InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 401. |
निम्नलिखित श्रेणी के अनन्त पदों का योगफल निकालिए। `1+(1+a)r+(1+a+a^(2))r^(2)+.............` जहाँ `0ltalt1` तथा |
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Answer» `1+(1+a)r+(1+a+a^(2))r^(2)+.........oo` `=(1-a)/(1-a)+((1+a)(1-a))/(1-a).r+((1+a+a^(2))(1-a))/(1-a)r^(2)+.......oo` तक `=(1-a)/(1-a)+(1-a^(2))/(1-a)r+(1-a^(3))/(1-a)r^(2)+.........oo` तक `=(1)/(1-a)[(1-a)+(1-a^(2))r+(1-a^(3))r^(2)+.........oo` तक `=(1)/(1-a)[(1+r+r^(2)+.........oo"तक ")-a(1+ar+(ar)^(2)+.........oo" तक "]` `=(1)/(1-a)[(1)/(1-r)-a((1)/(1-ar))]` `=(1)/(1-a)([1-ar-a(1-r)])/((1-r)(1-ar))=(1-a)/((1-a)(1-r)(1-ar))` `=(1)/((1-r)(1-ar))` |
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| 402. |
निम्नांकित श्रेणी का n वां पद और n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। `1+(1+2)+(1+2+2^(2))+......` |
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Answer» Correct Answer - `2^(n)-1;2^(n+1)-2-n` |
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| 403. |
श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वां पद `n(n+1)(n+4)` है। |
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Answer» प्रश्न से, `t_(n)=n(n+1)(n+4)` `=n(n^(2)+5n+4)` `=n^(3)+5n^(2)+4n` इस तरह n पदों का योग `S_(n)=sum_(n=1)^(n)t_(n)` `=sum_(n=1)^(n)(n^(3)+5n^(2)+4n)` `=sum_(n=1)^(n)n^(3)+sum_(n=1)^(n)5n^(2)+sum_(n=1)^(n)4n` `=sum_(n=1)^(n)n^(3)+5sum_(n=1)^(n)n^(2)+4sum_(=1)^(n)` `=[(n(n+1))/(2)]^(2)+(5n)/(6)(n+1)(2n+1)+(4n(n+1))/(2)` `=(n(n+1))/(12)[3n(n+1)+10(2n+1)+24]` `=(n(n+1))/(12)(3n^(2)+23n+34` |
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| 404. |
श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वां पद `n^(2)+2^(n)` है। |
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Answer» माना कि `t_(n)=n^(2)+2^(n)` `:.S_(n)=sum_(n=1)^(n)t_(n)=sum_(n=1)^(n)(n^(2)+2^(n))=sum_(n=1)^(n)n^(2)+sum_(n=1)^(n)2^(n)` `=(n(n+1)(2n+1))/(6)+(2^(1)+2^(2)+2^(3)+..........+2^(n))` `=(n(n+1)(2n+1))/(6)+(2(2^(n)-1))/(2-1)` `=(n(n+1)(2n+1))/(6)+2(2^(n)-1)` |
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| 405. |
श्रेणी `12+15+18+ .........` के 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» श्रेणी `12+15+18+ .........` प्रथम पद a = 12 , सार्वअंतर d = 3 , पदों की संख्या n = 20 दी श्रेणी समांतर श्रेणी है। अतः सूत्र `S=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` `=(20)/(2)[2xx12+(20-1)xx3]` `=10[24+57]` `=10xx81` `S=810.` |
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| 406. |
एक G.P. का 6 वां पद और 10 वां पद क्रमशः `(1)/(16)" और "(1)/(256)` है तो श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `2,1,(1)/(2),(1)/(4),......" या "-2,1,-(1)/(2),(1)/(4),-(1)/(8),......` |
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| 407. |
साबित कीजिए कि किसी अनन्त गु. श्रेणी में जिसके सार्वअनुपात r का संख्यात्मक मान इकाई से कम है अनुपात होगा किसी पद व प्रत्येक पद के अनुवर्ती पदों के योग का मान `(1-r)/(r)` |
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Answer» साबित करना है कि `(t_(n))/(S_(oo)-S_(n))=(1-r)/(r)` अब `(t_(n))/(S_(oo)-S_(n))=(ar^(n-1))/((a)/(1-r)-(a(1-r^(n)))/(1-r))=(ar^(n-1))/((a)/(1-r)(1-1+r^(n)))` `=(ar^(n-1))/(((a)/(1-r)).r)=(1-r)/(r)` |
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| 408. |
श्रेणी `(-5)/(4),(5)/(16),(-5)/(64)`,.... अनन्त पदों का योग ज्ञात कीजिए | |
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Answer» Correct Answer - `-1` `a=-5//4,r=(5)/(16)//(-5)/(4)=-1//4` `S_(oo)=(a)/(1-r)=(-5//4)/(1+(1)/(4))=-1` |
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| 409. |
निकालिए `5^(2)+6^(2)+7^(2)+.......+20^(2)` |
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Answer» `5^(2)+6^(2)+7^(2)+.......+20^(2)` `=(1^(2)+2^(2)+3^(2)+4^(2)+5^(2)+6^(2)+.........+20^(2))-(1^(2)+2^(2)+3^(2)+4)` `=(20xx21xx41)/(6)-(4xx5xx9)/(6)` `=10xx7xx41-2xx5xx3` =2840 |
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| 410. |
श्रेणी `1+2r+3r^(2)+4r^(3)+...`अनन्त पदों का योग `(9)/(16)`है ,तो r का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना `" "S=1+2r+3r^(2)+4^(3)+..oo तक ` `rArr" "rS=r+2r^(2)+3r^(3)...oo`तक `rArr " "(1-s)S=1+r+r^(2)+...oo तक =(1)/(1-r)` `:. " "S=(1)/((1-r)^(2))` दिया है : `" "S=(9)/(16)` `:. " "(1)/((1-r)^(2))=(19)/(16)` `rArr " "(1)/(r^(2)-2r+1)=(9)/(16)` `rArr " "9r^(2)-18r-7=0` `:. " "r=(7)/(3),(-1)/(3)` |
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| 411. |
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (1+n) वें पद से (2n) वें पद तक के पदों के योगफल के अनुपात `(1)/(r^(n))` है। |
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Answer» माना कि G. P. के प्रथम n पदों का योगफल `S_(n)` है,तो प्रथम 2n पदों का योगफल `S_(2n)` होगा। तो `S_(n)=a((1-r^(n))/(1-r))" ".......(1)` पुनः G P के (n +1) वां पद से (2n)वां पद तक का योगफल `=S_(2n)-S_(n)` `=a((1-r^(2n))/(1-r))-a((1-n^(n))/(1-r))` `=(a)/(1-r)(1-r^(2n)-1+r^( n))` `=(a)/(1-r)(r^(n)-r^(2n))=(a)/(1-r)r^(n)(1-r^(n))" ".......(2)` (1) तथा (2) से, `(S_(n))/(S_(2n)-S_(n))=(1)/(r^(n))` |
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| 412. |
श्रेणी `1+4+7+10+ ………….` के 18 पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दी गई श्रेणी में, प्रथम पद a = 1 , सार्वअंतर d = 4 - 1 = 3 , पदों की संख्या n = 18 अतः n पदों का योगफल , सूत्र `S=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` `therefore` 18 पदों का योगफल `(18)/(2)[2xx1+(18-1)xx3]` `=9[2+51]` `=9xx53` `therefore S = 477.` |
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| 413. |
`(1)/(2)` व 3 के बीच चार समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए तथा सिध्द कीजिए कि इन चारो समान्तर माध्यो का योग `(1)/(2)`व 3 के समान्तर माध्य का गुना होगा | |
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Answer» माना `(1)/(2)` व 3 के बीच चार समान्तर माध्य `A_(1),A_(2),A_(3)` व `A_(4)` हैं | `rArr (1)/(2),A_(1),A_(2),A_(3),A_(4),3` समान्तर श्रेणी में होंगे | कुल पदों की संख्या=6 `a=(1)/(2),l=a_(n)=a_(6)=3` `:. " " a_(6) rArr 3=(1)/(2)+5d` `rArr " "d=(1)/(2)` अब `" " A_(1)=a+b=(1)/(2)+(1)/(2)=1` `A_(2)=a+2d=(1)/(2)+1=(3)/(2)` `A_(3)=a+3d=(1)/(2)+(3)/(2)=2` तथा `" "A_(4)=A+4d=(1)/(2)+2=(5)/(2)` अब `" " A_(1)+A_(2)+A_(3)+A_(4)=1+(3)/(2)+2+(5)/(2)=(4)/(2)(1+(5)/(2))=(4)/(2)xx(7)/(2)=4xx(7)/(4)` `=4(((1)/(2)+3)/(2))` `=4xx((1)/(2) व 3 का समान्तर माध्य)" "`यही सिध्द करना था | |
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| 414. |
दिखाइए कि अनुक्रम `a,ar,ar^(2),......,ar^(n-1)" तथा "A,AR,AR^(2),.......,AR^(n-1)` के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - rR |
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| 415. |
निम्नलिखित श्रेणी के n पदों तक योगफल ज्ञात करो- `1.2^(2)+2.3^(2)+3.4^(2)+......` |
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Answer» n वां पद `=n.(n+1)^(2)=n^(3)+2n^(2)+n` अतः योगफल `=Sigma n^(3)+2Sigman^(2)+Sigma n` `=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)+(1)/(3)n(n+1)(2n+1)+(1)/(2)n(n+1)` `=(1)/(12)n(n+1){3n(n+1)+4(2n+1)+6}` `=(1)/(12)n(n+1){3n^(2)+11n+10}` `=(1)/(12)n(n+1)(n+2)(3n+5).` |
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| 416. |
यदि a व b के बीच समान्तर माध्य `(a^(n+1)+b^(n+1))/(a^(n)+b^(n))` हो तो n का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» यदि a व b के बीच समान्तर माध्य `(a+b)/(2)` प्रश्नानुसार `" "(a+b)/(2)=(a^(n+1)+b^(n+1))/(a^(n)+b^(n))` `rArr " " (a^(n)+b^(n))(a+b)=2(a^(n+1)+b^(n+1))` `rArr " "2a^(n+1)+2b^(n+1)=a^(n+1)+ab^(n)+ba^(n)+b^(n+1)` `rArr " "a^(n+1)-a^(n)b=b^(n)a-b^(n+1)` `a^(n+1)-a^(n)b=b^(n)a-b^(n+1)` `rArr " "a^(n)(a-b)=b^(n)(a-b)` यदि `a-bne0` तब उपरोक्त समीकरण को (a-b)से भाग करने पर `a^(n)=b^(n) rArr (a^(n))/(b^(n))=1` `:. " " ((a)/(b))^(n)=1=((a)/(b))^(0)` `rArr " "n=0` |
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| 417. |
दो समांतर श्रेढियों 17, 21, 25, ……... तथा 16, 21, 26, ……… में कुछ पदों के मान बराबर हैं। इसी प्रकार के प्रथम 100 पदों का योग ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 101100 | |
| 418. |
यदि a,b,c समान्तर श्रेणी में हैं व x,y,z गुणोत्तर श्रेणी में हो, तो सिध्द कीजिए कि- `x^(b-c).y^(c-a).z^(a-b)=1` |
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Answer» a,b,cसमान्तर श्रेणी में हैं,`" "rArr 2b=a+c` एवं x,y,z गुणोत्तर श्रेणी में हैं, `" "rArr y=sqrt(xz)=x^(1//2).z^(1//2)` बायाँ पक्ष `=x^(b-c).y^(c-a).z^(a-b)=x^(b-c)(x^(1//2)x^(1//2))^(c-a).z^(a-b)` `=x^((b-c+(c-a)//2)).z^((a-b+(c-a)//2)` `=x^({2b-(a+c)}//2)x^({(a+c)-2b}//2)` `=x^((2b-2b)//2)z^((2b-2b)//2)` `=x^(0)z^(0)` `=1.1=1`दायाँ पक्ष |
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| 419. |
निम्न आवर्त दशमलवों को गुणोत्तर श्रेणी की सहायता से भिन्नों में बदलो - `"(A) "0.overset(.)4 " (B) "2.overset(.)(8)` `"(C) "3.5overset(.)(2)" (D) "0.overset(". . .")(234)` `"(E) "0.4overset(". .")(27)` |
| Answer» Correct Answer - `(A)(4)/(9)(B)2(8)/(9)(C)3(47)/(90)(D)(26)/(111)(E)(47)/(110)` | |
| 420. |
निम्न श्रेणी के अनन्त पदों का योग `(44)/(9)`है |`3+(3+d)(1)/(4)+(3+2d)(1)/(4^(2))`+.... तब d का मान ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना `" "S=3+(3+d)(1)/(4)+(3+2d)(1)/(4^(2))+...ooतक " "`....(i) `rArr " "(1)/(4)S=3.(1)/(4)+(3+d)(1)/(4^(2))+(3+2d)(1)/(4^(3))+...ooतक ""`....(ii) समीकरण (i) से समीकरण (ii) को घटाने पर `(S-(1)/(4)S)=(3)/(4)S=3+(d)/(4)+(d)/(4^(2))+(d)/(4^(3))+...oo तक ` `=3+d[(1)/(4)+(1)/(4^(2))+(1)/(4^(3))+...oo तक]` `3+d((1//4)/(1-1//4))=3+d((1//4)/(3//4))=3+(d)/(3)` `:. " "(3)/(4)S=(d+9)/(3)" "rArr " "S=(4d+36)/(9)` दिया है : `" "S=(44)/(9)` `:. " "(44)/(9)=(4d+36)/(9)` `rArr " "4d=44-36=8` `rArr " "d=2` |
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| 421. |
निम्न श्रेणी का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए : `1^(2)+(1^(2)+2^(2))+(1^(2)+2^(2)+3^(2))+(1^(2)+2^(2)+3^(2)+4^(2))+...........` |
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Answer» दी गई श्रेणी का n वां पद `=1^(2)+2^(2)+3^(2)+4^(2)+.......+n^(2)` `=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)` ` =(1)/(6)(2n^(3)+3n^(2)+n)` `=(1)/(3)n^(3)+(1)/(2)n^(2)+(1)/(6)n` अब n पदों का योगफल `=(1)/(3)Sigma n^(3)+(1)/(2)n^(2)+(1)/(6)Sigman` `=(1)/(3)[(n^(2)(n+1)^(2))/(4)]+(1)/(2)[(n(n+1)(2n+1))/(6)]+(1)/(6)[(n(n+1))/(2)]` `=(1)/(12)[n^(2)(n+1)^(2)+n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]` `=(1)/(12)n(n+1)[(n^(2)+n)+(2n+1)+1]` `=(1)/(12)n(n+1)(n^(2)+3n+2)` `=(1)/(12)n(n+1)(n+1)(n+2)=(1)/(12)n(n+1)^(2)(n+2).` |
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| 422. |
अनुक्रम 999, 995, 991, 987,……… का प्रथम ऋणात्मक पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `-1` |
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| 423. |
निम्न श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए | 3,33,333...n पदों तक |
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Answer» माना `S_(n)` दी गयी श्रेणी का योग है तब `S_(n)=3+33+333+.....n` पदों तक `=3(1+11+111+....n पदों तक)` `=(3)/(9)(9+99+999+....n पदों तक)` `=(3)/(9)[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...n पदों तक]` `=(3)/(9)[10+100+1000+...n पदों तक]-(3)/(9)[1+1+1+....n पदों तक]` `=(3)/(9)[(10(10^(n)-1))/(10-1)-n]=(3)/(9)[(10(10^(n)-1))/(9)-n]` `=(3)/(81)[10(10^(n)-1)-9n]` |
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| 424. |
यदि `0ltthetalt(pi)/(2)" तो "tantheta+cottheta` का न्यूनतम मान निकाले |
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Answer» Correct Answer - 2 |
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| 425. |
निम्न आवर्त दशमलव का मान ज्ञात कीजिए `0.123` |
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Answer» यहाँ संख्या 2 3 की बार-बार पुनरावृत्ति होती है | `0.1232323....oo` `=.1+.023+.00023+....oo` `=(1)/(10)+(23)/(10^(3))+(23)/(10^(5))+...oo` `=(1)/(10)+(23)/(10^(3))[1+(1)/(10^(2))+....oo]` `=(1)/(10)+(23)/(10^(3))[(1)/(-(1)/(10^(2)))]` `=(1)/(10)+(23)/(10^(3))[(1)/(1-(1)/(100))]` `=(1)/(10)+(23)/(10^(3))[(100)/(99)]` `=(1)/(10)+(23)/(990)=(122)/(990)=(61)/(495)` |
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| 426. |
यदि किसी अनुक्रम का nवा पद 2an+b है, जहाँ a, b अचर है, तो क्या यह अनुक्रम A. P. है? |
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Answer» Correct Answer - हाँ |
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| 427. |
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी (A.P.) में और x, y, z गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हों, तो सिद्ध करो कि `x^(b-c).y^(c-a).z^(a-b)=1` |
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Answer» चूँकि a, b, c स. श्रे. में है। अतः `(b-c)=(c-b)=(1)/(2)(c-a) " "`…(1) चूँकि x, y, z गु. स. श्रे. में है अतः `y^(2)=xz " " ` …(2) अब (1) और (2) से, `(y^(2))^((c-a)//2)=x^(c-b).z^(b-a)` `hArr y^(c-a)=x^(c-b).z^(b-a)=(1)/(x^(b-c).z^(a-b))` `rArr x^(b-c).y^(c-a).z^(a-b)=1.` |
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| 428. |
अनुक्रम 10, 5, 0, -5, -10,…….. का 10वा पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `-35` |
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| 429. |
A किसी स्थान से 5 किमी प्रति घण्टे की चाल से, B से 12 घण्टे पहले चलता है। यदि B भी उसी दिशा में पहले घण्टे में 2 किमी, दूसरे घण्टे में 4 किमी तथा तीसरे घण्टे में 6 किमी और इसी प्रकार बढ़ती हुई चाल से चले, तो कितने घण्टे में वह A को पकड़ लेगा ? |
| Answer» Correct Answer - 10 घंटे बाद | |
| 430. |
एक गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग S,गुणन P तथा व्युत्क्रमों का योग R है | सिध्द कीजिए कि `((S)/(R ))^(n)=P^(2)` |
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Answer» प्रश्नानुसार `" "S=a+ar+ar^(2)+ar^(3)`...... `rArr " "S=(a(1-r^(n)))/(1-r)" "`....(i) इसी प्रकार `" "P=a.ar.ar^(2)...ar^(n-1)` `=a^(n).r^(1+2+3...(n-1))` `=a^(n)r^((n(n-1))/(2))` `rArr " "P^(2)=a^(2n)r^(n(n-1))" "`.....(ii) तथा `""R=(1)/(a)+(1)/(ar)+(1)/(ar^(2))+...+(1)/(ar^(n-1))` `rArr " "R=(1)/(a)((1-(1)/(r^(n))))/((1-(1)/(r )))=(r^(n)-1)/(r-1).(1)/(ar^(n-1))" "`...(iii) `:. "" (S)/(R )=a((1-r^(n)))/(1-r).(r-1)/(r^(n)-1)a.r^(n-1)=a^(2)r^(n-1)" "`....(iv) rArr " "((S)/(R ))^(n)=a^(2n)r^(n(n-1))=p^(2)" "`यही सिध्द करना था | |
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| 431. |
यदि किसी अनुक्रम का nवा पद `4n^(2)+1`, हो तो अनुक्रम को ज्ञात कीजिए। क्या यह अनुक्रम A. P. है। |
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Answer» Correct Answer - 5, 17, 37, 65,…………, नहीं |
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| 432. |
धनात्मक पदों वाले एक A. P. तथा एक G. P. का प्रथम पद समान है और उनके प्रथम, द्वितीय तथा तृतीय पदों का योग क्रमशः `1,(1)/(2)` और 2 है। उनके चर्तुथ पदों का जोड़ ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `(19)/(2)` |
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| 433. |
माना a , b , c धनात्मक पूर्णांक हैं तथा `(b )/(c )` एक पूर्णांक है। यदि a , b , c गुणोत्तर श्रेणी में है, तथा a , b , c का समान्तर माध्य b + 2 है, तो `(a^(2)+a-14)/(a+1)` का मान ज्ञात करो। |
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Answer» दी गई संख्या a , b तथा c जो क्रमशः a , ar तथा `ar ^(2 )` अर्थात गुणोत्तर श्रेणी में है। a , b तथा c का समांतर माध्य `= b +2 ` `(a+b+c)/(3)=b+2` `a+b+c=3(b+2)` `a+ar+ar^(2)=3b+6` `a+ar+ar^(2)=3ar+6` `ar^(2)+ar-3ar+a=6` `ar^(2)-2ar+a=6` `a(r^(2)-2r+1)=6` `a(r-1)^(2)=6` `(r-1)^(2)=(6)/(a)` `therefore (6 )/(a )` पूर्ण वर्ग होना चाहिए तथा `a epsilon N ` a केवल 6 हो सकता है। `r-1=pm1` ` r =2` जब a = 6 हो, तब `(a^(2)=a-14)/(a+1)=(36+6-14)/(6+1)` `=(28)/(7)` `=4.` |
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| 434. |
किसी गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग `S_(1),2n`पदों का योग `S_(2)`तथा 3n पदों का योग `S_(3)` हों,तो सिध्द कीजिए कि `S_(1)(S_(3)-S_(2))=(S_(2)-S_(1))^(2)` |
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Answer» प्रश्नानुसार `" " S_(1)=(a(r^(n)-1))/(r-1),S_(2)=(a(r^(2n)-1))/(r-1),S_(3)=(a(r^(3n)-1))/(r-1)` `rArr " "S_(3)-S_(2)=(a)/(r-1)(r^(3n)-r^(2n))=(a(r^(n)-1))/(r-1).r^(2n)` `:. " "S_(1)(S_(3)-S_(2))=(a(r^(n)-1))/(r-1).(a(r^(n)-1))/(r-1)r^(2n)=[(a(r^(n)-1))/(r-1)r^(n)]^(2)" "`......(i) तथा `" "S_(2)-S_(1)=(a)/(r-1)(r^(2n)-r^(n))=(a(r^(n)-1))/(r-1).r^(n)" "`...(ii) समीकरण (i)व (ii)से, `S_(1)(S_(3)-S_(2))=(S_(2)-S_(1))^(2)" "` यही सिध्द करना था | |
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| 435. |
उस श्रेणी के पहले पाँच पदों को ज्ञात कीजिए जिसके n पदों का योग `5n^(2)+3n` है। |
| Answer» Correct Answer - 8, 18, 28, 38, 48 | |
| 436. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी में (2n+1)पद हो, सिध्द कीजिए कि विषम पदों के योगफल एवं सम पदों के योगफल में (n+1)अनुपात है | |
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Answer» माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद =a तथा सार्वअन्तर =d तब, `" "a_(K)=a+(K-1)d` माना `S_(1)`व `S_(2)` क्रमशः विषम तथा सम पदों के योगफल हैं, तब `" "S_(1)=a_(1)+a_(3)+a_(5)+.....+a_(2n+1)=(n+1)/(2)(a_(1)+a_(2n+1))` `=(n+1)/(2)[a+a+(2n+1-1)d]` `=(n+1)(a+nd)` व `" "S_(2)=a_(2)+a_(4)+a_(6)+....+a_(2n)=(n)/(2)(a_(2)+a_(2n))` `=(n)/(2)[(a+d)+{(a+(2n-1)d}]=n(a+nd)` `(S_(1))/(S_(2))=((n+1)(a+nd))/(n(a+nd))=(n+1)/(n)` अतः `" " S_(1):S_(2)=(n+1):n` |
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| 437. |
यदि किसी अनुक्रम का n वाँ पद `2n^(2)+1` हो तो उस अनुक्रम को निकालिए। क्या यह अनुक्रम A.P. है? |
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Answer» माना कि दिए गए अनुक्रम का nवा पद `t_(n)` है, तो `t_(n)=2n^(2)+1` `:.t_(1)2.1^(2)+1=3" "(n=1` रखने पर) `t_(2)=2.2^(2)+1=9" "(n=2` रखने पर) `t_(3)=2.3^(2)+1=9" "` (रखने पर) `t_(4)=2.4^(2)+1=33" "(n=4` रखने पर) ................... इत्यादि। अतः दिया गया अनुक्रम है 3,9,19,33,..... `t_(2)-t_(1)=3-1=2,t_(3)-t_(2)=9-3=6` स्पष्टत: `t_(2)-t_(1)net_(3)-t_(2)` अतः दिया गया अनुक्रम A. P. नहीं है। |
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| 438. |
ज्ञात कीजिए `Sigma(2n^(2)-3n+5)` |
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Answer» Correct Answer - `(n)/(6)(4n^(2)-3n+23)` `Sigma(2n^(2)-3n+5)` n वाँ पद `=T_(n)=2n^(2)-3n+5` n पदों का योगफल `=S_(n)=Sigma(2n^(2)-3n+5)` `=2Sigman^(2)-3Sigman+5Sigma1` `=2.(n(n+1)(2n+1))/(6)-(3n(n+1))/(2)+5.n` `=(n)/(6)[4n^(2)-3n+23]` |
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| 439. |
यदि सo श्रेo में (n +1 ) पद हो तो सिद्ध कीजिए कि विषम पदों का योगफल तथा सम पदों के योगफल का अनुपात (n +1): n होता है। |
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Answer» माना कि स श्रेढ़ी `a,a+d,a+2d,a+3d,a+a+4d,a+5d,......,a2nd` है। इसके विषम पदों का योगफल `=a+(a+2d)+(a+4d)+.........+(n+1)` पदों तक `=(n+1)/(2)[2a+(n+1-1).2d}=(n+1)(a+nd)`. इसके सम पदों का योगफल `=(a+d)+(a+3d)+(a+5d)+......n` पदों तक `=(n)/(2){2(a+d)+(n-1)xx2d}=n(a+nd)` `:.("विषम पदों का योगफल")/ ("सम पदों का योगफल")=(n+1)/(n)` |
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| 440. |
यदि किसी सo श्रेo के p वे q वे और r वे पद क्रमशः a, b और c हो तो सिद्ध कीजिए कि `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` |
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Answer» माना कि A. P. का पहला पद x तथा पदान्तर d है तो प्रश्न से `a=x+(p-1)d" ".......(1)` `b=x+(q-1)d" ".......(2)` `cx+(r-1)d" ".......(3)` अब L.H.S. `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)` `={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+{x+(r-1)d}(p-q)` `=[x(q-r)+(p-1)(q-r)d]+[x(r-p)+(q-1)d]+[x(p-q)+(r-1)(p-q)d]` `=x(q-r+r-p-q)+{(p-1)(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}d` `=x.0+0.d=0` |
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| 441. |
यदि a, b, c, सo श्रेo में हो तथा x, y, z गुo श्रेo में हो, तो साबित कीजिए कि `:.x^(b-c)y^(c-a)z^(a-b)=1` |
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Answer» प्रश्न से a, b, c A. P. में है। माना कि इस A. P. का पदान्तर d है तो `b-c=-d,c-a=2d, a-b=-d" "......(1)` पुनः चूँकि x, y, z G. P. में है `:.y^(2)=xz" "......(2)` अब `x^(b-c).y^(c-a).z^(a-b)=x^(-d).y^(2dr)z^(-d)` `=(xz)-d.y^(2d)=(y^(2))-d_(y)2d`" "` [(1) से] `=y^(-2d).y^(2d)=y^(-2d+2d)=y^(0)=1` |
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| 442. |
निम्न श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए | `x(x+y)+x^(2)(x^(2)+y^(2))+x^(3)(x^(3)+y^(3))`+...n पदों तक |
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Answer» Correct Answer - `x^(2)((1-x^(2n)))/((1-x^(2)))+xy((1-x^(n)y^(n)))/((1-xy))` `x(x+y)+x^(2)(x^(2)+y^(2))+x^(3)(x^(3)+y^(3))+….nपदों तक` `=(x^(2)+xy)+(x^(4)+x^(2)y^(2))+(x^(6)+x^(2)y^(3))+…..पदों तक` `=(x^(2)+x^(4)+x^(6)+…+nपदों तक)+{xy+(xy)^(2)+(xy)^(3)+….nपदों तक}` `=S_(1)+S_(2)" "`.....(i) जहाँ `" "S_(1)=(a(r^(n)-1))/(r-1)=(x^(2){(x^(2))^(n)-1})/(x^(2)-1)=(x^(2)(x^(2n)-1))/(x^(2)-1)` `S_(2)=(xy{(xy)^(n)-1})/(xy-1)` समीकरण (i)में `S_(1)`व `S_(2)` का मान रखने पर |
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| 443. |
उस अनुक्रम का प्रथम पाँच पद निकालिए जिसके लिए `t_(1)=1,t_(2)=2" तथा "t_(n+2)=t_(n)+t_(n+1).` |
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Answer» प्रश्न से `t_(1)=1,t_(2)=2" तथा "t_(n+2)=t_(n)+t_(n+1)` (1) में n=1 रखने पर, `t_(3)=t_(1)+t_(2)=1+2=3` n=2 रखने पर, `t_(4)=t_(2)+t_(3)=2+3=5` n=3 रखने पर, `t_(5)=t_(3)+t_(4)=3+5=8` अतः दिए गए अनुक्रम के प्रथम पाँच पद है। 1, 2, 3, 5 तथा 8. |
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| 444. |
श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए `1.3^(2)+2.5^(2)+3.7^(2)+..........` to 20 terms. |
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Answer» Correct Answer - 188090 |
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| 445. |
किसी अनुक्रम के n पदों का जोड़ `2n^(2)+4` है तो इसका n वां पद निकालिए । क्या यह अनुक्रम A. P. में है। |
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Answer» Correct Answer - 4n-2; हाँ |
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| 446. |
निम्न अनुक्रम का योग ज्ञात कीजिए | `1.2^(2)3.3^(2).5.4^(2).7.5^(2)...n` पदों तक |
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Answer» n वाँ पद `=T_(n)=[1,3,5...का nवाँ पद ]xx[2,3...का nवाँ पद]^(2)` `=[1+(n-1).2][2+(n-1).1]^(2)` `=(2n-1)(n+1)^(2)` `=(2n-1)(n^(2)+2n+1)=2n^(2)+3n^(2)-1` `:.` योग `" "S_(n)=Sigma T_(n)=Sigma(2n^(3)+3n^(2)-1)` `=2Sigman^(3)+3Sigma n(2)-Sigma1` `2.(n^(2)(n+1)^(2))/(4)+(3.n(n+1)(2n+1))/(6)-n` `=(n)/(2)[n(n+1)^(2)+(n+1)(2n+1)-2]=(n)/(2)[n^(3)+4n-1]` |
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| 447. |
एक अनुक्रम का nवां पद `2^(3n)(-5)^(n)` है। क्या यह अनुक्रम G.P. में है ? यदि है तो इस G.P का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - हाँ -40 |
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| 448. |
वह अनुक्रम निकालिए जिसका n वा पद `(1)/(2n-1)` है। क्या यह अनुक्रम H.P. है? |
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Answer» प्रश्न से `t_(n)=(1)/(2n-1)` `:.t_(1)=(1)/(2.1-1)=1,t_(2)=(1)/(2.2-1)=(1)/(3),t_(3)=(1)/(5),t_(4)=(1)/(7),..........` अतः अभीष्ट अनुक्रम है `1,(1)/(3),(1)/(5),(1)/(7)......` इस अनुक्रम के पदों का व्युत्क्रम क्रमशः 1 ,3 ,5 ,7,....... है जो कि एक A.P. है। अतः दिया गया अनुक्रम एक H.P. है। |
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| 449. |
दी गई परिभाषा के आधार पर अनुक्रम `t_(n)=(1)/(2n-1)` का पन्द्रहवाँ पद क्या है ? |
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Answer» n=15 रखने पर `t_(n)=(1)/(2n-1)` `t_(15)=(1)/(2.15-1)=(1)/(29)` `:.` अतः दिए गए अनुक्रम का पन्द्रहवाँ पद `(1)/(29)` |
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| 450. |
दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए : `t_(n)=2n+5` |
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Answer» Correct Answer - 7, 9, 11 |
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