InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
`(dy)/(dx)=e^(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=e^(x)+c` | |
| 2. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(dy)/(dx)=x^(2)+sin4x` |
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Answer» Correct Answer - `(x^(3))/(3)-(cos4x)/(4)+c` `dy=(x^(2)+sin4x)dx` अब समाकलन कीजिए। |
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| 3. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=x^(3)+sin4x` को हल कीजिये। |
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Answer» `(dy)/(dx)=x^(3)+sin4x` `impliesdy=x^(3)dx+sin4xdx` x के सापेक्ष समाकलन करने पर, `intdy=intx^(3)dx+intsin4xdx+c` `impliesy=(1)/(4)x^(4)-(1)/(4)cos4x+c` |
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| 4. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=x^(2)+ sin4x` को हल कीजिए । |
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Answer» यहाँ `(dy)/(dx)=x^(2)+sin4x` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर ` int dy=int x^(2)dx+int sin4x dx + c` `y=(x^(3))/(3)-(cos4x)/(4)+c`, यहाँ c स्वेच्छ अचर है । |
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| 5. |
`(dy)/(dx)=x` |
| Answer» Correct Answer - `y=(1)/(2)x^(2)+c` | |
| 6. |
`(dy)/(dx)=cotx` |
| Answer» Correct Answer - `y=sec(2)x+c` | |
| 7. |
`(dy)/(dx)=x^(2)+sin4x` |
| Answer» `y=(x^(3))/(3)-(1)/(4)cos4x+c` | |
| 8. |
`x(dy)/(dx)-y+x sin.(y)/(x)=0` |
| Answer» `x[1-cos.(y)/(x)]=csin.(y)/(x)` | |
| 9. |
हल करें : `(3xy + y^(2))dx + (x^(2) + xy)dy=0` |
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Answer» दिया गए अवकल समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है- `(dy)/(dx) = -(3xy + y^(2))/(x^(2)+xy)` x की जगह `kx` तथा y की जगह `ky` रखने पर समीकरण (1) का RHS अपरिवर्तीय रहता है, इसलिए अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है| `y=vx` रखें, तो `(dy)/(dx) = v+x(dv)/(dx)` अब समीकरण (1) हो जाता है, `v+x(dv)/(dx) = -(3vx^(2) + v^(2)x^(2))/(x^(2) + vx^(2))` या, `v+x(dv)/(dx) = -(3v+v^(2))/(1+v)` या, `x(dv)/(dx) = [-((3v-v^(2))/(1+v))-v]` या, `x(dv)/(dx) = -2(2v+v^(2))/(1+v)` या, `(1+v)/(2v + v^(2)) dv = -2/x dx` या, `int(1+v)/(2v+ v^(2)) dv + int 2/x dx = log C` या, `1/2log|2v + v^(2)| + 2log|x| = log C` या, `log|x sqrt(2xy + y^(2))|= log C` [`v=y/x` रखने पर] या, `xsqrt(2xy + y^(2)) =+-C` या, `x^(2)(2xy + y^(2)) = k`, जहाँ, `k=C^(2)` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 10. |
`(3xy+y^(2))dx+(x^(2)+xy)dy=0` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है : `(3xy+y^(2))dx+(x^(2)+xy)dy=0` `implies(dy)/(dx)=-((3xy+y^(2)))/((x^(2)+xy))" "......(1)` समीकरण (1) में y =vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+(dv)/(dx)` रखने पर `v+x(dy)/(dx)=-((3vx^(2)+v^(2)x^(3)))/(x^(2)+vx^(2))` `impliesv+x(dy)/(dx)=-((3v+v^(2)))/((1+v))` `impliesx(dv)/(dx)=[-((3v+v^(2)))/((1+v))-v]` `impliesx(dv)/(dx)=(-2(2v+v^(2)))/((1+v))` `implies((1+v))/((2v+v^(2)))dv=-(2)/(x)dx` दोनों ओर का समीकरण करने पर `int(1+v)/((2v+v^(2)))dv+int(2)/(x)dx=logc` `implies(1)/(2)log|2v+v^(2)|+2log|x|=logc` `implieslog|x^(2)sqrt(2v+v^(2))|=logc` `implies|x^(2)sqrt(2v+v^(2))|=c` पुनः `x=(y)/(x)` रखने पर `x^(2)sqrt((2y)/(x)+(y^(2))/(x^(2)))=c` `impliesxsqrt((2xy+y^(2)))=c` `impliesx^(2)(2xy+y^(2))=c^(2)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 11. |
(i) `x dy=(y+sqrt(x^(2)+y^(2)))dx` (ii) `y dx +xlog((y)/(x))dy-2x dy=0` |
| Answer» (i) `y+sqrt(X^(2)+y^(2))=cx^(2)` (ii) `1+log((x)/(y))=cy` | |
| 12. |
(i) `(dy)/(dx)+(3xy+y^(2))/(x^(2)+xy)=0` (ii) `(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2)y)dy` |
| Answer» `x^(2)(y^(2)+2xy)=c^(2)` (ii) `x^(2)-y^(2)=c(x^(2)+y^(2))^(2)` | |
| 13. |
Y-अक्ष को मूल-बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। |
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Answer» यदि वृत्त Y-अक्ष को मूल-बिन्दु पर स्पर्श करते है, तो इनका केन्द्र X-अक्ष पर स्थित होगा। `therefore` वृत्त का समीकरण `(x-h)^(2)+(y-0)^(2)=h^(2)` `implies x^(2)+y^(2)-2hx=0" ….(1)"` x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2x+2y(dy)/(dx)-2h=0` `implies 2h=2x+2y(dy)/(dx)` यह मान समीकरण (1) में रखने पर, `x^(2)+y^(2)-x(2x+2y(dy)/(dx))=0` `implies y^(2)-x^(2)-2xy(dy)/(dx)=0` |
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| 14. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)-2y=cos3x` |
| Answer» Correct Answer - `y=((3sin3x-2cos3x))/(13)+ce^(2x)` | |
| 15. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x(dy)/(dx)-y=x+1` |
| Answer» Correct Answer - `y=xlogx-1+cx` | |
| 16. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(xlogx)(dy)/(dx)+y=(2)/(x)logx` |
| Answer» Correct Answer - `y(logx)=(-2)/(x)(logx+1)+c` | |
| 17. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(1+x^(2))(dy)/(dx)=x` |
| Answer» Correct Answer - `y=(1)/(2)log(1+x^(2))+c` | |
| 18. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=sin^(8)x cosx` |
| Answer» Correct Answer - `y=(sin^(9)x)/9+c` | |
| 19. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+y=e^(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=(e^(x))/(2)+ce^(-x)` | |
| 20. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x(dy)/(dx)+y-x+xycotx=0,x""ne0` |
| Answer» Correct Answer - `xysinx=-x cosx+sinx+c` | |
| 21. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x(dy)/(dx)+2y=x^(2),x""ne0` |
| Answer» Correct Answer - `y=(x^(2))/(4)+(c)/(x^(2))` | |
| 22. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+2ycotx=3x^(2)cosec^(2)x` |
| Answer» Correct Answer - `y(sin^(2)x)=x^(3)+c` | |
| 23. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x(dy)/(dx)-y=2x^(2)secx` |
| Answer» Correct Answer - `y=cx+2xlog(secx+tanx)` | |
| 24. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+ycosx=sinxcosx` |
| Answer» Correct Answer - `y=sinx-1+ce^(-sinx)` | |
| 25. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(dy)/(dx)+(1+x^(2))/(x)=0` |
| Answer» Correct Answer - `y+log+(1)/(2)x^(2)=c` | |
| 26. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+(1+x^(2))/(x)=0` |
| Answer» Correct Answer - `y+logx+1/2""x^2=c` | |
| 27. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `((e^(-2sqrtx))/(sqrtx)-(y)/(sqrtx))(dx)/(dy)=1,x""ne0` |
| Answer» Correct Answer - `y=(2sqrtx+c)e^(-2sqrtx)` | |
| 28. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+(y)/(x)=e^(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=e^(x)-(e^(x))/(x)+(c)/(x)` | |
| 29. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+2y-sinx` |
| Answer» Correct Answer - `y=(1)/(5)(2sinx-cosx)+ce^(-2x)` | |
| 30. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `(1+x^(2))(dy)/(dx)=x` |
| Answer» Correct Answer - `=1/2""log(1+x^2)+c` | |
| 31. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(dy)/(dx)=e^(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=e^(x)+c` | |
| 32. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `tan y dx + tanx dy =0` |
| Answer» Correct Answer - `sin x sin y = k` | |
| 33. |
प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए- `sec^(2)xtanydx+sec^(2)ytanxdy=0` |
| Answer» Correct Answer - `tanxtany=c` | |
| 34. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+ycotx=x` |
| Answer» Correct Answer - `(y-1)sinx+xcosx=c` | |
| 35. |
`e^(x)tanydx+(1-e^(x))sec^(2)ydy=0` |
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Answer» `e^(x)tanydx+(1-e^(x))sec^(2)ydy=0` `implies e^(x)tan y dx=-(1-e^(x))sec^(2)y dy` `implies (e^(x))/((e^(x)-1))dx=(sec^(2)y)/(tan y)dy` `implies int(e^(x))/((e^(x)-1))dx=int(sec^(2)y)/(tany)dy` माना `e^(x)-1=t implies e^(x)dx=dt` माना `tan y = v implies sec^(2)y dy = dv` `therefore int (1)/(t)dt = int(1)/(v) dv` `implies log|t|=log|v|-log|C|` `implies log|e^(x)-1|=log|tany|-log|C|` `log|C(e^(x)-1)|=log|tany|` `implies C^(e^(x)-1)=tan y` जोकि अभीष्ट व्यापक हल है। |
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| 36. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(1-x^(2))(dy)/(dx)+xy=ax` |
| Answer» Correct Answer - `y=a+csqrt(1-x^(2))` | |
| 37. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `x(dy)/(dx)+2y=sinx` |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)y=-xcosx+sinx+c` | |
| 38. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=(x(2log+1))/(siny+ycosy)` |
| Answer» Correct Answer - `ysiny=x^@logx+c` | |
| 39. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=(1)/(y+siny)` |
| Answer» Correct Answer - `1/2(y^2-2cosy)=x+c` | |
| 40. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(dy)/(dx)=-(y)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - xy=c | |
| 41. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(dy)/(dx)=(1)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=logx+c` | |
| 42. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिए- `sec^(2)xtany dx+sec^(2)ytanx dy=0` |
| Answer» Correct Answer - `tan x tan y = k` | |
| 43. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)-ytanx=e^(x)secx` |
| Answer» Correct Answer - `ycosx=e^(x)+c` | |
| 44. |
प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए- `e^(x)tanydx+(1-e^(x))sec^(2)ydy=0` |
| Answer» Correct Answer - `tany=c(1-e^(x))` | |
| 45. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(x^(2)-1)(dy)/(dx)+2(x+2)y=2(x+1)` |
| Answer» Correct Answer - `y=((x+1))/((x-1)^(3)){x^(2)-6x+8log(x+1)}+c` | |
| 46. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(dy)/(dx)=(1)/(y+siny)` |
| Answer» Correct Answer - `(y^(2))/(2)-cosy=x+c` | |
| 47. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये - `(dy)/(dx)+ytanx=2x+x^(2)tanx` |
| Answer» Correct Answer - `ysecx=x^(2)secx+c` | |
| 48. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये- `(dy)/(dx)=tanx` |
| Answer» Correct Answer - `y=logsecx+c` | |
| 49. |
अवकल समीकरणों को हल कीजिये `(e^(x)+1)ydy+(y+1)dx=0` |
| Answer» Correct Answer - `y=log(1+y)+log(1+e^(-x))+log(1+e^(-x))+c` | |
| 50. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=sqrt(4-y^(2)) (-2 lt y lt 2)` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx)=sqrt(4-y^(2))` `implies(dy)/(sqrt(4-y^(2)))=dx` (चरो को पृथक करने पर) दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, `int(dy)/(sqrt(4-y^(2)))=intdx+c` `impliessin ^(-1)((y)/(2))=x+c` `implies y/2 =sin (x+c)` `impliesy=2 sin (x+c).` |
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