(3)` | |
| 249. |
यदि `theta` रेखा AB तथा CD के बीच का कोण है, तो रेखाखण्ड AB का रेखा CD पर प्रक्षेप होगा-A. `AB sin theta`B. `AB cos theta`C. `AB tan theta`D. `CD cos theta` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 250. |
बिन्दु A(1,2,1) से जाने वाले तथा बिन्दु P(1,4,2) तथा Q(2,3,5) को मिलाने वाली रेखा के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा इस समतल की रेखा `(x+3)/(2)=(y-5)/(-1)=(z-7)/(-1)` की दुरी ज्ञात कीजिए। |
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Answer» बिन्दु A(1,2,1) से जाने वाले समतल का समीकरण `a(x-1)+b(y-2)+c(z-1)=0 " "...(1)` यहाँ समतल के लम्ब की दिक् कोज्यायें `a,b,c` है। रेखा PQ की दिक् कोज्याये `(2-1),(3-4),(5-2)` अथार्त `1,-1,3` है। दिया हुआ है की अभीष्ट समतल `PQ` के लंबवत है। तब `(a)/(1)=(b)/(-1)=(c)/(3) =lambda` (माना) `rArr a= lambda. b=- lambda` तथा `c=3lambda` समीकरण (1) में इन मानों को रखने पर `lambda(-1)-lambda(y-2)+3lambda(z-1)=0` `rArrr (x-1)-(y-2)+3(z-1)=0` `x-y+3z=2 " "....(3)` दी गयी रेखा `(x+3)/(2)=(y-5)/(-1)=(z-7)/(-1)" "...(4)` स्पष्तः यह रेखा बिन्दु (-3,5,7) से गुजरती है। समतल तथा रेखा के बीच की दुरी = इस रेखा पर स्थित बिन्दु की समतल से दुरी = बिन्दु (-3,5,7) से समतल पर डाले गये लम्ब की लम्बाई `=(|-3-5+21-2|)/(sqrt(1^(2)+(-1)^(2)+3^(2))) =(11)/(sqrt(11))= sqrt(11)` इकाई |
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