InterviewSolution
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| 101. |
मूलबिंदु और ` ( 5, - 2 , 3 ) ` से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना बिन्दुओ ` ( 0, 0 , 0 ) ` तथा ` ( 5, - 2 , 3 ) ` के स्थिति सदिश क्रमशः ` veca ` तथा ` vecb ` है | ` therefore veca = 0 hati + 0 hatj + 0 hatk ` तथा ` vecb = 5hati - 2 hatj + 3hatk ` हम जानते है कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा जिनके स्थिति सदिश क्रमशः ` vec a ` तथा ` vecb ` है, का सदिश समीकरण ` vec r = vec a + lamda ( vec b - veca ) ` होता है | अतः ` vecr = 0 + lamda ( 5hati - 2 hatj + 3hatk - 0 ) ` ` rArr vecr = lamda ( 5hati - 2hatj + 3 hatk )" " `... ( 1 ) समीकरण ( 1 ) में ` vecr = x hati + yhatj + z hatk ` रखने पर, ` x hati + y hatj + z hatk = lamda ( 5hati - 2hatj + 3hatk) ` ` rArr xhati + y hatj + z hatk = 5lamda hati - 2lamda hatj + 3lamda hatk ` दोनों पक्षों में ` hati, hatj ` तथा ` hat k ` के गुणांकों की तुलना करने पर, ` x = 5lamda, y = - 2 lamda ` तथा ` z = 3lamda ` ` therefore ( x ) /(5) = ( y )/(-2) = ( z ) /(3) = lamda ` जोकि अभीष्ट रेखा का कार्तीय समीकरण है | |
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| 102. |
m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा` overset to r =(hati +2hat j -hat k ) +lambda (2hati +hatj +2hatk ),`समतल ` overset to r.(3hati -2hat j +mhatk )=5 ` के समांतर है| |
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Answer» Correct Answer - ` m = - 2 ` |
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| 103. |
रेखा ` overset to r =(2hati +hat j -hat k )+lambda (2hat i +2hat j +hat k ) `और समतल ` oversetto r .(6hat i-3hat j +2hatk )+1=0` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए| |
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Answer» यहाँ ` overset to b =2hat i +2hat j +hat k , overset to n = 6hati -3hat j +2hat k ` यदि रेखा और समतल के बीच कोण `theta `है,तो ` sin theta (overset to b .oversetto n )/(|oversetto b||overset ton|)=(2hat i+2hat j +hat k .6hat i -3hat j +2hat k )/(|(2hati +2hat j +hat k ) ||(6hati -3hat j +2hat k )|) ` ` =(12-6+2)/(sqrt(4+4+1)sqrt(36+9+4))=(8)/(3xx7)=(8)/(21) ` ` " " rArr theta =sin ^(-1)((8)/(21))` |
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| 104. |
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक् - कोसाइन ` l _ 1, m _ 1, n_1 ` और `l _ 2, m _ 2 , n _ 2 ` हो तो दिखाइए कि इन दोनों पर लम्ब रेखा की दिक् - कोसाइन `m_1n_ 2 - m _ 2 n _ 1 , n _ 1 l _ 2 - n _ 2 l _1, l_1 m _ 2 - l _ 2 m _ 1 ` है | |
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Answer» माना अभीष्ट रेखा की दिक् कोज्याएँ `l, m, n ` है | `ll _ 1 + mm _ 1 + n n _ 1 = 0 ` और ` ll_ 2 + mm _ 2 + n n _ 2 = 0 ` ( ` because ` रेखाएँ लंबवत है ) वज्र गुणन विधि से हल करने पर ` ( l ) /(m _ 1 n _ 2 - m _ 2 n _ 1 ) = ( m ) /( l _ 2 n _ 1 - l _ 1 n _ 2 ) = ( n ) /( l _ 1 m _ 2 - m _1l _ 2 ) ` अतः रेखा की दिक् कोज्याएँ `m _ 1 n _ 2 - m _2n _ 1, l _ 2n _ 1 - l _1 n _ 2 ` और ` l _ 1 m _ 2 - m _ 1 l _ 2 ` है | |
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| 105. |
x - अक्ष के समांतर तथा मूलबिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना बिंदु A, X - अक्ष पर है, तब A के निर्देशांक ` ( a, 0 , 0 ) ` है जहाँ ` a in R ` OA के दिक् अनुपात ` ( a - 0 ) , 0, 0 = a, 0 , 0 ` है | OA का समीकरण निम्न है, ` (x - 0 ) /(a) = ( y - 0 ) /(0) = ( z - 0 ) /( 0 ) rArr ( x ) /(1) = ( y ) /(0) = ( z ) /(0) ` |
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| 106. |
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक् - अनुपात a,b, c और b-c, c - a, a - b है | |
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Answer» दी गई रेखाओं के दिक् अनुपात ` ( a,b, c ) ` तथा ` ( b-c, c -a, a - b ) ` है | माना दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब ` cos theta = |(a ( b -c ) + b ( c - a ) + c ( a - b ) ) /( sqrt ( a ^(2) + b ^(2) + c ^(2) ) sqrt ( ( b - c ) ^(2) + ( c - a ) ^(2) + ( a - b ) ^(2)))|` ` = |(ab - ac + bc - ab + ca - bc ) /(sqrt ( a ^(2) + b ^(2) + c ^(2)) sqrt ( ( b - c ) ^(2) + ( c - a ) ^(2) + ( a - b ) ^(2))) |` = 0 ` rArr cos theta = 0 rArr theta = ( pi) /(2) = 90 ^(@) ` अतः दोनों रेखाओं के बीच का कोण ` 90 ^(@) ` है | |
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| 107. |
एक सदिश के दिक् अनुपात `2,-3,6` और परिमाण 21 है वह सदिश ज्ञात कीजिए |
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Answer» Correct Answer - ` 6 hati - 9 hatj + 18 hatk ` |
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| 108. |
दर्शाइए कि बिंदुओं ` (1, - 1, 2 ) ( 3, 4, - 2 ) ` से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं ` ( 0,3, 2 ) ` और ` ( 3, 5 , 6 ) ` से जाने वाली रेखा पर लम्ब है | |
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Answer» दिए गए बिंदु `A (1, -1, 2 ) ` `,B ( 3, 4 , - 2 ) , C ( 0 , 3, 2 ) ` तथा `D ( 3, 5, 6 ) ` है | रेखा AB के दिक् अनुपात ` = [ 3 -1, 4 - ( - 1 ), - 2 - 2 ] ` ` = ( 2, 4 + 1, - 4 ) = ( 2 ,5, - 4 ) ` तथा रेखा CD के दिक् अनुपात ` = (3-0, 5 - 3, 6 - 2 ) ` या ` ( 3, 2 , 4 ) ` है | ` a_ 1 a _ 2 + b _ 1 b _2 + c _ 1 c_ 2 = 2 xx 3 + 5 xx2 + ( - 4) xx 4 ` ` = 6 + 10 - 16 = 0 ` अतः रेखा AB तथा CD परस्पर लम्ब है | |
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| 109. |
समतलों, जिनके सदिश समीकरण ` vecr * ( 2hati + 2hatj - 3 hatk ) = 5 ` और ` vecr* ( 3hati - 3hatj + 5hatk ) = 3 ` है, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिए गए समतल के समीकरण निम्न है, ` vecr * ( 2hati + 2hatj - 3hatk ) = 5 ` तथा ` vecr * ( 3hati - 3hatj + 5hatk ) = 3 ` यदि समतल ` vecr _ 1 * vecn _ 1 = d _ 1 ` तथा ` vecr_2 * vecn _ 2 = d _ 2 ` पर अभिलम्ब क्रमशः ` vecn _ 1 ` तथा ` vecn _ 2 ` है, तब कोण ` cos theta = |( vecn _ 1 * vecn _ 2 ) /( | vecn _ 1 | | vecn _ 2 |)|... (1) ` यहाँ, ` vecn _ 1 = 2hati + 2hatj - 3hatk ` तथा ` vec n _ 2 = 3hati -3 hatj + 5hatk ` ` therefore vecn _ 1 * vecn _ 2 = ( 2hati + 2hatj - 3hatk ) * ( 3hati - 3hatj + 5hatk ) ` ` = 6 - 6 - 15 = - 15 ` ` |vec n _ 1| = sqrt ( ( 2) ^(2) + ( 2) ^(2) + ( - 3) ^(2)) = sqrt ( 4 + 4 + 9 ) = sqrt ( 17) ` ` |vecn _ 2| = sqrt( ( 3) ^(2) + ( - 3 ) ^(2)+ ( 5) ^(2)) = sqrt ( 9 + 9 + 25 ) =sqrt ( 43 ) ` ` therefore cos theta = |( - 15 ) /(sqrt ( 17 ) sqrt ( 43 ) ) | rArr cos theta = ( 15) /(sqrt ( 731)) ` ` rArr theta = cos ^( - 1 ) ((15) /(sqrt ( 731))) ` |
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| 110. |
दिखाइए कि मूलबिंदु से ` ( 2, 1, 1 ) ` मिलाने वाली रेखा, बिंदुओं ` (3, 5, - 1 ) ` और ` ( 4, 3, - 1 ) ` से निर्धारित रेखा पर लम्ब है | |
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Answer» बिंदु ` ( 0, 0, 0 ) ` तथा `( 2, 1, 1 ) ` को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात `[ ( 2- 0 )"," ( 1 - 0 )"," ( 1 - 0 ) ] ` अर्थात ` ( 2, 1 , 1 ) ` है | बिंदुओं ` ( 3, 5, - 1 ) ` तथा ` ( 4, 3 , - 1) ` को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ` ( 4 - 3 ) , ( 3 - 5 ) , ( - 1 + 1 ) ` अर्थात ` ( 1, - 2 , 0 ) ` है | ` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 ` ` = 2 xx 1 + 1 xx ( - 2 ) + 1 xx 0 = 0 ` अतः दी गयी रेखाएँ परस्पर एक - दूसरे के लंबवत है | |
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| 111. |
बिन्दुओं `(6,-1,1),(5,1,2)` तथा (1,-5,4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `3x+5y-6z=6` | |
| 112. |
बिन्दु (-1,3,-2) से जाने वाली तथा `(x)/(1)=(y)/(2)=(z)/(3)` तथा `(x+2)/(-3)=(y-1)/(2)=(z+1)/(5)` के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `(x+1)/(2)=(y-2)/(3)=(z+4)/(6)` | |
| 113. |
निम्नलिखित प्रश्नो में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलो के युग्म समांतर है अथवा लंबवत है, और उस स्थिति में , जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए | (a) ` 7x + 5y + 6z + 30 = 0 ` और ` 3x - y - 10 z + 4 = 0 ` (b) ` 2x + y + 3z - 2 = 0 ` और ` x - 2y + 5 = 0 ` ltbr (c ) ` 2x - 2y +4z + 5 = 0 ` और ` 3x - 3y + 6z - 1 = 0 ` (d) ` 2x - y + 3z - 1 = 0 ` और ` 2x - y + 3z + 3 = 0 ` (e) ` 4x +8y + z- 8 = 0` और ` y + z - 4 = 0 ` |
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Answer» (a) दिए गए समतल निम्न है , ` 7x + 5y + 6z + 30 = 0 ` तथा ` 3x - y - 10 z + 4 = 0 ` यहाँ, ` a _ 1 = 7, b_ 1 = 5, c _ 1 = 6 ` तथा ` a _ 2 = 3, b _ 2 = - 1, c _ 2 = - 10 ` ` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 7 xx 3 + 5 xx ( - 10 ) ` ` = 21 -5 - 60 = - 44 ne 0 ` अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है | अब ` ( a _ 1 ) /(a_ 2 ) = ( 7) /(3), ( b _ 1 ) /(b _2 ) = ( 5) /( - 1 ) = -5, ( c _1) /(c _ 2 ) = ( 6) /(-10) ( -3) /(5) ` स्पष्ट है कि ` ( a _ 1 ) /(a _ 2 ) ne ( b _ 1 ) /(b _2 ) ne ( c _ 1 ) /(c _ 2 ) ` अतः दिए गए समतल समांतर है | माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब ` cos theta = | ( 7 xx 3 + 5 xx ( - 1) + 6 xx ( - 10 ) ) /(sqrt ( 7 ^(2) + 5 ^(2) + 6 ^(2)) sqrt ( 3 ^(2) + ( - 1 ) ^(2) + ( - 10 ) ^(2))) | ` ` = |( 21 - 5 - 60 ) /(sqrt( 110) sqrt ( 110))|` ` rArr cos theta = (44) /(110 ) = ( 2) /(5) rArr theta = cos ^( - 1 ) ((2)/(5)) ` अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण ` cos ^( - 1 ) (2//5) ` है | (b) दिए गए समतल निम्न है, ` 2x + y + 3z - 2 = 0 ` तथा ` x - 2y + 0z + 5 = 0 ` यहाँ, ` a _ 1 = 2, b _ 1 = 1, c _ 1 = 3 ` तथा ` a _ 2 = 1, b _2 = - 2, c _ 1 = 4 ` ` therefore a _ 1 a _ 2 + b_ 1 b _ 2 + c _ 1c_ 2 = 2xx 1 + 1 xx ( - 2 ) + 3 xx 0 = 0 ` अतः दिए गए समतल लंबवत है | (c) दिए गए समतल निम्न है ` 2x - 2y + 4 z + 5 = 0 ` तथा ` 3x - 3y + 6 z - 1 = 0 ` यहाँ , ` a _ 1 = 2, b _ 1 = - 2, c _ 1 = 4 ` तथा ` a_2 =3, b _ 2 = -3, c_ 2 = 6 ` ` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 2 xx 3 + ( - 2 ) xx ( - 3 ) + 4 xx 6 ` ` = 6 + 6 + 24 = 36 ne 0 ` अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है | अब ` ( a _ 1 ) /(a _2) = ( 2 ) /(3), ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( - 2 ) /(- 3 ) = ( 2 ) /(3), ( c _ 1 ) /(c_ 2 ) = ( 4 ) /(6) = ( 2 ) /(3) ` स्पष्ट है कि ` ( a _ 1) /(a _ 2 ) = (b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c_ 1 ) /(c _2) ` अतः दिए गए समतल समांतर है | (d) दिए गए समतल निम्न है ` 2x - y + 3z - 1 = 0 ` तथा ` 2x - y + 3z + 3 = 0 ` यहाँ, ` a _ 1 = 2, b _ 1 = - 1 , c _ 1 = 3 ` तथा ` a _ 2 = 2, b _ 2 = - 1 , c _ 2 = 3 ` ` therefore a _ 1 a _ 2 + b_ 1 b _ 2+ c _ 1 c _ 2 = 2xx 2 + ( - 1 ) xx ( - 1 ) + 3 xx 3 ` ` = 4 + 1 + 9 = 14 ne 0 ` अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है | अब ` ( a _ 1 ) /(a_ 2 ) = ( 2 ) /(2) = 1, ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( - 1 ) /( - 1 ) = 1, ( c _ 1 ) /(c_2) = ( 3) /(3) = 1 ` स्पष्ट है कि ` ( a _1 ) /(a _ 2 ) = ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c _ 1 ) /(c _ 2 ) ` अतः दिए गए समतल समांतर है | (e) दिए गए समतल निम्न है ` 4x + 8y + z - 8 = 0 ` तथा ` 0x + 1y + 1z - 4 = 0 ` यहाँ ` a _ 1 = 4, b _ 1 = 8, c _ 1 = 1 ` तथा ` a_ 2 = 0 , b _ 2 = 1 , c _ 2 = 1 ` ` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 4xx 0 + 8 xx 1 + 1 xx 1 ` ` = 0 + 8 + 1 = 9 ne 0 ` अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है | अब ` ( a_1 ) /(a_ 2) = ( 4)/(0), ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( 8)/(1 ) = 8, ( c _ 1 ) /(c _ 2) = ( 1 ) /(1) = 1 ` स्पष्ट है कि ` ( a _ 1 ) /(a_ 2) ne ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) ne ( c _ 1 ) /(c_ 2 ) ` अतः दिए गए समतल समांतर नहीं है | माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब ` cos theta = |( a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _2 + c _ 1 c _ 2 ) /(sqrt((a _ 1 ^(2) + b _ 1 ^(2) + c _1^(2))) sqrt ( a _ 2 ^(2) +b _2 ^(2) + c _ 2 ^(2)))| ` ` = |( 4 xx 0 + 8 + 1 xx 1 ) /(sqrt( 4 ^(2) + 8 ^(2) + 1 ^(2)) sqrt( 0 ^(2) + 1 ^(2) + 1 ^(2)))| ` ` = | ( 9) / ( 9 xx sqrt 2 ) | ` ` rArr cos theta = ( 1 ) /(sqrt2 ) rArr theta = cos ^(-1) ((1) /(sqrt2)) = 45^(@)` |
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| 114. |
समतल ` ( x ) /(a) + (y ) /(b) + ( z ) /(c) = 1`, निर्देशांकों को A, B और C बिन्दुओं पर काटता है | गोले OABC का समीकरण है -A. ` x ^ ( 2 ) + y ^(2) + z ^(2) + ax + by + cz = 0 `B. ` x ^(2) + y ^(2) + z ^(2) + 2ax + 2by + 2 cz = 0 `C. ` x ^(2) + y ^(2) + z ^(2) - ax - by - cz = 0 `D. इनमे से कोई नहीं | |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 115. |
बिन्दुओं `(1,1,0),(1,2,1),(-2,2-1)` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `2x+3y-3z=5` | |
| 116. |
बिन्दुओं (0,-1,0),(1,1,1) तथा `(3,3,0) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - `4x-3y+2z=3` | |
| 117. |
दो समतलों ` 2 x + 3y + 4 z = 4 ` और ` 4x + 6y + 8 z = 12 ` के बीच की दुरी है :A. 2 इकाईB. 4 इकाईC. 8 इकाईD. ` ( 2 ) /(sqrt ( 29 )) ` इकाई |
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Answer» Correct Answer - D दिए गए समतल निम्न है ` 2x + 3y + 4z = 4 " " `... (1) तथा ` 4x + 6y + 8 z = 12 rArr 2x + 3y + 4z = 6 ` ... (2) स्पष्ट है कि दोनों समतल समांतर है | हम जानते है कि समतल ` ax + by + cz = d _ 1 ` तथा ` ax + by + cz = d _ 2 ` के बीच की दुरी ` d = |(d _ 2 - d _ 1 ) /(sqrt ( a ^(2) + b ^(2 ) + c ^(2)) )| rArr d = |(6 - 4 ) /(sqrt ( 2 ^(2) + 3 ^(2) + 4 ^(2)))|` ` rArr d = ( 2 ) /(sqrt ( 4 + 9 + 16 ) ) = ( 2 ) /(sqrt ( 29 )) ` इकाई |
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| 118. |
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरता है | (a) ` ( 1, 1 , - 1), (6, 4, - 5 ), ( - 4, -2, 3 ) ` (b) ` ( 1, 1 , 0 ) , ( 1, 2, 1 ) , (-2, 2 ,- 1) ` |
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Answer» (a) दिए गए बिंदु ` A ( 1, 1 , - 1 ), B( 6, 4, - 5 ) ` तथा ` C ( -4, - 2 , 3 ) ` है | सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते है | ` therefore |{:(x_1,, y _1,, z _ 1 ) , ( x _ 2,, y _2,, z _ 2 ) , ( x _3,, y _ 3 ,, z _ 3 ) :}| = |{:( 1,,1,,-1 ) , (6,, 4 ,, -5 ) , ( - 4,, - 2 ,, 3 ) :}| ` ` = 1 ( 12 - 10 ) - 1 ( 18 - 20 ) - 1 ( -12 + 16) ` ` = 2 + 2 -4 = 0 ` चूँकि दिए गए तीन बिंदु संरेखीय है | अतः तीनो बिंदुओं से होकर जाने वाले समतलों की संख्या अनंत है | (b) दिए गए बिंदु ` A ( 1, 1, 0 ) , B( 1, 2 , 1 ) ` तथा ` C ( -2, 2, -1 ) ` है | सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते है | `|{:(x _ 1,, y _ 1,, z _ 1 ) , ( x _ 2,, y _2,, z _ 2 ) , ( x_3,, y _ 3,, z _ 3 ) :}| = |{:( 1,,1,,0),( 1,, 2,,1 ), ( -2,,2,, - 1 ):}| ` ` = 1 ( -2 - 2 ) - 1 ( - 1+ 2 ) + 0 ( 2 + 4 ) ` ` = - 5 ne0` अतः तीनो बिंदु A, B तथा C संरेखीय नहीं है | तीन बिंदुओं `( x _ 1 , y _ 1 , z_ 1 ) , ( x _ 2 , y _ 2 , z _ 2 ) ` तथा ` ( x _3, y _ 3 , z _ 3 ) ` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है , ` |{:(x - x _ 1 ,, y - y _ 1 ,, z - z _ 1 ) ,( x _ 2 - x _ 1 ,, y _ 2 -y _ 1 ,, z _ 2 - z_ 1 ) ,( x _ 3 - x _ 2 ,, y _ 3 - y _ 2,, z _ 3 - z _ 2 ):}| = 0 ` ` rArr | {:( x - 1,,y -1 ,, z ) ,( 0,,1,,1 ) , ( -3,,0,,-2 ) :}| = 0 ` ` rArr - 2 ( x - 1 ) - 3 ( y - 1 ) + 3z = 0 ` `rArr - 2x + 2 - 3y + 3+ 3z = 0 ` `rArr 2x + 3y - 3z - 5 = 0 ` ` rArr 2x + 3y - 3z = 5 ` जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है | |
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| 119. |
बिन्दु ` ( 1, 0, 0 ) ` से रेखा ` ( x- 1 ) /( 2) = ( y + 1 ) /(- 3) = ( z + 10) /( 8 ) ` की लंबवत दूरी है -A. `sqrt6 ` मात्रकB. ` 2 sqrt6` मात्रकC. `3 sqrt6 ` मात्रकD. इनमे से कोई नहीं | |
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Answer» Correct Answer - B |
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| 120. |
बिन्दु ` ( 3hati - hatj + 11 hatk ) ` का रेखा ` vec r = 2 hati + 3 hatj + lamda ( 2hatj + 3hatj + 4hatk ) ` में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` hati + 11 hatj + 3hatk ` |
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| 121. |
बिन्दु ` ( 0 , 2, 3) ` का रेखा ` ( x + 3) /(5) = ( y - 1 ) /(2) = ( z + 4) /( 3) ` में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - `( 4, 4, - 5) ` |
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| 122. |
बिन्दु ` ( hati + 2hatj - hatk ) ` से तथा समतलो ` vecr * ( 3hati - hatj + hatk ) = 1 ` और ` vecr * ( hati + 4 hatj - 2 hatk ) = 2 ` के प्रतिच्छेद से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है -A. ` vecr * ( 2hati - 7 hatj - 13 hatk ) = 1 `B. ` vecr * ( 2hati + 7 hatj + 13 hatk ) = 1 `C. ` vec* r ( 2hati - 7 hatj - 13 hatk ) = 4 `D. इनमे से कोई नहीं | |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 123. |
निम्नलिखित प्रश्नो में प्रत्येक दिए गए बिंदु से दिए गए संगत समतलो की दुरी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» हम जानते है कि बिंदु ` P ( x_ 1, y _ 1, z_ 1 ) ` की समतल `A x + By + Cz = D ` से दुरी निम्न है , ` d = |(A x _ 1 +By _ 1 + Cz _ 1- D ) /(sqrt ( A ^(2) + B ^(2) +C ^(2)))|" " ` ... (1) (a) बिंदु ` ( 0, 0, 0 ) ` की समतल ` 3x - 4y + 12z - 3 = 0 ` से दुरी ` d = ( | 3xx 0 - 4 xx 0 + 1 2 xx 0 - 3 |)/( sqrt ( 3 ^(2) + ( - 4 ) ^(2) + ( 12 ) ^(2)) ) = (| - 3 |)/(sqrt ( 9 + 16 + 144) ) ` ` = (3) /(sqrt ( 169)) = ( 3 ) /(13) ` इकाई (b) बिंदु ` ( 3 , - 2, 1 ) ` की समतल ` 2x - y + 2z + 3 = 0 ` से दुरी, ` d = (| 2 xx 3 + ( - 1 ) xx ( - 2) + 2xx 1 + 3 |)/( sqrt ( 2 ^(2) + ( - 1 ) ^(2) + 2 ^(2)) )` ` = (| 6 + 2 + 2 + 3 |)/( sqrt ( 4 + 1 +4 ) ) ` = ` ( 13 ) /(sqrt 9 ) = ( 13 ) /(3) ` इकाई (c) बिंदु ` (2, 3 , - 5 ) ` की समतल ` x + 2y - 2z - 9 = 0 ` से दुरी, ` d = (| 2 + 2 xx 3 - 2 xx (- 5 ) - 9 |)/( sqrt ( 1 ^(2) + 2 ^(2) + ( - 2 ) ^(2)) ) = ( | 2 + 6 + 10 - 9 |)/( sqrt ( 1 + 4 + 4 ) ) ` ` = ( 9 ) /(sqrt( 9)) = ( 9 ) /(3) = 3 ` इकाई (d) बिंदु ` ( - 6, 0, 0 ) ` की समतल `2x - 3y + 6z - 2 = 0 ` से दुरी, ` d = (| 2xx ( -6) - 3 xx 0 + 6 xx 0 - 2 |)/( sqrt ( 2 ^(2) + ( -3 ) ^(2) + 6 ^(2))) = ( | - 14|)/(sqrt( 4 + 9 + 36 )) ` ` = ( 14 ) /(7) = 2 ` इकाई |
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| 124. |
बिन्दु ` (1, -2, 3 ) ` से होकर जाने वाली तथा समतलो ` 2x + 3y + z + 5 = 0 ` और ` x + 2y + z = 1 ` के समांतर रेखा का समीकरण है -A. ` ( x - 1 ) /( - 1 ) = ( y + 2 ) /(1) = ( z - 3 ) /(-1) `B. ` ( x - 1 ) /( 3 ) = ( y + 2 ) /(2 ) = ( z - 3 ) /(-1) `C. ` ( x - 1 ) /(1) = ( y + 2 ) /(-2) = ( z - 3) /(3) `D. इनमे से कोई नहीं | |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 125. |
समांतर समतलों `3x+2y-z+1=0` और ` 3x+2y-z+5=0` के बीच दुरी ज्ञात कीजिए| |
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Answer» पहले समतल का समीकरण ` " " 3x+2y-z+1=0` इस समतल पर कोई बिंदु ` (x_1,y_ 1, z _ 1)` लेते है| ` therefore " " 3x_1+2y_1-z_1+1=0" " ...(1)` ` (x_1,y_1,z_1)` से दूसरे समतल `3x+2y-z+5=0` पर लम्ब दुरी ` " " =|(3x_1+2y_1-z_1+5)/(sqrt(3^(2)+ 2^ (2) +(-1)^(2)))|=|((-1)+5)/(sqrt(9+4+1))|` ` " " =(4)/(14)` मात्रक [समीकरण (1 )से ] |
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| 126. |
बिंदुओं `(0,-1,-1), (4,5,1)` तथा (3,9,4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए । |
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Answer» तीन बिंदुओं से जाने वाले समतल का समीकरण `|{:(x-x_(1),y-y_(1),z-z_(1)),(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_(1),z_(2)-z_(1)),(x_(3)-x_(),y_(3)-y_(1),z_(3)-z_(1)):}|=0` `rArr |{:(x-0,y+1,z+1),(4-0,5+1,1+1),(3-0,9+1,4+1):}|=0` `rArr |{:(x,y+1,z+1),(4,6,2),(3,10,5):}|=0` `rArr x(30-20)-y(y+1)(20-6)(z+1)(40-80)=0` `rArr 5x-7y+11z+4=0` यही समतल का अभीष्ट समीकरण है । |
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| 127. |
निम्नलिखित सदिशों की बीच कोण ज्ञात कीजिए- ` (i) overset to a=2hat i -6hatj+3hatk ` और ` overset to b=hat i +2hat j -2hat k ` ` (ii) oversetto a =6hati+3hatj -2hat k ` और ` oversetto b =4hati-2hatj+9hat k ` |
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Answer» Correct Answer - |
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| 128. |
बिन्दु ` ( 1, - 2, 3 ) ` की समतल ` x - y + z = 5 ` से दुरी रेखा ` ( x ) /(2) = ( y ) /(3) = ( z ) /(-6) ` के अनुदिश ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - 1 |
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| 129. |
बिन्दु ` ( 1,6, 3 ) ` का रेखा ` ( x ) /(1) = ( y - 1) /(2) = ( z - 2) /(3) ` में प्रतिबिम्ब है -A. ` ( 1,0, 7) `B. `(0, 1, 7) `C. ` ( 7, - 1, 0 ) `D. ` ( - 7, - 1, 0 ) ` |
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Answer» Correct Answer - A |
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| 130. |
समतलो ` 3x + 5y + z = 8 ` और ` 3x + 5y + z + 27 = 0 ` के मध्य दूरी है -A. ` ( 8 ) /(sqr(35)) `B. ` ( 27 )/(sqrt(35)) `C. ` sqrt ( 35 ) `D. ` 2sqrt ( 35) ` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 131. |
समांतर समतलों `overset to r .(2hat i -3hat j+6hatk)=5 ` और ` oversetto r .(6hati -9hatj +18hat k )+20=0` के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए| |
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Answer» Correct Answer - ` (5) /(3) ` |
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| 132. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मुलबिन्दु से ` sqrt ( 29 ) ` मात्रक की दुरी पर है तथा मुलबिन्दु से इस पर लम्ब सदिश ` 4 hati - 2hatj +3 hatk ` |
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Answer» Correct Answer - ` vecr* ( 4hati - 2hatj + 3hatk ) = 29 ` |
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| 133. |
बिन्दु ` (1,3, 4) ` का समतल ` 2x - y + z + 3 = ` में प्रतिबिम्ब है -A. ` ( 3, 5, - 2 ) `B. ` ( 2, 3 , - 5 ) `C. ` ( - 3, 5, 2) `D. ` ( - 2, 3, 5 ) ` |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 134. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल `x - 2y + 2z = 5 ` के समान्तर और बिन्दु `( 1, 2 , 3 ) ` से एक मात्रक की दुरी पर है | |
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Answer» Correct Answer - ` x - 2y + 2z = 0, x - 2y + 2z- 6 = 0 ` |
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| 135. |
बिन्दु ` ( 0,0, 0 ) ` का समतल ` 3 x + 4y - 6z + 1 = 0 ` में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` ( - (6)/(61),(-8)/(61), (12) /(61)) ` |
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| 136. |
बिन्दु ` ( 1, 1, 2) ` से समतल ` 2 x - 2y + 4 z + 5 = 0 ` पर डेल गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` ( - ( 1) /(12), ( 25) /(12), - ( 1 ) /(6)) ` |
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| 137. |
बिन्दु ` ( 2, 3 , 7 ) ` से समतल ` 3x - y - z = 7 ` पर डेल गए लम्ब के पाद के निर्देशांक और लम्ब की माप ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` (5, 2, 6) ,sqrt(11) ` |
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| 138. |
मुलबिन्दु से समतल ` x - y - z = 1 ` पर डेल गए लम्ब पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - ` ((1)/(3), - (1)/(3), - (1)/(3)) ` |
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| 139. |
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत समतलो का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो : (a) बिंदु `(1, 0 , - 2 ) ` से जाता हो और ` hati + hatj - hatk ` समतल पर अभिलम्ब है | (b) बिंदु ` (1, 4 , 6) ` से जाता हो और ` hati - 2 hatj + hatk ` समतल पर अभिलम्ब सदिश है | |
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Answer» (a ) बिंदु ` ( 1, 0, - 2 ) ` का स्थिति सदिश ` veca = hati - 2 hatk ` समतल पर अभिलम्ब N का स्थिति सदिश ` vecN = hati + hatj - hatk ` है | समतल का सदिश समीकरण निम्न है ` ( vecr - veca ) * vecN = 0 ` `[vecr - ( hati - 0 hatj - 2 hatk ) ] * ( hati + hatj - hatk ) = 0 ` जहाँ, ` vecr ` समतल पर स्थिति किसी बिंदु `P (x, y , z ) ` का स्थित सदिश है | अब ` vec r = x hati + y hatj+zhatk ` ` therefore [( xhati + yhatj + zhatk ) - ( hati + 0 hatj - 2hatk ) ]* ( hati + hatj- hatk ) = 0 ` ` rArr [ ( x - 1 ) hati + yhatj + (z + 2 ) hatk ]*( hati - 2hatj + hatk ) = 0 ` ` rArr [( x - 1) hati + ( y - 4 ) hatj + ( z - 6) hatk ]* ( hati - 2 hatj + hatk ) = 0 ` ` rArr ( x - 1 ) -2( y - 4) + (z - 6 ) = 0 ` ` rArr x - 2y + z + 1 = 0 ` जोकि अभीष्ट समतल का कार्तीय समीकरण है | |
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| 140. |
उस समतल का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु ` ( 2, - 1, 3 ) ` से होकर जाता है और ` 1, - 3, 5 ` दिक् अनुपात वाली रेखा पर लम्ब है | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( hati - 3hatj + 5hatj ) = 20, x - 3y + 5z = 20 ` |
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| 141. |
उस समतल का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु ` ( 1, 4, 6 ) ` से होकर जाता है और ` ( hati - 2 hatj + hatk ) ` पर लम्ब है | |
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Answer» Correct Answer - ` vecr * ( hati - 2 hatj + hatk ) + 1 = 0, x - 2y + z + 1 = 0` |
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| 142. |
यदि रेखा `overset to r =(2hati +hat j -hat k ) +lambda (hat i +mhat j -2hat k ),`समतल ` overset to r.(2hati +hatj +mhat k )=1 ` के समांतर है,तो m का मान ज्ञात कीजिए| |
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Answer» यहाँ ` oversetto b=hati +mhat j -2hatk ` और ` overset to n =2hat i+hat j +m hat k ` यदि रेखा,समतल के समांतर है,तो ` " "sin theta=0` ` rArr" " oversetto b.oversetto n =0` ` rArr " " (hat i+mhat j -2hat k ) .(2hat i +hatj +mhat k ) =0` ` rArr" " 2+m-2m=0` `rArr " " m=2` |
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| 143. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु `(0,7,-7)`से होकर जाता है और उसमें रेखा `(x+1)/(-3) =(y-3)/(2)=(z+2)/(1)` अंतर्विष्ट है| |
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Answer» माना (0 ,7 ,-7 ) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ` a(x-0)+b(y-7)+c(z+7)=0` ...(1) रेखा बिंदु `(-1,3,-2)` से होकर जाती है| अतः यह बिंदु समतल पर भी होगा| समीकरण(1 ) से ` " " -a-4b+5c=0" " ...(2)` समतल दी गई रेखा के समांतर होगा| ` therefore " " -3a +2b+c=0" " ...(3)` समीकरण (2 )से (3 ) को वज्र गुणन विधि से हल करने पर ` " " (a)/(-4-b)=(b)/(-15+1) =(c)/(-2-12) ` ` " " (a)/(-14)=(b)/(-14)=(c)/(-14)` `rArr " " a=b=c=k ` (माना) अब समीकरण (1 ) से `" " kx+k(y-7)+k(z+7)=0` ` rArr" " x+y+z=0` जो समतल का अभीष्ट समीकरण है| |
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| 144. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात जो मुलबिन्दु से 5 इकाई की दुरी पर है तथा `2hati-3hatj+6hatk` के लंबवत है। |
| Answer» Correct Answer - `2x-3y+6z=35` | |
| 145. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षो पर क्रमशः `3, - 4` और 2 इकाई के अन्तः खण्ड काटता है | |
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Answer» यहाँ ` a = 3, b = -4, c = 2 ` समतल का समीकरण ` (x)/(a) + (y)/(b) + (z)/(c) = 1 ` ` rArr (x)/(3) - (y)/(4) + (z)/(2) = 1 ` ` rArr 4 x - 3y + 6z = 12 ` |
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| 146. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके x,y तथा z-अक्षों पर अन्तः खण्ड क्रमशः `2,3,4` है। |
| Answer» Correct Answer - `6x+4y+3z=12` | |
| 147. |
समतल के समीकरण ` 2 x - 4y + 3z = 24 ` को अन्तः खण्ड रूप में परिवर्तित कीजिए और अक्षो से कटे अन्तः खण्ड ज्ञात कीजिए | |
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Answer» समतल का समीकरण ` 2x - 4y + 3z = 24 ` ` rArr (2x)/(24) - (4y)/(24) + ( 3z)/(24) = 1 ` ` rArr (x)/(12) + (y)/(-6) + (z)/(8) =1 ` जो समतल का अन्तः खण्ड रूप है | अक्षो से कटे अन्तः खण्ड ` a = 12, b = -6, c = 8 ` |
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| 148. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो x , y और z - अक्षो पर क्रमशः 4 , 3 और -2 इकाई के अन्तः खण्ड काटता है | |
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Answer» Correct Answer - ` 3x + 4y - 6z = 12 ` |
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| 149. |
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तर है तथा v व z-अक्षों से क्रमशः 3 तथा 4 दुरी के अन्तः खण्ड काटती है । |
| Answer» Correct Answer - `5y+2z=10` | |
| 150. |
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से `A,B,C` पर मिलता है। यदि त्रिभुज `ABC` का केन्द्रक `(alpha, beta, gamma)` है। |
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Answer» Correct Answer - `(x)/(alpha)+(y)/(beta),(z)/(gamma)=3` समतल का समीकरण `(x)/(a)+(y)/(b)+(z)/(c)=1 " "...(1)` `:.` त्रिभुज ABC का केन्द्रक `=(alpha, beta, gamma)` `=((a+0+0)/(3),(0+b+0)/(3),(0+0+c)/(3))=((a)/(3),(b)/(3),(c)/(3))` `rArr a=3alpha, b=3 beta, c=3gamma` इन मानों को समीकरण (1) में रखते है |
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