InterviewSolution
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| 51. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `(a^(2)-a)^(2)-8(a^(2)-a)+12` |
| Answer» `(a+1)(a+2)(a-2)(a-3)` | |
| 52. |
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिए - `3x^(2)+4+x^(2)-4x^(4)-x` |
| Answer» बहुपद `3x^(3)+4+x^(2)-4x^(4)-x` के मानक रूप `-4x^(4)+3x^(3)+x^(2)-x+4` व `4-x+x^(2)+3x^(3)-4x^(4)` हैं । | |
| 53. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `16-81x^(2)` |
| Answer» `(4-9x)(4+9x)` | |
| 54. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `(a+b)^(2)-9c^(2)` |
| Answer» `(a+b-3c)(a+b+3c)` | |
| 55. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए - `x^(16)-63x^(8)-64` |
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Answer» यहाँ `x^(16)-63x^(8)-64=(x^(8))^(2)-63(x^(8))-64` सर्वप्रथम p व q के मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि `p+q=-63` तथा `pq=-64` `because pq` ऋणात्मक हैं इसलिए p व q में से एक ऋणात्मक तथा दूसरा धनात्मक होगा । इसलिए `-64+1=-63` तथा `(1)xx(-64)=-64` अब मध्य पद `-63x^(8)` को `x^(8)` तथा `-64x^(8)` व -64 को `(-64)xx(1)` के रूप में लिखते हैं । तब `x^(16)-63x^(8)-64=x^(16)+x^(8)-64x^(8)+(-64)(1)` `=(x^(16)+x^(8))+[-64x^(8)+(-64)(1)]` `=x^(8)(x^(8)+1)-64(x^(8)+1)=(x^(8)+1)(x^(8)-64)` `=(x^(8)+1)[(x^(4))^(2)-(8)^(2)]=(x^(8)+1)(x^(4)-8)(x^(4)+8)` |
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| 56. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `2(5x-(1)/(x))^(2)-3(5x-(1)/(x))-2` |
| Answer» `(10x-(2)/(x)+1)(5x-(1)/(x)-2)` | |
| 57. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `2x^(2)-(5)/(6)x+(1)/(12)` |
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Answer» दी गयी समीकरण की मानक रूप `ax^(2)+bx+c` से तुलना करने पर `a=2, b=-(5)/(6)` तथा `c=(1)/(12)` सर्वप्रथम, हम p व q इस प्रकार निकलते हैं कि `p+q=b=-(5)/(6)` तथा `pq=ac=2xx(1)/(12)=(1)/(16)` स्पष्टतः `-(1)/(3)-(1)/(2)=-(5)/(6)` तथा `-(1)/(3)xx -(1)/(2)=(1)/(6)` अब मध्य पद `-(5x)/(6)` को `-(x)/(3)-(x)/(2)` में विभाजित करते हैं । `therefore 2x^(2)-(5)/(6)x +(1)/(12)=2x^(2)-(1)/(3)x -(1)/(2)x +(1)/(12)` `=((6x^(2))/(3)-(x)/(3))+(-(6x)/(12)+(1)/(12))=(x)/(3)(6x-1)-(1)/(12)(6x-1)` `=(6x-1)((x)/(3)-(1)/(12))=(1)/(12)(6x-1)(4x-1)` |
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| 58. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड कीजिए - `9a^(3)b^(2)c-27a^(2)b^(3)c^(2)-36a^(2)b^(2)c^(3)` |
| Answer» `9a^(2)b^(2)c(a-3bc-4c^(2))` | |
| 59. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `21x^(2)+5x-6` |
| Answer» `(3x+2)(7x-3)` | |
| 60. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(12)-y^(12)` |
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Answer» यहाँ `x^(12)-y^(12)` `(x^(6))^(2)-(y^(6))^(2)=(x^(6)+y^(6))(x^(6)-y^(6))={(x^(2))^(3)+(y^(2))^(3)}{(x^(3))^(2)-(y^(3))^(2)}` `=(x^(2)+y^(2)){(x^(2))^(2)-x^(2)y^(2)+(y^(2))^(2)}{(x^(3)-y^(3))(x^(3)+y^(3))}` `= (x^(2)+y^(2))(x^(4)-x^(2)y^(2)+y^(4))(x-y)(x^(2)+xy+y^(2))(x+y)(x^(2)-xy+y^(2))` `=(x+y)(x-y)(x^(2)+y^(2))(x^(2)+xy+y^(2))(x^(2)-xy+y^(2))(x^(4)-x^(2)y^(2)+y^(4))` |
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| 61. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `(a+b)^(2)-9c^(2)` |
| Answer» `(a+b-3c)(a+b+3c)` | |
| 62. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `(a^(2))/(4b^(2))-(1)/(3)+(b^(2))/(9a^(2))` |
| Answer» `((a)/(2b)-(b)/(3a))((a)/(2b)-(b)/(3a))` | |
| 63. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(2)+5x-84` |
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Answer» यहाँ हमें `x^(2)+5x-84` के गुणनखण्ड ज्ञात करने हैं । सर्वप्रथम p व q के मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए `p+q=5` तथा `pq=-84` `because pq` ऋणात्मक हैं इसलिए p व q में एक धनात्मक व दूसरा ऋणात्मक होगा | स्पष्टतः `12-7=5` तथा `(12)(-7)=-84` अतः मध्य पद 5x को `12x-7x` तथा -84 को `(-7)xx12` के रूप में लिखते हैं । इसलिए `x^(2)+5x-84=x^(2)+12x-7x+(-7)(12)` `=(x^(2)+12x)+[(-7x)+(-7)(12)]` `=x(x+12)-7(x+12)=(x+12)(x-7)` |
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| 64. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `2x^(2)+7sqrt(2)x+12` |
| Answer» `(sqrt(2)x+3)(sqrt(2)x+4)` | |
| 65. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(2)-6x+8` |
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Answer» हमें `x^(2)-6x+8` के गुणनखण्ड करने हैं । सर्वप्रथम p व q दो राशियाँ इस प्रकार ज्ञात करनी हैं कि `p+q=-6` तथा `pq=8` स्पष्टतः `-4-2=-6` तथा `(-4)(-2)=8` अब मध्य पद -6x को `-4x-2x` तथा 8 को `(-4)(-2)` के रूप में लिखते हैं । इसलिए `x^(2)-6x+8=x^(2)-4x-2x+(-4)(-2)` `=(x^(2)-4x)+[-2x+(-4)(-2)]` `=x(x-4)-2(x-4)=(x-4)(x-2)` |
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| 66. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `9a^(3)b+41a^(2)b^(2)+20ab^(3)` |
| Answer» `ab(a+4b)(9a+5b)` | |
| 67. |
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिए - `x^(3)+3x+2x^(2)+5` |
| Answer» बहुपद `x^(3)+3x+2x^(2)+5` के मानक रूप `x^(3)+2x^(2)+3x+5` व `5+3x+2x^(2)+x^(3)` हैं । | |
| 68. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(2)+5x+6` |
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Answer» हमें `x^(2)+5x+6` के गुणनखण्ड करने हैं । सब से पहले दो राशियाँ p व q इस प्रकार ज्ञात करते हैं कि `p+q = 5 " व " pq =6` स्पष्टतः `" " 2+3=5` तथा `2xx3=6` इसलिए मध्य पद 5x को निम्न प्रकार बाँटते हैं `5x=2x+3x " "` तथा `" " 6=2xx3` इसलिए `x^(2)+5x+6=x^(2)+2x+3x+3xx2` `=(x^(2)+2x)+(3x+3xx2)` `=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)` |
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| 69. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड कीजिए - `x^(2)+(1)/(x^(2))+2-3x-(3)/(x)` |
| Answer» `(x+(1)/(x))(x+(1)/(x)-3)` | |
| 70. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `7(x+2y)^(2)-25(x+2y)+12` |
| Answer» `(x+2y-3)(7x+14y-4)` | |
| 71. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `(x+2y)^(2)+5(x+2y)(2x+y)+6(2x+y)^(2)` |
| Answer» `(7x+5y)(5x+4y)` | |
| 72. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `10x^(2)-9x-7` |
| Answer» `(5x-7)(2x+1)` | |
| 73. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(3)+3x^(2)+3x-7` |
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Answer» यहाँ `x^(3)+3x^(2)+3x-7=(x^(3)+3x^(2)+3x+1)-8` `=(x+1)^(3)-2^(3)=[(x+1)-2][(x+1)^(2)+2(x+1)+2^(2)]` `=(x+1-2)(x^(2)+2x+1+2x+2+4)` `=(x-1)(x^(2)+4x+7)` |
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| 74. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `a^(3)+3a^(2)b+3ab^(2)+b^(3)-8` |
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Answer» यहाँ `a^(3)+3a^(2)b+3ab^(2)+b^(3)-8=(a+b)^(3)-2^(3)` `=[(a+b)-2][(a+b)^(2)+2(a+b)+2^(2)]` `=(a+b-2)(a^(2)+2ab+b^(2)+2a+2b+4)` |
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| 75. |
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिए - `x^(6)-3x^(4)+sqrt(2)x+5x^(2)-2x^(5)+4` |
| Answer» `x^(6)-2x^(5)-3x^(4)+5x^(2)+sqrt(2)x+4` या `4+sqrt(2)x+5x^(2)-3x^(4)-2x^(5)+x^(6)` | |
| 76. |
निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिए - `x^(7)-3x^(5)+sqrt(2)x+(4)/(3)x^(2)-2x^(6)+4` |
| Answer» `x^(7)-2x^(6)-3x^(5)+(4)/(3)x^(2)+sqrt(2)x+4` या `4+sqrt(2)x+(4)/(3)x^(2)-3x^(5)-2x^(6)+x^(7)` | |
| 77. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `5sqrt(5)x^(2)+30x+8sqrt(5)` |
| Answer» `(sqrt(5)x+4)(5x+2sqrt(5))` | |
| 78. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `9x^(4)-6x^(3)b+x^(2)b^(2)` |
| Answer» `x^(2)(3x-b)^(2)` | |
| 79. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `sqrt(3)x^(2)+10x+3sqrt(3)` |
| Answer» `(sqrt(3)x+1)(x+3sqrt(3))` | |
| 80. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `9x^(2)+27x+20` |
| Answer» `(3x+4)(3x+5)` | |
| 81. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `12(x^(2)+7x)^(2)-8(x^(2)+7x)(2x-1)+(2x-1)^(2)` |
| Answer» `(6x^(2)+40x+1)(2x^(2)+12x+1)` | |
| 82. |
`(x+y)^(3)-x-y` के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए | |
| Answer» `(x+y)(x+y+1)(x+y-1)` | |
| 83. |
निम्न व्यंजकों में एकपदीय, द्विपद तथा त्रिपद बहुपद छाँटिए - `x^(2)-3x` |
| Answer» `x^(2)-3x` में दो पद है इसलिए यह एक द्विपद बहुपद है । | |
| 84. |
निम्न व्यंजकों में एकपदीय, द्विपद तथा त्रिपद बहुपद छाँटिए - `x^(3)+2x^(2)` |
| Answer» `x^(3)+2x^(2)` में दो पद है इसलिए यह एक द्विपद बहुपद है । | |
| 85. |
निम्न व्यंजकों में एकपदीय, द्विपद तथा त्रिपद बहुपद छाँटिए - `x^(2)+2x + 1` |
| Answer» `x^(2)+2x +1` में तीन पद है इसलिए यह एक त्रिपद बहुपद है । | |
| 86. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(2)+4sqrt(2)x+6` |
| Answer» `(x+sqrt(2))(x+3sqrt(2))` | |
| 87. |
निम्न व्यंजकों में एकपदीय, द्विपद तथा त्रिपद बहुपद छाँटिए - 6 |
| Answer» 6 में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदीय बहुपद है तथा 6 एक वास्तविक संख्या है । इसलिए यह अचर बहुपद भी कहलाएगा । | |
| 88. |
निम्न व्यंजकों में एकपदीय, द्विपद तथा त्रिपद बहुपद छाँटिए - `x^(2)` |
| Answer» `x^(2)` में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदीय बहुपद है । | |
| 89. |
गुणनखण्ड कीजिए : `px+cx-py-cy` |
| Answer» `px+cx-py-cy=(px+cy)-(py+cy)=x(p+c)-y(p+c)=(p+c)(x-y)` | |
| 90. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(2)+5sqrt(5)x+30` |
| Answer» `(x+2sqrt(5))(x+3sqrt(5))` | |
| 91. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `2x^(2)+13x+20` |
| Answer» `(x+4)(2x+5)` | |
| 92. |
निम्न व्यंजकों के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए - `x^(4)-x^(2)-12` |
| Answer» `(x+2)(x-2)(x^(2)+3)` | |
| 93. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड कीजिए - `x^(5)+x^(4)-2x^(2)-2x` |
| Answer» `x[(x^(3)-2)(x+1)]` | |
| 94. |
गुणनखण्ड कीजिए : `xy^(2)+(1+x^(2))y+x` |
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Answer» `xy^(2)+(1+x^(2))y+x=xy^(2)+y+x^(2)y+x=(xy^(2)+y)+(x^(2)y+x)` `=y(xy+1)+x(xy+1)=(xy+1)(y+x)` |
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| 95. |
निम्न बहुपदों के गुणनखण्ड कीजिए - `(x^(2)+3x)^(2)-5(x^(2)+3x)-y(x^(2)+3x)+5y` |
| Answer» `(x^(2)+3x-5)(x^(2)+3x-y)` | |
| 96. |
`x^(5)y-xy^(5)` के गुणनखण्ड कीजिए | |
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Answer» `x^(5)y-xy^(5)=xy(x^(4)-y^(4))` `=xy[(x^(2))^(2)-(y^(2))^(2)]=xy(x^(2)+y^(2))(x^(2)-y^(2))` `=xy(x^(2)+y^(2))(x-y)(x+y) " " [ because x^(2)-y^(2)=(x-y)(x+y)]` `=xy(x-y)(x+y)(x^(2)+y^(2))` |
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| 97. |
`9x^(2)-49y^(2)` के गुणनखण्ड कीजिए | |
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Answer» `9x^(2)-49y^(2)=(3x)^(2)-(7y)^(2)` `=(3x-7y)(3x+7y) " " [because a^(2)-b^(2)=(a-b)(a+b)]` |
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| 98. |
`(ax-by)^(2)+2pq(ax-by)+p^(2)q^(2)` के गुणनखण्ड कीजिए | |
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Answer» `(ax+by)^(2)+2pq(ax-by)+p^(2)q^(2)=(ax-by)^(2)+2(ax-by).pq+(pq)^(2)` `=[(ax-by)+pq]^(2)=(ax-by+pq)^(2)` |
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| 99. |
निम्न व्यंजकों में बहुपदों को छाँटिये - `sqrt(2)x + sqrt(3). sqrt(x)` |
| Answer» दिया गया व्यंजक `sqrt(2).x+sqrt(3).sqrt(x)` एक बहुपद नहीं है क्योंकि व्यंजक के द्वितीय पद में x की घात 1 / 2 है, जो एक ऋणेत्तर पूर्णांक संख्या नहीं है । | |
| 100. |
निम्न व्यंजकों में बहुपदों को छाँटिये - `x^(3)-(3)/(x^(3))+15` |
| Answer» दिया गया व्यंजक `x^(3)-3//x^(3)+15` एक बहुपद नहीं है क्योंकि इसके द्वितीय पद में x की घात -3 है, जो एक ऋणेत्तर पूर्णांक संख्या नहीं है । | |