InterviewSolution
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| 151. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से सामान अन्तः खण्ड काटता है तथा बिन्दु (2,3,5) से होकर जाता है । |
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Answer» अन्तः खण्ड रुप में समलता का समीकरण `(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=1" "...(1)` प्रशानुसार `a=b=c` तब समीकरण (1) से `+y+z=a" "...(2)` यदि समतल (2) बिन्दु (2,3,5) से जाता है तब `2x+3+5=a` `rArr a=10` अतः समतल का अभीष्ट समीकरण `x+y+z=10` |
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| 152. |
एक समतल निर्देशाक्षो को क्रमशः A, B और C बिन्दु पर काटता है | ` Delta ABC ` का केन्द्रक ` (2, -3, 4) ` है | समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना समतल का समीकरण `(x)/(a) + (y)/(b) + (z)/(c) =1" " ` ... (1) जो x अक्ष को बिन्दु `A(a, 0,0) `, y अक्ष को बिन्दु ` B(0, b, 0) ` और z -अक्ष को बिन्दु `C(0,0, c) ` पर काटता है | अब ` Delta ABC ` का केन्द्रक ` = ((a+0 + 0)/(3), (0 + b +0 )/(3), (0+0 + c)/(3)) = ((a)/(3), (b)/(3) , (c)/(3))` प्रश्नानुसार ` ((a)/(3), (b)/(3), (c)/(3)) = ( 2 , - 3, 4 ) ` `rArr a = 6, b = -9, c = 12 ` अतः समतल का समीकरण ` (x)/(6) - (y)/(9) + (z)/(12) = 1 ` `rArr 6 x - 4y + 3z = 36 ` |
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| 153. |
एक चर समतल इस प्रकार गति करता है कि इसके द्वारा निर्देशांकों पर कटे अन्तः खण्डो के व्युत्क्रमो का योग अचर रहता है | दिखाइए कि समतल एक निश्चित बिन्दु से होकर जाता है | |
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Answer» माना समतल का समीकरण ` (x)/(a) + (y)/(b) + (z)/(c) = 1 " " `... (1) निर्देशांकों पर कटे अन्तः खण्ड = ` a, b, c ` प्रश्नानुसार `(1)/(a) + (1)/(b) + (1)/(c) = k ` जहाँ k अचर राशि है | `rArr" " (1)/(ka) + (1)/(kb) + (1)/(kc) = 1 ` ` rArr (1)/(a) ((1)/(k)) + (1)/(b)((1)/(k)) + (1)/(c) ((1)/(k)) = 1 ` अतः समतल (1 ) बिन्दु `((1)/(k),(1)/(k), (1)/(k)) ` से होकर जाता है जो एक निश्चित बिन्दु है | |
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| 154. |
एक समतल निर्देशाक्षों का क्रमशः बिंदु ` A, B, C ` पर काटता है | यदि ` Delta ABC ` का केन्द्रक ` ( 2, - 1, 3) ` है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` 3x - 6y + 2z = 18 ` |
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| 155. |
एक चर तल मूलबिंदु से सदैव अचर दुरी 3p पर रहता है और अक्षों को क्रमशः `A,B,C` पर काटता है|दिखाइए की `Delta ABC` के केन्द्रक का बिन्दुपथ `x^(-2)+y^(-2)+z^(-2) =p^(-2)` है| |
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Answer» माना चर तल का समीकरण ` " " (x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=1` जो अक्षों को क्रमशः `A(a,0,0) ,B(0,b,0)` और `C(0,0,c)` पर मिलता है| माना ` Delta ABC` का केन्द्रक `(alpha,beta,gamma )` है ` alpha =(a+0+0)/(3), beta=(0+b+0)/(3) ,gamma =(0+0+c)/(3) ` ` rArr " " a=3a," " b=3beta ," " c=3gamma " " ...(2)` अब (0 ,0 ,0 ) से समतल (1 ) पर लम्ब की माप =3p ` rArr |(0+0+0-1)/(sqrt(1/(a^(2))+(1)/(b^(2) )+(1)/(c^(2))))|=3p` ` rArr " " (1)/(a^(2) )+(1)/(b^(2))+(1)/(c^(2))=(1)/(9p^(2))` ` rArr " " (1)/(9alpha^(2))+(1)/(9beta ^(2) )+(1)/(9gamma ^(2))=(1)/(9p^(2))` [समीकरण (2 )से ] `rArr" " alpha^(-2) +beta ^(-2)+gamma ^(-2)=p^(-2)` ` therefore (alpha ,beta ,gamma )` का बिनुपथ ` x^(-2)+y^(-2)+z^(-2)=p^(_2)` यही सिद्ध करना था| |
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| 156. |
एक समतल निर्देशाक्षों को बिन्दुओं A, B और C पर काटता है | यदि ` Delta ABC ` का केन्द्रक ` ( alpha, beta, gamma ) ` है, तो समतल का समीकरण है -A. ` alpha x + beta y + gammaz = 1 `B. ` alpha ^(2) x + beta^(2) y + gamma ^(2) z = 3 `C. ` ( x) /(alpha ) + ( y ) /(beta ) + ( z ) /( gamma ) = 1 `D. ` ( x) /(alpha ) + ( y ) /(beta) + ( z )/(gamma ) = 3`. |
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Answer» Correct Answer - D |
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| 157. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से 2,3-4 दुरी पर अन्तः खण्ड काटता है । |
| Answer» Correct Answer - `6x+4y-3z=12` | |
| 158. |
बिंदु `A(3,-1,2),B(5,2,4)` तथा `C(-1,-1,6)` से जाने वाले समतल की बिंदु `P(6,5,9)` से दुरी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» बिंन्दु `A(x_(1),y_(1),z_(1))` बिन्दु `B(x_(2),y_(2),z_(2))` तथा बिन्दु `C(x_(3),y_(3),z_(3))` से जाने वाले समतल का समीकरण `|{:(x-x_(1),y-y_(1),z-z_(1)),(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_(1),z_(2)-z_(1)),(x_(3)-x_(1),y_(3)-y_(1),z_(3)-z_(1)):}|=0` इसलिए बिन्दु `(3,-1,2),(5,2,4)` तथा `(-1,-1,6)` से जाने वाले समतल का समीकरण `rArr |{:(x-3,y+1,z-2),(5-3,-1+1,4-2),(-1-3,-1+1,6-2):}|=0` `rArr |{:(x-3,y+1,z-2),(2,3,2),(-4,0,4):}|=0` `rArr 3x-4y+3z-19=0 " "...(1)` बिन्दु P समतल पर स्थित कोई बिन्दु है। बिन्दु P`(6,5,9)` की समतल `3x-4y+3z-19=0` से दुरी = बिन्दु `P(6,5,9)` से समतल `3x-4y+3z-19=0` पर डाले गये लम्ब की लम्बाई `=(|(3xx6)-(4xx5)+(3xx9)-19|)/(sqrt(3^(2)+(-4)^(2)+3^(2)))` `=(6)/(sqrt(34))xx(sqrt(34))/(sqrt(34))=(6)/(34)sqrt(34)=(3)/(17)sqrt(34)` इकाई |
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| 159. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमे बिन्दु `(1,-1,2)` अन्तर्विष्ट है तथा जो समतलों `2x+2y-2z=5` तथा `x+2y-3z=8` में प्रत्येक के लंबवत है। |
| Answer» Correct Answer - `5x-4y-z=7` | |
| 160. |
एक चर समतल केन्द्र से P अचर दुरी पर है तथा निर्देशाक्षों को बिन्दु A,B तथा C पर काटता है तो सिद्ध कीजिए की समचतुष्फलक के केन्द्रक का बिन्दुपथ `x^(-2)+y^(-2)+z^(-)=16p^(-2)` होगा । |
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Answer» समतल का समीकरण `(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=1 " "...(1)` x-अक्ष पर समतल का बिन्दु `A=(a,0,0)` y-अक्ष पर समतल का बिन्दु `B=(0,b,0)` z-अक्ष पर समतल का बिन्दु `C=(0,0,c)` माना `(alpha, beta, gamma)` केन्द्रक के निर्देशांक है तब `alpha(0+a0+0)/(4)=(a)/(4), beta =(0+0+b+0)/(4)=(b)/(4)` तथा `gamma=(0+0+0+c)/(4)=(c)/(4)` `rArr a= 4 alpha, b= 4 beta, c=4 gamma" "...(2)` चूँकि p, दिये गये समतल की बिन्दु `(0,0,0)` से दुरी है। `rArr p=|((0)/(a)+(0)/(b)+(0)/(c)-1)/(sqrt((1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))+(1)/(c^(2))))` `(1)/(p)=sqrt((1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))+(1)/(c^(2)))=(1)/(p^(2))=((1)/(a^(2))+(1)/(b^(2))+(1)/(c^(2)))` `rArr (1)/(p^(2))=(1)/(16alpha^(2))+(1)/(16 beta^(2))+(1)/(16 gamma^(2))` [समीकरण (2) से)] `(1)/(p^(2))=(1)/(16)[(1)/(alpha^(2))+(1)/(beta^(2))+(1)/(16gamma^(2))]` `(16)/(p^(2))=(1)/(alpha^(2))+(1)/(beta^(2))+(1)/(gamma^(2))` `=alpha^(-2)+beta^(-2)+gamma^(-2)=16p^(2)` अतः समचतुष्फलक के केन्द्रक का बिन्दुपथ `=x^(-2)+y^(-2)+z^(-2)=16p^(2)` |
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| 161. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों ` x - 2 y + z = 1 ` और ` 2 x + y +z = 8 ` के प्रतिच्छेद से होकर जाता है और रेखा ` ( x + 2) /(1) = (y ) / ( 2) = ( z - 3) /( 1) ` के समान्तर है | |
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Answer» Correct Answer - ` 9x - 8y + 7z - 21 = 0 ` |
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| 162. |
समतलों `z+y+z=1` व `2x+3y+4z=5` के प्रतिच्छेद बिन्दु जो रेखा पर उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `x-y+z=0` के लंबवत है तथा प्राप्त समतल की मूल बिन्दु से दुरी भी ज्ञात कीजिए। |
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Answer» समतल का अभीष्ट समीकरण `(x+y+z-1)+lambda(2x+3y+4z-5)=0 " "...(1)` जहाँ `lambda` के वास्तविक संख्या है `rArr (1+2lambda)x+(1+3lambda)y+1+4lambda)z-(1+5lambda)=0 " "...(2)` दिया है की समतल रेखा `x-y+z=0` के लंबवत है इसलिए तब `(1+2lambda xx1+(1+3lambda)xx(-1)+(1+4lambda)xx1=0` ` lambda=(-1)/(3)` `lambda` का यह मान समीकरण (2) में रखने पर `(1-(2)/(3))x+(1-1)y+(1-(4)/(3))z-11+(5)/(3)=0` `rArr (1)/(3)x-(1)/(3)z+(2)/(3)=0 rArr x-z+2=0` जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है। अब, समतल की मूल बिन्दु से दुरी= मूल बिन्दु से समतल पर डाले गये लम्ब की लम्बाई `=(|0-0+2|)/(sqrt(1^(2)+0^(2)+(-1)^(2)))=(2)/(sqrt(2))sqrt(2)` इकाई |
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| 163. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों `3x - y + 2z = 4 ` और `x + y +z = 2 ` के प्रतिच्छेद और बिन्दु ` (2, 2, 2 ) ` से होकर जाता है | |
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Answer» दिए गए समतलों के प्रतिच्छेद रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण ` (3x - y + 2z - 4) + lamda ( x + y + z - 2 ) = 0 " " `... (1) यह बिन्दु ` (2, 2, 2) ` से होकर जाता है | ` therfore (6 - 2 + 4- 4 ) + lamda (2 + 2 + 2 - 2 ) = 0 ` `rArr " " lamda = - 1 ` ` therefore ` समतल का समीकरण ` ( 3x - y + 2z - 4) - (x + y + z - 2) = 0 ` ` rArr 2x - 2y + z - 2 = 0 ` |
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| 164. |
बिन्दु (2,1,-1) तथा (-1,3,4) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए तथा समतल `x-2y+4z=10` पर डाले गये लम्ब की लम्बाई बताओं । |
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Answer» बिन्दु (2,1,-1) से जाने वाले समतल का समीकरण `a(x-2)+b(y-1)+c(z+1)=0 " "...(1)` यदि बिन्दु (-1,3,4) समतल पर स्थित है तब `a(-1-2)+b(3-1)+c(4+1)=0` `rArr -3a+2b+5c=0 " "...(2)` `:.` समतल `x-2y+4z=10` के लंबवत है `(1xxa)-(2xxb)+4xxc=0` `rArr a-2b+4c=0" "...(3)` समीकरण (2) व (3) से हम पाते है की `(a)/((8+10))=(b)/((5+12))=(c)/((6-2))` `rArr (a)/(18)=(b)/(17)=(c)/(4)= lambda` माना `rArr a=18lambda,b=17lambda` तथा `c=4lambda` समीकरण (1) में इनके मान रखने पर `18 lambda(x-2)+17 lambda(y-1)+4lambda(z+1)=0` `18(x-2)+17(y-1)+4(z+1)=0` `18x+17y+4z=49` सदिश रूप में समीकरण `vecr.(18 hati+17hatj+4hatk)=49` |
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| 165. |
समतलों `vecr.(hati+3hatj)-6=0` व `vecr.(3hati-hatj-4hatk)=0` के प्रतिच्छेद बिन्दु पर रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, मूल बिन्दु से दुरी एक इकाई है। |
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Answer» दिये गये समतलों के समीकरण `vecr.(hati+3hatj)-6=0 " "...(1)` व `vecr.(3hati-hatj-4hatk)=0 " "..(2)` माना `vecr=(xhati+yhati+zhatk)` तब समीकरण (1) व (2) से `(xhati+yhatj+zhatk)*(hati+3hatj)-6=0` `rArr x+3y-6=0 " "...(3)` तथा `(xhati+yhati+zhatk)*(3hati-hatj-4hatk)=0` `rArr 3x-y-4z=0" "...(4)` दिये गये समतलों के पतरिच्छेद रेखा पर समतल का समीकरण `(x+3y-6)+lambda(3x-y-4z)` जहाँ `lambda` एक वास्तविक संख्या है। `:.` समतल की मूल बिन्दु से दुरी 1 इकाई है। `:. (|0+0-0-6|)/(sqrt((1+3lambda)+(3-lambda)^(2)+(-4lambda)^(2)))=1` `rArr (1+3lambda)^(2)+(3-lambda)^(2)+(-4lambda)^(2)=36` `rArr 26 lambda^(2)=26 rArr lambda= pm1` `lambda` का यह मान समीकरण (5) में रखने पर `-2x+4y+4z-6=0 rArr x-2y-2z+3=0` यही समतल की अभीष्ट समीकरण है। |
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| 166. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों ` 3x -y + 2z - 4= 0 ` और ` x +y +z - 2 =0 ` के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु ` ( 2 ,2, 1 ) ` से होकर जाता है | |
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Answer» दिए गए समतल ` 3 x - y + 2 z - 4 = 0 ` तथा ` x + y + z - 2 = 0 ` के प्रतिच्छेदन समतल का समीकरण ` ( 3x - y + 2z - 4 ) + lamda ( x +y + z - 2 ) = 0 ` ... (1) यह समतल बिंदु ` ( 2, 2, 1 ) ` से होकर जाता है | ` therefore ( 3 xx 2 - 2 + 2 xx 1 - 4 ) + lamda ( 2 + 2 + 1 - 2 ) = 0 ` ` rArr ( 6-4 ) +3 lamda =0 rArr 2 +3 lamda=0 rArr lamda = ( -2) /(3) ` ` lamda ` का मान समीकरण (1 ) में रखने पर ` ( 3x -y + 2z- 4 ) - ( 2 ) /(3) ( x + y + z - 2 ) = 0 ` ` rArr 9x - 3y + 6z- 12 - 2x - 2y - 2z + 4 = 0 ` `rArr 7x- 5y + 4z - 8 = 0 ` जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है | |
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| 167. |
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलो ` vec r * ( 2hati + 2hatj - 3hatk ) = 7,vecr* ( 2hati + 5hatj + 3 hatk) =9 ` के प्रतिच्छेदन रेखा और ` (2,1,3) ` से होकर जाता है | |
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Answer» दिए गए समतलों के समीकरण निम्न है, ` vecr* ( 2hati + 2hatj -3hatk) = 7 ` तथा `vecr *( 2hati + 5hatj + 3hatk ) = 9 ` इन समतल के समीकरणों को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है, ` vecr * ( 2hati + 2hatj - 3hatk ) - 7 =0 " " ` ...(1) तथा ` vecr * ( 2hati + 5hatj + 3hatk) -9 = 0 ` ... ( 2) समतल (1 ) व (2 ) के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है, `[ vecr * ( 2hati + 2hatj - 3hatk ) - 7 ]+ lamda [ vecr * ( 2hati + 5hatj + 3hatk) - 9] = 0 ` ` rArr vecr * [(2hati + 2hatj - 3hatk ) +lamda ( 2hati + 5hatj +3hatk ) ] = 9 lamda + 7 ` ` rArr[ vecr* ( 2 + 2lamda ) hati + ( 2 + 5lamda )hatj + ( 3lamda - 3) hatk = 9 lamda + 7 ` ... ( 3 ) यह प्रतिच्छेदी समतल बिंदु ` (2, 1,3 ) ` , जिसका स्थिति सदिश ` vecr = 2hati +hatj + 3hatk ` है, से होकर जाता है | अतः r का मान समीकरण (3 ) में रखने पर, ` ( 2hati + hatj + 3 hatk ) * [ ( 2 + 2lamda ) hat i + ( 2 + 5lamda ) hatj + ( 3 lamda - 3 ) hatk ] = 9 lamda + 7 ` ` rArr 2 ( 2 + 2lamda ) + ( 2 + 5lamda) + 3 ( 3lamda -3 ) = 9lamda + 7 ` `rArr ( 4 + 4 lamda ) + ( 2 + 5lamda ) + ( 9lamda - 9 ) = 9 lamda + 7 ` `rArr - 3 + 18 lamda = 9 lamda + 7 ` ` rArr 9 lamda = 10 rArr lamda = ( 10 ) /(9) ` ` therefore ` समतल का समीकरण ` [ vecr * ( 2 hati + 2hati - 3 hatk ) - 7 ] + ( 10 ) /(9) [ vecr* ( 2hati + 5hatj + 3hatk ) - 9]=0 ` `rArr vecr * ( 18hati +18 hatj -27hatk + 20 hati + 50 hatj + 30 hatk ) - 63 -90 =0 ` ` rArr vecr * ( 38 hati + 68 hatj + 3hakt ) - 153 = 0 ` ` rArr vecr * ( 38 hati + 68 hatj + 3hat ) = 153 ` जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है | |
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| 168. |
x-अक्ष के समान्तर तथा समतल `vecr.(hati+hatj+hatk)=1` व `vecr.(2hati+3hatj-hatk)+4=0` के प्रतिच्छेद रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» प्रशानुसार `vecr.(hati+hatj+hatk)=1 " "...(1)` तथा `vecr.(2hati+3hatj-hatk)+4=0" "...(2)` माना `vecr.xhati+yhatj+zhatk` तब समीकरण (1) व (2) से `vecr.(hati+hatj+hatk)=1` `rArr (xhati+yhatj+zhatk)(hati+hatj+hatk)=1` `rArr x+y+z-1=0 " "....(3)` व `vecr.(2hati+3hatj-hatk)+4=0` `rArr (xhati+yhatj+zhatk)(2hati+3hatj-hatk)4=0` `rArr 2x+3y-z+4=0 " "...(4)` अब दिये गये समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण `(x+y+z)-1)+lambda(2x+3y-z+4)=0` जहाँ `lambda` एक वास्तविक संख्या है। `rArr (1+2lambda)x+(1+3lambda)y+(1-lambda)z+(1+4lambda)=0 " "...(5)` `:.` समतल के दिक् अनुपात `(1+2lambda),(1+3lambda),(1-lambda)` तथा x-अक्ष के दिक् अनुपात `(1,0,0)` है। `rArr 1xx(1+2lambda)0xx(1+3lambda)+0xx(1-lambda)=0` `rArr 1+2lambda=0` `rArr lambda=-(1)/(2)` `lambda` का यह मान समीकरण (5) में रखने पर `(1-1)x+(1-(3)/(2))y+(1+(1)/(2))z+(-1-2)=` `rArr (-y)/(2)+(3z)/(2)-3=0` `rArr y-2z+6=0` यही समतल की अभीष्ट समीकरण है। |
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| 169. |
समतलों ` vec r * ( 2hati - 7hatj + 4 hatk ) ` = 3 और ` vecr * ( 3hati - 5 hatj + 4 hatk ) + 11 = 0 ` के प्रतिच्छेदन और बिंदु ` ( 2 hati + hatj + 3hatk ) ` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( 15 hati - 47hatj + 28hatj ) = 7 ` |
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| 170. |
सिद्ध कीजिए कि बिंदु ` ( 2, - 4, 5 ) ` तथा समतलों ` vecr * ( 2hati + 3hatj - 4hatk ) =1 ` एवं ` vecr * ( 3hati + hatj - 2hatk ) ` = 2 की प्रतिच्छेदन रेखा पर लम्ब समतल का समीकरण ` vecr * ( 2hati + 8hatj + 7 hatk ) = 7 ` है | |
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Answer» Correct Answer - ` vec r * ( hati + 2hatj - 3hatk ) = 0 ` |
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| 171. |
समतलो ` x - 3y + 2z - 5 = 0 ` और `2x - y + 3z - 1 = 0 ` के प्रतिच्छेदन और बिंदु ` ( 1, - 2, 3 ) ` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` x + 7y+ 13 = 0 ` |
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| 172. |
सिद्ध कीजिए की बिन्दु (3,-1,1) तथा समतल `vecr.(2hati-3hatj+hatk)=5` तथा `vecr.(hati+5hatj-2hatk)=1` की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण `vecr.(3hati+2hatj-hatk)=6` है। |
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Answer» समतल का व्यापक समीकरण `[vecr*(2hati-3hatj+hatk)-5]+lambda[vecr.(hati+5hatj-2hatk)-1]=0` `rArr vecr.[(2hati-3hatj+hatk)+lambda(hati+5hatj-2hatk)]=5+lambda` `rArr vecr.[(2+lambda)hati-(3-5lambda)hatj+(1-2lambda)hatk]=5+lambda" "..(1)` बिन्दु (3,-1,1)का स्थिति सदिश `=3hati-hatj+hatk` `:.` समतल इस बिन्दु से होकर जाता है इसलिए `vecr=3hati-hatj+hatk` समी (1) को संतुष्ट करेगा। अतः `(3hati-hatj+hatk)*[(2+lambda)hati-(3-5lambda)hatj+(1-2lambda)hatk]=5+lambda` `rArr 3(2+lambda)+(3-5lambda)+(1-2lambda)=5+lambda` `rarr 6+3lambda+3-5lambda+(1-2lambda)=5+lambda` `rArr 6+3+1-5=lambda-3lambda+5lambda+2lambda` `rArr 5lambda=5` अथार्त `lambda=1` `lambda` का यह मान समी (1) में रखने पर, समतल का अभीष्ट समीकरण `vecr.[(2+1)hati-(3-5)hatj+(1-2)hatk]=5+1` `rArr vecr.(3hati+2hati-hatk)=6` |
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| 173. |
बिंदु ` ( 1, 2 , 3 ) ` से जाने वाली तथा तल ` vecr * ( hati + 2 hatj - 5hatk ) + 9 = 0 ` पर लंबवत रेखा का सदिश समिकस्रान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिया गया समतल निम्न है, ` vecr* ( hati + 2hatj -5 hatk ) + 9 = 0 ` इसका कार्तीय समीकरण ` x + 2y - 5z + 9 = 0 ` है | समतल के लंबवत रेखा के दिक् अनुपात ` (1, 2, - 5 ) ` है यदि यह रेखा बिंदु ` ( 1, 2, 3 ) ` से होकर जाती है, तब रेखा की समीकरण निम्न है, ` ( x - 1 ) /(1) = ( y - 2 ) /(2) = ( z - 3 ) /(-5) ` उपरोक्त समीकरण सदिश रूप निम्न है, ` vecr = ( hati +2hatj + 3 hatk ) +lamda ( 1 hati + 2hatj - 5 hatk ) ` जहाँ, ` lamda ` वास्तविक संख्या है | |
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| 174. |
बिंदु ` ( 1, - 3, -2 ) ` से होकर जाने वाले और समतलों ` x + 2y + 2z = 5 ` और `3x + 3y + 2z = 1 ` में से प्रत्येक के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` 2x - 4y + 3z = 8 ` |
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| 175. |
बिंदु `(0, 0, 0 ) ` से होकर जाने वाले और संतलो `x + 2y - z = 1 ` और ` 3 x - 4y + z = 5 ` में से प्रत्येक के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` x + 2y + 5z = 0 ` |
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| 176. |
बिंदु ` ( 2, 2, 1 ) ` और ` ( 9, 3, 6) ` से होकर जाने वाले और समतल ` 2 x + 6y + 6z = 3 ` के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` 3 x + 4y - 5 z = 9 ` |
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| 177. |
तलों ` x + y + z = 0 ` और ` 2 x + 3y + 4z = 5 ` के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल `x - y + z = 0 ` पर लंबवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना समतलो ` x + y + z = 1 ` और ` 2x + 3y + 4z = 5 ` के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ` ( x + y + z - 1 ) + lamda ( 2 x + 3y + 4z - 5 ) = 0 ` `rArr x ( 2lamda + 1 ) +y ( 3lamda + 1 ) + z ( 4lamda + 1 ) - ( 1 + 5lamda ) = 0 ` ... (1) यह समतल ` x -y + z = 0 ` पर लम्ब है | ` therefore 1 ( 2lamda + 1 ) - 1 ( 3lamda + 1 ) + 1 ( 4 lamda + 1 ) = 0 ` ` rArr 2lamda + 1 - 3 lamda - 1 + 4lamda + 1 = 0 ` ` rArr lamda = ( - 1 ) /(3) ` ये मान समीकरण (1 ) में रखने पर ` x ( ( - 2 ) /(3) + 1 ) + y ( - 1 + 1 ) z ( - ( 4 ) /(3) + 1 ) - ( 1 - ( 5) /(3) ) = 0 ` ` rArr x - z + 2 = 0` |
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| 178. |
बिंदु ` ( - 1, -5, - 10 ) ` से रेखा ` vecr = 2hati - hatj + 2 hatk + lamda ( 3hati + 4hatj + 2hatk ) ` और समतल ` vecr * ( hati - hatj+ hatk ) = 5 ` के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दुरी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दी गई रेखा का समीकरण निम्न है, ` vecr = 2hati - hatj + 2hatk + lamda ( 3hati + 4hatj + 2hatk ) ` ... (1) तथा समतल का समीकरण निम्न है, ` vecr * ( hati - hatj + hatk ) = 5 ` ... ( 2 ) समीकरण (1 ) तथा (2 ) के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए ` [ 2 hati - hatj + 2hatk +lamda ( 3hati + 4hatj + 2hatk ) ] * ( hati - hatj + hatk ) = 5 ` ` rArr 2 + 1 + 2 + lamda ( 3 - 4 + 2 ) = 5 ` ` rArr 5 + lamda = 5 rArr lamda = 0 ` `rArr 5 + lamda = 5 rArr lamda = 0 ` ` lamda = 0 ` समीकरण (1 ) में रखने पर, ` vecr = 2hati - hatj + 2 hatk ` तथा ` vec r ` बिंदु ` ( 2, -1, 2 ) ` का स्थिति सदिश है | बिंदुओं ` ( - 1, - 5, - 10 ) ` तथा ` ( 2 , - 2, 2 )` का स्थिति सदिश है | बिंदुओं ` ( - 1, - 5, - 10 ) ` तथा ` ( 2, - 1, 2 ) ` के बीच दी दुरी ` = sqrt ( ( - 1 - 2 ) ^(2) + ( - 5 + 1 ) ^(2) + ( - 10 - 2 ) ^(2)) ` ` = sqrt ( 9 + 16 + 144 ) = sqrt ( 169) = 13 ` इकाई |
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| 179. |
बिंदु ` ( 1, 2 , 3 ) ` से जाने वाली तथा समतलों ` vecr * ( hati - hatj + 2hatk ) = 5 ` और ` vecr * ( 3hati + hatj + hatk ) = 6 ` के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना अभीष्ट रेखा का समीकरण सदिश ` vecb = b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ` के समांतर है | बिंदु ` ( 1, 2, 3 ) ` का स्थित सदिश ` veca = hati + 2hatj + 3hatk ` है | बिंदु ` ( 1, 2, 3 ) ` से होकर जाने वाली तथा सदिश b के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है, ` vecr = veca + lamda vecb ` ` therefore vecr = ( hati + 2 hatj + 3hatk ) + lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) ` ... (1) दिए गए समतल के समीकरण निम्न है , ` vecr ( hati - hatj + 2hatk ) = 5 " " ` ... ( 2) तथा ` vecr *( 3hati + hatj + hatk ) = 6 " " ` ... (3) चूँकि (1 ) तथा समतल (2 ) समांतर है, अतः रेखा (1 ) समतल के अभिलम्ब के लंबवत होगी | ` therefore ( hati - hatj + 2hatk ) * lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) = 0 ` ` rArr lamda ( b _ 1 - b _ 2 + 2 b _ 3 ) = 0 ` ` rArr ( b _ 1 - b _ 2 + 2 b_ 3 ) = 0 ` ... (4) इसी प्रकार, ` ( 3hati + hatj + hatk ) * lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) = 0 ` ` rArr lamda ( 3 b _ 1 + b _ 2 + b _ 3 ) = 0 ` ` rArr ( 3 b _ 1 + b _ 2 + b _ 3) = 0 ` ... (5) समीकरण (4 ) तथा (5 ) से, ` ( b _ 1 ) /(( - 1 ) xx 1 - 1 xx 2 ) = ( b _ 2 ) /( 2xx 3 - 1 xx 1 ) = ( b _ 3 ) /( 1 xx 1 - 3 ( - 1 )) ` ` rArr ( b _ 1 ) /( - 3 ) = ( b _ 2 )/( 5 ) = ( b _ 3 ) /(4) ` b के दिक् अनुपात ` - 3, 5 ` तथा 4 है | ` therefore vecb = b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk = - 3hati + 5hatj + 4hatk ` b का मान समीकरण (1 ) में रखने पर, ` vecr = ( hati + 2hatj + 3hatk ) + lamda ( - 3hati + 5hatj + 4hatk ) ` जोकि अभीष्ट रेखा का समीकरण है | |
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| 180. |
यदि O मूलबिंदु तथा बिंदु P के निर्देशांक ` ( 1, 2 , - 3 ) ` है तो बिंदु P से जाने वाले तथा OP के लंबवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» O तथा P के निर्देशांक क्रमशः ` (0, 0, 0 ) ` तथा ` ( 1,2, -3 ) ` है | अतः OP के दिक् अनुपात निम्न है, ` (1-0 ) = 1 , ( 2 - 0 ) = 2 ` तथा ` ( -3 - 0 ) = - 3 ` यहाँ समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात 1 , 2 तथा -3 है तथा बिंदु ` P ( 1, 2, -3 ) ` है, तब समतल का समीकरण, ` ( x - 1 ) 1 + ( y - 2 ) 2 + ( z + 3 ) ( - 3 ) = 0 ` `rArr x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0 ` ` rArr x + 2y - 3z - 14 = 0 ` |
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| 181. |
एक एकांक सदिश के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए जो समतल `vecr.(6hati-3hatj-2hatk)+6=0` के लंम्बवत है तथा मुलबिन्दु से होकर जाता है। |
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Answer» दिया है : `vecr,.(6hati-3hatj-2hatk)+6=0` `rArr vecr.(-6hati+3hatj+2hatk)=6" "....(1)` तथा `|-6hati0+3hatj+2hatk|=sqrt(36+9+4)=sqrt(49)=7` समीकरण (1) के दोनों पक्षों को (7) से भाग करने पर `vecr.((-6)/(7)hati+(3)/(7)hati+(2)/(7)hatk)=(6)/(7)` जो की `vecn.hatn=d` के रूप में समतल का समीकरण है। अतः स्पष्तः है की `hatn=(-6)/(7)hati+(3)/(7)hatj+(2)/(7)hatk` एक एकांक सदिश है जो दिए गए समलत के लम्मवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाती है । |
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| 182. |
समतल ` x + y - z = 1 ` में समतल के अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ और मुलबिन्दु से लम्ब दुरी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - दिक् कोज्याएँ ` ( 1) /(sqrt3 ) , ( 1 ) /(sqrt3 ), - ( 1 ) /(sqrt3) ` , लम्ब दूरी = ` ( 1 ) /(sqrt3 ) ` |
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| 183. |
समतल ` x =2 ` में समतल के अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ और मुलबिन्दु से लम्ब दुरी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - दिक् कोज्याएँ ` = 1, 0, 0 `, लम्ब दूरी = 2 |
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| 184. |
समतल ` x + 2y - 2z + 6 = 0 ` को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए | मुलबिन्दु से इस पर लम्ब की माप तथा अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` - ( 1 ) /(3) x - ( 2 ) /(3) y + ( 2 ) /(3) z = 2`, दिक् कोज्याएँ ` - ( 1 ) /(3) , - ( 2 ) /(3 ) , (2 ) /(3) ` और लम्ब की माप = 2 मात्रक |
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| 185. |
एक समतल सदिश समीकरण `vec r * ( 6hati - 3hatj - 2hatk ) + 2 = 0 ` है | इसको अभिलम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए | इस पर मुलबिन्दु से डाले गए लम्ब सदिश की दिक् - कोज्या और लम्ब की माप ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( - (6) /(7) hati + (3) /(7) hatj + ( 2) /(7) hatk ) = ( 2) /(7) ` , दिक् कोज्या ` (-6) /(7 ) , (3) /(7), ( 2) /(7) `, लम्ब की माप = `(2 )/(7 ) ` मात्रक |
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| 186. |
समतल ` 2x + 3y - z = 5 ` को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए इस पर मुलबिन्दु से डाले गए लम्ब की माप और समतल पर अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» समतल का समीकरण ` 2x + 3y - z = 5 ` दोनों पक्षों को ` sqrt ( 2 ^(2 ) + 3 ^(2) + (-1) ^(2)) = sqrt (14) ` से भाग देने पर ` (2)/(sqrt(14)) x + (3)/(sqrt(14)) y - (1)/(sqrt(14)) z = (5)/(sqrt(14)) ` जो समतल का अभीष्ट लम्ब रूप है | मुलबिन्दु से डाले गए लम्ब की माप ` = (5)/(sqrt(14)) ` और अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ = ` (2)/(sqrt(14)), (3)/(sqrt(14)), - (1)/(sqrt(14)) ` |
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| 187. |
एक 6 मात्रक परिमाण का सदिश OX , OY और OZ - अक्षो से समान कोण बनाता है | वह सदिश ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना सदिश ` vecr ` है | यह सदिश ` OX, OY, OZ ` - अक्षो से समान कोण बनाता है | ` therefore l = m = n ` अब ` l ^(2) + m ^(2) + n ^(2) = 1 ` से, ` l ^(2) + l ^(2) + l ^(2) = 1 ` ` rArr 3l ^(2) = 1 ` ` rArr l = pm (1)/(sqrt3) ` ` therefore vecr = |vecr|*( l hati + l hatj + l hatk ) ` ` = 6 (pm (1)/(sqrt3) hati pm (1)/(sqrt3)hatj pm (1)/(sqrt3)hatk ) ` ` = 2 sqrt3 (pm hati pm hatj pm hatk ) ` |
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| 188. |
रेखाओं `vecr=(hati-hatj)+lambda(2hati-ahatk)` तथा `vecr=(2hati-hatj)+mu(hati-hatj-hatk)` के बीच की न्यूतम दुरी ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(sqrt(14))/(14)` | |
| 189. |
एक रेखा x - अक्ष, y - अक्ष और z - अक्ष की धनात्मक दिशा में क्रमशः ` 30 ^(@), 120^(@) ` और ` 90 ^(@) ` के कोण बनाती है | इसकी दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना दिक् कोज्याएँ ` l, m, n ` है | ` therefore l = cos 30 ^(@) = (sqrt3)/(2) ` `m = cos 120 ^(@) = - cos 60^(@) = - (1)/(2) ` ` n = cos 90^(@) = 0 ` ` therefore ` दिक् कोज्याएँ ` (sqrt3)/(2), - (1)/(2) , 0` है | |
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| 190. |
बिन्दु (1,8,4) से बिन्दु (1,-1,3) तथा बिन्दु को मिलाने वाली रेखा पर डाले गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `((-5)/(3),(2)/(3),(19)/(3))` | |
| 191. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (2,2,1) तथा (9,3,6) से होकर जाता है तथा समतल 2x+6y+6z−1 =0 के लंबवत है। |
| Answer» Correct Answer - `3x+4y-5z=9` | |
| 192. |
बिंदुओं ` (3, - 4, 6) ` और (5, 2 , 5 ) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात और दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» बिंदुओं ` A (3, - 4, 6 ) ` और ` B (5, 2 , 5 ) ` को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` a = x _ 2 - x_1, b = y _2 - y_1 , c = z _ 2 - z _ 1 ` ` a = 5-3 , b = 2 + 4 , c = 5 - 6 ` ` rArr a = 2, b = 6, c = - 1 ` अब ` AB = sqrt ( 2 ^(2) + 6 ^(2) + (-1) ^(2)) = sqrt ( 41 ) ` ` therefore ` रेखा की दिक् कोज्याएँ ` = (2)/(sqrt(41)), (6)/(sqrt(41) ), (-1)/(sqrt(41)) ` |
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| 193. |
दिखाइए कि रेखाएं ` (x - 4 )/(1) = ( y + 3 )/(-4) = (z + 1 )/( 7 ) ` और ` (x - 1 )/(2) = ( y + 1 )/(-2) = (z + 10 )/(8) ` परस्पर प्रतिच्छेद करती है | प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिये | |
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Answer» माना ` (x -4)/(1) = ( y +3) /(-4 ) = (z + 1 )/(7) = lamda ` इस रेखा पर कोई बिन्दु A है, तो A के निर्देशांक ` A (lamda + 4 , - 4lamda - 3, 7 lamda - 1 ) ` पुनः माना ` (x - 1 )/( 2 ) = ( y + 1 )/(-3) = (z + 10 )/(8) = mu ` इस रेखा पर कोई बिन्दु B है , तो B के निर्देशांक ` B ( 2mu + 1 , - 3 mu -1 , 8 mu - 10 ) ` यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती है, तो दोनों रेखाओं में एक बिन्दु उभयनिष्ठ होगा | यदि A और B बिन्दु संपाती है , तो ` lamda + 4 = 2 mu + 1 rArr lamda = 2 mu - 3 " " `... (1) ` - 4lamda - 3 = - 3mu -l rArr 4 lamda = 3 mu - 2 " " ` ... ( 2 ) ` 7 lamda - 1 = 8 mu - 10 rArr 7lamda = 8 mu - 9 " " `... (3) समीकरण (1 ) और (2 ) से ` lamda =1 " " mu = 2 ` समीकरण (3 ) इन मानो से संतुष्ट होती है | अतः दी गई रेखाये परस्पर प्रतिच्छेद करती है | प्रतिच्छेद बिन्दु = ` A(lamda + 4, -4 lamda - 3, 7 lamda - 1 ) ` ` = A (5, - 7, 6 ) ` |
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| 194. |
दिखाइए कि बिन्दु ` (2, 3, 4), (-1, -2, 1 ) ` और `(5, 8, 7) ` संरेख है | |
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Answer» माना बिन्दु `A (2, 3, 4 ), B ( - 1, -2, 1 ) ` और ` C ( 5, 8, 7 ) ` है | A और B को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` - 1-2, -2-3, 1-4 = -3, -5, -3 ` B और C को मलने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` 5 + 1, 8 + 2 , 7 -1 = 6, 10 , 6 ` ` because ` AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती है | ` therefore ` AB और BC समान्तर रेखायें है | परन्तु इनमे बिन्दु B उभयनिष्ट है | अतः A, B और C संरेख बिन्दु है | |
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| 195. |
दो रेखाओं जिनके सदिश समीकरण `vecr=(hati+2hatj+hatk)+lambda(hati-hatj+hatk)` और `vecr=(2hati-hatj-hatk)+mu(2hati+hatj+2hatj)` है, के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दी गयी समीकरणों की तुलना `vecr=veca_(1)+lambda vecb_(1)` व `vecr=veca_(a)+mu vec b_(2)` से करने पर `veca_(1)=(hati+2hatj+hatk) " " vecb_(1)=(hati-hatj+hatk)` `veca_(2)=(2hati-hatj-hatk)` व `vecb_(2)=(2hati+hatj+2hatk)` `:. veca_(2)-veca_(1)=(2hati-hatj-hatk)-(hati+2hatj+hatk)=(hati-3hatj-2hatk)` तथा `vecb_(1)xxvecb_(2)=|{:(hati,hatj,hatk),(1,-1,1),(2,1,2):}|` `=(-2-1)i-(2-2)hatj+(1+2)hatk` `=(-3hati+3hatk)` `|vecb_(1)xxvecb_(2)|=sqrt((-3)^(2)+3^(2))=sqrt(18)=3sqrt(2)` इसी प्रकार अभीष्ट न्यूनतम दुरी `=|((vecb_(1)xxvecb_(2))*(veca_(2)-veca_(1)))/(|vecb_(1)xxvecb_(2)|)|` `=(|(-3hati+3hatk)*(hati-3hatj-2hatk)|)/(3sqrt(2))=(|(-3-0-6)|)/(3sqrt(2))` `=(|-9|)/(3sqrt(2))=(9)/(3sqrt(2))=(3sqrt(2))/(2)` इकाई |
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| 196. |
माना किसी रेखा का कार्तीय समीकरण `6x-2y+1=2z-2` है। तब (i) रेखा के दिक् अनुपात तथा (ii) बिन्दु (2,-1,-1) से होकर जाने वाली रेखा तथा इस रेखा के समान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» (i) दी गयी रेखा का समीकरण `6x-2=3+1=2z-2` `rArr 6(x-(1)/(3))=3(y+(1)/(3))=2(z-1)` `rArr ((x-(1)/(3)))/(1)=((y+(1)/(3)))/(2)=((z-1))/(3)" "...(1)` समीकरण (1) की तुलना `((x-x_(1)))/(a)=((y-y_(1)))/(b)=((z-z_(1)))/(c)` से करने पर रेखा के दिक् अनुपात `a=1,b=2,c=3` (ii) बिन्दु P(2,-1,1) से होकर जाने वाली तथा दी गयी रेखा के समान्तर रेखा का कार्तीय समीकरण `(x-2)/(1)=(y+1)/(2)=(z+1)/(3)` है। सदिश समीकरण ज्ञात करने के लिए माना P स्थिति सदिश `veca=2hati-hatj-hatk` तथा `vecb=hati+2hatj+3hatk` है। `:.` रेखा का अभीष्ट समीकरण `vecr=veca+t vecb` `rArr vec r=(2hati-hatj-hatk)+t(hati+2hatj+3hatk)` |
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| 197. |
बिंदु P(-1,-5,-10) की समतल `x-y+z=5` तथा बिंदु A(2,-1,2) तथा बिंदु B(5,3,4) को मिलाने वाली रेखा के प्रतिच्छेद बिंदु की दुरी ज्ञात कीजिए । |
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Answer» दिया गया समीकरण `x-y=5 " "...(1)` रेखा AB का समीकरण `(x-2)/(5-2)=(y+1)/(3+1)=(z-2)/(4-2)` `rArr (x-2)/(3)=(y+1)/(4)=(z-2)/(2)=lambda` (माना) `" "....(2)` माना समतल (1) तथा रेखा (2) का प्रतिच्छेद बिंदु Q है। `lambda` के किसी मान के लिए `Q-=Q(3lambda+2,4lambda-1,2lambda+2)` तब `(3lambda+2)-(4lambda-1)+(2lambda+2)=5` `rArr lambda=0` `:. Q-=Q(2,-1,1)` इसलिए `PQ=sqrt((2+1)^(2)+(-1+5)^(2)+(2+10)^(2))` `=sqrt((3)^(2)+(4)^(2)+(12)^(2))` ` sqrt(9+14+144)=sqrt(169)=13` इकाई |
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| 198. |
यदि बिन्दु `A(-1, 3, 2), B(-4,2, -2 )` और `C(5, lamda, 10) ` संरेख है , तो `lamda ` का मान ज्ञात कीजिये | |
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Answer» A और B बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ` (x + 1 )/(-4 - (-1)) = (y - 3 )/( 2- 3 ) = (z- 2 )/(-2-2) ` ` rArr (x + 1 )/(-3) = (y - 3)/(-1) = (z - 2 )/( - 4 ) ` ` rArr ( x + 1 ) / ( 3) = ( y - 3)/( 1 ) = ( z - 2 )/(4)" " ` ... (1) ` because ` A , B और C बिन्दु संरेख है | ` therefore ` C बिन्दु रेखा (1 ) पर स्थित होगा | ` therefore " " ( 5 + 1 )/( 3) = (lamda - 3)/( 1 ) = ( 10 - 2 )/(4) ` `rArr " " 2 = lamda - 3 = 2 ` ` rArr lamda = 5 ` |
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| 199. |
बिन्दुओं (-1,1,1) तथा (1,-1,1) से जाने वाले तथा समतल `` पर लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `2x+2y-3z+3=0` | |
| 200. |
बिन्दु (1,8,4) से बिन्दुओं (0,-1,3) तथा (2,-3,-1) को मिलाने वाली रेखा पर डाले गये लम्ब पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `((-5)/(3),(2)/(3),(19)/(3))` | |