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751.

हल कीजिए- `(dy)/(dx)+y tan x=x^(m)cos x.`

Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx) +y tan x = x^(m) cos x" "...(1)`
`P =tan x` और `Q=x^(m) cos x.`
`therefore I. F. =e ^(int tan x dx)=e ^(log |sec x|)=sec x`
अतः अभीष्ट हल है-
`y. (I. F.)= int Q . (I. F) dx+C`
`impliesy. sec x = intQ. (I. F. ) dx+C`
`impliesy. sec x = int x^(m) cos x. sec x dx +C`
`impliesy sec x = int x^(m) dx+C`
`implies y sec x = (x ^(m+1))/(m+1) +C.`
Discussion
752.

हल कीजिए- `(x^(2) -1) (dy)/(dx) +2xy =(2)/(x^(2)-1).`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(x^(2)-1) (dy)/(dx) +2xy =(2)/(x^(2)-1)`
`implies (dy)/(dx)+((2x)/(x^(2)-1))y= (2)/((x^(2)-1)^(2)), " "....(1)`
`[(x^(2)-1)` से भाग देने पर]
हो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) कि तुलना `(dy)/(dx) +Py=Q` से करने पर
` P=(2x)/(x^(2)-1)` और `Q=(2)/((x^(2)-1)^(2))`
` thereforeI. F. =e^(intPdx)=e ^(int(2x)/(x^(2)-1)dx)`
`=e^(int(dt)/(t)),["माना " x^(2) -1 =timplies 2x dx= dt]`
`=e ^(int(dt)/(t))=e ^(log |x^(2)-1|)`
`=x^(2)-1 `
अभीष्ट हल है-
`y xx (I. F. )=int Q xx (I. F .) dx +C`
`impliesy (x^(2)-1)=int (2)/((x^(2)-1)^(2))xx (x^(2)-1) dx+C`
`implies (x^(2)-1) =2 int (1)/(x^(2)-I^(2))dx+C`
`implies y(x^(2) -1) =2 log |(x-1)/(x+1)|+C.`
Discussion
753.

हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y cot x =2 cos x, y=0` यदि `x=(pi)/(2).`

Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx) +y cot x=2 cos x " "...(1)`
यहॉँ `P=cotx` और `Q =2 cos x`
`thereforeI. F. =e ^(intPdx)=e ^(int cot xdx )=e ^(log (sin x))=sin x`
अतः अभीष्ट व्यापक हल है-
`yxx (I. F. ) =int Q xx (I. F. )dx +C`
`implies y. sin x=int 2 cos x sin xdx +C`
`impliesy sin =x int sin 2 xdx +C`
`impliesy sin x =(-cos 2x)/(2)+C" "...(2)`
समी (2 ) में, `x=pi/2` और `y=0` रखने पर ,
`0=-(cos pi)/(2) + Cimplies C=(-1)/(2),[because cos pi =-1]`
समी (2 ) में `C=-1/2` रखने पर,
`ysin x=-1/2 cos 2x -1/2`
`implies2 y sin x + cos 2x +1=0`
Discussion
754.

हल कीजिए- `(1+x^(2))(dy)/(dx) +y=e ^(tan ^(-1))x.`

Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- ` (1+x^(2))(dy)/(dx) +y=e ^(tan ^(-1)x),`
`implies(dy)/(dx)+((1)/(1+x^(2)))u=(e ^(tan^(-1)x))/(1+x^(2))" "...(1)`
जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) कि तुलना `(dy)/(dx)+Py =Q` से करने पर ,
`P =(1)/(1+x^(2))` और `Q=(e ^(tan ^(-1)x))/(1+x^(2))`
`therefore I. F. =e^(int (1)/(1+ x^(2)))dx =e ^(int (1)/(1+x^(2)))=e ^(tan^(-1)x)`
अतः अभीष्ट हल है-
`y xx (I. F. )=int Qxx (I. F. ) dx+C`
` impliesy. e ^(tan^(-1)x)=int (e ^( tan ^(-1)x))/(1+x^(2))dx+C`
`implies ye ^(tan ^(-1)x) =int (e^(2 tan^(-1)x))/(1+x^(2))dx+C`
`impliesye ^(tan ^(-1)x)= int e ^(2t) dt +C,`
`["माना" tan ^(-1) x=t implies(1)/(I+x^(2))dx=dt]`
`impliesye ^(tan ^(-1)x)=(e ^(2t))/(2)+C`
`implies ye ^(tan ^(-1)x)=1/2 e ^(2 tan ^(-1))+C.`
Discussion
755.

हल कीजिए- `(y+3x^(2))(dx)/(dy)=x.`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(y+3x^(2))(dy)/(dx) =x`
`implies (dy)/(dx) =(y+ 3x^(2))/(x)`
`implies (dy)/(dx)=(y)/(x)+3x`
`implies (dy)/(dx) -y/x =3x`
`implies(dy)/(dx) +(-(1)/(x))y =3x`
जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) कि तुलना `(dy)/(dx)+Py =Q` से करने पर
`P=-1/x` और `Q=3x.`
`thereforeI. F. =e ^(int Pdx)=e ^(int (1)/(x)dx)=e ^(-log |x|)=e ^(log x^(-1))`
`=x^(-1) =1/x`
अतः अभीष्ट हल है-
`y xx (I. F.) = int Q xx(I.F.) dx+C`
`impliesy. (1)/(x)=int 3x xx (1)/(x) dx+C`
`implies y/x =int 3 dx+C`
`implies y/x =2x+C`
`implies y=3x^(2) +Cx.`
Discussion
756.

(i) `(dy)/(dx)+ysecx=tanx` (ii) `(dy)/(dx)+y cotx=2cosx`

Answer» `y(sec x+tanx)=secx+tanx-x+c` (ii) `ysinx=-(1)/(2)cos2x+c`
Discussion