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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

1.

निम्नलिखित फलनों का प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए । `(i) f(x) = x " "(ii) f(x) = 2 - 3x " "(iii) f(x) = x^(2) - 1` (iv) ` f(x) = x^(2) + 2" "(v) f(x) = sqrt(x-1)`

Answer» (i) Dom. F = R, Range of f = R
(ii) Dom. F = R, Range of f = R
(iii) Dom. F = R, Range of `f = [-1,infty) = {x: x ge -1}`
(iv) Dom. F = R, Rnage of `f = [2, infty) = {x : x ge 2}`
(v) Dom. `f= [1,infty)," Range " f = [0,infty) = {x, xge 0}`
Discussion
2.

माना कि `f : R to R ` में f(x) = x से परिभाषित है तथा `g : R to R` में `g(x) = |x|` से परिभाषित है तो निकालें `(i) f +g" "(ii) f-g " "(iii) f*g " "(iv) alpha f, alpha in R" "(v) f/g`

Answer» `f + g*f - g, f, g , alpha` functions from R to defined by
(i) `(f+g)(x) = f(x) + g (x) = x + |x|= {{:(0" ,"x le 0),(2x" ,"xge 0):}`
(ii)`(f-g)(x) = f (x) - g (x) = x - |x| = {{:(2x","x le 0),(0"," xge 0):}`
(iii)` (f*g)(x) = f(x) * g(x) = x |x| = {{:(-x^(2)","xle0),(x^(2)"," x"," ge 0):}`
(iv)` (alpha.f)(x) = alpha.f (x) = alpha x`
(v) ` f/g : R -{0} to R`में फलन है ।
`(f/g)(x)=(f(x))/(g(x)) = x/|x|={{:(-1"," xlt 0),(1"," x gt 0):}`
Discussion
3.

माना कि f चर घातीय फलन है तथा g लघुगणकीय फलन है जो `f(x) = e^(x)` तथा `g(x) =log_(e)x` से परिभाषित है । (i) `(f+g)(1)" "(ii) (f-g)(1)` (iii)`(f*g)(1)" "(iv) 3f(1)`

Answer» यहाँ ,`f:R to R " में " f(x) = e^(x)` द्वारा परिभाषित है ।
तथा `g:R^(+) to R " में " f(x) = log_(e) x`द्वारा परिभाषित है ।
जहाँ `R^(+)`सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है ।
(i)` (f+g) (1) = f(1) + g(1) = e^(1) + log_(e) 1 = e+0 = e`
(ii) ` (f-g)(1) = f(1) - g(1) = e^(1) - log_(e) 1 = e - 0 = e`
(iii)` (f*g) (1) = f(1) . g (1) = e^(1). log_(e) 1 = e . 0 = 0`
(iv) `(3f) (1) = 3 f(1) = 3.e^(1) = 3e`.
Discussion
4.

f: A → B, A = {-3, -1, 1, 3}, B = {1, 0, 9}, f(x) = x2 विधेय है ।

Answer»

गण A = {-3, -1, 1, 3} के प्रत्येक घटक के लिए B का घटक अनन्य रीति से प्राप्त होता है अर्थात् A का प्रत्येक घटक गण B के अनन्य घटक के साथ नियम x2 से जुड़ा है इसलिए f(x) = x2 फलन है।
Discussion
5.

फलन पारिभाषिक होने के लिए आवश्यक शर्त बताइए ।

Answer»

दो अरिक्त समूच्य के घटकों के बीच के अनन्य संबंध को विधेय कहते है । अर्थात् A और B के घटक अरिक्त नहि होना चाहिए ।
Discussion
6.

दो भिन्न फलन समान हो उसके लिए निम्न में से कौन-सी शर्त पर्याप्त है ?(A) दोनों फलनों का प्रदेश समान होना चाहिए ।(B) दोनों फलनों का विस्तार समान होना चाहिए ।(C) (A) और (B)(D) (A) अथवा (B)

Answer»

सही विकल्प है (C) (A) और (B)
Discussion
7.

f : A → B के लिए समूच्य A की प्रत्येक किमत के लिए समूच्य B में सिर्फ एक ही प्रतिबिंब मिलता हो उसे कौन से प्रकार का फलन कहते है ?(A) फलन नहि कहा जाता(B) एक-एक फलन(C) अचल फलन कहते है(D) अनेक-एक फलन

Answer»

सही विकल्प है (C) अचल फलन कहते है
Discussion
8.

f : z – {0} → N और f (x) = x2, x ∈ z – {0} यह कौन से प्रकार का फलन है ?(A) एक-एक फलन है।(B) अनेक-एक फलन है ।(C) अचल फलन है।(D) f(x) यह फलन नहि है।

Answer»

सही विकल्प है (B) अनेक-एक फलन है ।
Discussion
9.

एक-एक फलन की सांकेतिक परिभाषा दीजिए ।

Answer»

विधेय f : A → B प्रदेश गण A के कोई भी दो भिन्न घटकों के लिए सहप्रदेश के गण में प्राप्त प्रतिबिंबों के विधेयात्मक किंमत भिन्न हो तो उस विधेय f को एक-एक विधेय कहते है ।

f : A → B के लिए यदि a1 ≠ a2 तथा a1, a2 ∈ A के लिए यदि f(a1) ≠ f(a2) होता हो तो विधेय f को एक-एक विधेय कहते है ।
Discussion
10.

निम्नलिखित नियमों पर विचार कीजिए : (i)`f : R to R : f(x) = cos x, AA x in R`. (ii) `g : N - {1} to R : g (x) = 1/(x-1), AA x in N - {1} ` उनमें से कौन फलन है ? उनका विस्तार ज्ञात कीजिए ।

Answer» (i) चूँकि प्रत्येक `x in R` के लिए ,cos x अद्वितीय वास्तविक संख्या है , इसलिए, f एक फलन है ।
चूँकि `-1 le cos x le 1`, इसलिए , परिसर `f = [-1,1]`.
(ii) N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है । स्पष्टतः `x in N `(1 को छोड़कर ) का अद्वितीय प्रतिबिंब g के अधीन `1/(x-1) in R` है , इसलिए g भी एक फलन है ।
चूँकि `g(x) = 1/(x-1), x in N - {1}`
`:. x = 2, 3, 4 ...`
` :. g(x) = 1, 1/2, 1/3,...`
अतः का परिसर `= {1,1/2,1/3,1/4,...}`.
Discussion
11.

वास्तविक चल का फलन को पारिभाषित करो ।

Answer»

यदि फलन का प्रदेश और उसका विस्तार वास्तविक संख्या R पर पारिभाषित हो तो उसे वास्तविक फलन कहते है ।
Discussion
12.

अनेक-एक फलन की सांकेतिक परिभाषा दीजिए ।

Answer»

मानाकि f : A → B, प्रदेश गण A के कोई भी दो घटक के लिए सहप्रदेश गण में प्राप्त प्रतिबिंबों या विधेयात्मक किंमत समान हो तो उस विधेय f को अनेक-एक विधेय कहते है ।

f : A → B के लिए यदि a1 ≠ a2, a1, a2, ∈ A के लिए यदि f(a1) = f(a2) बनता हो तो विधेय f को अनेक-एक विधेय कहते है ।
Discussion
13.

निम्नलिखित नियमों पर विचार कीजिए (i) `f:R to R : f (x) = log_(e) x " "(ii) g: R to R : g (x) = sqrtx` (iii) `h : A to R : h (x) = 1/(x^(2)-4),"जहाँ " A = R - {-2,2}`. उनमें कौन फलन है ? उनका परिसर ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है ।

Answer» h एक फलन है , Range `h = (-infty, - 1/4] cup (0, infty)`
f और g फलन नहीं है क्योंकि वे x के ऋणात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं है ।
Discussion
14.

यदि फलन `f : R rarr R` सभी `x in R` के लिए, `f (x) = sin^(2)(x+pi//3)+cos x cos(x+(pi//3)` से परिभाषित है तथा `g : R rarr R` एक फलन इस तरह है कि `(gof) : R rarr R` तो साबित करें कि एक अचर फलन है।

Answer» `f(x) = sin^(2)x + sin^(2)(x+pi//3) + cos x cos (x+pi//3)`
`= (1)/(2)[2 sin^(2) x + 2sin^(2)(x+(pi)/(3))+2 cos x cos (x+(pi)/(3))]`
`= (1)/(2)[1-cos 2x + 1- cos(2x+(2pi)/(3)) + cos(2x+(pi)/(3))+cos.(pi)/(3)]`
`= (1)/(2)[(5)/(2) - cos 2x-cos (2x+(2pi)/(3))+cos (2x+(2pi)/(3))]`
`=(1)/(2)[(5)/(2)-{cos(2x)+cos(2x+(2pi)/(3))}+cos(2x+(pi)/(3))]`
`=(1)/(2)[(5)/(2)-2 cos(2x-(pi)/(3))cos.(pi)/(3)+cos(2x+(pi)/(3))]`
`=(1)/(2)[(5)/(2)-cos(2x+(pi)/(3))+cos(2x+(pi)/(3))]`
`=(5)/(4)`, सभी `x in R`
इसलिए, प्रत्येक `x in R` के लिए
`(gof)(x) = g(f(x)) = g((5)/(4)) = 1`
इस प्रकार, `(gof)(x) = 1` सभी `x in R`
अतः `(gof) : R rarr R` एक अचर फलन है।
Discussion
15.

यदि `f(x-1) = 2x + 1` तो ` f(x) =`A. `2x+3`B. `2x+2`C. `4x+3`D. `4x+2`

Answer» Correct Answer - A
Discussion
16.

यदि (If) `f(x) = x^(2)," तो "(f(1*1)-f(1))/(1*1-1)=`A. `2*3`B. `2*1`C. `2*2`D. `1*11`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
17.

यदि (If) `f(x) = (2 tan x )/(1+ tan ^(2) x)` , तो ` f(pi/4) =`A. `1/2`B. 1C. 2D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
18.

यदि ` f (x+1) = 3x + 5`, निकालें f(x).

Answer» प्रश्न से ,`f(x+1) = 3x + 5` ....(1)
(1) में x कि जगह (x-1) रखने पर , हमें मिलता है
`f(x-1+1)= 3 (x-1) + 5`
`rArr f(x) " " = 3x +2`.
Discussion
19.

निम्नलिखित फलन एक प्रान्त निकालिए `y = 1/(log_(10)(1-x))+sqrt(x+2)`

Answer» y परिभाषित होने के लिए
(i) `log_(10)(1-x)` परिभाषित होना चाहिए `rArr 1 - x gt 0 rArr x lt 1` ...(A)
(ii) `log_(10)(1 -x) ne 0 rArr 1 - x ne 10^(0) rArr 1 - x ne 1 rArr x ne 0` ...(B)
(iii) ` x + 2 ge 0 rArr x ge - 2`. ...(C)
(A),(B) और (C), से हमे मिलता है ,` -2 le x lt 1" तथा " x ne 0`
`:. -2 le x lt 0 " या " 0 lt x lt 1`
अतः प्रान्त `= [-2,0)cup (0,1)`.
Discussion
20.

यदि (If) `f(x) = (1+x)/(1-x),` तो ` f(x) = (f(x)*f(x^(2)))/(1+(f(x))^(2))=`A. 1B. 2C. `1/2`D. `-1/2`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
21.

फलन `f(x) = (x^(2)+2x+1)/(x^(2)-3x+2)` का प्रान्त हैA. RB. `R-{1,2}`C. `R-{2,3}`D. `R-{-1}`

Answer» Correct Answer - B
Discussion
22.

यदि ` f(x) = (2x)/(1+x^(2))`, तो साबित कीजिए कि `f(tan theta) = sin 2 theta`.

Answer» `f(x) = (2x)/(1+x^(2))`
` :. F(tan theta) = (2 tan theta)/(1+tan^(2) theta) = sin 2 theta`
Discussion
23.

फलन (Domain of the functions) `f(x) = sqrt(16-x^(2))` का प्रान्त हैA. `[0,4]`B. `[-4,0]`C. `(-4,4)`D. `[-4,4]`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
24.

यदि ` f (x) = (x^(2) -3x +1)/(x-1)," निकालें " f(-2) + f (1/3)`.

Answer» प्रश्न से , `f(x) = (x^(2) -3x +1)/(x -1)`
`:. f(-2) =( (-2)^(2) -3(-2)+1)/(-2-1) = (4+6+1)/(-3)= - 11/3`
और `f(1/3) = ((1/3)^(2) -3. 1/3+1)/(1/3 -1) = (1/9 -1 +1)/(- 2/3) = (1/9)/(-2/3) = 1/9 xx (-3/2) = - 1/6`.
`:. f(-2) + f(1/3) = - 11/3 - 1/6 = (-22-1)/6 = 23/6 = - 3 5/6`.
Discussion
25.

यदि gof आच्छादक हैं , तो क्या f तथा g दोनों अविवार्यतः आच्छादक हैं ?

Answer» फलन `f{ {1,2,3,4} to {1,2,3,4}` परिभाषित है - `f(1)=1, f(2)=3, f(3) = 2,g(4)=4`
तथा `g: {1,2,3,4} to {1,2,3}` परिभाषित है -
`g(1)=1, g(2)=2, g(3)=2,g(4)=3`
तब `(gof)(1) =g[f(1)]=g(1)=1`
`(gof)(2)=g[f(2)]=g(3)=2`
`(gof)(3) = g[f(2)]=g(4)=3`
`(gof)(4) = g[f(3)]=g(4)=3`
`therefore gof ` आच्छादक फलन है किन्तु f आच्छादक फलन नहीं है ।
Discussion
26.

f (x) = sin x व्दारा प्रदत्त फलन f : `[ 0 , (pi)/(2)] to R` तथा g (x) = cos x व्दारा प्रदत्त फलन g : `[ 0 , (pi)/(2)] to R` पर विचार कीजिए । सिद्ध कीजिए कि f तथा g एकैकी हैं , परंतु f + g एकैकी नहीं हैं ।

Answer» प्रत्येक दो भिन्न अवयवों `x_(1) , x_(2) in [ 0 , (pi)/(2)] ` के लिए
`sin x_(1) ne sin x_(2) "और" cos x_(1) ne cos x_(2)`
`therefore f (x_(1)) ne f (x_(2))` और `g (x_(1)) ne g (x_(2))`
`rArr ` f और g एकैकी हैं ।
अब , ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) = sin x + cos x
`therefore (f + g ) (0) = f (0) + g (0) = sin 0 + cos 0 `
= 0 + 1 = 1
और ( f + g ) `((pi)/(2)) = f ((pi)/(2)) + g ((pi)/(2))`
= `sin (pi)/(2) + cos (pi)/(2) = 1 + 0 = 1 `
स्पष्टत : `0 ne (pi)/(2)` परंतु ( f + g ) (0) = `( f + g ) ((pi)/(2))`
`therefore f + g` एकैकी नहीं हैं । यही सिद्ध करना था ।
Discussion
27.

यदि X = {a,b,c,d} , तो निम्नलिखित में X से X में एक फलन हैं -A. `R_(1) = { (b , a) , (a , b), (c , d) , (a , c)}`B. `R_(2) = {(a, d) , (d , c) , (b, b) , (c, c) }`C. `R_(3) = { (a , b) , (b , c) , (c ,d) , (b ,d)}`D. `R_(4) = {(a,a) , (b ,b) , (c, c), (c ,d)}` .

Answer» Correct Answer - b
Discussion
28.

संबंध `f, f(x) = {{:(x^(2)", "0lex le 3),(3x", "3 le xle 10):}` द्वारा परिभाषित है । संबंध `g,g(x) = {{:(x^(2)", "0 le x le 2),(3x", "2le xle 10):}` द्वारा परिभाषित है । दर्शाइए कि क्यों f एक फलन है और g एक फलन नहीं है ।

Answer» प्रश्न से , `f(x) = {{:(x^(2)", "0le x le 3),(3x", "3 le xle 10):}`
स्पष्टतः f के अधीन ,3 को छोड़कर सभी x का प्रतिबिम्ब अद्वितीय (uniquc) है ।
पुनः `f(3) = 3^(2) = 9 ` [(i) से]
तथा `f(3) -3 xx 3 = 9 `[(ii) से ]
अतः 3 का f के अधीन एक ही प्रतिबिम्ब है ।
लेकिन `g(x) = {{:(x^(2)", "0 le x le 2" "...(iii)),(3x", "2 le x le 10" "...(iv)):}`
स्पष्टतः g के अधीन अंतराल `[0,10]` के 3 को छोड़कर सभी अवयवों का प्रतबिंब अद्वितीय है ।
पुनः `g(2) = 2^(2) = 4 `[(iii) से]
`g(2) = 3 xx 2 = 6 ` [(iv) से]
अतः g के अधीन 2 का दो प्रतिबिम्ब 4 तथा 6 है ।
`:. g`फलन नहीं है ।
Discussion
29.

यदि `f(x) = (2 tan x)/(1+tan^(2)x)`. तो `f(pi/4)` निकालें ।

Answer» `f(x) = (2 tan x)/(1 + tan^(2) x) " " :. f(pi/4) = (2 tan.pi/4)/(1+tan^(2). pi/4) = (2.1)/(1+1) = 2/2 = 1`.
Discussion
30.

माना समस्त `n in N` के लिए , f (n) = `{{:((n + 1)/(2) "," "यदि" n विषम हैं) , ((n)/(2) "," "यदि n सम हैं"):}` व्दारा परिभाषित एक फलन f : N `to` N हैं । बताइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादक (bijective) हैं । अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए ।

Answer» माना `x_(1) = 1` और `x_(2) = 2 ` , N के दो अवयव हैं ।
`therefore f (x_(1)) = f(1) = ( 1 + 1 )/(2)` = 1
`f ( x_(2)) = f (2) = (2)/(2) = 1`
`therefore f (x_(1)) = f (x_(2))` जबकि `x_(1) ne x_(2)`.
f : N `to` N एकैकी नहीं हैं । यह एक बहुएक फलन हैं ।
(ii) माना n , सहप्रांत N का स्वेच्छ अवयव हैं । यदि n विषम हैं , तब 2n -1 भी विषम होगा ।
`f ( 2n -1 ) = ((2n - 1) + 1)/(2) = (2n)/(2) = n`
यदि n सम हैं , तो 2n भी सम होगा ।
`f ( 2n ) = (2n )/(2) = n `
अतः प्रत्येक `n in N ` ( सम या विषम ) के लिए f (N) = N .
`therefore f : N to` N आच्छादक फलन हैं । यही सिद्ध करना था ।
Discussion
31.

समुच्च्य A = { 1,2,3 } से स्वंय तक सभी एकैकी फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ n (A) = 3 . अतः A से A में एकैकी फलनों की संख्या = `""^(3)P_(3) = 3 ! = 6 .`
Discussion
32.

सिद्ध कीजिए कि एकैकी फलन f : { 1,2,3 } `to` { 1,2,3} अनिवार्य रुप से आच्छादक भी हैं ।

Answer» माना A = { 1,2,3}. चूँकि f : A`to A` एकैकी फलन हैं इसलिए f (1) , f (2) , f (3) समुच्चय A के भिन्न अवयव होंगे । परंतु A में केवल तीन अवयव हैं ।
`therefore f ` का परास = { f (1) , f (2) , f (3) } समुच्चय A के भिन्न अवयव होंगे । परंतु A में केवल तीन अवयव हैं ।
`therefore f ` का परास = { f (1) , f (2) , f (3) } = A.
`rArr f : { 1,2,3} to { 1,2,3}` आच्छादक फलन हैं । यही सिद्ध करना था ।
Discussion
33.

यदि फलन f : Q `to` Q इस प्रकार परिभाषित हैं कि f (x) = `x^(2)` , तो `f^(-1)(-5)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `f^(-1)(-5) = x`
`rArr f(x) = -5`
`rArr x^(2) = -5`
जो कि किसी `x in Q` के लिए संभव नहीं हैं ।
`therefore f^(-1)(-5) = pi` .
Discussion
34.

फलन `f : N to N` , f (n) = 2n + 3 हैं -A. एकैकी परंतु आच्छादक नहीB. आच्छादक परंतु एकैकी नहींC. बहुएकD. इनमें से कोई नहीं ।

Answer» Correct Answer - a
Discussion
35.

यदि फलन f : Q `to` Q इस प्रकार परिभाषित हैं कि f (x) = `x^(2)` , तो `f^(-1)(9)` ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `f^(-1)(9) = x `
`rArr f (x) = 9`
`rArr x^(2) = 9 `
`rArr x = pm 3 in Q`
`therefore f^(-1)(9) = {-3 , 3}` .
Discussion
36.

माना A = { - 2 , -1 , 2,3} , B = { -3 , -1 , 3 , 9 } और f(x) = `x^(2) + x - 3 ` . F(A) ज्ञात कीजिए और दर्शाइये कि f ( A) = B = f का परास । f के अन्तर्गत अवयव 2 का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ f (x) = `x^(2) + x - 3`
f (-2) = `(-2)^(2) - 2 - 3 = -1 in B`
`f ( -1) = (-1)^(2) - 1 - 3 = -3 in B`
f (2) = `(2)^(2) + 2 - 3 = 3 in B`
`f (3) = 3^(2) + 3 - 3 = 9 in B`.
`therefore f (A) = { f (x) : x in A } = { -1 , -3 , 3 , 9 } = B` .
अतः f (A) = B = f का परास ।
f के अन्तर्गत अवयव 2 का प्रतिबिंब 3 हैं ।
Discussion
37.

माना कि `f : {a, c, d} rarr {a, b, e}` तथा `g : {a, b, e} rarr {a, c}, f = {(a, b), (c, e), (d, a)}` तथा `g = {(a, c), (b, c), (e, c)}` द्वारा प्रदत्त है। निम्नलिखित ज्ञात करें। (i) gof (ii) fog

Answer» (i) gof = {(a, c), (c, c), (d, c)} (ii) fog = {(a, e), (b, e), (e, e)}
Discussion
38.

सिद्ध कीजिए कि आच्छादक फलन f : { 1,2,3} `to` { 1,2,3} सदैव एकैकी फलन होता हैं ।

Answer» माना F एकैकी नहीं हैं । अतः इसके प्रांत में कम - से - कम दो अवयव मान लिया कि 1 तथा 2 का अस्तित्व हैं जिनके सहप्रांत में प्रतिबिंब समान हैं । साथ ही f के अंतर्गत 3 का प्रतिबिंब केवल एक ही अवयव हैं । अतः परिसर में , सहप्रांत { 1,2,3 } के , अधिकतम दो ही अवयव हो सकते हैं , जिससे प्रकट होता हैं कि f आच्छादक नहीं हैं , जो कि एक विरोधोक्ति हैं । अतः f को एकैकी होना ही चाहिए । यही सिद्ध करना था ।
Discussion
39.

यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं , तब फलन f : R `to` R , f (x) = |x| हैं -A. केवल एकैकीB. केवल आच्छादकC. न एकैकी और न आच्छादकD. एकैकी और आच्छादक

Answer» Correct Answer - c
Discussion
40.

यदि फलन f : R `to` R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = `x^(2) + 1` तो `f^(-1) {10 , 37}` ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `f^(-1) { 10 , 37 }` = x .
`rArr f(x) = 10 "और" f(x) = 37 `
`rArr x^(2) + 1 = 10 "और" x^(2) + 1 = 37`
`rArr x^(2) = 9` और `x^(2) = 36`
`rArr x = pm 3 "और" x = pm 6`
`therefore f^(-1) {10 , 37 } = { -3,3,-6,6}.`
Discussion
41.

फलन `f(x) = |x|+1,x in R` का परिसर हैA. `[0, infty)`B. NC. `(1, infty)`D. `[1, infty)`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
42.

माना :`R rarr R , f (x) = 3x + 2` व्दारा परिभाषित हैं । ज्ञात कीजिए - { x : f (x) = 14 }

Answer» यहाँ f (x) = 3x + 2
`rArr 14 = 3x + 2`
`rArr 3x = 12 `
`rArr x = 4 `
`therefore { x : f (x) = 14 } = {4}` .
Discussion
43.

माना कि A = {a, b, c, d}, B = {p, q, r, s}, C = {x, y, z} माना कि `f : A rarr B` तथा `g : B rarr C` इस प्रकार परिभाषित है `f(a) = p, f(b) = q, f(c) = r, f(d) = s` तथा `g(p) = x, g (q) = x, g(r) = y. g(s) = z`. `gof : A rarr C` निकालें।

Answer» gof (a) = x, gof (b) = x, gof (c) = y, gof (d) = z अर्थात gof = {(a, x), (b, x), (c, y), (d, z)}
Discussion
44.

फलन `f = {(4,2),(9,1),(6,1),(10,3)}` का परिसर हैA. `{4,9,6,10}`B. `{2,1}`C. `{1,2,3}`D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
Discussion
45.

दर्शाइये कि फलन `f : R to R , f(x ) = 3x^(3) + 5 AA x in R ` एकैकी और आच्छादक फलन हैं ।

Answer» यहाँ `f (x) = 3x^(3) + 5 , x in R`
f एकैकी हैं : माना x ,y , `in R ` (प्रांत ) , तब
f (x) = f (y)
`rArr 3x^(3) + 5 = 3y^(3) + 5`
`rArr 3x^(3) = 3y^(3)`
`rArr x^(3) = y ^(3)`
`rArr x = y `
`therefore` f एकैकी हैं ।
f आच्छादक हैं : माना ` y in R ` (सहप्रांत ) , तब
f (x) = y
`rArr 3x^(3) + 5 = y `
`rArr 3x^(3) = y - 5 `
` rArr x^(3) = (y - 5)/(3) `
`rArr x = ((y - 5 )/(3))^(1//3)`.
स्पष्टतः `((y - 5)/(3))^(1/3) in R AA y in R ` .
अब , `f (x) = f [((y - 5)/(3))^(1//3) in R ` का अस्तित्व ऐसा हैं कि f (x) = y .
`therefore` f आच्छादक हैं ।
अतः फलन f एकैकी और आच्छादक हैं ।
यही सिद्ध करना था ।
Discussion
46.

माना A = { 1,2,3,4,5} और f : A `to` A , g : A `to` A दो फलन इस प्रकार हैं कि f (1) = 2 , f (2) = 3 , f (3) = 4 , f (4) = 5 , f (5) = 1 और g (1) = 4 , g (2) = 1 , g (3) = 1 , g (4) = 2 , g (5) = 3 . fog और gof ज्ञात कीजिए ।

Answer» यहाँ प्रांत (fog) = { 1,2,3,4,5} और प्रांत (gof) = { 1,2,3,4,5}
(fog) (1) = f [ g (1) ] = f (4) = 5
(fog) (2) = f [ g (2) ] = f (1) = 2
(fog) (3) = f [ g (3) ] = f (1) = 2
(fog) (4) = f [ g (4) ] = f (2) = 3
(fog)(5) = f [ g (5) ] = f (3) = 4
`therefore` fog = { ( 1,5) , (2,2) , (3,2) , (4,3) , (5 ,4) }
पुनः (gof) (1) = g [ f (1) ] = g (2) = 1
( gof) (2) = g [ f (2) ] = g (3) = 1
( gof ) (3) = g [ g (3) ] = g (4) = 2
(gof) (4) = g [ f (4) ] = g (5) = 3
( gof ) ( 5 ) = g [ f (5) ] = g (1) = 4
`therefore ` gof = { (1,1) , (2 ,1 ) , (3 ,2) , (4 ,3) , (5 , 4) }.
Discussion
47.

निम्नलिखित संबंधों में कौन फलन है ?A. `{(1,2),(1,3),(2,5)}`B. `{(0,0),(1,1),(1,-1),(4,2)}`C. `{(1,2),(2,3),(3,4)}`D. `{(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)}`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
48.

माना :`R rarr R , f (x) = 3x + 2` व्दारा परिभाषित हैं । ज्ञात कीजिए - 5 और 71 का f के अन्तर्गत पूर्व प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए ।

Answer» माना `x_(1)` अवयव 5 का f के अन्तर्गत पूर्व प्रतिबिंब है , तब
`f (x_(1)) = 5 `
`rArr 3x_(1) + 2 = 5 `
`rArr x_(1) = 1 `
अतः अवयव का 5 का f के अन्तर्गत पूर्व प्रतिबिंब 1 हैं ।
माना अवयव 71 का f के अन्तर्गत पूर्व प्रतिबिंब है , तब
` f ( x_(2)) = 71`
`rArr 3x_(2) + 2 = 71 `
`rArr 3x_(2) = 69 `
`rArr x_(2) = 23 `
अतः अवयव 71 का f के अन्तर्गत पूर्व प्रतिबिंब 23 हैं ।
Discussion
49.

दर्शाइये कि फलन `f : R to R` , f (x ) = ax + b जहाँ a , b `in R , a ne 0 ` एकैकी आच्छादक फलन हैं ।

Answer» यहाँ `f (x) = 2x , x in R `.
f एकैकी हैं : माना `x_(1) , x_(2) in R` (प्रांत ) , तब
`f_(x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr 2x_(1) = 2x_(2)`
`rArr x_(1) = x_(2)`
`therefore` f एकैकी हैं ।
f आच्छादक हैं : माना `y in R` ( सहप्रांत ) , तब
f (x) = y `rArr ax + b = y rArr x = ( y - b ) /(a)`
अब , `f (x) = f ((y - b)/(a)) = a ((y - b)/(a)) + b`
= ( y - b) + b = y
अतः प्रत्येक ` y in R` के लिए ,
`(y - b)/(a) in R` का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि f (x) = y .
`therefore ` f आच्छादक हैं । यही सिद्ध करना था ।
Discussion
50.

निम्नलिखित फलन को क्रमित युग्म में व्यक्त करके परास ज्ञात कीजिए - g :`A rArr Q , g (x) = (x)/(x + 6 ) , "जहाँ " |x| le 5 , x in Z ` और Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय हैं ।

Answer» यहाँ g : A `rArr Q , g (x) = (x)/(x + 6)`
जहाँ `|x| le 5 , x in Z`.
A के लिए , `|x| le 5 , x in Z rArr x = pm 5 , pm 4 , pm 3 , pm 2 , pm 1, 0` अर्थात् A = { - 5 , - 4 , - 3 , -2 , -1 , 0,1,2,3,4,5 }.
चूँकि g(x) = `(x)/(x + 6 )`
`therefore g (-5) = (-5)/(- 5 + 6) = -5, g (-4) = (-4)/( - 4 + 6 ) = -2 `,
g (-3) = `(- 3) /(- 3 + 6) = -1 , g (-2) = (-2)/(-2 + 6) = - (1)/(2)` ,
`g (-1) = (-1)/(-1 + 6) = - (1)/(5) , g (0) = (0)/(0 + 6) = 0, `
`g (1) = (1)/( 1 + 6 ) = (1)/(7) , g (2) = (2)/(2 + 6 ) = (1)/(4)` ,
`g(3) = (3)/(3 + 6) = (1)/(3) , g(4) = (4) /(4 + 6) = (2 )/(5)` ,
`g(5) = (5)/( 5 + 6) = (5)/(11).`
`therefore g = { x , f (x) : x in A }`
`= { ( - 5 , 5 ) , ( - 4 , - 2 ) , ( -3 , - 1) , (2 , - (1)/(2)),`
`(-1 , - (1)/(5)) , ( 0, 0) , ( 1 , (1)/(7)) , (2 , (1)/(4))`,
`(3 , (1)/(3)) , ( 4 , (2)/(5)), ( 5 , (5)/(11)}`
g का परास हैं -
`{ - 5 , - 2 , -1 , - (1)/(2) , - (1)/(5) , 0 , (1)/(7) , (1)/(4) , (1)/(3) , (2)/(5) , (5)/(11)}.`
Discussion