InterviewSolution
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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.
| 1. |
सिद्ध कीजिए कि `f(x)=3-2x,R` पर एक निरन्तर हासमान फलन है. |
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Answer» `f(x)=3-2x` माना `x_(1),x_(2)R` और `x_(1)ltx_(2)` अब `x_(1)ltx_(2)` `implies-2x_(1)gt-2x_(2)` `implies3-2x_(1)gt3-2x_(2)` `impliesf(x_(1))gtf(x_(2))` `therefore x_(1)ltx_(2)` `impliesf(x_(1))gtf (x_(2)), AA x_(1), x_(2) in R` `impliesf(x)=3-2x,R` पर एक निरन्तर हासमान फलन है. |
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| 2. |
सिद्ध कीजिए कि `[0,(pi)/(2)]` में `y=(4sin theta)/((2+costheta))-theta, theta` का एक वृद्धिमान फलन है. |
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Answer» `y=(4sin theta)/(2+costheta)-theta` `implies(dy)/(d theta)=(-4sin theta.(-sin theta))/((2+costheta)^(2))-1` `=(8costheta+4cos^(2)theta+4sin^(2)theta)/((2+costheta)^(2))-1` `=(4+8costheta)/((2+costheta)^(2))-1=(4+8costheta-(2+costheta)^(2))/((2+costheta)^(2))` `=(4costheta-cos^(2)theta)/(2+cos theta)=(costheta(4-costheta))/((2+costheta)^(2))` अब `(dy)/(d theta)ge0` `implies(cos theta(4-cos theta))/((2+cos theta)^(2))ge0` `impliescos thetage0 " "(because4-cos thetagt0)` `impliestheta in[0,(pi)/(2)]` अतः फलन `[0,(pi)/(2)]` में वृद्धिमान है. |
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| 3. |
सिद्ध कीजिए कि `f(x)=e^(3x)`, पर निरन्तर वृद्धिमान फलन है. |
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Answer» `f(x)=e^(3x)` माना `x_(1),x_(2) in R`और `x_(1)ltx_(2)` अब `x_(1)ltx_(2)` `implies3x_(1)lt3x_(2)` `impliese^(3x_(1))lte^(3x_(2))` `impliesf(x_(1))ltf(x_(2))` `thereforex_(1)ltx_(2)` `impliesf(x_(1))ltf(x_(2)),AAx_(1),x_(2)inR` `impliesf(x),R` पर निरन्तर वृद्धिमान फलन है. |
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| 4. |
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में `R(x)=13x^(2)+26x+15` से प्रदत्त है. सीमान्त आय ज्ञात कीजिए जब `x=7` है. |
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Answer» `R(x)=13x^(2)+26x+15` सीमान्त आय `=(dR)/(dx)` `=(d)/(dx)(13x^(2)+26x+15)=26x+26` `x=7` पर, सीमान्त आय `=26xx7+26= रु 208 |
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| 5. |
एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में `R(x)=3x^(2)+36x+5` से प्रदत्त है. जब `x=15` है तो सीमान्त आय है: `{:((a)116,(b)96),((c)90,(d)126):}` |
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Answer» Correct Answer - d `R(x)=3x^(2)+36x+5` सीमान्त आय `=(dR)/(dx)=6x+36` `x=15`पर सीमान्त आय `=6xx15+36= रु 126` |
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| 6. |
एक 28 सेमी लम्बे तार के दो टुकड़ो में विभक्त किया जाना है. एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है. दोनों दुकड़ो की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एव वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो? |
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Answer» माना वृत्त की त्रिज्या r और वर्ग की भुजा x है. `therefore` वृत्त की परिधि + वर्ग का परिमाप =28 सेमी `implies2pir+4x=28` `impliesx=(14-pir)/(2)" "...(1)` और माना वृत्त का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल =A `thereforeA =pir^(2)+x^(2)` `=pir^(2)+((14-pir)/(2))^(2)` [समीकरण (1 ) से] `=pir^(2)+1/4(pi^(2)r^(2)-29-28pir+196)` `implies(dA)/(dr)=2pir+1/4(2pi^(2)r-28pi)` और `(d^(2)A)/(dr^(2))=2pi+1/4(2pi^(2))` उच्चिष्ट/निम्निष्ठ के लिये `(dA)/(dr)=0` `implies2pir+1/4(2pi^(2)r-28pi)=0` `impliespir+pi^(2)r-14pi=0` `implies r(4+pi)=14` `impliesr=(14)/(pi+4)` `r=(14)/(pi+4)`पर `(d^(2)A)/(pir^(2))gt0` `implies` A न्यूनतम है. अब `2pir=2pi((14)/(pi+4))=(28pi)/(pi+4)` और `4x=28-2pir` `=28-(28pi)/(pi+4)`सेमी और `(112)/(pi+4)` सेमी. |
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| 7. |
वक्र `xy=a^(2)` के बिन्दु (a,a) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `xy=a^(2)` `impliesx.((dy)/(dx))+y.1=0` `implies((dy)/(dx))=-y/x` बिन्दु (a,a) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m_(1)=((dy)/(dx))_(""(a,a))=(-a)/(a)=-1` `implies` बिन्दु (a,a) पर अभिलम्ब की प्रवणता `m_(1)=-(1)/(m_(1))=1` अतः बिन्दु (a,a) पर अभिलम्ब का समीकरण `y-a=1(x-a)impliesx-y=0` |
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| 8. |
सिद्ध कीजिए की वक्र `xy=y^(2)` और `xy=k` एक दूसरे को समीकरण पर काटती है, यदि `8k^(2)=1` है. |
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Answer» `y=x^(2)` से `(dy)/(dx)=2x` और `xy=k`से, `x(dy)/(dx)+y=0implies(dy)/(dx)=(-y)/(x_(1))` माना दोनों वक्र बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर एक-दूसरे को समकोण पर काटते है. `thereforem_(1)=2x_(1)`और `m_(2)=(-y_(1))/(x)` `m_(1)m_(2)=-1` `implies2x_(1)((-y_(1))/(x_(1)))=-1impliesy_(1)=1/2` वक्र `y=x^(2)`से `x_(1)y_(1)=k` `impliesx_(1)^(2)t_(1)^(2)=k^(2)` `implies1/2((1)/(2))^(2)=k^(2)8k^(2)=1` |
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| 9. |
फलन `f(x)=x^(2)-x+4` अन्तराल (-1,1) में है-A. वृद्धिमानB. हासमानC. न वृद्धिमान न हासमानाD. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 10. |
वक्र `9y^(2)=x^(3)` पर वह बिन्दु, जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों के समान अन्त: खण्ड काटता है, निम्न है-A. `(3, pm(3)/(8))`B. `(4, pm(8)/(3))`C. `(3, pm(8)/(3))`D. `(4, pm(8)/(3))` |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 11. |
मूलबिंदु की वक्र `y=sinx` पर खींची गयी स्पर्शियो के स्पर्श बिन्दु का बिन्दुपथ है-A. `x^(2)-y^(2)=x^(2)y^(2)`B. `x^(2)+y^(2)=x^(2)y^(2)`C. `y^(2)-x^(2)=x^(2)y^(2)`D. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - A | |
| 12. |
वक्र `b^(2)x^(2)+a^(2)y^(2)=a^(2)b^(2)` और `m^(2)x^(2)-y^(2)l^(2)=l^(2)m^(2)` एक-दूसरे को समकोण पर काटते है, यदि-A. `a^(2)+b^(2)=l^(2)+m^(2)`B. `a^(2)-b^(2)=l^(2)-m^(2)`C. `a^(2)-b^(2)=l^(2)+m^(2)`D. `a^(2)+b^(2)=l^(2)-m^(2)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 13. |
वक्र `((x)/(a))^(n)+((y)/(b))^(n)=2` के बिन्दु (a,b) `n inN` के लिये स्पर्श रेखा का समीकरण है-A. `x/a+y/b+1=0`B. `x/a-y/b=1`C. `x/a+y/b=2`D. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 14. |
वक्र `x=theta+sintheta, y=1+costheta` के बिन्दु `theta=pi//4` पर स्पर्श रेखा का समीकरण है-A. `y=(1+sqrt2)x+("("sqrt2-1")"pi)/(4)+2`B. `y=(1-sqrt2)x+("("sqrt2-1")"pi)/(4)+2`C. `y=(1+sqrt2)x+(sqrt2-1)pi`D. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - B | |
| 15. |
वक्र `y=1-e^(x//2)` की उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा जहाँ यह वक्र y -अक्ष पर काटता है, निम्न है-A. `x+y=1`B. `2x+y=1`C. `x=-2y`D. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 16. |
वक्र `y=x^(2)+1` पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए किस पर खींची गयी स्पर्श रेखा X -अक्ष से `45^(@)` का कोण बनाती है. |
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Answer» `y=x^(2)+1` `implies(dy)/(dx)=2x` माना बिन्दु `(x_(1),y_(1))` है. `(x_(1),y_(1))` पर प्रवणता `m=2x_(1)` परन्तु प्रश्नानुसार `m=tan45^(@)=1` `therefore2x_(1)=1` `x_(1)=1/2` अब `(x_(1),y_(1))` वक्र `y=x^(2)+1` पर स्थित है. `thereforey_(1)=x_(1)^(2)+1=((1)/(2))^(2)+1=5/4` अतः अभीष्ट बिन्दु `=((1)/(2),(5)/(4))` |
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| 17. |
वक्र `6y=9-3x^(2)` के बिन्दु (1,1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `6y=9-3x^(2)` दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन लेने पर `6(dy)/(dx)=0-6x` `implies(dy)/(dx)=-x` बिन्दु (1,1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=-1` अब (1,1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण `y-1=-11(x-1)` `impliesx+y=2` |
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| 18. |
वक्र `yx^(2)+x^(2)-5x+6=0` के उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ यह वक्र X -अक्ष को काटती है |
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Answer» X-अक्ष पर, `y=0` `thereforeyx^(2)+x^(2)-5x+6=0` `implies0+x^(2)-5x+6=0` `(x-2)(x-3)=0` `impliesx=2` या `x=3` बिन्दु (2,0) या (3,0) पुनः `yx^(2)+x^(2)-5x+6=0` `impliesx^(2).(dy)/(dx)+2xy+2x-5=0` `implies(dy)/(dx)=(5-2x-2xy)/(x^(2))` बिन्दु (2,0) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=(5-4-0)/(4)=1/4` और स्पर्श रेखा का समीकरण `y-o=1/4(x-2)implies4y=x-2` `impliesx-4y=2` बिन्दु (3,0) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=(5-6-0)/(3^(2))=-1/9` और स्पर्श रेखा का समीकरण `y-0=-1/9(x-3)implies9y=-x+3` `impliesx+9y=3` |
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| 19. |
वक्र `y=b.e^(-x//a)` के उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ वक्र Y -अक्ष पर मिलता है. |
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Answer» `y=b.e^(-x//a)` Y-अक्ष पर `,x=0` ` thereforey=be^(0)=b` अब बिन्दु (0,b) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है समीकरण (1 ) में दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर `(dy)/(dx)=-b/a.e^(-x//a)` (0,b) पर स्पर्श रेखा की प्रबलता - `m=-b/a.e^(0)=-b/a` और स्पर्श रेखा का समीकरण `y-b=-(b)/(a).(x-0)` `impliesay-ab=-bx` `impliesbx+ay=ab` |
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| 20. |
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि `x+y=60`और `xy^(3)` उच्चतम हो. |
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Answer» माना `P=xy^(3)` दिया है `x=60impliesx=60-y` `thereforeP=(60-y)y^(3)impliesP=60y^(3)-y^(4)` `implies(dp)/(dy)=180y^(2)-4y^(3)` और `(d^(2)P)/(dy^(2))=360y-12y^(2)` उच्चतम मान के लिए, `(dp)/(dy)=0` `implies180y^(2)-4y^(3)=0` `implies4y^(2)(45-y)=0` `impliesy=0` या `t=45` लेकिन `y ne0` इसलिए `y=45` `y=45` पर, `((d^(2)P)/(dy^(2)))_(y=45)=360xx45-12xx(45)^(2)=16500-2430=-8100lt0` `impliesP` का स्थानीय उच्चतम मान `y=45` पर है. `thereforex=60-45=15` इसलिए, संख्याएँ है 15 और 45 है. |
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| 21. |
वक्र `y=(x-1)/(x-2),x ne 2` के `x=10` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `y=(x-1)/(x-2)` `implies(dy)/(dx)=((x-2)(d)/(dx)(x-1)(x-1)(d)/(dx)(x-2))/((x-2)^(2))` `=((x-2)-(x-1))/((c-2)^(2))=(-1)/((x-2)^(2))` `x=10`पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=3(2)^(2)-1=11` |
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| 22. |
वक्र `y^(2)=4ax` के बिन्दु `(a,2a)` पर स्पर्श रेखा का क्ष -अक्ष से झुकाव ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `y^(2)=4ax` x के साक्षेप अवकलन करने पर `2y(dy)/(dx)=4a` `implies(dy)/(dx)=(2a)/(y)` बिन्दु (a,2a) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=((dy)/(dx))_(""(a,2a))=(2a)/(2a)=1` `impliestantheta=1` `impliestheta=45^(@)` अतः स्पर्श रेखा X -अक्ष से `45^(@)` कोण बनाती है. |
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| 23. |
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके धनो का योग निम्नतम हो. |
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Answer» माना एक संख्या x है और दूसरी संख्या (16 - x ) है. माना इन संख्याओं के धनो का योग S है. तब `S=x^(3)+(16-x)^(3)` `implies(dS)/(dx)=3x^(2)+3(16-x)^(2)(-1)` `=3x^(2)-3(16-x)^(2)` और `(d^(2)S)/(dx^(2))=6x+6(16-x)=96` न्यूनतम मान के लिए `(dS)/(dx)=0` `implies3x^(2)-3(16-x)^(2)=0` `impliesx^(2)-(256+x^(2)-32x)=0` `implies32x=256` `impliesx=8` `x=8,` पर `((d^(2)S)/(dx)^(2))_(x=8)=96gt0` `thereforex=8,` पर S निम्नतम होगा. `therefore16-x=16-8=8` अतः संख्याएँ 8 और 8 है. |
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| 24. |
वक्र `x^(2)=y` के बिन्दु(1,1) पर स्पर्श रेखा कि प्रवणता ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `x^(2)=y` `implies(dy)/(dx)=2x` बिन्दु (1,1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=((dy)/(dx))_(""(1,1))=2xx1=2` |
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| 25. |
दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 8 और घनो का योग निमनिष्ठ है. |
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Answer» माना संख्याएँ x और y है. `thereforex+y=8" "...(1)` माना दोनों संख्याओं के घनो का योग S है. `therefore S=x^(3)+y^(3)` `=x^(3)+(8-x)^(3)` [समीकरण (1 ) से] `implies(dS)/(dx)=3x^(2)-3(8-x)^(2)` `=48x-192` उच्चिष्ठ/निमनिष्ठ के लिये `(dS)/(dx)=0` `implies48x-192=0` `impliesx=4` अब ` (d^(2)S)/(dx^(2))=48gt0` `impliesx=4` पर, S निमनिष्ठ है. `thereforey=8-x=8-4=4` अतः अभीष्ट संख्याएँ 4,4 है. |
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| 26. |
`DeltaABC` में भुजा c और कोण C अचर है. यदि शेष अवयवों में अलप परिवर्तन हो जाता है, तो दिखाइए कि `(da)/(cosA)+(bd)/(cosB)=0` |
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Answer» हम जानते है कि `(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)` परन्तु c और C अचर है. `therefore`माना `(c)/(sinC)=k` `(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=k` `impliesa=k sin A`और `b=ksinB` `implies(da)/(db)=kcosB` `(db)/(dB)=kcosB` `implies(da)/(cosA)=k.dA` और `(db)/(cosB)=k.dB` `implies(da)/(cosA)+(db)/(cosB)=k(dA+dB)=k d(A+B)` `=kd(pi-C)=0` अतः `(da)/(cosA)+(db)/(cosB)=0` |
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| 27. |
दो संख्याओं का योग निश्चित है. सिद्ध कीजिए की उनका गुणनफल अधिकतम होगा, यदि प्रत्येक संख्या योग की आधी है. |
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Answer» माना संख्याएँ x और y है तथा इनका योग a अचर है. `thereforex+y=a" "...(1)` माना संख्याओं का गुणनफल P है. `thereforeP=x.y` `=x(a-x)` [समीकरण (1 ) से] `=ax-x^(2)` `implies(dP)/(dx)=a-2x` उच्चिष्ठ/निमनिष्ठ के लिये `(dP)/(dx)=0` `impliesa-2x=0` `impliesx=a//2` और `(d^(2)P)/(dx^(2))=-2lt0` `impliesx=a//2` पर P अधिकतम (उच्चिष्ठ) है. अब `y=a-x=a-a2=a//2` अतः अधिकतम गुणनफलो के लिये प्रत्येक संख्या योग की आधी है. |
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| 28. |
यदि वक्र `x^(2//3)+y^(2//3)=a^(2//3)` का अभिलम्ब X -अक्ष से `phi`कोण बनाता है, तो दिखाइए की इसका समीकरण `y cosphi -x sinphi=a cos 2 phi` है. |
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Answer» `x^(2//3)+y^(2//3)=a^(2//3)" "...(1)` `implies2/3.x^(-1//3)+2/3.y^(-1//3)(dy)/(dx)=0` `implies(dy)/(dx)=-(y^(1//3))/(x^(1//3))` अतः अभिलम्ब की प्रवणता `=(x^(1//3))/(y^(1//3))=tan phi`(प्रश्नानुसार) `impliesx/y=tan^(3)phi` `impliesx=ytan^(3)phi` समीकरण (1 ) से `y^(2//3). tan^(2)phi+y^(2//3)=a^(2//3)` `impliesy^(2//3).sec^(2)phi=a^(2//3)` `impliesy=acos^(3)phi` और `x=a cos^(3) phi. tan^(3)phi=a sin^(3)phi` बिन्दु `(a sin ^(3)phi, a cos^(3))` पर अभिलम्ब का समीकरण `y-acos^(3)phi=tanphi(x-a sin^(3)phi)` `impliesy cos phi -acos^(4)phi=x sin phi-asin^(4)phi` `impliesy cos phi -c sin phi=a(cos^(4)phi-sin^(4)phi)` `=a(cos^(2)phi-sin^(2)phi).(cos^(2) phi+sin^(2)phi)=a cos 2phi` |
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| 29. |
वक्रो `2y^(2)=x^(3)` और `y^(2)=32x`के लिये प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `2y^(2)=x^(3)" "…(1)` `y^(2)=32x" "…(2)` दोनों समीकरणों को हल करने पर `64x=x^(3)impliesx(x^(2)-64)=0` `impliesx=0,8,-8` `thereforex=0` पर `y=0` `x=8` पर `y+-16` `x=-8` पर y का मान अधिकल्पित है. अतः प्रतिच्छेद बिन्दु `(0,0),(8,16)`और `(8,-16)`है. समीकरण (1 ) से `2y^(2)=x^(3)` `implies4y(dy)/(dx)=3x^(2)` समीकरण (2 ) से `y^(2)=32y` `implies2y(dy)/(dx)=32` `implies(dy)/(dx)=(3x^(2))/(4y)implies(dy)/(dx)=16/y` बिन्दु (8,16) पर ltbr"gt `m_(1)=(3(8)^(2))/(4xx16)=3,m_(2)=16/16=1` और `tantheta_(1)=(m_(1)-m_(2))/(1+m_(1)m_(2))=(3-1)/(1+3)=1/2` `impliestheta_(1)=tan^(-1)""1/2` (8,-16) पर `m_(3)=(3(8)^(2))/(4xx(-16))=-3` `m_(4)=(16)/(-16)=-1` और `tan theta _(2)=(m_(3)-m_(4))/(1+m_(3)m_(4))=(-3+1)/(1+3)=(-1)/(2)` `impliestheta_(2)=tan^(-1)(-(1)/(2))` बिन्दु (0,0) पर `m_(1)`और `m_(2)`के मान ज्ञात नहीं किये जा सकते है. |
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| 30. |
वक्र `x^(2)=4y` का बिन्दु (1,2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है: `{:((a)x+y=3,(b)x-y=3),((c)x+y=1,(d)x-y=1):}` |
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Answer» Correct Answer - a दिया गया वक्र है, `x^(2)=4y" "।।।(1)` माना `(x_(1),y_(1))` वक्र (1 ) पर वह बुंडू है जिस पर खींचा गया अभिलम्ब (1 , 2 ) से होकर गुजरता है। `x_(1)^(2)=4y_(1)" "।।।(2)` समीकरण (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, `2x=4(dy)/(dx)implies(dy)/(dx)=(2x)/(4)implies(dy)/(dx)=x/2` `implies((dy)/(dx))_(""(x_(1),y_(1)))=(x_(1))/(2)` अब बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर अभिलम्ब का समीकरण `thereforey=y_(1)=-(1)/(((dy)/(dx))_(""(x_(1),y_(1))))(x-x_(1))` `impliesy-y_(1)=(-2)/(x_(1))(x-x_(1))" "।।।(3)` लेकिन यह अभिलम्ब (1 , 2 ) से होकर गुजरता है। `2-y_(1)=-(2)/(x_(1))(1-x_(1))implies2-y_(1)=-(2)/(x_(1))+2` `impliesy_(1)=(2)/(x_(1))" "...(4)` समीकरण (2 ) और (4 ) से, `x_(1)^(2)=4xx(2)/(x_(1))` `impliesx_(1)^(3)=8impliesx_(1)=2` समीकरण (2 ) से `y_(1)=(x_(1)^(2))/(4)=(2^(2))/(4)=1` `x_(1)=2` और `y_(1)=1` रखने पर, समीकरण (3 ) से अभिलम्ब का समीकरण `y-1=2/2(x-2)` `impliesy-1=-x+2impliesx+y-3=0` `impliesx+y=3` |
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| 31. |
एक 10 मीटर त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में `314"मीटर"""^(3)`/ghante की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे हुआ गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है: `{:((a)1"मीटर/घण्टा",(b)0.1"मीटर/घण्टा"),((c)1.1"मीटर/घण्टा",(d)0.5"मीटर/घण्टा"):}` |
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Answer» Correct Answer - a माना किसी समय t घण्टे पर, बेलन में गेंहू की गहराई h मी, तथा गेहूँ का आयतन V `"मी"""^(3)` है `thereforeV=pir^(2)h=pi(10)^(2)h=100pih` `implies(dV)/(dt)=100pi(dh)/(dt)implies314=100pi(dh)/(dt)` (दिय है `(dV)/(dt)=314)` `implies(dh)/(dt)=(314)/(100(3।14))=1"मीटर/घण्टा"` `therefore` गेहूँ की गहराई 1 मीटर/घण्टा की दर से बैड रही है। |
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| 32. |
वक्र `x^(2)=2y` पर (0,5) se न्यूनतम दूरि पर स्थित बिंदु है: `{:((a)(2sqrt2,4),(b)(2,sqrt2,0)),((c)(0","0),(d)(2","2)):}` |
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Answer» Correct Answer - a माना `x^(2)=2y`पर बिंदु (x,y)से बिन्दु (0,5) के बीच की दूरि d है, `d=sqrt((x-0)^(2)+(y-5)^(2))=sqrt(x^(2)+(y-5)^(2))` `=sqrt(2y+(y-5)^(2))" "...(1)` `impliesd=sqrt(2y+y^(2)-10y+25)` `=sqrt(y^(2)-8y+4^(2)+9)` `=sqrt((y-4)^(2)+9)` d न्यूनतम होगा जब `(y-4)^(2)=0` हो या `y=4` `thereforey=4impliesx^(2)=2xx4` `impliesx=pmsqrt8=pm2sqrt2` `therefore`बिन्दुओ `(2sqrt2,4)` और `(-2sqrt2,4)`दिए गए वक्र पर बिन्दु (0,5) से न्यूनतम दूरि पर है. |
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| 33. |
फलन `f(x)=((1)/(x))^(1//x)` का न्यूनतम मान है-A. eB. `1//e`C. `e^(e)`D. `e^(-1//e)` |
| Answer» Correct Answer - D | |
| 34. |
सिद्ध कीजिए की वक्र `x=acos theta+a theta sin theta, y=a sin theta-a theta costheta` के किसी बिन्दु `theta` पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचार दूरी पर है। |
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Answer» दिया गया वक्र है, `x=a cos theta+a thetasin theta,` तथा `y=asin theta-a cos theta` `implies(dx)/(d theta)=-a sin theta+a(thetacos theta+sin theta)` `=-a sin theta+a theta cos theta+a sin theta` `implies(dx)/(d theta) =a cos theta-a[theta(-sin theta)+cos theta]` `=a cos theta +a theta sin theta-a cos theta` `implies(dy)/(d theta)=a theta sin theta` बिन्दु `theta` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=-(1)/((dy)/(dx))=-(1)/(tantheta)=-cot theta=-(cos theta)/(sin theta)` बिन्दु (x,y) पर अभिलम्ब का समीकरण `y-(a sintheta-acos theta)=-(costheta)/(sin theta)` `=-(cos theta)/(sin theta)[x-(a costheta+athetasintheta)]` `impliesysin theta -a sin ^(2)theta+a theta sin theta cos theta` `=-cos theta+a cos^(2)theta+a theta sin theta*cos theta` `impliesx cos theta+ysin theta=a(sin^(2)theta+cos^(2)theta)` `(because sin^(2) +cos ^(2)theta=1)` `x cos theta+y sin theta=a` `x cos theta+ysin theta-a=0` अब, मुलबिन्दु से अभिलम्ब की दूरी `=(।-a।)/(sqrt(cos^(2)theta+sin^(2)theta))` `implies=(।-a।)/(sqrt1)=।-a।" "(becausecos^(2)theta+sin^(2)theta=1)` जो `theta` से स्वतन्त्र है। अतः मुलबिन्दु से अभिलम्ब अचार दूरी पर है। |
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| 35. |
एक r त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत बने आयत का महत्तम क्षेत्रफल है-A. `pir^(2)`B. `r^(2)`C. `2r^(2)`D. `1/4pir^(2)` |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 36. |
यदि `xy=r^(2),`तो `px+qy` का न्यूनतम मान है-A. `pqsqrtr`B. `2pqsqrtr`C. `2rsqrt(pq)`D. इनमे से कोई नहीं। |
| Answer» Correct Answer - C | |
| 37. |
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a)`r=3"सेमी है."" "(b)r=4"सेमी है."` |
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Answer» माना व्रत की त्रिज्या r तथा क्षेत्रफल A है. क्षेत्रफल `A=pir^(2)` `implies(dA)/(dr)=pi(2r)` `(a)r=3`सेमी `(dA)/(dr)=pixx2xx3=6pi "सेमी"""^(2)`/सेकण्ड r=4 सेमी पर `(dA)/(dr)=pixx2xx4=8pi सेमी ""^(2)`/सेकण्ड |
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| 38. |
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है. घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 सेमी लम्बा है? |
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Answer» माना घन की कोर x तथा आयतन V है. दिया है :`(dx)/(dt)=3` सेमी/सेकण्ड अब `V=x^(3)implies(dV)/(dt)3x^(2)(dx)/(dt)` `x=10` सेमी पर `(dV)/(dt)=3xx10^(2)xx3=900"सेमी"""^(3)`/सेकण्ड |
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| 39. |
एक वृत्त की त्रैज्य समान रूप से 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है. ज्ञात कीजिए की वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रैज्य 10 सेमी है. |
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Answer» माना वृत्त की त्रिज्या r तथा क्षेत्रफल A है. दिया है : `(dr)/(dt)=3` सेमी/सेकण्ड दिया है :`A=pir^(2)` `implies(dA)/(dt)=2pir(dr)/(dt)` `r=10` सेमी पर `(dA)/(dt)=2pixx10xx3=60pi "सेमी"""^(2)`/सेकण्ड |
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| 40. |
एक कण वक्र `6y=x^(3)+2` के अनुगत गति कर रहा है. वक्र पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जबकि x -निर्देशांक की तुलना में y -निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है. |
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Answer» प्रश्नानुसार `(dy)/(dt)=8(dx)/(dt)" "...(1)` वक्र का समीकरण `6y=x^(3)+2` `implies6(dy)/(dt)=3x^(2)(dx)/(dt)` `implies6(8(dx)/(dt))=3x^(2)(dx)/(dt)` `impliesx^(2)=16` `impliesx=pm 4` `x=4` पर `x=-4`पर `y=(4^(3)+2)/(6)=11y=((-4)^(3)+2)/(6)=(-31)/(3)` `therefore` अभीष्ट बिन्दु `(4,11)` और `(-4,-(31)/(3))` |
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| 41. |
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या `1/2` सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है. बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 सेमी है ? |
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Answer» माना बुलबुले की त्रिज्या r तथा आयतन V है. दिया है, `(dr)/(dt)=1/2` सेमी/सेकण्ड अब `V=4/3pir^(3)` `implies(dV)/(dt)=4pir^(2)(dr)/(dt)` r=1 सेमी पर `(dV)/(dt)=4pi(1)^(2).1/2=2pi"सेमी"""^(3)`/सेकण्ड अतः बुलबुले का आयतन `2pi"सेमी"""^(3)`/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है. |
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| 42. |
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है. त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 सेमी है. |
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Answer» माना गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है. `thereforeV=4/3pir^(3)` `implies(dV)/(dr)=4pir^(2)` `r=10` सेमी पर `(dV)/(dr)=4pi(10)^(2)=400pi` `therefore` गुब्बारे का आयतन `400pi"सेमी"""^(3)` सेमी की दर से परिवर्तित हो रहा है. |
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| 43. |
एक आयत की लम्बाई `x,5` सेमी/मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 सेमी/मिनट की दर से बढ़ रही है. तब x=8 सेमी और y=6 सेमी है तब आयत के (a ) परिमाप (b ) क्षेत्रफल की परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए. |
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Answer» `(dx)/(dt)=-5` सेमी/मिनट `(dy)/(dt)=4`सेमी/मिनट (a) मान आयत का परिमाप p है. `thereforeP=2(x+y)` `implies(dp)/(dt)=2((dx)/(dt)+(dy)/(dt))=2(-5+4)=-2` `therefore` आयत का परिमाप 2 सेमी/मिनट की दर से घट रहा है. (b) माना आयत का क्षेत्रफल A है. `thereforeA=xy` `implies(dA)/(dt)=(d)/(dt)(xy)=x.(dy)/(dt)+y(dx)/(dt)` `x=8` तथा `y=6` पर `(dA)/(dt)=8xx4+6xx(-5)=2` `therefore` आयत का क्षेत्रफल 2 `"सेमी"""^(2)`/मिनट की दर से बढ़ रहा है. |
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| 44. |
अवलको के प्रयोग में `log_(10)10.1` का मान ज्ञात कीजिए जबकि `log_(10)e=0.4343` है. |
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Answer» माना `y=log_(10)x` माना `x=10`और `x+Deltax=10.1` `Deltax=0.1` `x=10`पर `y=log_(10)=1` `y=log_(10)x``implies(dy)/(dx)=1/xlog_(10)e` `x=10` पर `(dy)/(dx)=1/10log_(10)e``=1/10xx0.4343=0.04343` `thereforeDeltay=(dy)/(dx).Deltax` `=0.04343xx0.1=0.004343` अतः `y+Deltay=1+0.004343` `implieslog_(10)10.1=1.004343` |
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| 45. |
वक्र `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(16)=1` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ (i) x -अक्ष के समान्तर है (ii) y -अक्ष के समान्तर है |
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Answer» वक्र का समीकरण `(x^(2))/(9)+(y^(2))/(16)=1" "...(1)` `implies(2x)/(9)+(2y)/(16)(dy)/(dx)=0` `implies(dy)/(dx)=-(16x)/(9y)" "...(2)` (i) स्पर्श रेखा x -अक्ष के समान्तर है `implies(dy)/(dx)=0` `implies(-16)/(9y)=0` `impliesx=0` `x=0` समीकरण (1 ) में रखने पर `0+(y^(2))/(16)=1` `impliesy^(2)=16` `impliesy=pm4` `therefore` वक्र के बिन्दुओ (0,4) और (0,-4) पर खींची गई स्पर्श रेखाएं x -अक्ष के समान्तर है. (ii) स्पर्श रेखा y -अक्ष के समांतर है `implies(dx)/(dy)=0` `implies(-9y)/(16x)=0` `impliesy=0` `y=0` समीकरण (1 ) रखने पर `(x^(2))/(9)+0=1` `impliesx^(2)=9` `impliesx=pm3` `therefore वक्र के बिन्दुओ (3,0) और (-3,0) पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ य -अक्ष के समान्तर है. |
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| 46. |
वक्र `y=4x^(3)-2x^(5)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती है. |
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Answer» वक्र का समीकरण `y=3x^(3)-2x^(5)" "...(1)` `implies(dy)/(dx)=12x^(2)-10x^(4)` बिन्दु `(x_(1),y_(1))`पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=12x_(1)^(2)-10x_(1)^(4)` तथा स्पर्श रेखा का समीकरण `y-y_(1)=(12x_(1)^(2)-10x_(4)^(1))(x-x_(1))` यह स्पर्श रेखा बिन्दु (0,0) से होकर जाती है `therefore0-y_(1)=(12x_(1)^(2)-10x_(1)^(4))(0-x_(1))` `impliesy_(1)=12x_(1)^(3)-10x_(1)^(5)" "...(2)` `(x_(1),y_(1))` वक्र (1 ) पर स्थित है `thereforey_(1)=4x_(1)^(3)-2x_(1)^(5)` `implies12x_(1)^(3)-10x_(1)^(5)=4x_(1)^(3)-2x_(1)^(5)` `implies8x_(3)^(1) (1-x_(1)^(2))=0` `impliesx_(1)=0,1,-1` समीकरण (2 ) से `y_(1)` के संगत माना क्रमशः 0,2 और -2 `therefore` अभीष्ट बिन्दु `-=(0,0),(1,2)` और `(-1,-2)` |
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| 47. |
वक्र `y=x^(3)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y -निर्देशक के बराबर है. |
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Answer» वक्र का समीकरण `y=x^(3)` `implies(dy)/(dx)=3x^(2)` बिन्दु (x,y)पर स्पर्श की प्रवणता `=3x^(2)` प्रश्नानुसार `3x^(2)=y` `implies3x^(2)=x^(3)` `impliesx^(2)(3-x)=0` `impliesx=0` या `x=3``=3x^(2)` `x=0` समीकरण (1 ) में रखने पर `y=0` `x=3` समीकरण (1 ) में रखने पर `y=3^(3)=27` `therefore` अभीष्ट बिन्दु `=(0,0)`या `(3,27)` |
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| 48. |
वक्र `x^(2)+y^(2)-2x-3=0` के उन बिन्दुओ पर स्पर्श रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ पर वे x -अक्ष के समान्तर है. |
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Answer» वक्र का समीकरण `x^(2)+y^(2)-2x-3=0" "...(1)` `implies2x+2y(dy)/(dx)-2=0` `implies(dy)/(dx)=(1-x)/(y)` बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `m=(1-x)/(y)` परन्तु स्पर्श रेखा x -अक्ष के समान्तर है `thereforem=0` `implies(1-x)/(y)=0impliesx=1` `x=1` समीकरण (1 ) में रखने पर `1+y^(2)-1-3=0` `y^(2)=4impliesy=+-2` `therefore` अभीष्ट बिन्दु `=(1,2)`और `(1,-2)` |
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| 49. |
वक्र `y=(x-1)^(2)` पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस स्पर्श रेखा, बिन्दुओ (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा समान्तर है. |
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Answer» `y=(x-2)^(2)" "...(1)` `implies(dt)/(dx)=2(x-2)` जीवा की प्रवणता `=(4-0)/(4-2)=2` प्रश्नानुसार, समान्तर rekhao के लिए `2(x-2)=2` `impliesx=3` समीकरण (1 ) से `y=(3-2)^(2)=1` अतः अभीष्ट बिन्दु (3,1) है. |
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| 50. |
वक्र `y=x^(3)+2x+6` के उन अभिलम्बो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा `x+14+4=0` के समान्तर है. |
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Answer» वक्र का समीकरण `y=x^(3)+2x+6" "...(1)` `implies(dy)/(dx)=3x^(2)+2` `therefore` बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `=(-1)/(3x^(2)+2)` दी रेखा का समीकरण `x+14y+4=0` `impliesy=-1/14x-4/14` इस रेखा का समीकरण `=-1/14` समान्तर रेखाओ के लिये प्रवणताए समान होती है. `therefore(-1)/(3x^(2)+2)=-1/14` `implies3x^(2)+2=14implies3x^(2)=12` `impliesx^(2)=4impliesx=+-2` `x=2` समीकरण (1 ) में रखने पर `y-18=01/14(x-2)` `implies14y-252=-x+2` `impliesx+14y-254=0` `x=-2` समीकरण (1 ) में रखने पर `y=(-2)^(3)+2(-2)+6` `=-8-4+6=-6` बिन्दु `(-2,-6)` पर अभिलम्ब का समीकरण `y+6=-1/14(x+2)` `implies14y+84=-x-2` `impliesx+14y+86=0` |
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