InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 401. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(x-y)dy-(x+y)dx=0` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)(y/x)=1/2""log(x^2+y^2)+c` | |
| 402. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=(y^(2)-x^(2))/(2xy)` |
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Answer» Correct Answer - `x^(2)+y^(2) =Cx` |
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| 403. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(x+y)/(x)` |
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Answer» Correct Answer - `y=x log |x| +Cx` |
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| 404. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(1+e ^(x//y)) dx+e^(x//y) (1-(x)/(y))dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `ye ^(x//y) +x=C` |
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| 405. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(dy)/(dx)=(x+y)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=xlog|x|+cx` | |
| 406. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=(y-x)/(y+x)` |
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Answer» Correct Answer - `log (x^(2) +y^(2))+2 tan ^(-1)((y)/(x))=C` |
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| 407. |
`2xy dy=(y^(2)-x^(2))dx` |
| Answer» Correct Answer - `x^(2)+y^(2)=cx` | |
| 408. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x(dy)/(dx) -y+x sin ((y)/(x))`=0 |
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Answer» Correct Answer - `x[ 1-cos ((y)/(x))]=C sin ((y)/(x))` |
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| 409. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(x^(3)+y^(3))dy-x^(2)ydx=0` |
| Answer» Correct Answer - `-(x^3)/(3y^(3))+log|y|=c` | |
| 410. |
हल ज्ञात कीजिए`x^(2)dy+(xy+y^(2))dx=0` |
| Answer» (i) `x^(2)y=c(2x+y)(ii)3yx^(2)+2y^(3)=c` | |
| 411. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `y^(2)dx+(x^(2)-xy+y^(2))dy=0` |
| Answer» Correct Answer - `y=ce^(tan-1(y//x))` | |
| 412. |
`(x^(2)-xy)dy+y^(2)dx=0` |
| Answer» Correct Answer - `(y)/(x)=logy+c` | |
| 413. |
`y^(2)dx+(x^(2)-xy+y^(2))dy=0` |
| Answer» `y=ce^(tan^(-1)y//x)` | |
| 414. |
`(dy)/(dx)=(x+y)/(x)` |
| Answer» Correct Answer - `y=xlog x+cx` | |
| 415. |
`(dy)/(dx)=(x^(2)+xy+y^(2))/(x^(2))` |
| Answer» `tan^(-1).(y)/(x)=logx+c` | |
| 416. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `2x^(2)dy=(x^(2)+y^(2))dx` |
| Answer» Correct Answer - `x=(c+2log x )(x+y)` | |
| 417. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(xy-x^(2))^(2)dy=y^(2)dx` |
| Answer» Correct Answer - `xy=xlog y + cx` | |
| 418. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(dy)/(dx)=(x^(2)-y^(2))/(xy)` |
| Answer» Correct Answer - `yx^2(x^2-2y^2)+c` | |
| 419. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `(dy)/(dx)=(x^(2)+xy+y^(2))/(x^(2))` |
| Answer» Correct Answer - `tan^(-1)(y/x)=c+log|x|` | |
| 420. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `y^(2)+x^(2)(dy)/(dx)=xy(dy)/(dx)` |
| Answer» Correct Answer - `y/x-logy=c` | |
| 421. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `x^(2)dy-(x^(2)+xy-2y^(2))dx=0` |
| Answer» (i) `(1)/(2sqrt(2))log((x+ysqrt(2))/(x-ysqrt(2)))=logx+c" (ii) "-(x^(3))/(3y^(3))+logy=c` | |
| 422. |
`(x^(2)-y^(2))dx+2xy dy=0` |
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Answer» `2xy dy = (y^(2)-x^(2))dx` `implies (dy)/(dx)=(y^(2)-x^(2))/(2xy)` `implies v+x(dv)/(dx)=(v^(2)x^(2)-x^(2))/(2x^(2)v)` माना `y = vx implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` `implies x(dv)/(dx)=(v^(2)-1)/(2v)-v=(-(1+v^(2)))/(2v)` `implies (2v)/(1+v^(2))dv=-(dx)/(x)` `implies int(2v)/(1+v^(2))dv=-int(dx)/(x)+logc` `implies log(1+v^(2))=-logx+logc` `implies 1+v^(2)=(c)/(x) implies x^(2)+v^(2)x^(2)=cx` `implies x^(2)+y^(2)=cx` |
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| 423. |
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए `x^(2)(dy)/(dx)=x^(2)-2y^(2)+xy` |
| Answer» Correct Answer - `2/(2sqrt2)log|(x+sqrt2y)/(x-sqrt2y)|=log|x|+c` | |
| 424. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x^(2) (dy)/(dx) =x^(2)-2y^(2)+xy` |
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Answer» Correct Answer - `(1)/(2sqrt2) log |(x+sqrt2y)/(x-sqrt2y)|=log |x|+C` |
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| 425. |
`x^(2)(dy)/(dx)=x^(2)-2y^(2)+xy` |
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Answer» `x^(2)dy-(x^(2)+xy-2y^(2))dx=0` `implies (dy)/(dx)=(x^(2)+xy-2y^(2))/(x^(2))` `implies v+x(dv)/(dx)=(x^(2)+x^(2)v-2x^(2)v^(2))/(x^(2))` `=1+v-2v^(2)` `implies x(dv)/(dx)=1-2v^(2)` माना `y = vx implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` `implies (dv)/(1-2v^(2))=(dx)/(x)` `implies (1)/(2)int(1)/(((1)/sqrt(2))^(2)-v^(2))dv=int(dx)/(x)+c` `=(1)/(2).(1)/(2.(1)/(sqrt(2)))log.((1)/(sqrt(2))+v)/((1)/(sqrt(2))-v)=logx+c` `implies (1)/(2sqrt(2))log.(1+vsqrt(2))/(1-vsqrt(2))=logx+c` `implies (1)/(2sqrt(2))log.(1+(y)/(x)sqrt(2))/(1-(y)/(x)sqrt(2))=log x+c` `implies (1)/(2sqrt(2))log.(x+ysqrt(2))/(x-ysqrt(2))=logx+c` |
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| 426. |
`x(dy)/(dx)-y+xsin((y)/(x))=0` |
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Answer» `x(dy)/(dx)-y+xsin.(y)/(x)=0` `implies (dy)/(dx)-(y)/(x)+sin.(y)/(x)=0` माना `y=vximplies(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` `impliesv+x(dv)/(dx)-v+sinv=0` `implies x(dv)/(dx)+sinv=0` `impliesint"cosec v dv"+int(dx)/(x)=logc` `implies log(cosec v-cotv)+logx=logc` `implies x(cosecv-cotv)=c` `implies x(1-cosv)=csinv` `implies x(1-cos.(y)/(x))=csin.(y)/(x)` |
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| 427. |
हल कीजिए- `(x+1)(dy)/(dx) =2e^(-y) -1,y (0)=0` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है- `(x+1)(dy)/(dx)=2e^(-)-1` `implies(x+1)dy=(2e^(-y)-1) dx` `implies (1)/(2e^(-y)-1)dy=(1)/(x+1)dx,` (चरो को पृथक्क़रण से) समाकलन करने पर, `int(1)/(2e^(-y)-1)dy=int (1)/(x+1)dx` `impliesint(1)/(((2)/(e^(y))-1))dy=int(1)/(x+1)dx` `implies-int(dt)/(t)=int(1)/(x+1) dx` माना `2-e^(y)=timplies-e^(y)dy=dt or e^(y) dy=-dt` `therefore -int(dt)/(t)=int(1)/(x+1)dx` `implies-log .t.+log C=log .x+1.` `implies-log .t.2-e^(y).=log.x+1.` `implieslog .x+1..log .2-e^(y).=log C` `implieslog .(x+1)(2-e^(y)).=log C` `implies.(x+1)(2-e^(y)).=C` समी (1 ) में `x =0 ` और `y =0 ` रखने पर, `.(0+1)(2-e^(0))=CimpliesC=2-1=1` समी (1) में `C =1 ` रखने पर, `.(x+1)(2-e^(y)).=1` `implies .(x+1)(2-e^(y)).=1` `implies (x+1) (2-e^(y))= pm 1` `implies2-e^(y)=pm (1)/(x+1)` `impliese^(y)=2-(1)/(x+1) ` और `e^(y)=2+(1)/(x+1)` `impliesy=log (2-(1)/(x+1))` और `y=log (2+(1)/(x+1))` परन्तु `y=log (2+(1)/(x+1))` प्रतिबंध `y (0 )= 0 ` को संतुष्ट नहीं करता . अतः `y=log (2-(1)/(x+1))` एक अभीष्ट हल है . |
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| 428. |
`x dy-y dx=sqrt(x^(2)+y^(2))dx` |
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Answer» `x dy-y dx=sqrt(x^(2)+y^(2))dx` `implies x dy=(y+sqrt(x^(2)+y^(2)))dx` `implies (dy)/(dx)=(y+sqrt(x^(2)+y^(2)))/(x)" ....(1)"` माना y = vx `implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` समीकरण (1) से, `v+x(dv)/(dx)=(vx+sqrt(x^(2)+v^(2)x^(2)))/(x)` `=v+sqrt(v^(2)+1)` `implies x(dv)/(dx)=sqrt(v^(2)+1)` `implies (dv)/(sqrt(v^(2)+1))=(dx)/(x)` `implies int(1)/(sqrt(v^(2)+1))dv=int(dx)/(x)` `implies log(v+sqrt(v^(2)+1))=logx+logc=log(cx)` `implies v+sqrt(v^(2)+1)=cx` `implies (y)/(x)+sqrt((y^(2))/(x^(2))+1)=cx` `implies y+sqrt(y^(2)+x^(2))=cx^(2)` |
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| 429. |
हल करें `(x+y)^(2)(dy)/(dx)=a^(2)`. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं `(dy)/(dx) =a^(2)/(x+y)^(2)`..............(1) `x+y = z` रखे, तो `1 + (dy)/(dx) = (dz)/(dx) rArr (dy)/(dx) =(dz)/(dx)=1` (1 ) में `x+y=z` तथा `(dy)/(dx) =(dz)/(dx)-1` रखने पर हमें मिलता हैं, `z^(2)((dz)/(dx)-1) = a^(2) rArr z^(2)(dz)/(dx) = a^(2) + z^(2) rArr z^(2)dz = (a^(2) +z^(2))dx` `rArr z^(2)/(z^(2)+a^(2)) dz = dx rArr (1+(a^(2))/(z^(2) +a^(2))dz)=dx` `rArr int 1.dz -a^(2) int 1/(z^(2)+a^(2))dz = int dx +C` [दोनों तरफ Integrate करने पर] `rArr z-atan^(-1) (z/a) =x+C rArr (x+y) -a tan^(-1)(x+y)/a =x +C` `rArr y= a tan^(-1)(x+y)/a = C` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 430. |
`{xcos((y)/(x))+y sin((y)/(x))}y dx={ysin((y)/(x))-xcos((y)/(x))}x dy` |
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Answer» `(xcos.(y)/(x)+y sin.(y)/(x))y dx` `=(ysin.(y)/(x)-xcos.(y)/(x))x dy` `implies (dy)/(dx)=(y(cos.(y)/(x)+ysin.(y)/(x)))/(x(ysin.(y)/(x)-xcos.(y)/(x)))` `implies v+x(dv)/(dx)=(vx(xcosv+vxsinv))/(x(vxsinv-xcosv))` `=(v(cosv+vsinv))/(vsinv-cosv)` माना `y = vx implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` `implies x(dv)/(dx)=(vcosv+v^(2)sinv)/(vsinv-cosv)-v` `=(vcosv+v^(2)sinv-v^(2)sinv+vcosv)/(vsinv-cosv)` `impliesx(dv)/(dx)=(2v cosv)/(vsinv-cosv)` `implies (vsinv-cosv)/(vcosv)dv=2(dx)/(x)` `implies int(tanv-(1)/(v))dv=2int(dx)/(x)+logc` `implies logsecv-logv=2logx+logc` `implies log((secv)/(v))=log(cx^(2))` `implies (secv)/(v)=cx^(2)` `implies secv=cx^(2)v` `implies sec.(y)/(x)=cxy` |
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| 431. |
हल करें : `(1+2x^(x//y))dx + 2e^(x//y) (1-x//y)dy=0` |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) =-(1+2e^(x//y))/(2e^(x//y)(1-x/y))` या, `(dx)/(dy) = -(2e^(x//y)(1-x/y))/(1+2e^(x//y))` .............(1) `x=vy` रखें, तो `(dx)/(dy) = v+y (dv)/(dy)` (1) से, `v+y (dv)/(dy) = -(2e^(v)(1-v))/(1+2e^(v))` `rArr y(dv)/(dy) = -(2e^(v)+2ve^(v))/(1+2e^(v)) -v = (-2e^(v)-v)/(1+2e^(v)) rArr int (1+2e^(v))/(v+ 2e^(v)) dv = -(dy)/y` `rArr log|v+ 2e^(v)| = -log|y| + log c = log c|y|` `rArr |v+2e^(v)| =c/|y| rArr |x/y + 2e^(x//y)|=c/|y|` `rArr x/y + 2e^(x//y) = +- c/y = k/y`, जहाँ `k = +-c` `rArr x+2ye^(x//y) =k` यही दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 432. |
हल करें: `(x cos y/x + y sin y/x)y = (ysin y/x - x cos y/x) x dy` |
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Answer» दिए गए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है- `(x cos y/x + y sin y/x)y = (y sin y/x - x cosy/x)x.(dy)/(dx)` या, `(dy)/(dx) =({x cos(y//x) + y sin(y//x)}y)/({y sin(y//x)-x cos(y//x)}x)` या,`(dy)/(dx) = ({x cos(y//x) + ysin(y//x)}y)/({y sini(y//x)-x cos(y//x)}x)` `(dy)/(dx) = ({cos (y//x) + (y//x)sin(y//x)}(y//x))/{(y//x)sin(y//x)-cos(y//x)}` ...............(1) सपष्ट: यह एक समघातीय अवकल समीकरण है, `y=vx` रखें, तो `(dv)/(dx) = v+ x(dv)/dx` (1) से, `v+x(dv)/(dx) = (v(cos v+ v sin v))/(v sin - cos v)` या, `x(dv)/(dx) = [(v(cosv + v sin v))/(v sinv - cosv )-v]` या, `x(dv)/(dx) = (2v cos v)/(v sin v- cos v)` `int (v sinv - cosv)/(v cos v) dv = int 2/x dx` या, `int tan vdv - int (dv)/v = int 2/xdx` `log|cos v| + log|v| + log C = 2 log|x|` `x^(2)v cosv = +- C=k` (माना) या, `xy cos (y/x)=k` यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है| |
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| 433. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `sin^(-1)((dy)/(dx)) = x+y` |
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Answer» दिया हैं, `sin^(-1)(dy)/(dx) = x+y` `therefore (dy)/(dx) = sin(x+y)`..........(i) `x+y =z`, रखें तो, `1+ (dy)/(dx) = (dz)/(dx) rArr (dy)/(dx) = (dz)/(dx)-1` अब (1), से, `(dz)/(dx)-1 = sinz` या, `(dz)/(dx)=1+sinz` या, `(dz)/(dx)=1+sinz` या, `(dz)/(1+sinz) = dx` `therefore int 1/(1+sinz) dz = int dx` [दोनों तरफ Integrate करने पर] या, `intdx = int(1-sinz)/(1-sin^(2)z)dz` या, `int dx = int(1-sinz)/(cos^(2)z)dz` या, `intdx = int (sec^(2)z - tanz secz)dz` या `x=tan z- secz + C` यही, दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 434. |
`(dy)/(dx) + y/x = x^(n)` |
| Answer» `(n+2) xy =x^(n+2) + (n+2)C` | |
| 435. |
निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें| `y-x(dy)/(dx) = a(y^(2) + (dy)/(dx))`. |
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Answer» दिया गया अवकल समीकरण हैं: `y-x(dy)/(dx) = a(y^(2) + (dy)/(dx))`................(1) या, `(y-ay^(2)) =(a+x)(dy)/(dx)` या, `(dy)/(y(1-ay)) = (dx)/(a+x)` [चारों को अलग करने पर] या, `int (dy)/(y(1-ay))=int (dx)/(a+x)` या, `int (1/y + a/(1-ay))dy =int (dx)/(a+x)` [Partial fraction से] या, `log| y|-log| 1-ay|=log|a+x|+C` या, `y/((1-ay)(a+x)) =+-e^(C)=k` (माना) या, `y=k(1-ay)(a+x)` जहाँ k एक स्वैच अचर हैं| यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल हैं| |
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| 436. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(y^(2)-2xy)dx =(x^(2)-2xy)dy` |
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Answer» Correct Answer - `x^(2)y-xy^(2)=C` |
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| 437. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `cos x cos y (dy)/(dx) =-sin x sin y ` |
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Answer» Correct Answer - `sin y C cos x` |
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| 438. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `x(dy)/(dx)=y-x tan ((y)/(x))` |
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Answer» Correct Answer - `x sin ((y)/(x))=C` |
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| 439. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `y^(2) dx+ (x^(2)-xy+y^(2))dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `y=Ce^(tan ^(-1((y)/x)))` |
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| 440. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- ` xsqrt(1-y^(2))dx+y sqrt(1- x^(2))dy=0` |
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Answer» Correct Answer - `sqrt(1-x^(2))+sqrt(2-y^(2))=C` |
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| 441. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=y/x +sin ((y)/x)` |
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Answer» Correct Answer - `tan ((y)/(2x))=Cx` |
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| 442. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =y/x -sqrt((y^(2))/(x^(2)))-1 ` |
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Answer» Correct Answer - `y+sqrt(y^(2)-x^(2))=C` |
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| 443. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(y)/(2x+y)` |
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Answer» Correct Answer - `(x+y)(2y-x)^(2)=C` |
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| 444. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(x+y+1)/(x+y)` |
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Answer» Correct Answer - `2 (y-x)=log (2x + 2t + 1)+C` |
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| 445. |
दिखाइए कि `y=c.e^(tan^(-1)x)`, अवकल समीकरण `(1+x^(2)).(d^(2)y)/(dx^(2))+(2x-1)(dy)/(dx)=0` का हल है। |
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Answer» `y=c.e^(tan^(-1)x)" ….(1)"` x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=c.e^(tan^(-1)x).(1)/(1+x^(2))` `implies (1+x^(2))(dy)/(dx)=c.e^(tan^(-1)x)` `implies (1+x^(2))(dy)/(dx)=y` [समीकरण (1) से] पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(1+x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))+(dy)/(dx).2x=(dy)/(dx)` `implies(1+x^(2))(d^(2)y)/(dx^(2))+(2x-1)(dy)/(dx)=0` अतः `y=c.e^(tan^(-1)x)` दी गई अवकलन समीकरण का हल है। |
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| 446. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+y+1)(dy)/(dx) =1 ` |
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Answer» Correct Answer - `x=Ce^(y)-y-2` |
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| 447. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(x+y)^(2)` |
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Answer» Correct Answer - `x+y=tan (x+C)` |
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| 448. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=(1)/(x)` को हल कीजिए। |
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Answer» `(dy)/(dx)=(1)/(x)` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर `int(dy)/(dx).dx=int(1)/(x)dx+c` `impliesintdy=int(1)/(x)dx+c` `implies y=log_(e)x+c` |
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| 449. |
अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=sec^(2)x` को हल कीजिए। |
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Answer» `(dy)/(dx)=sec^(2)x` दोनों पक्षों का क्ष के सापेक्ष समाकलन करने पर `int(dy)/(dx).dx=intsec^(2)xdx+c` implies `intdy=intsec^(2)xdx+c` `impliesy=tanx+c` |
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| 450. |
अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) =(1)/(x-y)+1` |
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Answer» Correct Answer - `2x+(x-y)^(2)=C` |
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