InterviewSolution
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| 301. |
1 व 1000 के बीच की सभी विषम संख्याओं, जो से भाज्य है का योगफल है-A. 83367B. 90000C. 83660D. कोई नहीं |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 302. |
दो संख्याओं के बीच समांतर माध्य 10 है और उनका गुणोत्तर माध्य 8 है। उन संख्याओं को ज्ञात करो । |
| Answer» Correct Answer - 16 और 4 | |
| 303. |
99 तथा 1001 के बीच ऐसी प्राकृत संख्याओं का योग लिखने ज्ञात कीजिए जो 5 गुणक है | |
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Answer» 5 से विभाजित, 99 तथा 1001 के बीच प्राकृत संख्याओं से बनने वाली श्रेणी निम्न होगी | `100+105110+......+1000` यहाँ `" "a=100` d=5 तथा `" " l=1000` अब `" " a_(n)=a+(n-1)d` `rArr " "1000=100+(n-1).5` `rArr "" 200=20+(n-1)` n=181 `:. " "` वांछित योग `=(n)/(2)(a+1)=(181)/(2)(100+1000)` `=(181)/(2)xx1100=181xx550=99550` |
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| 304. |
तीन अंकों की ऐसी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जिसे 4 से विभाजित करने पर क्षेत्रफल 1 बचता है | |
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Answer» तीन अंकों की ऐसी संख्याएँ जिन्हें 4 से विभाजित करने शेषफल 1 बचता है, वें है- 101,105,109...,+997 माना `" "S=101+105+106+...997` यहाँ `" " a=101," "d=4, " " l=997` अब, ये मान `" " l=a+(n-1)d` रखने पर `997=101+(n-1)4` `rArr " " n=225` `:. ""`वांछित योग `S=(225)/(2)[101+997]` `=(225)/(2)xx1098=225xx549=123525` |
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| 305. |
प्राकृत संख्याओं का एक अनुक्रम N निम्न प्रकार विभाजित है- `underset(------------){:(,,1,2,,),(,3,4,5,6,),(7,8,9,10,11,12):}` सिद्ध कीजिए कि n वीं पंडित में संख्याओं का योग `n(2n^(2)+1)` होगा | |
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Answer» स्पष्टतः n वीं पंडित में पदों की संख्या =2n `=2+4+6+...+2n` `=2(1+2+3+...+n)` `=2Sigma n=(2n(n+1))/(2)` =n(n+1) माना `S_(n)`,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग को व्यक्त करता है | `:.`वांछित `=S_(n(n+1))-S_(n(n-1))` `=(n(n+1))/(2)[1+n(n+1)]-(n(n-1))/(2)[1+n(n-1)]` `=(n(n+1)(n^(2)+n+1))/(2)-(n(n-1)(n^(2)-n+1))/(2)` `=(n)/(2)[n^(3)+2n^(2)+2n+1-n^(3)+2n^(2)-2n+1]` `=(n)/(2)[4n^(2)+2]=n(2n^(2)+1)""`यही सिध्द करना था | |
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| 306. |
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों। |
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Answer» 100 तथा 1000 के मध्य 5 के गुणज वाली प्राकृत संख्याओं से बनी श्रेणी है : `105,110,115, ……………………..995` माना इस श्रेणी में n पद हैं, तब n वां पद `=a+(n-1)d` `995=105+(n-1)5` `5(n-1)=890` `n-1=178` `n=179` अतः श्रेणी में 179 पद है। अब 179 पदों का योगफल `=(179)/(2)[105+995]` `=(179)/(2)xx1100` `=179xx550` `=98450.` |
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| 307. |
प्राकृत संख्याएँ समूहों में निम्न प्रकार बाँटे गये है `1,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),………..` साबित कीजिए कि n वे समूह के संख्याओं का योग `(n)/(2)(n^(2)+1)` है। |
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Answer» यहाँ प्रत्येक समूह की संख्याएँ A. P. में है। जिसका c. d. 1 है। अतः n वे की संख्याएँ भी A. P. में होगी जिसका c. d. 1 होगी। पहले दूसरे, तीसरे ……….. Group में पदों की संख्याएँ क्रमशः 1, 2, 3,…………. है। इस A. P. का n वां पद =1+(n-1).1=n अतः n वे group में पदों की संख्या =n यहाँ समूह के पहले पद क्रमशः 1, 2, 4, 7,............. है। यदि सभी समूहों के पहले पदों का योग S हो और `t_(n),n` वे समूह का पहला पद हो तो `S=1+2+4+7+...............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(1)` फिर `S=1+2+4+...............+t_(n-1)+t_(n)" ".......(2)` (2) में से (1) को घटाने पर, `0=1+[1+2+3+..........(n-1)` पदों तक `-t_(n)` `:.t_(n)=1=(n-1)/(2){2.1+(n-1-1).1}=1+((n-1)n)/(2)=(n^(2)-n+2)/(2)` अब n वे समूह का प्रथम पद `=(n^(2)-n+2)/(2)` तथा c.d =1 और पदों की संख्या =n है। `:.` n वे समूह के पदों का योगफल `=(n)/(2){(2.(n^(2)-n+2))/(2)+(n-1).1}` `=(n)/(2)(n^(2)-n+2+n-1)=(n)/(2)(n^(2)+1)` |
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| 308. |
यदि दो संख्याओं के बीच का समान्तर माध्य इसके बीच के गुणोत्तर माध्य का दुगुना हो, तो साबित कीजिए कि उन संख्याओ का अनुपात `2+sqrt3:2-sqrt3` है। |
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Answer» माना कि दो संख्याएँ a तथा b है जिनके बीच का समान्तर माध्य A तथा गुणोत्तर माध्य b है तो `A=(a+b)/(2)" तथा "G=sqrt(ab)" ".......(i)` प्रश्न से, `(a+b)/(2)=2sqrt(ab)" या "(a+b)/(2sqrt(ab))=(2)/(1)` `implies(a+b+2sqrtab)/(a+b-2sqrt(ab))=(2+1)/(2-1)` [compoendo तथा dividendo से] `implies((sqrt(a)+sqrtb)^(2))/((sqrt(a)-sqrt(b))^(2))=(3)/(1)implies(sqrta+sqrt(b))/(sqrta+sqrtb)=(sqrt3)/(1)` `implies(2sqrt(a))/(2sqrtb)=(sqrt3+1)/(sqrt3-1)or(sqrta)/(sqrtb)=(sqrt3+1)/(sqrt3-1)` [componedo तथा dividendo से] `implies(a)/(b)=((sqrt3+1)/(sqrt3-1))^(2)=(3+1+2sqrt3)/(3+1-2sqrt3)=(4+2sqrt3)/(4-2sqrt3)=(2+sqrt3)/(2-sqrt3)` |
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| 309. |
1 से 1000 तक ही ऐसी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 2 व 5 दोने से विभाजित नहीं होती है | |
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Answer» माना `S_(1)`1 से 1000 तक की प्राकृत संख्याओं का योग है | `:. " "S_(1)=1+2+3+.....+1000` `=(1000)/(2)[1+1000]=500500` अब `S_(1)`,1से 1000 तक की ऐसी प्राकृत संख्याओं का योग है जो 2 से विभाजित हैं | `S_(2)=2+4+6+....+1000` `=(500)/(2)[2+1000]=250xx1002=250500` तथा `S_(3)`1 से 1000 तक की ऐसी प्राकृत संख्याओं का योग है जो 5 से विभाजित हैं | `S_(3)=5+10+15+...+1000` `=(200)/(2)[5+1000]=100xx1005=100500` अब माना 1 से 1000 तक की ऐसी प्राकृत संख्याओं का योग जो 2 व 5 दोनों से विभाजित हो | `:. " "S_(4)=10+20+30+....+1000` `=(100)/(2)[10+1000]=50(1010)` =50500 `:. ""` वांछित योग `=S_(1)-S_(2)-S_(3)+S_(4)=500500-250500-100500+50500` =200000 |
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| 310. |
यदि दो दी हुई संख्याओं a और b के बीच एक गुणोत्तर माध्य G और दो समान्तर माध्य p और q रखे जायें, तो सिद्ध कीजिये कि - `G^(2)=(2p-q)(2q-p)` |
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Answer» `because ` a और b का G गुणोत्तर माध्य है। `G=sqrt(ab)` अतः `G^(2)=ab " " `…(1) `therefore a , p , q , b ` समान्तर श्रेणी में हैं। `therefore p-a=q-p=b-q`. प्रथम दो से, `a=p-q+p=2p-q " " ` …(2) तथा अंतिम दो से, `b=q-p+q=2q-p " " ` ...(3) `therefore` (1), (2), और (3 ) से , `G^(2)=(2p-q)(2q-p)`. |
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| 311. |
दो संख्याओं के बीच का समान्तर माध्य 20 तथा गुणोत्तर माध्य 16 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिये । |
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Answer» मान लीजिये संख्यायें x और y हैं। अब समान्तर माध्य `(x+y)/(2)=20` या `x+y=40 " " ` …(1) तथा गुणोत्तर माध्य `sqrt(xy) =16` या `xy=256 " "`…(2) समीकरण (1 ) से y का मान लेकर समीकरण (2 ) में रखने पर, `x(40-x)=256` या `x^(2)-4x+256 =0` या `(x-32)(x-8)=0` या `x=32, 8 ` x का मान समीकरण (1 ) में रखने पर, `y=8, 32` अर्थात अभीष्ट संख्यायें 32, 8 अथवा 8, 32 हैं। |
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| 312. |
यदि दो संख्याओं के समान्तर तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः A तथा G है,तो सिध्द कीजिए कि वो संख्याएँ `A+-sqrt((A+G)(A_G))` होगी | |
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Answer» `A=(x_(1)+x_(2))/(2) rArr x_(1)+x_(2)=2A" "`….(i) `G=sqrt(x_(1)x_(2)) rArr G^(2)=x_(1)x_(2)` तब `" "(x_(1)-x_(2))^(2)=(x_(1)+x_(2))^(2)-4x_(1)x_(2)` `=(2A)^(2)-4G^(2)=4A^(2)-4G^(2)=4(A+G)(A-G)" "`...(ii) अब समीकरण (i)व (ii)को हल करने पर |
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| 313. |
यदि दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः 10 तथा 8 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 4, 16 या 16, 4 |
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| 314. |
गुणोत्तर श्रेणी की चार संख्याओं का योगफल 60 है। प्रथम और अंतिम का समांतर माध्य 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 4, 8, 16, 32 या 32, 16, 8, 4 | |
| 315. |
गुणोत्तर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग 21 है। संख्याओं के वर्गों का योगफल 189 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए । |
| Answer» Correct Answer - 3, 6, 12 या 12, 6, 3 | |
| 316. |
यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी में तीन संख्याओ का गुणनफल 216 है तथा उनका योग 19 है तो संख्याएँ निकालिए। |
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Answer» माना कि गुo क्षेo में तीन संख्याएँ `(a)/(r)` a तथा ar है। प्रश्न से, `(a)/(r).a.ar=216" या "a^(3)=6^(3):.a=6` पुनः `(a)/(r)+a+ar=19:.(6)/(r)+6+6r=19` या `6r^(2)-13r+6=0" या "6r^(2)-9r=4r+0` या `3r(2r-3)-2(2r-3)=0" या "(3r-2)(2r-3)=0` `:.r=(2)/(3),(3)/(2)` जब `r=(2)/(3)` तो संख्याएँ होगी 9 ,6 और 4 जब `r=(2)/(3)` तो संख्याएँ होगी 4 ,6 ,9 अतः अभीष्ट संख्याएँ 4 ,6 ,9 है। |
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| 317. |
गुणोत्तर श्रेणी की किन्हीं तीन क्रमागत संख्याओं का योगफल 42 और गुणनफल 512 है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 2, 8, 32 या 32, 8, 2 | |
| 318. |
तीन संख्या जिनका गुणनफल 512 है गुणोत्तर श्रेढ़ी में है। यदि पहली संख्या में 8 तथा दूसरी संख्या में 6 जोड़ा जाता है तो संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हो जाती है तो संख्याएँ हैA. 2, 8, 32B. 8,8,8C. 4,8,16D. 2,8,14 |
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Answer» Correct Answer - C |
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| 319. |
गुणोत्तर श्रेणी में ऐसी तीन क्रमागत संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 13 तथा उनके वर्गो का योगफल 91 है | |
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Answer» माना अभीष्ट तीन क्रमागत संख्याएँ `(a)/(r ),a` व ar हैं तब प्रथम शर्तानुसार `(a)/(r )+a+ar=13" "`...(i) और `" " (a^(2))/(r^(2))+a^(2)+a^(2)r^(2)=91" "`..(ii) समीकरण (i) से `""((a)/(r )+a+ar)^(2)=169` `rArr (a^(2))/(r^(2))+a^(2)+a^(2)r^(2)+2(a^(2)/(r )+a^(2)+A^(2)r)=169` `rArr " "91+2a((a)/(r )+A+Ar)=169` `rArr ""26a=78 rArr a=3` a का यह मान समीकरण (i) में रखने पर `rArr ""3r^(2)-10r+3=0` `rArr " "3r^(2)-9r-r+3=0` `rArr " "(r-3)(3r-1)=0` rArr " "r=3 या (1)/(3)` अतः अभीष्ट संख्याएँ 1,3,9 या 9,3,1 हैं | |
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| 320. |
गुणोत्तर श्रेणी में ऐसी तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 65 तथा गुणन 3375 हों | |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी में तीन पद `ar,a,(a)/(r )`हैं | प्रश्नानुसार,`" "ar+a+(a)/(r )=65` `rArr " "a(r^(2)+r+1)=65r` तथा `ar.a.(a)/(r )=3375` `rArr " "a^(3)=(15)^(3)` `rArr " "a=15` a का मान समीकरण (i) में रखने पर `15(r^(2)+r+1)=65r` `rArr " " 3r^(2)+3r+3=13r` `rArr ""3r^(2)-10r+3=0` `rArr " "(r-3)(3r-1)=0` `rArr " "r=3,(1)/(3)` `:. " "`वांछित संख्याएँ =45,15,5 या 5,15,45 हैं | |
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| 321. |
समांतर श्रेणी में ऐसी तीन संख्याएँ ज्ञात करो जिनका योगफल 21 तथा जिनमें से अंतिम दो संख्याओं का गुणनफल 63 हो । |
| Answer» Correct Answer - 5, 7, 9, या 9, 7, 5 | |
| 322. |
ऐसी तीन संख्याएँ बताओ जो समांतर श्रेणी में हों और जिनका योगफल 24 तथा गुणनफल 440 हो। |
| Answer» Correct Answer - 5, 8, 11 | |
| 323. |
गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है | इन पदों में से यदि क्रमशः 1,7 व 21 घटाया जाये तो वह एक समान्तर श्रेणी बनायेंगे | संख्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी में तीन संख्याएँ a,ar तथा `ar^(2)`हैं | प्रश्नानुसार `" "a+ar+ar^(2)=56` यह भी दिया है, कि `a-1,ar-7,ar^(2)-21`समान्तर श्रेणी में होंगे | `rArr " "2(ar-7)=(a-1)+(ar^(2)-21)` `rArr " "2ar-14=a-1+ar^(2)-21` `rArr ""ar^(2)-2ar+a=8` समीकरण (i)से (ii) को घटाने पर 3ar=48 `rArr " "a=(16)/(r )` a का मान समीकरण (i) में रखने पर `(16)/(r )+16+16r=56` `rArr " "16+16r+16r^(2)=56r` `rArr " "2r^(2)-5r+2=0` `:. " "r=(5+-sqrt(25-16))/(4)=(5-+3)/(4)=(8)/(4),(2)/(4)=2,(1)/(2)` `:. " "a=(16)/(2),(16)/(1//2)=8,32` यदि a=8,r=2, तब वांछित संख्याएँ =32,16,8 |
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| 324. |
गुणोत्तर श्रेणी में ऐसी तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 28 तथा गुणनफल 512 है | |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी में वांछित तीन संख्याएँ निम्न हैं- `(a)/(r )a,ar` प्रश्नानुसार `(a)/(r )+a+ar=28` तथा `" "(a)/(r ).a.ar=512` समीकरण (ii)से `" "a^(3)=512=(8)^(3)` `rArr " "a=8` a का यह मान (i)में रखने पर `(8)/(r )+8+8r=28` `rArr " "2r^(2)-5r+2=0` `rArr " "r=2,(1)/(2)` यदि r=2,तब वांछित संख्याएँ =4,8,16 यदि `r=(1)/(2)`, तब वांछित संख्याएँ =16,8,4 |
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| 325. |
श्रेणी 17+15+13+.... के कितने पदों का योगफल 72 है, दोहरे उत्तर की व्याख्या कीजिए ? |
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Answer» प्रथम पद =17,सार्वअन्तर `d=15-17=-2` सूत्र `" "S_(n)=(n)/(2)[2a+(n-1)d]` `72=(n)/(2)[2xx17+(n-1)xx-2]` `144=n[34-2n+2]` `144=n[36-2n]` या `" " 144=36n-2n^(2)` या `" "2n^(2)-36n+144=0` या `" " n^(2)-18n+72=0` `(n-12)(n-6)=0` `:." " n=6,12` प्रथम 6 व 12 पदों का योग 72 होगा | दोहरे उत्तर का कारण यह है कि श्रेणी के 12 पदों को लिखने पर ज्ञात होता है, कि अन्तिम 6 पदों का योगफल शून्य है | |
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| 326. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी का पहला, दूसरा व सातवाँ पद एक ऐसी गुणोत्तर श्रेणी बनाता हैं | जिसका योग 93 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए | |
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Answer» हम जानते है कि `rArr " "(a+d)^(2)=a(a+6d)` `rArr " "d^(2)-4ad=0` `rArr " "d(d-4a)=0 rArr d=0 या d=4a` `d ne 0 rArr d=4a` `:.`संख्याएँ a,a+4a,a+24a a,5a,25a प्रश्नानुसार `" "a+5a+25a=93` `rArr ""3 la=93 rArr " "a=3 " "rArr " "d=12` `:." "`वांछित संख्याएँ =3,15,75 जो स्पष्टतः गुणोत्तर श्रेणी में हैं | |
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| 327. |
किसी समान्तर श्रेणी का पहला पद 100 तथा इसके पहले छः (six) पदों का योग अगले 6 पदों के योग के 5 गुने के बराबर है | इस समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए | |
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Answer» दिया है- `" " a=100` माना दी गयी समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d है | तब प्रश्नानुसार `100+(100+d)+(100+2d)+(100+3d)+(100+4d)+(100+5d)` `=5[100+6d)+(100+7d)+(100+8d)+(100+9d)+(100+10d)+(100+11d)]` `rArr (6)/(2)[100+(100+5d)]=5[(6)/(2){(100+6d)+(100+11d)}]` `rArr " " 100+(100+5d)=5[(100+6d)+(100+22d)]` `rArr " "200+5d=5(200+17d)` `=200+5d=1000+85d` `rArr " "80d=-800` `rArr ""d=-10` |
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| 328. |
एक समान्तर श्रेणी में, सिध्द कीजिए कि प्रारम्भ तथा अन्त से समान दूरी के पदों को योग, उस समान्तर श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पद के योग के बराबर होता है | |
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Answer» माना `a_(1),a_(2),a_(n)` एक समान्तर श्रेणी में के पद है जिसका सार्वअन्तर d है | प्रारम्भ से p वाँ पद, `a_(p)=a_(1)+(p-1).d` अतः से p वाँ पद =प्रारम्भ से (n-p+1) वाँ पद `=a_(n-p+1)` `=a_(1)+(n-p+1-1)d` `=a_(1)+(n-p)d` इसलिए (प्रारम्भ से p वाँ पद)+(अन्त से p वाँ पद)`=[a_(1)+(p-1)d]+[a_(1)+(n-p)d]` `=2a_(1)+(n-1)d` `=a_(1)+[(a_(1)+(n-1)d]` `a_(1)+a_(n)` प्रथम पद व अन्तिम पदों का योग | यही सिध्द करना था | |
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| 329. |
किसी समान्तर श्रेणी का पहला, दूसरा तथा अन्तिम पद क्रमशः a,b व c हैं सिद्ध कीजिए कि इस श्रेणी के n पदों का योग `((a+c)(b+c-2a))/(2(b-a))` होगा | |
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Answer» दिया हैं-`" "a_(1)=a,a_(2)=b,a_(n)=c` सार्वअन्तर `" "b=b-a` हम जानते हैं कि `a_(n)=a+(n-1)d` `rArr " "c=a+(n-1)d` `rArr " "c=a+(n-1)d` `rArr " " (n-1)d=c-a` `rArr " "n-1=((c-a))/(d)=((c-a))/((b-a))` `rArr " "n=((b+c-2a))/((b-a))" "`.....(i) अब `"" S_(n)=(n)/(2)(a+c)` समीकरण (i)से n रखने पर `S_(n)=((b+c-2a))/(2(b-a))(a+c)` |
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| 330. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी के m पदों के योग शून्य हों, तो सिध्द कीजिए कि अगले n पदों का योग `-(an(m+n))/((m-1))` होगा| जहाँ a पहला पद है | |
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Answer» प्रश्नानुसार `(m)/(2)[2a+(m-1)d]=0` rArr " " 2a+(m-1)d=0` rArr ""d=-(2a)/((m-1))` तथा `" "`अगले n पदों का योग =(m+n)पदों का योग -पहले m पदों का योग `=((m+n))/(2)[2a+(m+n-1)xx(-2a)/((m-1))]-0` `=((m+n))/(2)xx2a[1-((m+n-1))/((m-1))]` `=a(m+n)((m-1-m-n+1))/((m-1))` `=(-an(m+n))/((m-1))` |
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| 331. |
यदि किसी समान्तर श्रेणी का pवाँ पद a तथा qवाँ पद b है , तो कीजिए कि (p+q) पदों का योग `(p+q)/(2)[a+b+(a-b)/(p-q)]` होगा | |
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Answer» माना किसी समान्तर श्रेणी का पहला पद A तथा सार्वअन्तर d है | तब प्रश्नानुसार `A+(p-1)d=a` तथा `""A+(q-1)d=b` समीकरण (i) से (ii)घटाने पर `d=((a-b))/((p-q))` समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर `2A+(p+q-2)d=a+b` `:. " "2A+(p+q-1)d=a+b+d` `rArr "" 2A+(p+q-1)d=a+b+(a-b)/(p-q)` `:. " "(p+q)` पदों का योग `S_(p+q)=(p+q)/(2)[a+b+(a~b)/(p-q)]` |
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| 332. |
एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का योगफल `(39)/(10)` है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `r=(5)/(2)" या "(2)/(5);(2)/(5),1,(5)/(2)" या "(5)/(2),1(2)/(5)` अभीष्ट पद है। |
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| 333. |
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों कि संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषय स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 4 |
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| 334. |
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ,qवाँ तथा rवाँ,पद क्रमशः x,y,z, हो, तो सिध्द कीजिए कि `(q-r)logx+(r-p)logy+(p-q)log z=0` |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A तथा सार्वअनुपात R है | प्रश्नानुसार `T_(p)=AR^(p-1)=x " "rArr " "logx=logA+(p-1)logR" "`....(i) `T_(q)=AR^(q-1)=y " "rArr "" log y=log A+(q-1) log R" "`....(ii) `T_(r )=AR^(r-1)=z " "rArr "" logz=log A+(r-1)logR" "`....(iii) `(i)xx(q-r)+(ii)xx(r-p)+(iii)xx(p-q)` `=(q-r)logx+(r-p)logy+(p-q)logz=0.1 log z=0.1A+0.1 log R=0` `rArr (q-r)logx+(r-p)log y+(p-q)log z=0" "`यही सिध्द करना था | |
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| 335. |
एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल `(13)/(12)` है तथा उनका गुणनफल 1 है, तो सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए ? |
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Answer» Correct Answer - `(4)/(3),-1,(3)/(4),r=(-3)/(4)" के लिए तथा "(3)/(4),-1.(4)/(3)r=(-4)/(3)` |
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| 336. |
यदि G. P. का प्रथम पद a और सार्व अनुपात r है तो इसके अनन्त पदों का योग `(a)/(1-r)` जबA. `rge1`B. `rle-1`C. `-1lerle1`D. `-1ltrlt1` |
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Answer» G. P. के n पदों का योग `S_(n)=(a(1-r^(n)))/(1-r)` यदि `-1ltrlt1" तो "underset(ntooo)(Lt)r^(n)=0:.S_(oo)=(a)/(1-r)` |
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| 337. |
उस गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिये जिसका 6 वां पद 80 और 9 वां पद 640 हो। |
| Answer» Correct Answer - `(5)/(2), 5, 10, ……..` | |
| 338. |
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हों, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दुसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो। |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है, तब प्रश्नानुसार, तीसरा पद = प्रथम पद + 9 `ar^(2)=a+9` `ar^(2)-a=9` `a(r^(2)-1)=9 " " ` ...(i) तथा दुसरा पद = चौथा पद + 18 `ar=ar^(3)+18` `ar-ar^(3)=18` `therefore ar(1-r^(2))=18` या `ar(r^(2)-1)=-18 " " `...(ii) समीकरण (ii ) तथा (i ) को हल करने पर, `a=3` तथा `r=-2` `ar=3(-2)=-6` `ar^(2)=3(-2)^(2)=12` तथा `ar^(3)=3(-2)^(3)=-24` अतः गुणोत्तर श्रेणी के चार पद हैं : 3, -6, 12 तथा -24. |
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| 339. |
किसी गुणोत्तर श्रेणी में r वाँ,s वाँ तथा t वाँ पद क्रमशः R,S व T हैं | सिध्द कीजिए कि `R^(s-t).S^(t-r).T^(r-s)=1` |
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Answer» माना k गुणोत्तर श्रेणी का सार्वअन्तर तथा प्रथम पद a है | `:. " "R=T_(r )=ak^(r-1)` `R^(s-t)=a^(s-t)k^((r-1)(s-t))" "`....(i) इसी प्रकार `""S^(t-r)=a^(t-r)k^((s-1)(t-r))" "`.....(ii) तथा `""T^(r-s)=a^(r-s)k^((t-1)(r-s))" "`...(iii) समीकरण (i),(ii) व (iii) की गुना करने पर `R^(s-t).S^(t-r).T^(r-s)=a^(s-t+t-r+r-s).k^((r-1)(s-1)+(s-1)(t-r)+(t-1)(r-s))` `=a^(0)k^(0)=1` `rArr " " R^(s-t).S^(t-r).T^(r-s)=1""`यही सिध्द करना था | |
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| 340. |
यदि एक G. P. जिसका प्रथम पद a और सार्व अनुपात r है, के n पदों का योगफल `S_(n)` से निरूपित होता है तो `S_(1)+S_(2)+.........S_(2n-1)` तो ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - `(a)/(r-1)[2n-1-(r(1-r^(2n-1)))/(1-r)]` |
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| 341. |
यदि a, b, c, d गुo क्षेo में हो तो साबित कीजिए कि `(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)=(a-d)^(2)` |
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Answer» माना कि गुo क्षेo का सार्व अनुपात (c.r.)r है। `:.a,b,c,d G.P.` में है `:.b=ar,c=ar^(2)" और "d=ar^(2)` अब L.H.S. `=(b-c)^(2)+(c-a)^(2)+(d-b)^(2)` `=(ar-ar^(2))^(2)+(ar^(2)-a)^(2)+(ar^(3)-ar)^(2)` `=a^(2)r^(2)(1-r)^(2)+a^(2)(r^(2)-1)^(2)+a^(2)r^(2)(r^(2)-1)^(2)` `=a^(2)[r^(2)(1-2r+r^(2)]+(r^(4)-2r^(2)+1)+r^(2)(r^(4)-2r^(2)+1)]` `=a^(2)[r^(2)-2r^(3)+1)=a^(2)(r^(3)-1)^(2)={a(r^(3)-1)}^(2)` `=(ar^(3)-a)^(2)=(d-a)^(2)=(a-d)^(2)`= R.H.S. |
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| 342. |
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेढ़ी में है, जिनका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो। |
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Answer» माना कि G.P. का प्रथम पद a तथा है। प्रश्न से, `ar^(2)=a+9" ".......(1)` तथा `ar=ar^(3)+18" "......(2)` (1) से, `a(r^(2)-1)=9" "......(3)` (2) से, `ar(r^(2)-1)=-18" ".......(4)` (4) में (3) से भाग देने पर r=-2 (1) से `4a=a+9impliesa=3` अतः अभीष्ट संख्याएँ है 3,-6,12,-24 |
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| 343. |
गुणोत्तर श्रेणी `(5)/(2),(5)/(4),(5)/(8),............` का 20 वां तथा n वां पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» गुणोत्तर श्रेणी `(5)/(2),(5)/(4),(5)/(8),............` में, प्रथम पद ,` a = (5 )/ (2 ) ` गुणोत्तर अनुपात, `r = (1 )/(2 ) ` गुणोत्तर श्रेणी का n वां पद `=ar^(n-1)` गुणोत्तर श्रेणी का 20 वां पद `=(5)/(2)((1)/(2))^(20-1)=(5)/(2)((1)/(2))^(19)=(5)/(2^(20))` और गुणोत्तर श्रेणी का n वां पद `=(5)/(2)((1)/(2))^(n-1)=(5)/(2)xx(1)/(2^(n-1))=(5)/(2^(1+n-1))=(5)/(2^(n))` |
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| 344. |
एक गुणोत्तर श्रेणी में तीसरा पद 24 तथा 6 वां पद 192 है, तो 10 वां पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `because ` गुणोत्तर श्रेणी का n वां पद, `a^(n)=ar^(n-1)` `therefore` गुणोत्तर श्रेणी का 3 वां पद, `a^(3)=ar^(3-1) ` `therefore ar^(2)=24" "`...(i) तथा गुणोत्तर श्रेणी का 6 वां पद, `a^(6)=ar^(6-1)` `therefore ar^(5)=192 " " ` ...(ii) समीकरण (ii ) को (i ) से भाग देने पर, `r^(3)=8=(2)^(3)` `therefore r=2` r का मान समीकरण (i ) में रखने पर, `a(2)^(2)=24 ` `axx4=24 ` `a =6` अब गुणोत्तर श्रेणी का 10 वां पद `=6(2)^(10-1)` `=6(2)^(9)` `=6xx512` `=3072.` |
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| 345. |
गुणोत्तर श्रेणी `(2)/(27), (2)/(9),(2)/(3), ......., 162` का अंत से तीसरा पद ज्ञात कीजिए। |
| Answer» Correct Answer - 18 | |
| 346. |
किसी अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल 15 तथा उसके पदों के वर्गो का योगफल 45 है,श्रेणी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r हैं, तब श्रेणी `=a+ar+ar^(2)+...oo` अब,`" "a+ar+ar^(2)+...oo=15` `rArr " " (a)/(1-r)=15""`...(i) एवं `" "(a^(2)+a^(2)r^(2)+...oo)=45` `(a^(2))/(1-r^(2))=45""`...(ii) समीकरण (i) से, `" "(a^(2))/((1-r)^(2))=225" "`....(iii) अब समीकरण (ii)व (iii) से `(a^(2))/((1-r)^(2)))xx((1-r^(2))/(a^(2))=(225)/(45)` `rArr " "(1+r)/(1-r)=5 rArr 1+r=5(1-r)` `rArr " "6r=4` `rArr " "6r=4` `rArr ""r=(2)/(3)` r का यह मान समीकरण (i)में रखने पर, `(a)/(1-(2)/(3))=15 rArr " "rArr " "3a=15 rArr a=5` अतः `" " a=5, r=(2)/(3)` अतः अभीष्ट गुणोत्तर श्रेणी `5+(10)/(3)+(20)/(9)+(40)/(27)+...` है | |
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| 347. |
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ पद व 9वाँ पद क्रमशः 54व 13122 है, तो श्रेणी ज्ञात कीजिए तथा श्रेणी का व्यापक पद भी ज्ञात कीजिए | |
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Answer» माना अभीष्ट गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है| तब `" "a_(4)=54" "`या `" "ar^(4-1)=54` `rArr " "ar^(3)=54" "`...(i) इसी प्रकार `" "a_(9)=13122" " या ""ar^(9-1)=13122` `rArr " "ar^(8)=13122""`.....(ii) समीकरण (ii) में (i)का भाग करने पर `(ar^(8))/(ar^(3))=(13122)/(54)" " rArr " "r^(5)=243` `rArr " "r=3` r का यह मान समीकरण (i) में रखने पर `axx3^(3)=54` `rArr " "27a=54" "rArr " "a=2` अतः अभीष्ट श्रेणी निम्नलिखित है : 2,6,18,54..... व `""`व्यापक पद `=ar^(n-1)=2xx3(n-1)` |
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| 348. |
माना कि A. P. का प्रथम पद a, पदान्तर d तथा k पदों का योगफल `S_(k)` हो तो `(S_(kx))/(S_(x))` के x से स्वतंत्र होने के लिएA. a=2dB. a=dC. 2a=dD. इनमे से कोई नहीं |
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Answer» `(S_(kx))/(S_(x))=((kx)/(2)[2a+(kx-1)d])/((x)/(2)[2a+(x-1)d])=(k[(2a-d)+kxd])/((2a-d)+xd)` यदि 2a-d=0, तो `(S_(kx))/(S_(k))=k^(2)` जो कि x से स्वतंत्र है। |
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| 349. |
गुo क्षेo 5, 20, 80,……..,5120 में कितने पद है? |
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Answer» माना कि G. P. में पदों की संख्या n है। अब `a=5,r=4,t_(n)=5120,n=?` सूत्र `t_(n)=ar^(n-1)` से, `5120=5.4^(n-1)" या "4^(n-1)=1024=4^(5)` `:.n-1=5" या "n=6` |
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| 350. |
किसी अनुक्रम का प्रथम तीन पद 3, 3, 6 है और प्रत्येक दूसरे पद के बाद वाला पद पूर्व दोनों पदों के योगफल के बराबर है तो इस अनुक्रम का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए। |
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Answer» Correct Answer - 15 |
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