InterviewSolution
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| 301. |
उस वक्र का समीकरण ज्ञात करें जिसकी ढाल `(dy)/(dx) =(2y)/x, x gt 0, y gt 0` तथा जो बिंदु (1,1) से गुजरती हैं| |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `(dy)/(dx) =(2y)/x`.........(1) या `(dy)/y = 2(dx)/x therefore int (dy)/y =2 int(dx)/x + k` या, `log y = 2log x + k = logx^(2) + log_(e)c`, जहाँ `k=log_(e)c` या, `log_(e)y=log_(e) (cx^(2))` या, `y=cx^(2)`, जहाँ c एक स्वैच अचर हैं| .........(2 ) चूँकि वक्र (2) बिंदु (1,1) से गुजरती हैं, `therefore 1=c`..........(3) यही वक्र का अभीष्ट समीकरण हैं| |
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| 302. |
निम्न वक्रों के कुल के संगत समीकरण बनाइए: (i) `y=Ae^(Bx)` `y=Ax+(B)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - (i) `(d^(2)y)/(dx^(2))=((dy)/(dx))^(2) (ii) x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))+x(dy)/(dx)-y=0` | |
| 303. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `y^(2)(dx)/(dy) +x-(1)/(y)=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=((y+1)/(y))+Ce^(1//y)` |
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| 304. |
अवकल समीकरण `(x+1)(dy)/(dx)=2xy` को हल कीजिए, दिया है कि y(2)=3 |
| Answer» Correct Answer - `y(x+1)^(2)=27e^(2x-4)` | |
| 305. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+2y^(3))dy= yxy` |
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Answer» Correct Answer - `x=y^(3)+Cy` |
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| 306. |
`x(dy)/(dx)-y=sqrt(x^(2)+y^(2))` को हल कीजिए। |
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Answer» `x(dy)/(dx)-y=sqrt(x^(2)+y^(2))` `impliesx(dy)/(dx)=y+sqrt(x^2+y^(2))` `implies(dy)/(dx)=(y+sqrt(x^(2)+y^(2)))/(x)` जोकि एक रैखिक समघात समीकरण है। उपरोक्त समीकरण में y=vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` `v+x(dy)/(dx)=(vx+sqrt(x^(2)+v^(2)x^(2)))/(x)` `=(vx+xsqrt(1+v^(2)))/(x)=v+sqrt(1+v^(2))` `impliesx(dv)/(dx)=sqrt(1+v^(2))` `implies(dv)/(sqrt(1+y^(2)))=(dx)/(x)` दोनों ओर का समाकलन करने पर, `int(dv)/(sqrt(1+v^(2)))=int(dx)/(x)` `implieslog|v+sqrt(1+v^(2))|=log|x|+logc_(1)` `implies|v+(sqrt(1+v^(2)))|=c_(1)|x|` `impliesv+sqrt(1+v^(2))=+-c_(1)x=cx" "(c=+-c_(1))` पुनः `v=(y)/(x)` रखने पर `(y)/(x)+sqrt(1+(y^(2))/(x^(2)))=cx` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 307. |
`(y^(2)-x^(2))dy=3xydx` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है : `(y^(2)-x^(2))dy=3xydx` `implies(dy)/(dx)=(3xy)/(y^(2)-x^(2))` जोकि एक समघात अवकल समीकरण है। उपरोक्त समीकरण में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` रखने पर `v+x(dv)/(dx)=(3x.vx)/(v^(2)x^(3)-x^(2))=(3 v)/(v^(2)-1)` `impliesx(dv)/(dx)=(3v)/(v^(2)-1)v=(4v-v^(3))/(v^(2)-1)` चरो को पृथक करने पर, `(v^(2)-1)/(v(4-v^(2)))dv=(dx)/(x)` दोनों ओर को समाकलन करने पर, `int(v^(2)-1)/(v(2-v)(2+v))dv=int(dx)/(x)+c` `impliesint[-(1)/(4v)+(3)/(8).(1)/(2-v)-(3)/(8)(1)/(2+v)]dv=int(dx)/(x)+c` `implies-(1)/(4)log| v|-(3)/(8)log|2-v|-(3)/(8)log|2+v|=log|x|+c` `implies2log|v|+3(log|2-v|+3log|2+v|+3log|2+v|)=-8log|x|-8c` `implieslog|v^(2).(4-v^(2))^(3)|=lgo|(c_(1))/(x^(8))|` `impliesv^(2)(4-v^(2))^(3)=+-(c_(1))/(x^(8))` अब, `v=(y)/(x)` रखने पर `(y^(2))/(x^(2))(4-(y^(2))/(x^(2)))=+-(c_(1))/(x^(8))` `impliesy^(2)(4x^(2)-y^(2))^(3)=c_(1)` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 308. |
`2xydx+(x^(2)+2y^(2))dy=0` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया है : `2xydx+(x^(2)+2y^(2))dy=0` `implies(dy)/(dx)=-(2xy)/(x^(2)+2y^(2))" "......(1)` `implies(dy)/(dx)=-(2xy)/(x^(2)+2y^(2))" "......(1)` समीकरण (1) में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=-(2x(vx))/(x^(2)+2v^(2)x^(2))=-(2v)/(1+2v^(2))` `impliesx(dv)/(dx)=-(2v)/(1+2v^(2))-v=-((3v+2v^(2)))/(1+2v^(2))` `implies(1+2v^(2))/(3v+2v^(2))dv+(dx)/(x)=0` दोनों ओर का समाकलन करने पर `int(1+2v^(2))/(3v+2v^(3))dv+int(dx)/(x)=0` `implies(1)/(3)int(dt)/(t)+log|x|=logc_(1)` [माना `t=3v+2v^(3)implies(dt)/(3)=(1+2v^(2))dv]` `implies(1)/(3)log|t|+log|x|=logc_(1)` `implies|t|^(1//3).x=c_(1)` `impliestx^(3)=c_(1)^(3)=c` `implies(3v+2v^(3))x^(3)=c` `implies3vx^(3)+2v^(3)x^(3)=c` पुनः `v=(y)/(x)` रखने पर `3x^(2)y+2y^(3)=c` यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है। |
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| 309. |
`(sec x) (dy)/(dx) = y+sin x` |
| Answer» `y = Ce^(sinx) - (1 +sinx)` | |
| 310. |
`(1+x^(2))(dy)/(dx) + 2xy = cosx` |
| Answer» `y(1+x^(2)) - sin x=C` | |
| 311. |
`x(dy)/(dx) + 2y = sinx` |
| Answer» `x^(2)y = (2-x^(2)) cosx + 2x sin x +C` | |
| 312. |
`(dy)/(dx)=(1+y^(2))/(1+x^(2))` |
| Answer» Correct Answer - y-x=k(1+xy) | |
| 313. |
`(dy)/(dx)=(1)/(y+sin y)` |
| Answer» `(1)/(2)y^(2)-cos y=x+c` | |
| 314. |
`(dy)/(dx)=(xy+y)/(xy+x)` |
| Answer» `x-y+log.(x)/(y)=c` | |
| 315. |
`(dy)/(dx)+(1+y^(2))/(y)=0` |
| Answer» `(1)/(2)log(1+y^(2))+x=c` | |
| 316. |
`x^(2)(1-y)(dy)/(dx)+y^(2)(1+x)=0` |
| Answer» `log.(x)/(y)=((1)/(x)+(1)/(y))+c` | |
| 317. |
`(dy)/(dx)=sqrt((1+y^(2))/(1+x^(2)))` |
| Answer» `sqrt(1+y^(2))+y=c(sqrt(1+x^(2))+x)` | |
| 318. |
`(dy)/(dx)=(y)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - xy = c | |
| 319. |
`(dy)/(dx)=sin x. siny` |
| Answer» `cos x+log tan.(y)/(2)=c` | |
| 320. |
`(dy)/(dx)=-sqrt((1-y^(2))/(1-x^(2)))` |
| Answer» `sin^(-1)x+sin^(-1)y=c` | |
| 321. |
हल कीजिए- `(1+x^(2))dy+2 xydx=cot dx.` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(1+x^(2))dt+2xydx=cot xdx` `implies(1+ x^(2))(dy)/(dx) +2xy =cot ` `implies(dy)/(dx) +(2x)/(1+x^(2))y=(cot x)/(1+c^(2))" "...(1)` यहाँ `P=(2x)/(1+x^(2)),Q=(cot x)/(1+x^(2))` ` therefore I . F. =e ^(intPdx)=e ^(int (2x)/(1+x^(2))dt)` `=e^(int (dt)/(t)), ["माना"1+x^(2)=timplies 2 xdx=dt]` `=e^(log|t|)=e^(log |1+x^(2)|)=1+x^(2)` यही अभीष्ट व्यापक हल है- `yxx (I.F.) =int Q xx (I.F.)dt +C` `impliesy(1+x^(2))=int(cot x)/(1+x^(2))xx(1+x^(2)) dx+C` `impliesy(1+x^(2))=intcot x dx +C` `impliesy (1+x^(2))=log |sin x| +C` `implies y=(log |sin x|)/(1+x^(2))+(C)/(1+x^(2)).` |
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| 322. |
`(dy)/(dx)+(1+x^(2))/(x)=0` |
| Answer» `y+(1)/(2)x^(2)+logx=c` | |
| 323. |
`(dy)/(dx)=sin^(8) x. cos x` |
| Answer» `y=(1)/(9)sin^(9)x+c` | |
| 324. |
निम्नलिखित अवचल समीकरण को हल करें| `(dy)/(dx)+ 2y = sinx` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) + 2y =sinx`...........(1) यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ, `P=2` तथा `Q=sinx` अब `I.F. =e^(int Pdx ) = e^(int 2dx) =e^(2x)` `therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा, `y xx I.F. = int Q xx I.F. dx +c` `rArr y e^(2x) = int e^(2x) sinx.dx +c` `=e^(2)/5(2sinx - cosx)+c` `rArr y=1/5 (2 sinx - cosx) + ce^(-2x)` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 325. |
`(dy)/(dx)=e^(x-y)+x^(3).e^(-y)` |
| Answer» `e^(y)=e^(x)+(x^(4))/(4)+c` | |
| 326. |
हल कीजिए- `(dy)/(dx)+y sec x = tan x.` |
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Answer» दिया हुआ अवकल समीकरण है- `(dy)/(dx) + y sec x = tan x" "...(1)` जो कि `(dy)/(dx)+Py =Q` रूप का रैखिक समीकरण है. `P =sec x, Q = tan x` `therefore I. F. =e ^(int Pdx )=e ^(int sec xdx)` `=e ^(log .sec x+ tan x.)` ` = sec x+tan x` अतः अभीष्ट हल है- `yxx (I. F.) =int Q xx(I.F.)dx +C` `impliesy(sec x +tan x)=int tan x(sec x+ tan x) dx+C` `implies y(sec x+ tan x) = int sec x tan x dx + int tan ^(2) x dx +C` `implies y(sec x+ tan x)= (sec x+ tan x) -x+C` `impliesy=1 -(x)/(secx+tan x)+(C)/(sec x+ tan x).` |
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| 327. |
`y.sec^(2)x dx+(y+7)tan x dy =0` |
| Answer» `y^(7)tanx=ce^(-y)` | |
| 328. |
`(dy)/(dx)=sec x(2sec x + tan x)` |
| Answer» y=2 tan x + sec x +c | |
| 329. |
अवकल समीकरण `(1+x)y dx + (1-y)xdy=0` को हल कीजिए। |
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Answer» `(1+x)y dx + (1-y)xdy=0` `implies ((1+x))/(x)dx+((1-y))/(y)dy=0` `implies int(1+x)/(x)dx+int(1-y)/(y)dy=c` `implies int((1)/(x)+1)dx+int((1)/(y)-1)dy=c` `implieslogx+x+logy-y=c` `implieslog(x.y)+x-y=c` |
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| 330. |
`(1+x^(2))xydy=(1+y^(2))dx` |
| Answer» `(1+x^(2))(1+y^(2))=cx^(2)` | |
| 331. |
`(d^(2)y)/(dx^(2))` को हल कीजिए । |
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Answer» यहाँ पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=xe^(x)` xके सापेक्ष समाकलन करने पर `(dy)/(dx)=int xe^(x)dx+c_(1)` `xe^(x)-inte^(x)+c_(1)` `=xe^(x)-x^(x)+c_(1)` समीकरण (1) का x के सापेक्ष पुनः समाकलन करने पर `y=int xe^(x)dx-int e^(x)dx+intc_(1)dx+c_(2)` `=xe^(2)-inte^(x)dx-inte^(x)dx+c_(1)intdx+c_(2)` `=xe^(2)-e^(x)-e^(x)+c_(1)x+c_(2)` `=xe^(x)-2e^(x)+c_(1)x+c_(2)` |
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| 332. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=e^(2x-y)+x^(2).e^(-y)` को हल कीजिए। |
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Answer» `(dy)/(dx)=e^(2x-y)+x^(2).e^(-y)` `=e^(-y)(e^(2x)+x^(2))` `impliese^(y)dy=(e^(2x)+x^(2))dx` `impliesinte^(y)dy=int(e^(2x)+x^(2))dx+c` `impliese^(y)=(1)/(2)e^(2x)+(1)/(3)x^(3)+c` |
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| 333. |
`x^(2)(y+1)dx+y^(2)(x-1)dy=0` |
| Answer» `(1)/(2)(x^(2)+y^(2))+(x-y)+log(x-1)+log(y+1)=c` | |
| 334. |
अवकल समीकरण `(3x^(2)y-xy)dx+(2x^(3)y^(2)+x^(3)y^(4))dy=0` |
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Answer» समीकरण को हम इस प्रकार से भी लिख सकते है- `y(3x^(2)-x)dx+x^(3)(2y^(2)+y^(4))dy=0` या `(3x^(2)-x)/(x^(3))dx+(2y^(2)+y^(4))/(y)dy=0` या `((3)/(x)-(1)/(x^(2)))dx+(2y+y^(3))dy=0` या `int((3)/(x)-(1)/(x^(2)))dx+int(2y+y^(3))dy=c` या `3 log x+(1)/(x)+y^(2)+(y^(4))/(4)=c` |
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| 335. |
अवकलन समीकरण `(d^(2)y)/(dx^(2))=e^(4x)` को हल कीजिए। |
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Answer» यहाँ पर `(d^(2)y)/(dx^(2))=e^(4x)` या `(d)/(dx)((dy)/(dx))=e^(4x)` समीकरण (i) का x के सापेक्ष समाकलन करने पर `(dy)/(dx)=(e^(4x))/(+c_(1)` जहाँ `c_(1)` स्वेच्छ अचर है। समीकरण (ii) का x के सापेक्ष पुनः समाकलन करने पर `int dy=int ((e^(4x))/(4)+c_(1)) dx+c_(2)` जहाँ `c_(2)` स्वेच्छ अचर है। `y=(3^(4x))/(16)+c_(1)x+c_(2)` जो अभीष्ट हल है। |
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| 336. |
समीकरण `x.(dy)/(dx)-y=logx` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» `x.(dy)/(dx)-y=logx` `implies (dy)/(dx)-(1)/(x).y=(logx)/(x)` यहाँ `P=-(1)/(x)` और `Q=(logx)/(x)` `therefore " "I.F.e^(intPdx)=e^(int-(1)/(x)dx)=e^(-logx)` `=e^(log(x^(-1)))x^(-1)=(1)/(x)` और व्यापक हल `y(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c` `y(1)/(x)=int(logx)/(x).(1)/(x)dx+c` `implies int x^(-2).logxdx+c` `=-(1)/(x)logx+intx^(-2)dx+c` `=-(1)/(x)logx-(1)/(x)+c` `y=-logx-1+c.x` |
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| 337. |
अवकलन समीकरण `(dy)/(dx)e^(-y)sinx+e^(x-y)` को हल कीजिये । |
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Answer» `(dy)/(dx)=e^(-y)sin x +e^(x-y)` या `(dy)/(dx)=e^(-y)sin +e^(x)e^(=-y)` या `e^(y)dy=(sinx+e^(x))dx` या `int e^(y)dy=int (sin+x^(x))dx` या `e^(y)=-cosx+e^(x)+c`. |
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| 338. |
`(dy)/(dx)=sqrt(4-y^(2))` |
| Answer» Correct Answer - y=2sin(x+c) | |
| 339. |
`x^(3)dx+(y+1)^(2)dy=0` को हल कीजिए। |
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Answer» `x^(3)dx+(y+1)^(2)dy=0` या `intx^(3)dx+int(y+1)^(2)dy=c_(1)` या `(x^(4))/(4)+((y+1)^(3))/(3)=c_(1)` या `4(y+1)^(3)+3x^(4)=c,` जहाँ `c=12c_(1)` |
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| 340. |
अवकल समीकरण `y-x(dy)/(dx)=a(y^(2)+(dy)/(dx))` को हल कीजिए। |
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Answer» `y-x(dy)/(dx)=a(y^(2)+(dy)/(dx))` `impliesy-x(dy)/(dx)=a(y^(2)+(dy)/(dx))` `implies y-x(dy)/(dx)=ay^(2)+a(dy)/(dx)` `implies(y-ay^(2))=(a+x)(dy)/(dx)` `implies(dx)/(a+x)=(1)/(y(1-ay))dy` `implies(1)/(a+x)dx=((1)/(y)+(a)/(1-ay))dy` (आंशिक भिन्नो में बदलने पर) `impliesint(1)/(a+x)dx=int((1)/(y)+(a)/(1-ay))dy+c_(1)` `implies log(a+x)=logy-log(1-ay)+logc` (जहाँ `c_(1)=logc`) `implies (a+x)=(c.y)/(1-ay)` |
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| 341. |
अवकलन समीकरण `x^(6)(dy)/(dx)=-y^(6)` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `x^(6)(dy)/(dx_=-y^(6)` `-(dy)/(y^(6))=(dx)/(x^(6))` अब दोनों पक्षों का समाकलन करने पर `-int (dy)/(y^(6))=int(dx)/(x^(6))` ltbr `(1)/(5y^(5))=-(1)/(5x^(5))+c` `(1)/(5y^(5))+(1)/(5x^(2))=c` `(1)/(5)((1)/(y^(5))+(1)/(x^(5)))=c` `(1)/(5)+(1)/(x^(2))=5c` `x^(-5)+y^(-5)=4c` |
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| 342. |
अवकलन समीकरण `(dy)/(dx)=x^(3)+e^(x)`को हल कीजिए। |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx)=x^(3)+e^(x)` `dy=(x^(3)-e^(x))dx` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर `int dy=int (x^(3)+e^(x))dx` `int dy=int x^(3)dx+int e^(x)dx` `y=(x^(4))/(4)+e^(x)+c` यही अवकल समाकरण का हल है। |
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| 343. |
अवकलन समीकरण `(dy)/(dx)=sqrt(9-y^(2))` को हल कीजिए। |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx)=sqrt(9-y^(2))` `(dy)/(sqrt(9-y^(2)))=dx` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, `int (dy)/(sqrt(9-y^(2)))= int dx` `int (dy)/(sqrt((3)^(2)-y^(2)))=int dx` `sin^(-1)((y)/(3))=x+c` `(y)/(3)=sin(x+c)` `y=3sin(x+c)` |
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| 344. |
अवकलन समीकरण `(dy)/(dx)=(x+2)/(3-y)`का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। |
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Answer» दिया है की `(dy)/(dx)=(x+2)/(3-y)` चरों को पृथक करने पर हम पाते है की `(3-y)dy=(x+2)dx` दोनों पक्षों का समाकलन करने पर `int (3-y)dyint(x+2)dx` `3y-(y^(2))/(2)=(x^(2))/(2)+2x+c_(1)` `6y-y^(2)=x^(2)+4x+2c_(1)` `x^(2)+y^(2)+4x-6y+2c_(1)=0` यहाँ `2c_(1)=c` रखने पर `x^(2)y^(2)+4x-6y+c=0` यही अवकलन समीकरण का व्यापक हल है। |
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| 345. |
`(dy)/(dx)+(1+y^(2))/(1+x^(2))` को हल कीजिए| |
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Answer» दी हुई समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते है : `(dy)/(1+y^(2))=(dx)/(1+x^(2))` समाकलन करने पर `int (1)/(1+y^(2))dy=int(1)/(1+x^(2))dx+tan^(-1)c" "` जहाँ c स्वेच्छ अचर है ।, `implies tan^(-1)y=tan^(-1)+tan^(-1)c` `implies tan^(-1)y-tan^(-1)x=tan^(-1)c` `tan^(-1)((y-x)/(1+yx))=tan^(-1)c` `implies (y-x)/(1+yx)=c` `implies y-x=c(1+yx)` |
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| 346. |
`sqrt(a+x)(dy)/(dx)+x=0` |
| Answer» `y=-(2)/(3)(a+x)^(3//2)+2asqrt(a+x)+c` | |
| 347. |
अवकल समीकरण `4x(dy)/(dx)=5y` को हल कीजिए जबकि दिया है y(1)=3. |
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Answer» `4x(dy)/(dx)=5yimplies(4)/(y)dy=(5)/(x)dx` `implies4int(1)/(y)dy=5int(1)/(x)dx+logc` `implies 4logy=5logx+logc` `implies y^(4)=c.x^(5)" ....(1)"` प्रश्नानुसार x=1 पर y=3 `therefore 3^(4)=c.1^(5)impliesc=81` `therefore` समीकरण (1) से `y^(4)=81.x^(5)` |
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| 348. |
`(dy)/(dx)=e^(x-y)+x^(2)e^(-y)` को हल कीजिए। |
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Answer» समीकरण को इस प्रकार से भी लिख सकते है- `e^(y)(dy)/(dx)=e^(x)+x^(2)` या `e^(y)dy=e^(x)dx+x^(2)dx` या `int (e^(y)dy=int e^(x)dx+int x^(2)dx+c` या `e^(y)=e^(x)+(x^(3))/(3)+c` जहाँ स एक स्वेच्छ अचर है |
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| 349. |
`(1+x^(2))(dy)/(dx)+(1+y^(2))=0` को हल कीजिए । |
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Answer» दी हुई समीकरण को निम्न प्रकार लिख सकते है : `(dx)/(1+x^(2))+(dy)/(1+y^(2))=0` समाकलन करने पर `int (1)/(1+x^(2))dx+int(1)/(1+y^(2))dy=c`, जहाँ c स्वेच्छ अचर है । या `tan^(-1)x+tan^(-1)y=c` |
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| 350. |
`x cos^(2)y dx = y cos^(2)x dy` |
| Answer» `xtanx-ytany+log.(cosx)/(cosy)=c` | |