InterviewSolution
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| 51. |
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल `x+2y-2z+18=0` के समांतर है और इसमें से प्रत्येक,बिंदु (2 ,1 ,1 ) से 3 मात्रक दुरी पर है| |
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Answer» माना समतल `x+2y-2z+18=0` के समांतर समतल का समीकरण ` " " x+2y-2z+lambda =0` बिंदु (2 ,1 ,1 )से इस समतल पर लंम्ब दुरी ` " " =| (2+2-2lambda)/(sqrt(1+4+4))|=|(lambda+2)/(3)|` प्रश्नानुसार `|(lambda+2)/(3)|=3` ` rArr " " (lambda +2)/(3)=+-3` ` rArr " " lambda +2=+-9` ` rArr " " lambda =7` या `" " lambda =-11` ये मान समीकरण (1 )में रखने पर समतलों के अभीष्ट समीकरण ` x+2y-2z+7=0` ` " " या x+ 2y -2z- 11=0` |
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| 52. |
निम्नलिखित संतलो के करतीय समीकरण ज्ञात कीजिए - (i) ` vecr * ( 2 hati+ hatj - hatk ) = 3 ` (ii) ` vecr * ( hati + 3hatj + 2hatk ) + 1 = 0 ` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` 2x + y - z = 3 ` (ii) ` x + 3y + 2z + 1 = 0 ` |
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| 53. |
निम्नलिखित संतलो के सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए - (i) ` 6x + 7y - z = 12 ` (ii) ` x + 2y + 3z +5 = 0 ` |
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Answer» Correct Answer - (i) ` vecr* ( 6hati + 7hatj - hatk ) = 12 ` (ii) ` vecr * ( hati + 2hatj + 3hatk ) + 5 = 0 ` |
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| 54. |
बिन्दु (1,2,3) तथा (-1,4,2) को मिलाने वाली रेखा का उस रेखा पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए। जिसके दिक् अनुपात `2,3-6` है। |
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Answer» Correct Answer - `(8)/(7)` माना `A=(1,2,3),B(-1,4,2)` दी गयी समीकरण के दिक् अनुपात `=2,3,-6` तथा `sqrt(2^(2)+3^(2)(-6)^(2))=7` रेखा AB कि दिक् कोज्यायें `=(2)/(7),(3)/(7),(-6)/(7)` `:.` प्रक्षेप `=l(x_(2)-x_(1))+m(y_(2)-y_(1))+n(z_(2)-z_(1))` |
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| 55. |
एक रेखा का कार्तीय समीकरण `(x-5)/(3)=(y+4)/(7)=(z-6)/(2)` है, इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए |
| Answer» Correct Answer - `vecr=5hati-4hatj+6hatk+lambda(3hati+7hatj+2hatk)` | |
| 56. |
निम्न रेखायुग्मों के बीच की न्यूतम दुरी ज्ञात कीजिए- (i) `vecr=(hati+hatj)+lambda(2hati-hatj+hatk)` तथा `vecr=(2hati+hatj-hatk)+mu(3hati-5hatj+2hatk)` (ii) `vecr=(1-t)hati+(t-2)hatj+(3-2)hatk` तथा `vec r=(s+1)hati+(2s-1)hatj-(2s+1)hatk` |
| Answer» Correct Answer - (i) `(10sqrt(59))/(59)` इकाई (ii) `(8sqrt(29))/(29)` इकाई | |
| 57. |
उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनक दिक् कोज्याये निम्न समीकरणों द्वारा दी गयी है- `3l+m+5n=0,6mn-2nl+5lm=0` |
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Answer» दिया है `3l+m+5n=0 " "....(1)` `6mn-2nl+5lm=0" "...(2)` समीकरण (1) से, `m=-3l-5n` m का यह मान समीकरण (2) में रखने पर `6(-3l-5n)n-2nl+5l(-3l-5n)=0` `rArr 30n^(2)+45ln+15l^(2)=0` `rArr 2n^(2)+3ln+l^(2)=0` `rArr (n+1)(2n+l)=0` `rArr n=-l` या `n=-(1)/(2)` यदि `l=-n` तब समीकरण (1) से `m-2n` यदि `l=-2n` तब समीकरण (2) से m=n `:.` दो रेखाओं के दिक् अनुपात `-n,-2n` व n के समानुपाती होंगे। अथार्त `1,2-1` व `-2,1,1` अभीष्ट दिक् अनुपात है। उपरोक्त दिक् अनुपातों के समान्तर सदिश `veca= hati+2hatj-hatk` व `vecb=-2hati+hatj+hatk` माना `veca` व `cecb` के बीच का कोण `theta` है, तब `cos theta=(veca*vecb)/(|veca|*|vecb|)=(-2+2-1)/(sqrt(1+4+1)*sqrt(4+1+1))=-(1)/(6)` `:. Theta = "cos"^(-1)(-(1)/(6))` |
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| 58. |
बिन्दु `(2,-1,3)` तथा `(4,2,5)` को मिलाने वाली रेखाखण्ड का उस रेखा पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए, जो निर्देशांक अक्षों से सामान न्यूनकोण बनाती है। |
| Answer» Correct Answer - `(7)/(sqrt(3))` | |
| 59. |
माना एक त्रिभुज के शीर्ष `(1-3,2),(2,3,5)` तथा `(3,5,-2)` है। तब उस त्रिभुज के कोणों के मान ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - `(pi)/(2),"cos"^(-1)sqrt((2)/(3))` | |
| 60. |
(i) सिद्ध कीजिए कि रेखायें जिनकी दिक् कोज्यायें `l+m+n=0` तथा `3lm-4mn+2nl=0` द्वारा दी गयी है , परस्पर लंबवत है, (ii) उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक् कोज्याये निम्न समीकरणों द्वारा दी गयी है- (a) `l+m+n=0,0,l^(2)+m^(2)-n^(2)=0` (b) `l+2m+3n=0,3lm-4ln+mn=0` |
| Answer» Correct Answer - (ii) (a) `(pi)/(3) (ii) (b) (pi)/(2)` | |
| 61. |
निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए- `vecr=(3hati+5hatj+7hatk)+lambda(hati-2hatj+7hatk)` तथा `vecr=-hati-hatj-hatk+mu(7hati-6-hatj-hatk)` |
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Answer» माना `veca_(1)=3hati+5hatj+7hatk,vecb_(1)=hati-2hatj+hatk` `a_(2)=-hati-hatj-hatk,vecb_(2)=7hati-hat6j+hatk` `:. veca_(1)-vecb_(1)=-4hati-6hatj-8hatk` तथा `vecb_(1)xxvecb_(2)=|{:(hati,hatj,hatk),(1,-2,7),(7,-6,1):}|=40hati+48hatj+8hatk` `rArr |vecb_(1)xxvecb_(2)|=sqrt((40^(2))+(48)^(2)+(8)^(2))=sqrt(3968)` अब `(veca_(2)-veca_(1))*(vecb_(1)xxvecb_(2))` `=(-4hati-6hatj-8hatk)*(40hati+48hatjj+8hatk)` `=(-4)(40)+(-6)(48)+(-8)(8)=-512` इसलिए, अभीष्ट न्यूनतम दुरी `=|(-512)/(sqrt(3968))|=(64)/(sqrt(62))` इकाई |
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| 62. |
सिद्ध कीजिए की सरल रेखायें जिनके दिक् कोज्यायें `al+bm+cn=0` तथा `fmn+gnl+hlm` द्वारा दी गयी है तो ये रेखायें एक-दूसरे के लंबवत होंगी यदि `(f)/(a)+(g)/(b)+(h)/(c)=0` और समान्तर होंगी यदि `a^(2)f^(2)+b^(2)g^(2)+c^(2)h^(2)-2bcgh-2cahf-2abfg=0` |
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Answer» समीकरण `al+mb+cn=0 " "....(1)` `fmn+gnl+hlm=0" "...(2)` समीकरण (1) से `n=(-(al+bm))/(c)` समीकरण (2) में यह मान रखने पर `fm{(-(al+bm))/(c)}+gl{(-(al+bm))/(c)}+hml=0` `rArr agl^(2)+(af+bg-ch)lm+bfm^(2)=0` `rArr ag((l)/(m))^(2)+(af+bg-ch)*((l)/(m))+bf=0` जो `((l)/(m))` में द्विघात है इसलिए इसके दो मूल `((l_(1))/(m_(1)))` तथा `((i_(2))/(m_(2)))` होंगे तथा `(l_(1))/(m_(1))xx(l_(2))/(m_(2))=(bf)/(ag)` `rArr (l_(1)l_(2))/(bf)=(m_(1)m_(2))/(ag)` `rArr (l_(1)l_(2))/(((f)/(a)))=(m_(1)m_(2))/(((g)/(b)))=(n_(1)n_(2))/(((h)/(c)))=lambda` सममित गुण से दी गयी रेखायें परस्पर लंबवत होंगी यदि `rArr l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2)=0` `rArr lambda((f)/(a)+(g)/(b)+(h)/(c))=0` `rArr (f)/(a)+(g)/(b)+(h)/(c)=0` दी गयी रेखायें समान्तर होंगी यदि मूल समान हो, तो `(af+bg-ch)^(2)-4abgf=0` `rArr a^(2)f^(2)+b^(2)g^(2)+c^(2)h^(2)-2bcgh-2cahf-2abfg=0` |
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| 63. |
`lambda` का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए दिये गये समतल `vecr*(hati+2hatj+3hatk)=13` तथा `vecr.(lambda hati+2hatj-7hatk)=9` परस्पर लंबवत है । |
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Answer» हम जानते है की समतल `vecn*vecn_(1)=d_(1)` तथा `vecr*vecn_(2)=d_(2)` एक-दूसरे के लंबवत है यदि `vecn_(1)*vecn_(2)=0` यहाँ `vecn_(1)=(hati+2hatj+3hatk)` तथा `vecn_(2)=(lambdahati+2hatj-7hatk)` तब दिये गये समतल परस्पर लंबवत होंगे । `hArr vecn_(1)*vecn_(2)=0` `rArr (hati+2hatj+3hatk)*(lambdahati+2hatj-7hatk)=0` `rArr 1xxlambda+2xx2+3xx(-7)=0` `rArr lambda=17` |
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| 64. |
दिखाइए की रेखायें जिसकी दिक् कोज्यायें `al+bm+cn=0` तथा `u l^(2)+vm^(2)+wn^(2)=0` द्वारा प्रदर्शित है, परस्पर लंबवत है यदि `a^(2)(v+w)+b^(2)(u+w)+c^(2)(u+v)=0` तथा समान्तर है यदि `(a^(2))/(u)+(b^(2))/(v)+(c^(2))/(w)=0` |
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Answer» `al+bm+cn=0" ".....(1)` `u l^(2)+vm^(2)+wn^(2)=0" ".....(2)` समीकरण (1) से l का मान रखने पर `l=(-(mb+cn))/(a)` समीकरण (2) में l का मान रखने पर `(u(bm+cn)^(2))/(a^(2))+vm^(2)+wn^(2)=0` `rArr (b^(2)u+a^(2)v)m^(2)+2ubcmn+(c^(2)u+a^(2)w)n^(2)=0` `rArr (b^(2)u+a^(2)v)((m)/(n))^(2)+2ubc((m)/(n))+(c^(2)u+a^(2)w)=0` जो `((m)/(n))` में द्विघात समाकरण है, तब इसके दो मूल `((m_(1))/(n_(1)))` तथा `((m_(2))/(n_(2)))` होंगे। इसलिए `(m_(1))/(n_(1))*(m_(2))/(n_(2))=(c^(2)u+a^(2)w)/(b^(2)u+a^(2)v)` `rArr (m_(1)m_(2))/(c^(2)u+a^(2)w)=(n_(1)+n_(2))/(b^(2)u+a^(2)v)` `rArr (m_(1)m_(2))/(c^(2)u+a^(2)w)=(n_(1)+n_(2))/(b^(2)u+a^(2)v)=(l_(1)l_(2))/(b^(2)w+c^(2)v)` (सममित गुण) `rArr l_(1)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)+n_(2)` `=lambda(b^(2)w+c^(2)v+c^(2)u+a^(2)w+b^(2)u+a^(2)v)` दी गयी रेखायें परस्पर लंवबत है यदि `l_(2)l_(2)+m_(1)m_(2)+n_(1)n_(2)=0` `rArr a^(2)(v+w)+b^(2)(w+u)+c^(2)(u+v)=0` तथा रेखायें समान्तर होंगी यदि मूल समान है तो `4y^(2)b^(2)c^(2)-4(b^(2)u+a^(2)v)(c^(2)u+a^(2)w)=0` `rArr (a^(2))/(u)+(b^(2))/(v)+(c^(2))/(w)=0` |
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| 65. |
निम्न रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए - `(i) vecr=(3hati+2hatj-4hatk)+lambda(hati+2hatj+2hatk)` तथा `vecr(5hati-2hatk)+mu(3hati+2hatj+6hatk)` (ii) `vecr=(2hati+hatj-2hatk)+lambda(hati-hatj-2hatk)` तथा `vecr= (3hati-hatj+5hatk)+mu(3hati-5hatj-4hatk)` (iii) `vecr=(2hati-5hatj+hatk)+mu(3hati-5hatj-4hatk)` तथा `vecr=(7hati-6hatk)+mu(hati+2hatj+6hatk)` |
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Answer» Correct Answer - `(i) cos^(-1)((19)/(21)) (ii) cos^(-1)((8sqrt(3))/(15)) (iii) cos^(-1)((19)/(21))` `cos theta =(vecb_(1)*vecb_(2))/(|vecb_(1)|*vecb_(2)|)` का प्रयोग कीजिए । |
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| 66. |
रेखायें जिनके दिक् अनुपात (1,1,2) तथा `(sqrt(3)-1,-sqrt(3)-1,4)` है, तो उन रेखाओं के बीच के कोण है-A. `30^(@)`B. `45^(@)`C. `60^(@)`D. `90^(@)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 67. |
उन रेखाओं के बीच का कोण जिनकी दिक् कोज्यायें समीकरण `l+m+n=0,l^(2)=m^(2)+n^(2) को संतुष्ट करते है-A. `(2pi)/(3)`B. `(pi)/(6)`C. `(5pi)/(6)`D. `(pi)/(3)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 68. |
`lambda` का मान ज्ञात कीजिए यदि दी गयी रेखायें परस्पर लंबवत है। `(x-5)/(5lambda+2)=(2y+1)/(4lambda)=(1-z)/(-3)` तथा `(x)/(1)=(2y+1)/(4lambda)=(1-z)/(-3)` |
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Answer» दी गयी समीकरण `(x-5)/(5lambda+2)=(2y+1)/(4lambda)=(1-z)/(-3)" "...(1)` तथा `(x)/(1)=(2y+1)/(4lambda)=(1-z)/(-3)" "...(2)` जबकि `a_(1)=5lambda+2,b_(1)=-5,c_(1)=1` तथा `a_(2),b_(2)=2lambda` तथा `c_(2)=3` रेखा (1) व (2) परस्पर लंबवत है। `:. a_(1)a_(2)+b_(1)b_(2)+c_(1)c_(2)=0` `(5lambda+2)xx+1(-5)xx(2lambda)+1xx3=0` `rArr 5lambda+2-10lambda+3=0` `rArr 5lambda=5lambda=1:. lambda=1` |
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| 69. |
सिद्ध कीजिए की बिन्दु, जिनके स्थित सदिश `5hati+5hatk+2hati+hatj+3hatk` तथा `-4hati+3hatj-hatk` है, संरेख है। |
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Answer» माना P,Q,R दिए गए बिन्दु है स्थिति सदिश क्रमशः `veca,vecb`, व `vecc` है। `:. veca=5hati+5hatk` `vecb=2hati+hatj+hatk` तथा `vecc=-4hati+3hatj-hatk` बिन्दु P व Q से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण `vecr=veca+lambda(vec(b)-vec(a))` `=(5hati+5hatk)+lambda(-3hati+hatj-2hatk) "...(1)` यदि तीनों बिन्दु संरेख है तो बिन्दु R समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा। इसलिए समीकरण (1) में `r=vecc=-4hati+3hatj-hatk` रखने पर `-4hati+3hatj-hatk=(5hati+hatk)+lambda(-3hati+hatj-2hatk)` समीकरण के दोनों और `hati,hatj,` व `hatk` के गुणांकों की तुलना करने पर `-4=-3lambda` `3=lambda` तथा `-1=5-2lambda` तीनों समीकरणों से `lambda` एक एक ही मान प्राप्त होता है । अतः P,Q बिन्दु R व संरेख है। |
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| 70. |
सिद्ध कीजिए की निम्न रेखायुग्म एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करता । `vecr=hati-hatj+lambda(2hati+hatk)` तथा `vecr=2hati-hatj+mu(hati+hatj-hatk)` |
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Answer» दी गयी समीकरणों की तुलना `vecr=veca+t vecb` से करने पर, `veca_(1)=hati-hatj,vecb_(1)=2hati+hatk` `veca_(2)=2hati-hatj,vecb_(2)=hati+hatj-hatk` `:. vea_(2)-veca_(1)=2hati-hatj-(hati-hatj)=hati` तथा `vecb_(1)xxvecb_(2)=|{:(hati,hatj,hatk),(2,0,1),(1,1,-1):}|=-hati+3hatj+2hatk` `|vecb_(1)xxvecb_(2)|=sqrt((-1)^(2)+3^(2)+2^(2))=sqrt(14)` ये सभी मान न्यूतम दुरी के निम्न सूत्र में रखने पर `d=|((veca_(2)-veca_(1))*(vecb_(1)xxvecb_(2)))/(|vecb_(1)xxvecb_(2)|)|` `=|(hati*(-hati+3hatj+2hatk))/(sqrt(14))|=|((-1)(1)+3(0)+2(0))/(sqrt(14))|` `=(1)/(sqrt(14)ne0` `:.` दोनों रेखाओं के बीच की न्यूतम दुरी शून्य नहीं है, इसलिए दोनों रेखायें एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती। |
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| 71. |
उस सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं जिनके स्थिति सदिश `hati-2hatj+hatk` तथा `3hatj-2hatj` है, से होकर जाती है । |
| Answer» Correct Answer - `vecr=hati-2hatj+hatk+lambda(-hati+2hatk)` | |
| 72. |
रेखाओं `(-x+2)/(-2)=(y-1)/(7)=(z+3)/(-3)` तथा `(x+2)/(-1)=(2y-8)/(2)=(z-5)/(4)` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» `(-x+2)/(-2)=(y-1)/(7)=(z+3)/(-3)" "....(1)` जहाँ `a_=2,b_(1)=7,c_(1)=-3` `(x+2)/(-1)=(2y-8)/(2)=(z-5)/(4)" "...(2)` `a_(2)=-1,b_(2)=2,c_(2)=4` माना दोनों रेखाओं के बीच कोण `theta` है। `cos theta=(|a_(1)a_(2)+b_(1)b_(2)+c_(1)c_(2)|)/(sqrt((a_(1)^(2)+b_(1)^(2)+c_(1)^(2)))sqrt((a_(2)^(2)+b_(2)^(2)+c_(2)^(2))))` `=(|2xx(-1)+7xx2(-3)xx4|)/(sqrt((2)^(2)+(7)^(2)+(-3)^(2))sqrt((-1)^(2)+(2)^(2)+_(4)))` `=(|(-2)+(14)+(-12)|)/(sqrt((62))sqrt((21)))=0` `cos theta =0 rArr =(pi)/(2)` दोनों रेखाओं के बीच `90^(@)` या `(pi)/(2)` का कोण होगा । |
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| 73. |
सिद्ध कीजिए की बिंदु जिनके स्थिति सदिश `(-2hati+3hatj+4hatk),(hati+2hatj+3hatk)` तथा `(7hati-hatk)` है, संरेख होंगे । |
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Answer» यहॉं बिन्दुओं के निर्देशांक `A(-2,3,5),B(1,2,3)` तथा `C(7,0,-1)` है। तब का AB समीकरण `(x+1)/(1+2)=(y-3)/(2-3)=(z-5)/(3-5)` `rArr (x+2)/(3)=(y-3)/(-1)=(z-5)/(-2)" "...(1)` `x7,y=0` तथा `z=-1` का मान समीकरण (1)में रखने पर `(7+2)/(3)=(-3)/(-1)=(-1-5)/(-2)` इसलिए बिंदु (7,0,-1) रेखा AB के समीकरण को संतुष्ट करते है । को संतुष्ट करते है। इसलिए बिंदु C , रेखा AB पर स्थित होगा । इसलिए हम कह सकते है की दिए गए बिंदु A,B तथा C संरेखीय है। |
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| 74. |
बिंदु (0 ,0 ,0 ) और (1 ,3 ,5 ) से होकर जाने वाली रेखा ` (x)/(-2) =(y)/(1)=(z+3)/(4)` के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» माना बिंदु (0 ,0 ,0 ) से होकर जाने वाला समतल ` a(x-0)+b(y-0) +c(z-0)=0` ` rArr " " ax+by +cz=0` ...(i ) यह समतल बिंदु (1 ,3 ,5 ) से होकर जाता है| `therefore " " a+3b+5c=0" " ...(ii) ` यह समतल रेखा `(x)/(-2)=(y)/(1)=(z+3)/(4)` के समांतर है| `therefore " " -2a+b+4c=0" "...(3)` समीकरण (2 )और (3 ) को वज्र गुणन विधि से हल करने पर `" " (a)/(12-5) =(b)/(-10-4) =(c)/(1+6) ` ` rArr " " (a)/(7)=(b)/(-14)=(c)/(7)` ` rArr " " (a)/(1)=(b)/(-2)=(c)/(1)=k ` (माना ) `therefore " " a=k,b=-2k,c=k ` समीकरण (1 ) में ये मान रखने पर ` " " kx-2ky +kz=0` ` rArr " " x-2y+z=0` जो समतल का अभीष्ट समीकरण है| |
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| 75. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा ` ( x + 1) / ( 2) = ( y + 1 ) / ( 3) = ( z + 5) /( 5) `, तल ` x - 2y + 3z = 8 ` को कटती है | |
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Answer» Correct Answer - ` ( 3, 5, 5) ` |
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| 76. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु ` (1, - 2, 4) ` से होकर जाता है और समतल ` 3x - y + 2z + 15 = 0 ` के समांतर है | |
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Answer» माना ` 3x - y + 2z + 15 = 0 ` के समांतर समतल का समीकरण ` 3 x - y + 2z = k ` यह समतल बिन्दु ` (1, - 2, 4)` से होकर जाता है ` therefore 3 + 2 + 8 = k ` `rArr k = 13 ` अतः समतल का समीकरण ` 3x - y + 2z = 13 ` |
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| 77. |
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु ` ( - 2, 4, - 5 ) ` से जाती है और ` ( x + 3) /(3 ) = ( y - 4) /( 5) = ( z + 8 ) /( 6 ) ` के समांतर है | |
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Answer» रेखा ` ( x + 3)/(3) = ( y - 4) /(5) = ( z + 8 ) /( 6) ` के दिक् अनुपात ` ( 3, 5 ,6 ) ` है | यहाँ रेखा ` ( - 2 ,4, - 5) ` से होकर जाती है और समांतर रेखा के दिक् अनुपात ` ( 3, 5 , 6 ) ` है | अतः रेखा की समीकरण, ` ( x - ( - 2 ) ) /( 3 ) = ( y - 4 ) /( 5) = ( z - ( - 5) ) /( 6 ) ` ` rArr ( x + 2) /(3) = ( y - 4) /(5) = ( z + 5) /(6) ` |
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| 78. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा ` ( x + 1 )/ ( 2 ) = ( y - 3) /(- 2 ) = ( z + 5) / ( 6 ) ` , तल `3 x - y + z = 3 ` को कटती है | |
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Answer» Correct Answer - ` ( 1, 1, 1 ) ` |
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| 79. |
बिंदु ` (0,0,0)` और बिंदु ` (3,-1,2 )` से होकर जाने वाले और रेखा `(x)/(1) =(y)/(-4) =(z)/(7)` के समातंर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` x - 19 y - 11z = 0 ` |
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| 80. |
बिंदु ` (2,1,-5)` से समतल `x+2y-2z-9=0` की लम्ब दुरी ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - `3 ` |
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| 81. |
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु `(1,2,3)` से होकर जाती है और ` x-y+2z=5 ` और ` 3x+y+z=6` के समांतर है| |
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Answer» Correct Answer - ` ( x - 1 ) /(-3 ) = ( y - 2) /(5) = ( z - 3) /(4 ) ` |
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| 82. |
बिंदु `(2,3,-4)` और बिंदु `(1,-1,3)` से होकर जाने वाले और x अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` 7y + 4z = 5 ` |
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| 83. |
बिंदु `(2hat i -hat j -4hat k )` के समतल ` overset to r .(3hati-4hatj +12hatk )=1` की लम्ब दुरी ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` 3 ` |
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| 84. |
बिंदु `(2,1,0)` से समतल ` 2x+y+2z+5=0` लम्ब की दुरी ज्ञात कीजिए |
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Answer» Correct Answer - ` ( 10) /(3) ` |
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| 85. |
एक रेखा का कार्तीय समीकरण ` ( x - 5) /(3) = ( y+ 4 ) /( 7) = ( z - 6) /(2) ` है | इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण ` ( x - 5) /(3) = ( y + 4 ) /( 7) = ( z - 6) /(2) ` उपरोक्त रेखा बिंदु ` ( 5, - 4, 6 ) ` से गुजरती है | इस बिंदु का स्थिति सदिश ` veca = 5 hati - 4hatj + 6 hatk ` है | तथा रेखा के दिक् अनुपात ` 3, 7 ` तथा 2 है जिसका तात्पर्य है कि रेखा सदिश ` vecb = 3hati + 7 hatj + 2 hatk ` के अनुदिश है | ` therefore ` रेखा का सदिश समीकरण ` therefore vecr = 5hati - 4hatj + 6hatk + lamda ( 3hati + 7hatj + 2hatk ) ` |
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| 86. |
बिंदु ` (2hati +hatj -hatk )` से समतल ` overset to r .(hati -2hatj +4hat k )=3 `की लम्ब दुरी ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` ( 7) /(sqrt(21))` |
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| 87. |
बिन्दु (4,3,-5) तथा (-2,1-8) से जाने वाले रेखा की दिक् अनुपात है।A. `(6)/(7),(2)/(7),(3)/(7)`B. 6,2,3C. `2,4,-13`D. इनमे से कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 88. |
एक रेखा का कार्तीय समीकरण ` ( x - 5) /(3) = ( y+ 4 ) /( 7) = ( z - 6) /(2) ` है | इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण ` ( x - 5) /(3) = ( y + 4 ) /( 7) = ( z - 6) /(2) ` उपरोक्त रेखा बिंदु ` ( 5, - 4, 6 ) ` से गुजरती है | इस बिंदु का स्थिति सदिश ` veca = 5 hati - 4hatj + 6 hatk ` है | तथा रेखा के दिक् अनुपात ` 3, 7 ` तथा 2 है जिसका तात्पर्य है कि रेखा सदिश ` vecb = 3hati + 7 hatj + 2 hatk ` के अनुदिश है | ` therefore ` रेखा का सदिश समीकरण ` therefore vecr = 5hati - 4hatj + 6hatk + lamda ( 3hati + 7hatj + 2hatk ) ` |
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| 89. |
दर्शाइए कि बिंदुओं ` ( 4, 7, 8) , ( 2, 3, 4) ` से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं ` ( - 1, - 2, 1 ) , ( 1, 2, 5 ) ` से जाने वाली रेखा के समांतर है | |
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Answer» बिंदुओं ` ( 4, 7 , 8 ) , ( 2 , 3 , 4 ) ` से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` a _1, b _ 1, c _ 1 = 2 - 4 , 3 - 7 , 4 - 8 ` ` = - 2, - 4 , - 4 ` बिंदुओं ` ( -1, -2, 1 ) , ( 1, 2 , 5 ) ` से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` a_ 2, b _2, c _ 2 = 1 + 1, 2 + 2 , 5 - 1 ` अब ` ( a_ 1 ) /( a _ 2 ) = ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c _1 ) /(c_ 2 ) ` अतः दोनों रेखाये समांतर है | |
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| 90. |
बिंदु ` (1,2,3)` से होकर जाने वाली और समतल `overset to r .(2hat i -3hat j +4hat k )=1 ` पर लम्ब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` vecr = ( hati + 2hatj + 3 hatk ) + lamda ( 2 hati - 3hatj + 4hatk ) ` |
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| 91. |
m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा ` overset to r =hati+lambda (2hati -mhat j -3hatk ),` समतल `overset to r (mhati +3hatj +hatk )=1` के समांतर है| |
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Answer» Correct Answer - ` m = - 3 ` |
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| 92. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं ` ( -2, 1 , 4) ` और ` ( 2, 0 , 3 ) ` से होकर जाने वाली रेखा yz - तल को कटती है | |
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Answer» Correct Answer - `(0, (1)/(2), ( 7) /(2)) ` |
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| 93. |
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं ` ( - 2, 1, 4 ) ` और ` ( 3, 5 , - 1) ` से होकर जाने वाली रेखा xy - तल को कटती है | |
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Answer» Correct Answer - ` ( ( 7 ) /(3), (11)/(3), 0 ) ` |
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| 94. |
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु `(3,5,-4),(-1,1,2)` और `(-5,-4,-2)` है। |
| Answer» Correct Answer - `(-2)/(sqrt(17)),(-2)/(sqrt(17)),(3)/(sqrt(17)),(-2)/(sqrt(17)),(-3)/(sqrt(17)),(-2)/(sqrt(17)),(4)/(sqrt(42)),(5)/(sqrt(42)),(-1)/(sqrt(42))` | |
| 95. |
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु `(-2,4,-5)` से जाती है और `(x+3)/(3)=(y-4)/(5)=(z+8)/(6)` के समान्तर है। |
| Answer» Correct Answer - `(x+3)/(3)=(y-4)/(5)=(z+5)/(6)` | |
| 96. |
समतलों ` vec r * ( hati + hatj + hatk ) = 6 ` और ` vecr * ( 2hati + 3 hatj + 4hatk ) - 5 = 0 ` के प्रतिच्छेद और बिन्दु ` (2,2,1) ` से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिए गए समतलों के प्रतिच्छेद रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण ` [ vecr* (hati + hatj + hatk ) - 6 ] + lamda [ vecr * ( 2 hati + 3 hatj + 4hatk ) - 5 ] = 0 ` ` rArr vecr*[(1 + 2 lamda ) hati + ( 1 + 3 lamda ) hatj + ( 1 + 4lamda ) hatk ] = 6 + 5 lamda ` यह बिन्दु ` ( 2, 2, 1 ) ` अर्थात ` ( 2hati + 2hatj + hatk ) ` से होकर जाता है | ` therefore ( 2 hati + 2 hatj + hatk ) * [( 1 + 2 lamda ) hati + ( 1 + 3 lamda ) hatj + ( 1 + 4lamda ) hatk ] = 6 + 5lamda ` ` rArr 2 ( 1 + 2 lamda ) + 2 ( 1 + 3 lamda ) + ( 1 + 4 lamda ) = 6 + 5 lamda ` ` rArr 2 + 4 lamda + 2 + 6 lamda + 1 + 4 lamda = 6 + 5 lamda ` ` rArr 9 lamda = 1 ` ` rArr lamda = (1)/(9) ` अतः समतल का समीकरण ` vecr* [ ( 1 + ( 2) /( 9) ) hati + ( 1 + ( 3) /( 9 ) ) hatj + ( 1 + ( 4 ) /( 9) ) hatk ] = 6 + (5) /(9) ` ` rArr vecr * ( 11 hati + 12 hatj + 13 hatk ) = 59 ` |
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| 97. |
बिंदुओं ` ( 3, - 2, - 5 )` और ` ( 3, - 2, 6 ) ` से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना ` veca ` तथा ` vecb ` क्रमशः बिंदुओं ` ( 3, - 2 , - 5 ) ` तथा ` ( 3 , - 2, 6) ` के स्थिति सदिश है | ` therefore veca = 3hati - 2hatj - 5hatk ` तथा ` vecb = 3hati - 2hatj + 6hatk ` दो बिंदुओं , जिनके स्थिति सदिश ` veca ` तथा ` vecb ` है, तो जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण ` therefore vecr = 3hati - 2hatj - 5hatk + lamda [ ( 3hati - 2hatj + 6 hatk ) - ( 3hati - 2hatj - 5hatk ) ] ` ` rArr vecr = 3hati - 2 hatj - 5hatk + lamda [ 3hati - 2hatj + 6hatk - 3hati + 2hatj + 5hatk ] ` `rArr vecr = 3 hati - 2 hatj - 5hatk + lamda ( 11 hatk ) " " `... (1) जोकि दी गई रेखा का सदिश समीकरण है | समीकरण (1 ) में ` vec r = x hati + y hatj + z hatk ` का मान रखने पर, ` x hati + y hatj + z hatk = 3 hati - 2 hatj + ( 11 lamda - 5 ) hatk ` समीकरण के दोनों ओर ` hati, hatj ` तथा ` hatk ` के गुणांकों की तुलना करने पर, ` x = 3, y= - 2 ` तथा ` z = 11 lamda - 5 ` ` therefore ( x - 3) /(0) = ( y + 2 ) /(0 ) = ( z + 5) /(11) ` जोकि दी गई रेखा का अभीष्ट कार्तीय रूप है | |
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| 98. |
मुलबिन्दु और (5,-2,3) से जाने वाले रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - रेखा का सदिश समीकरण `vecr=lambda(5hati-2hatj+3hatk);` रेखा का कार्तीय समीकरण `(x)/(5)=(y)/(-2)=(z)/(3)` | |
| 99. |
यदि एक रेखा के दिक् - अनुपात ` - 18, 12, - 4 , ` है तो इसकी दिक् - कोसाइन क्या है ? |
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Answer» रेखा के दिए गए दिक् अनुपात ` - 18 , 12, - 4 ` है | यहाँ ` a = -18, b = 12 ` और c = -4 , तब रेखा की दिक् कोज्याएँ ` = ( ( a) /( sqrt( a ^(2) + b ^(2) + c ^(2))) , (b ) /(sqrt ( a ^(2) + b ^(2) + c ^(2))) , ( c) /(sqrt( a ^(2) + b ^(2) + c ^(2))))` ` = ( ( - 18 ) /( sqrt ( ( -18 )^(2) + ( 12) ^(2) + ( - 4) ^(2))), ( 12 ) /(sqrt ( ( - 18)^(2) + (12 ) ^(2) + ( - 4)^(2))), (-4) /(sqrt((-18)^(2) + ( 12) ^(2) + ( - 4 ) ^(2)))) ` ` = (( - 18 ) /( sqrt ( 484) ) , ( 12) /(sqrt( 484) ) , ( -4) /(sqrt(484)) ) ` ` = (( -18)/(22), (12)/(22), (-4)/(22)) = ( - (9)/(11), (6)/(11), ( - 2)/(11)) ` अतः रेखा की दिक् कोज्याएँ ` - (9)/(11), (6) /(11)`, और `( - 2 ) /(11) ` है | |
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| 100. |
एक रेखा की दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशोक्षों के साथ समान कोण बनाती है | |
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Answer» यहाँ ` l = m = n ` अब सूत्र ` l ^(2)+ m ^(2) + n ^(2) = 1 ` से ` l ^(2) + l ^(2) + l ^(2) = 1 ` ` rArr 3 l ^(2) = 1 ` ` rArr l = pm (1 ) /(sqrt 3) ` अतः रेखा की दिक् कोज्याएँ ` pm ( 1 ) /(sqrt3) , pm ( 1 ) /(sqrt3) , pm ( 1 ) /(sqrt3 ) ` है | |
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